函数、极限、连续

① 根号。$4-x^2\ge0$，即 $x^2\le4$，$-2\le x\le2$。

偶次根号下不能是负数。

② 对数。$x-1>0$，即 $x>1$。

对数的真数必须大于 0。

③ 分母。$\ln(x-1)\ne0$，即 $x-1\ne1$，$x\ne2$。

$\ln(x-1)$ 在分母上，不能为 0；而 $\ln u=0$ 只在 $u=1$ 时发生。

④ 取交集。$-2\le x\le2$、$x>1$、$x\ne2$ 同时成立：$1<x<2$。

三个条件缺一个式子就没有意义，所以要同时满足。

答案：$(1,2)$

① 求 $f(g(x))$。把 $f$ 的规则“平方”作用在 $g(x)=x+1$ 上：$f(g(x))=(x+1)^2$。

复合就是把里面那个函数整个当作 $f$ 的输入。

② 求 $g(f(x))$。把 $g$ 的规则“加 1”作用在 $f(x)=x^2$ 上：$g(f(x))=x^2+1$。

换了顺序结果不同，$(x+1)^2\ne x^2+1$，所以复合的顺序不能搞反。

③ (2) 换元。令 $t=x+1$，则 $x=t-1$，代入：$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)+3=t^2+2$。

题目给的是 $f$ 作用在 $x+1$ 上的结果，要把输入整体换成一个字母，才能读出规则本身。

④ 换回字母 $x$。$f(x)=x^2+2$。

函数是规则，与用哪个字母无关（见本节开头）。验算：$f(x+1)=(x+1)^2+2=x^2+2x+3$ ✓。

答案：(1) $(x+1)^2$，$x^2+1$；(2) $f(x)=x^2+2$

① 写出复合的式子。$f[\varphi(x)]=\e^{\varphi^2(x)}$，所以 $\e^{\varphi^2(x)}=1-x$。

$f$ 的规则是“平方后取 e 的幂”，作用在 $\varphi(x)$ 上。

② 两边取对数。$\varphi^2(x)=\ln(1-x)$。

$\ln$ 和 $\e^{\square}$ 互为反函数，取对数就把指数“拿下来”。

③ 开方，用条件定号。$\varphi(x)=\sqrt{\ln(1-x)}$。

$\varphi^2=\ln(1-x)$ 本来有正负两个根，题目说 $\varphi\ge0$，取正的。

④ 定义域。要 $\ln(1-x)\ge0$，即 $1-x\ge1$，$x\le0$。

根号里要 $\ge0$；$\ln u\ge0\iff u\ge1$（对数函数单调增加，$\ln1=0$）。

答案：$\varphi(x)=\sqrt{\ln(1-x)}$，定义域 $(-\infty,0]$

① 从式子里解出 $x$。$2^x=y-1$，两边取以 2 为底的对数：$x=\log_2(y-1)$。

反函数就是“已知 $y$，求 $x$”。

② 定范围。原函数的值域：$2^x>0$，所以 $y>1$。这就是反函数的定义域。

反函数的输入是原函数的输出，所以反函数的定义域 = 原函数的值域。

③ 换字母。$y=\log_2(x-1)$，$x>1$。

习惯上自变量写 $x$、因变量写 $y$。

答案：$y=\log_2(x-1)$，$x>1$

① $f(0)$。$0<1$，用第一段：$f(0)=\e^0=1$。

先判断 0 属于哪一段。

② $f(1)$。$x=1$ 满足 $x\ge1$，用第二段：$f(1)=1$。

分界点 $x=1$ 的“$\ge$”写在第二段，所以 $x=1$ 归第二段（图上的实心点）。

③ $f(2)$。$2\ge1$，$f(2)=2$。

2 落在 $x\ge1$ 这一段，所以用第二段的式子 $f(x)=x$。

④ $f(f(0))$。$f(0)=1$，所以 $f(f(0))=f(1)=1$。

复合：先算里面，把结果再当输入。

答案：$1,\ 1,\ 2,\ 1$

① (1) 先算里面。$\sin\frac{2\pi}3=\frac{\sqrt3}2$。

$\frac{2\pi}3$ 是 $120^\circ$，正弦值和 $60^\circ$ 相同。

② 再算反正弦。$\arcsin\frac{\sqrt3}2=\frac\pi3$，不是 $\frac{2\pi}3$。

$\arcsin$ 的值必须落在 $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ 里，$\frac{2\pi}3$ 不在这个范围，所以答案是范围内正弦值为 $\frac{\sqrt3}2$ 的那个角 $\frac\pi3$。

③ (2)$\arctan1=\frac\pi4$，$\arccos(-\frac12)=\frac{2\pi}3$，和为 $\frac{11\pi}{12}$。

$\tan\frac\pi4=1$；$\arccos$ 的值在 $[0,\pi]$ 里，余弦为 $-\frac12$ 的角是 $120^\circ=\frac{2\pi}3$。

④ (3) 换底。$\log_23\cdot\log_34=\dfrac{\ln3}{\ln2}\cdot\dfrac{\ln4}{\ln3}=\dfrac{2\ln2}{\ln2}=2$。

换底公式把不同底的对数统一成 $\ln$，$\ln4=\ln2^2=2\ln2$。

⑤ (4)$x^x=\e^{x\ln x}$。

用 $u^v=\e^{v\ln u}$，底数 $u=x$，指数 $v=x$。以后求 $\lim x^x$ 就变成求 $\lim x\ln x$。

答案：(1) $\frac\pi3$；(2) $\frac{11\pi}{12}$；(3) $2$；(4) $\e^{x\ln x}$

① (1) 去绝对值。$-5<2x-3<5$，各加 3：$-2<2x<8$，除以 2：$-1<x<4$。

$|u|<5\iff-5<u<5$，这里 $u=2x-3$。不等式两边加同一个数、除以正数，方向不变。

② (2) 比较分母。$k$ 在 $1$ 到 $n$ 之间，所以 $n^2+1\le n^2+k\le n^2+n$。

只有 $k$ 在变，把它换成最小值 1 和最大值 $n$，就得到分母的上下限。

③ 取倒数。三个数都是正数，取倒数不等号反向：$\dfrac1{n^2+n}\le\dfrac1{n^2+k}\le\dfrac1{n^2+1}$。

正数越大，倒数越小。

④ 求和。对 $k=1,\cdots,n$ 把 $n$ 个不等式相加：$\dfrac n{n^2+n}\le S_n\le\dfrac n{n^2+1}$。

左边、右边每一项都与 $k$ 无关，$n$ 项相加就是乘 $n$。以后会看到两端当 $n\to\infty$ 都趋于 0，从而 $S_n\to0$（5.1 节夹逼准则）。

答案：(1) $-1<x<4$；(2) 证明题。思路：$k$ 取最小值 1 和最大值 $n$ 夹住分母，正数取倒数不等号反向；$n$ 个不等式相加得 $\frac n{n^2+n}\le S_n\le\frac n{n^2+1}$

① (1) 配成平方。$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$。

完全平方永远 $\ge0$，这是证明不等式最基本的办法。

② (2) 套用。取 $a=x$、$b=\frac4x$：$x+\frac4x\ge2\sqrt{x\cdot\frac4x}=4$。

两项的乘积 $x\cdot\frac4x=4$ 是常数，均值不等式正好给出常数下界。

③ 看等号能否取到。等号成立要 $\sqrt x=\sqrt{4/x}$，即 $x=2$，此时 $x+\frac4x=4$。

只有等号真能取到，4 才是“最小值”，否则只是一个下界。

答案：(1) 证明题。思路：$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0$；(2) 最小值 $4$（$x=2$ 时取到）

① (1) 认出等比。首项 $a_1=1$，公比 $q=\frac12$，一共 $n+1$ 项。

每一项是前一项的 $\frac12$；注意从 $\frac1{2^0}$ 数到 $\frac1{2^n}$ 是 $n+1$ 项。

② 套公式。$S=\dfrac{1-(\frac12)^{n+1}}{1-\frac12}=2-\dfrac1{2^n}$。

等比求和公式，项数用 $n+1$。当 $n$ 越来越大时 $\frac1{2^n}$ 越来越小，和越来越接近 2（李林习题填空 (2) 就是求它的极限 $=2$）。

③ (2) 裂项。$\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$，所以和 $=\big(1-\frac12\big)+\big(\frac12-\frac13\big)+\cdots+\big(\frac1{99}-\frac1{100}\big)$。

把每一项拆成两项之差，相邻的项正负抵消（像伸缩望远镜一样收起来）。

④ 抵消后剩首尾。和 $=1-\frac1{100}=\frac{99}{100}$。

中间的 $\pm\frac12,\pm\frac13,\cdots,\pm\frac1{99}$ 全部抵消。

答案：(1) $2-\frac1{2^n}$；(2) $\frac{99}{100}$

① (1) 拆成两个特殊角之差。$\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ$。

$15^\circ$ 不是特殊角，但 $45^\circ-30^\circ$ 是，用余弦的差角公式（差角时中间是加号）。

② 代入特殊值。$=\frac{\sqrt2}2\cdot\frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt2}2\cdot\frac12=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4$。

$\cos45^\circ=\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}2$，$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2$，$\sin30^\circ=\frac12$。

③ (2) 降幂。在 $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ 中令 $\theta=\frac x2$：$1-\cos x=2\sin^2\frac x2$。

把“差”化成“积”，3.2 节求 $\frac{1-\cos x}{x^2}$ 就靠它。

④ 提公因式。$\tan x-\sin x=\dfrac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\dfrac{\sin x}{\cos x}(1-\cos x)=\tan x\,(1-\cos x)$。

两项都有因子 $\sin x$；变成乘积之后，3.4 节就能对每个因子分别用等价无穷小。

答案：(1) $\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$；(2) $1-\cos x=2\sin^2\frac x2$，$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)$