第 0 部分
先看全貌
先用两张图看懂“微分”在做什么，再看全章地图、和李林讲义的对应、真题考了什么，最后是 18 天的学习计划。
0.1 微分学在干什么：用直线和平面去近似弯的东西这份笔记只回答一个问题：弯的东西，在一点附近能不能用直的东西代替？
一元函数 ：曲线 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) 多元函数 ：曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 偏导数 决定，能用平面代替就叫可微 。极值、最值、切平面、方向导数都从这里来。
在一元和多元之间，需要一套描述“空间里的平面和直线”的语言——这就是空间解析几何 （向量、平面方程、直线方程、曲面方程），它是第 6 部分，也是后面三重积分、曲面积分的基础。
x y O P 切线：斜率 f ′(x 0 ) 割线 一元：割线的另一端向 P P P f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} f ′ ( x 0 ) = Δ x → 0 lim Δ x Δ y x y z O 切平面：法向量 (f x , f y , −1) 多元：曲面在一点附近贴着一块切平面，法向量 ( f x , f y , − 1 ) (f_x,f_y,-1) ( f x , f y , − 1 )
一句话记住 导数 = 切线的斜率 = 变化率；可微 = 能用直线（平面）近似。 一元部分是基础，多元部分几乎每一条结论都是一元的推广——所以第 11 部分把两边的结论并排列了出来。
0.2 全章地图，和李林讲义怎么配合十个部分的先后顺序就是学习顺序：一元（1—5）是地基；空间解析几何（6）给多元提供语言；多元（7—10）是一元的推广。点方块跳到对应部分。
和《26 李林高数辅导讲义》的对照
本页负责“从零讲懂 + 真题”，讲义负责“题型归纳 + 更多练习”。每部分开头的“考试要求”框是讲义对应章节开头的考试要求（大纲原文）；正文里标着“李林 第八章 §3 例 6 · p193”的例题，是从讲义里挑出来、按本页的写法重新讲一遍的（§3 表示第三节，每节的例题各自从 1 编号），可以对照原书看。
本页不含的同章内容 大纲里“一元函数微分学”还有两块内容，在别的笔记里：
微分中值定理 （罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒中值定理及证明题）：见《中值定理》笔记。洛必达法则、用泰勒公式求极限 ：见《极限》笔记。
多元部分用到的二阶泰勒公式（数一“了解”）在 10.1 节讲了它和极值判别法的关系。
0.3 考情：考多少、考在哪按 Maki《真题分类精解》书末的“年份索引”逐题核对，2010—2026 年数一卷子里，归在导数与微分、导数的应用、多元函数微分学各讲下的题有 58 道，再加上其他讲次里第一问考空间解析几何或切平面的 6 道、第十三讲里用麦克劳林系数求高阶导数的 1 道（2017(9)），共 65 道、412 分，平均每年约 24 分 。全部 65 道都在本页讲过。
从表里能看出四件事：
多元部分分数更多 ：复合与隐函数求导（第 8 部分）几乎年年一道填空或选择；多元极值（第 10 部分）是解答题的常客，2012、2013、2020、2023、2026 年都是一整道 10—12 分的大题。一元部分重在概念与图形 ：导数定义与可导性（第 1 部分）、凹凸与渐近线（第 5 部分）多是选择题，陷阱在“只给一点可导”“二阶导数为 0”这类细节上。空间解析几何单独出题少 ，但作为大题第一问反复出现（旋转曲面、投影、切平面）。方向导数与切平面（第 9 部分）是送分题 ：公式记准、方向单位化就能拿满分。
逐年分布
0.4 接下来 18 天怎么学你的《05-进度表》把这些内容排在两处：W3—W4（8/2—8/15）一元微分，W8—W9（9/6—9/19）空间解析几何与多元微分。下面把它们拆成 18 天，每天约 2 小时，沿用《02-方法卡》的例题桥接法：例题先遮住解答自己做 5 分钟，再点开对照 ；做完标 ⭕ / △ / ✗，△ 和 ✗ 第二天重做；卡住的地方在《04-错题断点本》只记一行“卡在哪一步、缺什么、怎么补”，不抄题。第三列是当天小节里全部的数一真题（程序按小节自动列出，18 天合起来正好是全部 65 道）。
日期怎么定 进度表原定的两段时间都已经过去了，9/23 以后的日子又被《微分方程》《三重积分与线面积分》《线性代数》等笔记的计划占着，所以上表和《极限》《一元函数积分学》笔记一样只写第几天，不写日期。
如果暑假已经按进度表学过 ：当二轮复习，压缩成 9 天（每天做上表两天的量，只做“当天必做的真题”和做错过的例题），重点看第 11、12 部分。如果还没真正学过 ：导数是后面所有内容的工具，建议先学这 18 天，其他计划整体顺延；按进度表的红线规则处理：砍题量，不砍覆盖 。 时间不够时 每天优先做完“当天必做的真题”；本页的普通例题每节只做第一道。标“数二”“数三”的真题是补题型用的，时间紧可以只看不做。第 6、9 部分只考数一，一道都不能省。
基础薄弱先看这里 如果直线斜率、三角公式、对数运算已经记不清了，第一天只读 A 部分 。
0.5 小结：看到这类题，去哪一部分
题目里的说法 去哪一部分 例子
“f f f x 0 x_0 x 0 lim f ( □ ) □ \lim\frac{f(\square)}{\square} lim □ f ( □ ) 第 1 部分：导数定义 例 1.5 隐函数、参数方程、反函数的导数 第 2 部分 例 2.19 f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) 第 3 部分：公式、莱布尼茨、泰勒系数 例 3.4 单调、极值、方程的根、不等式 第 4 部分 例 4.17 凹凸、拐点、渐近线、曲率 第 5 部分 例 5.15 平面、直线、旋转曲面、投影 第 6 部分 例 6.13 二重极限、偏导、可微 第 7 部分：四个概念的关系图 例 7.10 抽象复合函数、隐函数的偏导 第 8 部分：树形图、两边求导 例 8.8 方向导数、梯度、切平面 第 9 部分 例 9.12 多元函数的极值、最值 第 10 部分：A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2 例 10.15
学完了，标记这一部分
A 部分
零基础补课（一元）：斜率、图像、极限与公式
导数是“曲线的斜率”，所以先把直线的斜率、几种基本函数的图像、最简单的极限和几条代数公式补齐。只讲后面马上要用的。
A.1 直线的斜率与方程：导数就是“斜率”大白话：斜率就是“往右走 1 格，往上升多少格” 。两点 ( x 1 , y 1 ) (x_1,y_1) ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) (x_2,y_2) ( x 2 , y 2 ) k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} k = x 2 − x 1 y 2 − y 1
x y O (1, 1) (3, 5) 横向 2 纵向 4 y −1=2(x −1)1 3 直线过 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 3 , 5 ) (3,5) ( 3 , 5 ) k = 4 2 = 2 k=\frac42=2 k = 2 4 = 2 y − 1 = 2 ( x − 1 ) y-1=2(x-1) y − 1 = 2 ( x − 1 ) 直线的三个公式（高中学过，这里要用熟）
斜率：k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} k = x 2 − x 1 y 2 − y 1 k > 0 k>0 k > 0 k < 0 k<0 k < 0 k = 0 k=0 k = 0
点斜式：过点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) k k k y − y 0 = k ( x − x 0 ) y-y_0=k(x-x_0) y − y 0 = k ( x − x 0 ) 以后写切线方程全用它。
垂直：两条直线垂直 ⟺ \iff ⟺ − 1 -1 − 1 k 2 = − 1 k 1 k_2=-\dfrac1{k_1} k 2 = − k 1 1 k 1 ≠ 0 k_1\ne0 k 1 = 0 法线 就是过切点、与切线垂直的直线。
方法卡 · 写一条直线的方程
什么时候用
已知一点和斜率，或者已知两点；以后的“切线方程”“法线方程”都是这件事。
步骤
定点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 )
定斜率：切线斜率 = 导数；法线斜率 = − 1 切线斜率 -\dfrac1{\text{切线斜率}} − 切线斜率 1
代入点斜式 y − y 0 = k ( x − x 0 ) y-y_0=k(x-x_0) y − y 0 = k ( x − x 0 ) a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 a x + b y + c = 0 最容易错
把法线斜率写成切线斜率的相反数
− k -k − k （应是负倒数
− 1 k -\frac1k − k 1 ）；切线斜率为 0 时法线是竖直线
x = x 0 x=x_0 x = x 0 ，没有斜率。
例 A.1 基础
（1）求过点
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 和
( 3 , 5 ) (3,5) ( 3 , 5 ) 的直线方程；（2）求过点
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 且与（1）中直线垂直的直线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 先算斜率。 k = 5 − 1 3 − 1 = 2 k=\dfrac{5-1}{3-1}=2 k = 3 − 1 5 − 1 = 2
斜率 = 纵向变化 ÷ 横向变化，两个点谁在前都一样，只要上下对应。
② (1) 点斜式。 y − 1 = 2 ( x − 1 ) y-1=2(x-1) y − 1 = 2 ( x − 1 ) y = 2 x − 1 y=2x-1 y = 2 x − 1
点斜式只需要“一个点 + 斜率”，用哪个已知点都行；用 ( 3 , 5 ) (3,5) ( 3 , 5 )
③ (2) 垂直的斜率是负倒数。 k 2 = − 1 2 k_2=-\dfrac12 k 2 = − 2 1 y − 1 = − 1 2 ( x − 1 ) y-1=-\dfrac12(x-1) y − 1 = − 2 1 ( x − 1 ) x + 2 y − 3 = 0 x+2y-3=0 x + 2 y − 3 = 0
垂直时斜率之积为 − 1 -1 − 1 2 × ( − 1 2 ) = − 1 2\times\big(-\frac12\big)=-1 2 × ( − 2 1 ) = − 1
答案：(1) y = 2 x − 1 y=2x-1 y = 2 x − 1 x + 2 y − 3 = 0 x+2y-3=0 x + 2 y − 3 = 0
A.2 基本初等函数的图像：先认识这些曲线大白话：考研里出现的函数，都是由几种“基本零件”加减乘除、一层套一层拼出来的 。零件就这几种：幂函数 x a x^a x a a x a^x a x e x \e^x e x ln x \ln x ln x sin x , cos x , tan x \sin x,\cos x,\tan x sin x , cos x , tan x arcsin x , arctan x \arcsin x,\arctan x arcsin x , arctan x
x y O x ²x ³ex ln x y =x 幂函数、指数、对数：e x \e^x e x ln x \ln x ln x y = x y=x y = x x 3 x^3 x 3 x y O y =π/2y =−π/2sin x arctan x π 2π −π 三角与反三角：sin x \sin x sin x 2 π 2\pi 2 π arctan x \arctan x arctan x − π 2 -\frac\pi2 − 2 π π 2 \frac\pi2 2 π
复合函数：一层套一层
y = sin 2 ( 3 x + 1 ) y=\sin^2(3x+1) y = sin 2 ( 3 x + 1 ) y = u 2 y=u^2 y = u 2 u = sin v u=\sin v u = sin v v = 3 x + 1 v=3x+1 v = 3 x + 1 求导的链式法则（2.2 节）就是按这个顺序从外往里一层一层求 ，所以先练会“拆层”。
方法卡 · 把复合函数拆成层
什么时候用
看到函数套函数：
ln cos x \ln\cos x ln cos x 、
e sin x 2 \e^{\sin x^2} e s i n x 2 、
1 + x 2 \sqrt{1+x^2} 1 + x 2 。
步骤
问“最后一步算的是什么”：那就是最外层。
把最外层括号里的整体记成一个新字母，再对它问同样的问题。
一直拆到只剩 x x x 最容易错
把
sin 2 x \sin^2x sin 2 x （先正弦后平方）和
sin x 2 \sin x^2 sin x 2 （先平方后正弦）弄混。
例 A.2 基础
把下列函数拆成“一层套一层”：（1）
y = ln cos x y=\ln\cos x y = ln cos x ；（2）
y = e sin x 2 y=\e^{\sin x^2} y = e s i n x 2 ；（3）
y = 1 + tan 2 x y=\sqrt{1+\tan^2x} y = 1 + tan 2 x 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 两层。 y = ln u y=\ln u y = ln u u = cos x u=\cos x u = cos x
计算顺序是先算 cos x \cos x cos x
② (2) 三层。 y = e u y=\e^u y = e u u = sin v u=\sin v u = sin v v = x 2 v=x^2 v = x 2
sin x 2 \sin x^2 sin x 2 sin ( x 2 ) \sin(x^2) sin ( x 2 )
③ (3) 三层。 y = u y=\sqrt u y = u u = 1 + w 2 u=1+w^2 u = 1 + w 2 w = tan x w=\tan x w = tan x
最后一步是开根号；根号里面 1 + tan 2 x 1+\tan^2x 1 + tan 2 x
答案：(1) ln u \ln u ln u u = cos x u=\cos x u = cos x e u \e^u e u u = sin v u=\sin v u = sin v v = x 2 v=x^2 v = x 2 u \sqrt u u u = 1 + w 2 u=1+w^2 u = 1 + w 2 w = tan x w=\tan x w = tan x
A.3 极限与无穷小：导数的定义要用的工具大白话：导数是一个极限 ，所以要会算最简单的几类极限。最有用的是“等价无穷小”：x x x sin x \sin x sin x tan x \tan x tan x e x − 1 \e^x-1 e x − 1 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) x x x x x x
x y O tan x y =x sin x ln(1+x ) 在原点附近，sin x \sin x sin x tan x \tan x tan x ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) y = x y=x y = x 常用等价无穷小（x → 0 x\to0 x → 0
sin x ∼ x , \displaystyle \sin x\sim x, sin x ∼ x , tan x ∼ x , \displaystyle \tan x\sim x, tan x ∼ x , e x − 1 ∼ x , \displaystyle \e^x-1\sim x, e x − 1 ∼ x , ln ( 1 + x ) ∼ x , \displaystyle \ln(1+x)\sim x, ln ( 1 + x ) ∼ x , 1 − cos x ∼ x 2 2 , \displaystyle 1-\cos x\sim\frac{x^2}2, 1 − cos x ∼ 2 x 2 , ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x , \displaystyle (1+x)^a-1\sim ax, ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x , arcsin x ∼ x , \displaystyle \arcsin x\sim x, arcsin x ∼ x , arctan x ∼ x . \displaystyle \arctan x\sim x. arctan x ∼ x . 只能在乘、除里整体替换，加减里不能随便换。更完整的内容（洛必达、泰勒）见《极限》笔记第 3 部分。
方法卡 · 算“导数型”的极限
什么时候用
形如
lim h → 0 某个量 ( h ) h \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\text{某个量}(h)}h h → 0 lim h 某个量 ( h ) ，分子分母同时趋于 0。
步骤
先确认是“0 0 \frac00 0 0
分子能换等价无穷小就换；换完约掉 h h h
换不了的，用洛必达或泰勒（《极限》笔记）。 最容易错
在加减中替换：
lim tan x − sin x x 3 \lim\frac{\tan x-\sin x}{x^3} lim x 3 t a n x − s i n x 不能把两个都换成
x x x 得 0（正确答案是
1 2 \frac12 2 1 ）。
例 A.3 基础
求：（1）
lim h → 0 e 2 h − 1 h \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\e^{2h}-1}h h → 0 lim h e 2 h − 1 ；（2）
lim h → 0 1 + h − 1 h \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sqrt{1+h}-1}h h → 0 lim h 1 + h − 1 ；（3）
lim h → 0 ln ( 1 + 3 h ) sin h \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\ln(1+3h)}{\sin h} h → 0 lim sin h ln ( 1 + 3 h ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) e 2 h − 1 ∼ 2 h \e^{2h}-1\sim2h e 2 h − 1 ∼ 2 h = lim 2 h h = 2 =\lim\dfrac{2h}h=2 = lim h 2 h = 2
等价无穷小 e u − 1 ∼ u \e^u-1\sim u e u − 1 ∼ u u u u u = 2 h u=2h u = 2 h
② (2) 1 + h − 1 = ( 1 + h ) 1 2 − 1 ∼ 1 2 h \sqrt{1+h}-1=(1+h)^{\frac12}-1\sim\dfrac12h 1 + h − 1 = ( 1 + h ) 2 1 − 1 ∼ 2 1 h = 1 2 =\dfrac12 = 2 1
根号写成 1 2 \frac12 2 1 ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x (1+x)^a-1\sim ax ( 1 + x ) a − 1 ∼ a x
③ (3) 分子 ∼ 3 h \sim3h ∼ 3 h ∼ h \sim h ∼ h = 3 =3 = 3
分子分母各自换成等价无穷小，是乘除中的替换，允许。
答案：(1) 2；(2) 1 2 \frac12 2 1
A.4 三角、指数、对数：运算小抄大白话：求导算不对，一半是代数没化简对 。下面这些公式在本笔记的例题里会不断出现，先抄在一张纸上。
x y O (cos θ, sin θ) sin θ cos θ θ 半径 1 单位圆上，角 θ \theta θ ( cos θ , sin θ ) (\cos\theta,\sin\theta) ( cos θ , sin θ ) sin 2 θ + cos 2 θ = 1 \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 tan θ \tan\theta tan θ 小抄
三角：sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2x+\cos^2x=1 sin 2 x + cos 2 x = 1 1 + tan 2 x = sec 2 x 1+\tan^2x=\sec^2x 1 + tan 2 x = sec 2 x sin 2 x = 2 sin x cos x \sin2x=2\sin x\cos x sin 2 x = 2 sin x cos x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x = 1 − 2 sin 2 x sec x = 1 cos x \sec x=\frac1{\cos x} sec x = c o s x 1 csc x = 1 sin x \csc x=\frac1{\sin x} csc x = s i n x 1
特殊角：sin π 6 = 1 2 \sin\frac\pi6=\frac12 sin 6 π = 2 1 sin π 4 = 2 2 \sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2 sin 4 π = 2 2 sin π 3 = 3 2 \sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2 sin 3 π = 2 3 tan π 4 = 1 \tan\frac\pi4=1 tan 4 π = 1 arctan 1 = π 4 \arctan1=\frac\pi4 arctan 1 = 4 π
指数：a x = e x ln a a^x=\e^{x\ln a} a x = e x l n a a x + y = a x a y a^{x+y}=a^xa^y a x + y = a x a y ( a x ) y = a x y (a^x)^y=a^{xy} ( a x ) y = a x y “幂指函数” u v = e v ln u u^v=\e^{v\ln u} u v = e v l n u
对数：ln ( a b ) = ln a + ln b \ln(ab)=\ln a+\ln b ln ( ab ) = ln a + ln b ln a b = ln a − ln b \ln\frac ab=\ln a-\ln b ln b a = ln a − ln b ln a k = k ln a \ln a^k=k\ln a ln a k = k ln a ln e = 1 \ln\e=1 ln e = 1 ln 1 = 0 \ln1=0 ln 1 = 0
方法卡 · 求导前先化简
什么时候用
函数里有根号、分式、乘积的对数、幂指函数。
步骤
对数里的乘除先拆成加减：ln x 2 1 + x = 2 ln x − 1 2 ln ( 1 + x ) \ln\frac{x^2}{\sqrt{1+x}}=2\ln x-\frac12\ln(1+x) ln 1 + x x 2 = 2 ln x − 2 1 ln ( 1 + x )
根号改成分数指数，分式改成负指数。
幂指函数先改写成 e v ln u \e^{v\ln u} e v l n u 最容易错
ln ( a + b ) \ln(a+b) ln ( a + b ) 拆成
ln a + ln b \ln a+\ln b ln a + ln b （错！只有乘积才能拆）。
例 A.4 基础
化简：（1）
ln x 2 x + 1 e x \ln\dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{\e^x} ln e x x 2 x + 1 （
x > 0 x>0 x > 0 ）；（2）
2 x 2^x 2 x 写成以
e \e e 为底；（3）
x x x^x x x 写成以
e \e e 为底（
x > 0 x>0 x > 0 ）。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 乘除变加减。 ln x 2 + ln x + 1 − ln e x = 2 ln x + 1 2 ln ( x + 1 ) − x \ln x^2+\ln\sqrt{x+1}-\ln\e^x=2\ln x+\dfrac12\ln(x+1)-x ln x 2 + ln x + 1 − ln e x = 2 ln x + 2 1 ln ( x + 1 ) − x
对数把乘法变加法、除法变减法、幂变系数；ln e x = x \ln\e^x=x ln e x = x
② (2) 2 x = e x ln 2 2^x=\e^{x\ln2} 2 x = e x l n 2
2 = e ln 2 2=\e^{\ln2} 2 = e l n 2 x x x ( 2 x ) ′ = e x ln 2 ⋅ ln 2 = 2 x ln 2 (2^x)'=\e^{x\ln2}\cdot\ln2=2^x\ln2 ( 2 x ) ′ = e x l n 2 ⋅ ln 2 = 2 x ln 2
③ (3) x x = e x ln x x^x=\e^{x\ln x} x x = e x l n x
底数、指数都有 x x x e \e e
答案：(1) 2 ln x + 1 2 ln ( x + 1 ) − x 2\ln x+\frac12\ln(x+1)-x 2 ln x + 2 1 ln ( x + 1 ) − x e x ln 2 \e^{x\ln2} e x l n 2 e x ln x \e^{x\ln x} e x l n x
A.5 小结与自测
# 题目 答案 回看
1 过 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) − 3 -3 − 3 y = − 3 x + 1 y=-3x+1 y = − 3 x + 1 A.1 2 与斜率 2 3 \frac23 3 2 − 3 2 -\frac32 − 2 3 A.1 3 y = cos 3 ( 2 x ) y=\cos^3(2x) y = cos 3 ( 2 x ) u 3 u^3 u 3 u = cos v u=\cos v u = cos v v = 2 x v=2x v = 2 x A.2 4 lim h → 0 sin 5 h h \lim\limits_{h\to0}\frac{\sin5h}h h → 0 lim h s i n 5 h 5 A.3 5 lim h → 0 1 − cos h h 2 \lim\limits_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h^2} h → 0 lim h 2 1 − c o s h 1 2 \frac12 2 1 A.3 6 1 + tan 2 x = 1+\tan^2x= 1 + tan 2 x = sec 2 x \sec^2x sec 2 x A.4 7 3 x = e ( ) 3^x=\e^{(\ \ )} 3 x = e ( ) x ln 3 x\ln3 x ln 3 A.4 8 ln ( x 3 e 2 x ) \ln(x^3\e^{2x}) ln ( x 3 e 2 x ) 3 ln x + 2 x 3\ln x+2x 3 ln x + 2 x A.4
学完了，标记这一部分
第 1 部分
导数的概念
导数就是曲线的切线斜率、运动的瞬时速度。这一部分讲清定义，以及真题最爱考的几件事：把导数定义藏在极限里、判断可导性、切线与相关变化率、微分。
考试要求（大纲原文，李林讲义第二章第 1 条）
理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
对应李林讲义第二章第一节（p42—56）：题型一“与导数定义有关的综合题”、题型二“利用导数的定义求导”、题型三“可导性的常用结论”、§1 题型二“变化率与相关变化率”。Maki《真题分类精解》第八讲。
1.1 从割线到切线：导数的定义大白话：曲线弯弯的，没法直接说“斜率”。办法是在曲线上取两个很近的点连一条线（割线），算它的斜率；再让第二个点一路滑向第一个点，割线就转成了切线，斜率的极限就是导数 。汽车的速度也是这样来的：一小段时间里走的路程 ÷ 时间是平均速度，时间段缩到 0，就是那一瞬间的速度。
x y O 割线斜率 3 割线斜率 2.5 P (1,1)切线：斜率 2 1 2 y = x 2 y=x^2 y = x 2 P ( 1 , 1 ) P(1,1) P ( 1 , 1 ) Q Q Q x = 2 x=2 x = 2 导数的定义（三种写法，是同一件事）
f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h . \displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h. f ′ ( x 0 ) = Δ x → 0 lim Δ x f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = x → x 0 lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) = h → 0 lim h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) . 极限存在（是一个有限数），就说 f f f x 0 x_0 x 0 可导 。记号还有 y ′ ∣ x = x 0 y'\big|_{x=x_0} y ′ x = x 0 d y d x ∣ x = x 0 \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=x_0} d x d y x = x 0
刷题本的口诀是“一动一定、两边趋向”：分子里一个点动（x 0 + h x_0+h x 0 + h x 0 x_0 x 0 h h h
方法卡 · 用定义求导数
什么时候用
分段点、绝对值、只知道“在一点可导”的抽象函数；或者求导公式代不进去的点。
步骤
先算出 f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 )
写出 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 )
求 h → 0 h\to0 h → 0 h → 0 + h\to0^+ h → 0 + h → 0 − h\to0^- h → 0 − 最容易错
分子写成
f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) f(x_0+h)-f(x_0-h) f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 却除以
h h h （应除以
2 h 2h 2 h ，而且这个极限存在不能推出可导）；忘了
f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) 必须是函数真正的值。
例 1.1 基础
用定义求导数：（1）
f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2 在
x 0 = 1 x_0=1 x 0 = 1 处；（2）
f ( x ) = x f(x)=\sqrt x f ( x ) = x 在
x 0 = 4 x_0=4 x 0 = 4 处；（3）
f ( x ) = sin x f(x)=\sin x f ( x ) = sin x 在任一点
x x x 处。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) ( 1 + h ) 2 − 1 h = 2 h + h 2 h = 2 + h → 2 \dfrac{(1+h)^2-1}h=\dfrac{2h+h^2}h=2+h\to2 h ( 1 + h ) 2 − 1 = h 2 h + h 2 = 2 + h → 2 f ′ ( 1 ) = 2 f'(1)=2 f ′ ( 1 ) = 2
这就是图中割线斜率的极限：h h h
② (2) 分子有理化。 4 + h − 2 h = ( 4 + h ) − 4 h ( 4 + h + 2 ) = 1 4 + h + 2 → 1 4 \dfrac{\sqrt{4+h}-2}h=\dfrac{(4+h)-4}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\dfrac1{\sqrt{4+h}+2}\to\dfrac14 h 4 + h − 2 = h ( 4 + h + 2 ) ( 4 + h ) − 4 = 4 + h + 2 1 → 4 1
分子是根号相减，乘“共轭” 4 + h + 2 \sqrt{4+h}+2 4 + h + 2 h h h
③ (3) 和差化积。 sin ( x + h ) − sin x h = 2 cos ( x + h 2 ) sin h 2 h = cos ( x + h 2 ) ⋅ sin h 2 h 2 → cos x \dfrac{\sin(x+h)-\sin x}h=\dfrac{2\cos\big(x+\frac h2\big)\sin\frac h2}h=\cos\Big(x+\dfrac h2\Big)\cdot\dfrac{\sin\frac h2}{\frac h2}\to\cos x h sin ( x + h ) − sin x = h 2 cos ( x + 2 h ) sin 2 h = cos ( x + 2 h ) ⋅ 2 h sin 2 h → cos x
sin h 2 ∼ h 2 \sin\frac h2\sim\frac h2 sin 2 h ∼ 2 h cos ( x + h 2 ) \cos\big(x+\frac h2\big) cos ( x + 2 h ) cos x \cos x cos x ( sin x ) ′ = cos x (\sin x)'=\cos x ( sin x ) ′ = cos x
答案：(1) 2；(2) 1 4 \frac14 4 1 cos x \cos x cos x
1.2 左右导数、可导与连续大白话：从左边逼近和从右边逼近，割线可能转到两个不同的方向 。比如 y = ∣ x ∣ y=|x| y = ∣ x ∣ − 1 -1 − 1 1 1 1 可导一定连续 ：曲线在这一点都能画切线了，当然不会断开；但连续不一定可导（尖角就是反例）。
x y O 左边斜率 −1 右边斜率 1 尖角 y = ∣ x ∣ y=|x| y = ∣ x ∣ − 1 -1 − 1 1 1 1 左、右导数与可导的充要条件
f − ′ ( x 0 ) = lim h → 0 − f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h , \displaystyle f'_-(x_0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h, f − ′ ( x 0 ) = h → 0 − lim h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) , f + ′ ( x 0 ) = lim h → 0 + f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h , \displaystyle f'_+(x_0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h, f + ′ ( x 0 ) = h → 0 + lim h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) , f ′ ( x 0 ) 存在 ⟺ f − ′ ( x 0 ) , f + ′ ( x 0 ) 都存在且相等 . \displaystyle f'(x_0)\ \text{存在}\iff f'_-(x_0),\ f'_+(x_0)\ \text{都存在且相等}. f ′ ( x 0 ) 存在 ⟺ f − ′ ( x 0 ) , f + ′ ( x 0 ) 都存在且相等 . 可导 ⇒ \Rightarrow ⇒ f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h ⋅ h → f ′ ( x 0 ) ⋅ 0 = 0 f(x_0+h)-f(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\cdot h\to f'(x_0)\cdot0=0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) = h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) ⋅ h → f ′ ( x 0 ) ⋅ 0 = 0 所以先看连续：不连续的点直接判不可导 。
方法卡 · 分段函数在分段点可导，求参数
什么时候用
f ( x ) = { g ( x ) , x ≤ x 0 h ( x ) , x > x 0 f(x)=\begin{cases}g(x),&x\le x_0\\h(x),&x>x_0\end{cases} f ( x ) = { g ( x ) , h ( x ) , x ≤ x 0 x > x 0 在
x 0 x_0 x 0 可导，求其中的参数。
步骤
可导必连续：g ( x 0 ) = lim x → x 0 + h ( x ) g(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}h(x) g ( x 0 ) = x → x 0 + lim h ( x )
左导数 = 右导数：两段各自用定义（或确认连续后各自求导再取极限），得到第二个方程。
联立解参数。 最容易错
只写“左右导数相等”一个方程，漏了连续；分段点处直接把两段的导函数相等当作条件而不先保证连续（不连续时两段导数可能碰巧相等）。
例 1.2 基础
设
f ( x ) = { x 2 , x ≤ 1 a x + b , x > 1 f(x)=\begin{cases}x^2,&x\le1\\ax+b,&x>1\end{cases} f ( x ) = { x 2 , a x + b , x ≤ 1 x > 1 在
x = 1 x=1 x = 1 处可导，求
a , b a,b a , b 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 可导先要连续。 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 lim x → 1 + ( a x + b ) = a + b \lim\limits_{x\to1^+}(ax+b)=a+b x → 1 + lim ( a x + b ) = a + b a + b = 1 a+b=1 a + b = 1
可导 ⇒ 连续，这是第一个方程，也是最容易漏的一个。
② 左导数。 f − ′ ( 1 ) = lim h → 0 − ( 1 + h ) 2 − 1 h = 2 f'_-(1)=\lim\limits_{h\to0^-}\dfrac{(1+h)^2-1}h=2 f − ′ ( 1 ) = h → 0 − lim h ( 1 + h ) 2 − 1 = 2
h < 0 h<0 h < 0 1 + h < 1 1+h<1 1 + h < 1 x 2 x^2 x 2
③ 右导数。 f + ′ ( 1 ) = lim h → 0 + a ( 1 + h ) + b − 1 h = lim a h + ( a + b − 1 ) h = a f'_+(1)=\lim\limits_{h\to0^+}\dfrac{a(1+h)+b-1}h=\lim\dfrac{ah+(a+b-1)}h=a f + ′ ( 1 ) = h → 0 + lim h a ( 1 + h ) + b − 1 = lim h ah + ( a + b − 1 ) = a
用了 a + b = 1 a+b=1 a + b = 1 a h ah ah
④ 相等。 a = 2 a=2 a = 2 b = − 1 b=-1 b = − 1
左右导数相等是第二个方程。图上看：直线 y = 2 x − 1 y=2x-1 y = 2 x − 1 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
答案：a = 2 a=2 a = 2 b = − 1 b=-1 b = − 1
例 1.3 李林 第二章 §1 例 8 · p45
设
f ( x ) = { 1 − cos x x , x > 0 x 2 g ( x ) , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases}\dfrac{1-\cos x}{\sqrt x},&x>0\\x^2g(x),&x\le0\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x 1 − cos x , x 2 g ( x ) , x > 0 x ≤ 0 ，其中
g ( x ) g(x) g ( x ) 是有界函数，则
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处（ ）
（A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续
（C）连续，但不可导 （D）可导
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 连续。 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 x → 0 + x\to0^+ x → 0 + 1 − cos x x ∼ x 2 / 2 x → 0 \dfrac{1-\cos x}{\sqrt x}\sim\dfrac{x^2/2}{\sqrt x}\to0 x 1 − cos x ∼ x x 2 /2 → 0 x → 0 − x\to0^- x → 0 − x 2 g ( x ) → 0 x^2g(x)\to0 x 2 g ( x ) → 0
分段点先看左右极限与函数值，三者都是 0，连续。
② 右导数。 f + ′ ( 0 ) = lim x → 0 + 1 − cos x x x = lim x 2 / 2 x 3 / 2 = 0 f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1-\cos x}{x\sqrt x}=\lim\dfrac{x^2/2}{x^{3/2}}=0 f + ′ ( 0 ) = x → 0 + lim x x 1 − cos x = lim x 3/2 x 2 /2 = 0
1 − cos x ∼ x 2 2 1-\cos x\sim\frac{x^2}2 1 − cos x ∼ 2 x 2 3 2 \frac32 2 3
③ 左导数。 f − ′ ( 0 ) = lim x → 0 − x 2 g ( x ) x = lim x g ( x ) = 0 f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x^2g(x)}x=\lim xg(x)=0 f − ′ ( 0 ) = x → 0 − lim x x 2 g ( x ) = lim xg ( x ) = 0
有界量乘无穷小还是无穷小；左右导数都是 0，相等。所以选（D）。
答案：D
例 1.4 李林 第二章 §1 例 10 · p46
设
f ( x ) = { g ( x ) − cos x x , x > 0 a x + b , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases}\dfrac{g(x)-\cos x}x,&x>0\\ax+b,&x\le0\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x g ( x ) − cos x , a x + b , x > 0 x ≤ 0 ，其中
g g g 在 0 处二阶可导，
g ( 0 ) = 1 g(0)=1 g ( 0 ) = 1 ，
g ′ ( 0 ) = 2 g'(0)=2 g ′ ( 0 ) = 2 ，
g ′ ′ ( 0 ) = 5 g''(0)=5 g ′′ ( 0 ) = 5 。确定
a , b a,b a , b 使
f f f 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导，并求
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 连续定 b b b lim x → 0 + g ( x ) − cos x x = lim g ( x ) − g ( 0 ) x + lim 1 − cos x x = g ′ ( 0 ) + 0 = 2 \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{g(x)-\cos x}x=\lim\dfrac{g(x)-g(0)}x+\lim\dfrac{1-\cos x}x=g'(0)+0=2 x → 0 + lim x g ( x ) − cos x = lim x g ( x ) − g ( 0 ) + lim x 1 − cos x = g ′ ( 0 ) + 0 = 2 f ( 0 ) = b f(0)=b f ( 0 ) = b b = 2 b=2 b = 2
把分子拆成“g ( x ) − g ( 0 ) g(x)-g(0) g ( x ) − g ( 0 ) 1 − cos x 1-\cos x 1 − cos x ∼ x 2 2 \sim\frac{x^2}2 ∼ 2 x 2 x x x
② 右导数：泰勒展开。 g ( x ) = 1 + 2 x + 5 2 x 2 + o ( x 2 ) g(x)=1+2x+\dfrac52x^2+o(x^2) g ( x ) = 1 + 2 x + 2 5 x 2 + o ( x 2 ) cos x = 1 − x 2 2 + o ( x 2 ) \cos x=1-\dfrac{x^2}2+o(x^2) cos x = 1 − 2 x 2 + o ( x 2 ) f ( x ) = 2 x + 3 x 2 + o ( x 2 ) x = 2 + 3 x + o ( x ) f(x)=\dfrac{2x+3x^2+o(x^2)}x=2+3x+o(x) f ( x ) = x 2 x + 3 x 2 + o ( x 2 ) = 2 + 3 x + o ( x ) f + ′ ( 0 ) = lim f ( x ) − 2 x = 3 f'_+(0)=\lim\dfrac{f(x)-2}x=3 f + ′ ( 0 ) = lim x f ( x ) − 2 = 3
只知道 g g g g ′ g' g ′
③ 左导数定 a a a f − ′ ( 0 ) = lim x → 0 − a x + 2 − 2 x = a f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{ax+2-2}x=a f − ′ ( 0 ) = x → 0 − lim x a x + 2 − 2 = a a = 3 a=3 a = 3 f ′ ( 0 ) = 3 f'(0)=3 f ′ ( 0 ) = 3
左边是直线，导数就是斜率 a a a
答案：a = 3 a=3 a = 3 b = 2 b=2 b = 2 f ′ ( 0 ) = 3 f'(0)=3 f ′ ( 0 ) = 3
1.3 用导数定义解题：求导数值、算极限、判断选项大白话：考研最爱把导数定义“藏”在一个极限里 。认出它的办法是看结构：分子是“f ( 某个趋于 x 0 的量 ) − f ( x 0 ) f(\text{某个趋于 }x_0\text{ 的量})-f(x_0) f ( 某个趋于 x 0 的量 ) − f ( x 0 ) − x 0 -x_0 − x 0 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 )
x y □ f (1)f (1+□)1 同一个导数的几种“伪装”：只要分子是 f ( 1 + □ ) − f ( 1 ) f(1+\square)-f(1) f ( 1 + □ ) − f ( 1 ) □ \square □ □ → 0 \square\to0 □ → 0 f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 ) 三个最常用的结论
通用形式 ：若 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) □ → 0 \square\to0 □ → 0 □ ≠ 0 \square\ne0 □ = 0 lim f ( x 0 + □ ) − f ( x 0 ) □ = f ′ ( x 0 ) \lim\dfrac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{\square}=f'(x_0) lim □ f ( x 0 + □ ) − f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) □ \square □ x 3 x^3 x 3 sin x \sin x sin x 1 n \frac1n n 1 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( □ ) = f ′ ( 0 ) □ + o ( □ ) f(\square)=f'(0)\square+o(\square) f ( □ ) = f ′ ( 0 ) □ + o ( □ ) 只说“在一点可导”时禁用洛必达 ：洛必达要求邻域内处处可导，还常常要 f ′ f' f ′
方法卡 · 把极限凑成导数定义
什么时候用
条件是“
f f f 在
x 0 x_0 x 0 可导”，要算一个含
f f f 的
0 0 \frac00 0 0 型极限；或反过来由极限求
f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) 。
步骤
先让分子趋于 0 定出 f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 )
把分子拆成几段“f ( x 0 + □ i ) − f ( x 0 ) f(x_0+\square_i)-f(x_0) f ( x 0 + □ i ) − f ( x 0 ) □ i \square_i □ i
每段换成 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) □ i 分母 \frac{\square_i}{\text{分母}} 分母 □ i 最容易错
拆项时忘了检查每一段的极限都存在；把
lim f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 2 h \lim\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} lim 2 h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 存在当成可导（它对
∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ 也成立）。
例 1.5 2011 数二(2) 李林 第二章 §1 例 1 · p43
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导，且
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ，则
lim x → 0 x 2 f ( x ) − 2 f ( x 3 ) x 3 = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2f(x)-2f(x^3)}{x^3}= x → 0 lim x 3 x 2 f ( x ) − 2 f ( x 3 ) = （ ）
（A）
− 2 f ′ ( 0 ) -2f'(0) − 2 f ′ ( 0 ) （B）
− f ′ ( 0 ) -f'(0) − f ′ ( 0 ) （C）
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) （D）0
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆成两个导数定义。 原式 = lim [ f ( x ) − f ( 0 ) x − 2 ⋅ f ( x 3 ) − f ( 0 ) x 3 ] =\lim\Big[\dfrac{f(x)-f(0)}x-2\cdot\dfrac{f(x^3)-f(0)}{x^3}\Big] = lim [ x f ( x ) − f ( 0 ) − 2 ⋅ x 3 f ( x 3 ) − f ( 0 ) ]
x 2 f ( x ) x 3 = f ( x ) x \frac{x^2f(x)}{x^3}=\frac{f(x)}x x 3 x 2 f ( x ) = x f ( x ) x 3 x^3 x 3 f f f x 3 x^3 x 3 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
② 各自换成 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) − 2 f ′ ( 0 ) = − f ′ ( 0 ) =f'(0)-2f'(0)=-f'(0) = f ′ ( 0 ) − 2 f ′ ( 0 ) = − f ′ ( 0 )
两段的极限都存在（都是 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
答案：B
例 1.6 2012 数一(2) 2012 数二(2) 2012 数三(2) 李林 第二章 §1 例 11 · p46
设函数
f ( x ) = ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) ⋯ ( e n x − n ) f(x)=(\e^x-1)(\e^{2x}-2)\cdots(\e^{nx}-n) f ( x ) = ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) ⋯ ( e n x − n ) ，其中
n n n 为正整数，则
f ′ ( 0 ) = f'(0)= f ′ ( 0 ) = （ ）
（A）
( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! (-1)^{n-1}(n-1)! ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )! （B）
( − 1 ) n ( n − 1 ) ! (-1)^n(n-1)! ( − 1 ) n ( n − 1 )! （C）
( − 1 ) n − 1 n ! (-1)^{n-1}n! ( − 1 ) n − 1 n ! （D）
( − 1 ) n n ! (-1)^nn! ( − 1 ) n n ! 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先看 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 第一个因子 e 0 − 1 = 0 \e^0-1=0 e 0 − 1 = 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 1 − k ≠ 0 1-k\ne0 1 − k = 0 k = 2 , … , n k=2,\dots,n k = 2 , … , n
乘积里只要一个因子为 0，乘积就是 0；用定义求导要先知道 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
② 用定义。 f ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) − 0 x = lim e x − 1 x ⋅ ( e 2 x − 2 ) ⋯ ( e n x − n ) = 1 ⋅ ( 1 − 2 ) ( 1 − 3 ) ⋯ ( 1 − n ) f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-0}x=\lim\dfrac{\e^x-1}x\cdot(\e^{2x}-2)\cdots(\e^{nx}-n)=1\cdot(1-2)(1-3)\cdots(1-n) f ′ ( 0 ) = x → 0 lim x f ( x ) − 0 = lim x e x − 1 ⋅ ( e 2 x − 2 ) ⋯ ( e n x − n ) = 1 ⋅ ( 1 − 2 ) ( 1 − 3 ) ⋯ ( 1 − n )
把“趋于 0 的那个因子” e x − 1 \e^x-1 e x − 1 x x x ∼ x \sim x ∼ x x = 0 x=0 x = 0
③ 数负号。 ( − 1 ) ( − 2 ) ⋯ ( − ( n − 1 ) ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! (-1)(-2)\cdots(-(n-1))=(-1)^{n-1}(n-1)! ( − 1 ) ( − 2 ) ⋯ ( − ( n − 1 )) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )!
共 n − 1 n-1 n − 1 ( − 1 ) n − 1 (-1)^{n-1} ( − 1 ) n − 1 1 ⋅ 2 ⋯ ( n − 1 ) 1\cdot2\cdots(n-1) 1 ⋅ 2 ⋯ ( n − 1 )
④ 小 n n n n = 2 n=2 n = 2 f = ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) f=(\e^x-1)(\e^{2x}-2) f = ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) f ′ ( 0 ) = 1 ⋅ ( 1 − 2 ) + 0 = − 1 = ( − 1 ) 1 ⋅ 1 ! f'(0)=1\cdot(1-2)+0=-1=(-1)^1\cdot1! f ′ ( 0 ) = 1 ⋅ ( 1 − 2 ) + 0 = − 1 = ( − 1 ) 1 ⋅ 1 !
选择题用 n = 2 n=2 n = 2 + 1 +1 + 1 − 2 -2 − 2 + 2 +2 + 2
答案：A
例 1.7 2013 数三(9) 李林 第二章 §1 例 2 · p43
设曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 与
y = x 2 − x y=x^2-x y = x 2 − x 在点
( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 处有公共切线，则
lim n → ∞ n f ( n n + 2 ) = \lim\limits_{n\to\infty}nf\Big(\dfrac n{n+2}\Big)= n → ∞ lim n f ( n + 2 n ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 翻译“公共切线”。 同一点、同一斜率：f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 f ′ ( 1 ) = ( 2 x − 1 ) ∣ x = 1 = 1 f'(1)=(2x-1)\big|_{x=1}=1 f ′ ( 1 ) = ( 2 x − 1 ) x = 1 = 1
公共切线 = 过同一点 + 斜率相同，两个条件缺一不可。
② 凑定义。 n n + 2 = 1 − 2 n + 2 \dfrac n{n+2}=1-\dfrac2{n+2} n + 2 n = 1 − n + 2 2 n f ( n n + 2 ) = f ( 1 − 2 n + 2 ) − f ( 1 ) − 2 n + 2 ⋅ ( − 2 n n + 2 ) nf\Big(\dfrac n{n+2}\Big)=\dfrac{f\big(1-\frac2{n+2}\big)-f(1)}{-\frac2{n+2}}\cdot\Big(-\dfrac{2n}{n+2}\Big) n f ( n + 2 n ) = − n + 2 2 f ( 1 − n + 2 2 ) − f ( 1 ) ⋅ ( − n + 2 2 n )
增量是 □ = − 2 n + 2 → 0 \square=-\frac2{n+2}\to0 □ = − n + 2 2 → 0 □ \square □
③ 取极限。 → f ′ ( 1 ) ⋅ ( − 2 ) = − 2 \to f'(1)\cdot(-2)=-2 → f ′ ( 1 ) ⋅ ( − 2 ) = − 2
− 2 n n + 2 → − 2 -\frac{2n}{n+2}\to-2 − n + 2 2 n → − 2 f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 )
答案：− 2 -2 − 2
例 1.8 2022 数二(17)
已知函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 1 x=1 x = 1 处可导，且
lim x → 0 f ( e x 2 ) − 3 f ( 1 + sin 2 x ) x 2 = 2 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(\e^{x^2})-3f(1+\sin^2x)}{x^2}=2 x → 0 lim x 2 f ( e x 2 ) − 3 f ( 1 + sin 2 x ) = 2 ，求
f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 分子必须趋于 0。 分母 → 0 \to0 → 0 → f ( 1 ) − 3 f ( 1 ) = − 2 f ( 1 ) = 0 \to f(1)-3f(1)=-2f(1)=0 → f ( 1 ) − 3 f ( 1 ) = − 2 f ( 1 ) = 0 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
“分母趋于 0、极限有限 ⇒ 分子也趋于 0”，这是由极限反推函数值的标准一步；可导保证连续，分子才能取极限。
② 拆成两个导数定义。 原式 = f ( e x 2 ) − f ( 1 ) e x 2 − 1 ⋅ e x 2 − 1 x 2 − 3 ⋅ f ( 1 + sin 2 x ) − f ( 1 ) sin 2 x ⋅ sin 2 x x 2 =\dfrac{f(\e^{x^2})-f(1)}{\e^{x^2}-1}\cdot\dfrac{\e^{x^2}-1}{x^2}-3\cdot\dfrac{f(1+\sin^2x)-f(1)}{\sin^2x}\cdot\dfrac{\sin^2x}{x^2} = e x 2 − 1 f ( e x 2 ) − f ( 1 ) ⋅ x 2 e x 2 − 1 − 3 ⋅ sin 2 x f ( 1 + sin 2 x ) − f ( 1 ) ⋅ x 2 sin 2 x
两个增量分别是 e x 2 − 1 \e^{x^2}-1 e x 2 − 1 sin 2 x \sin^2x sin 2 x
③ 解方程。 f ′ ( 1 ) ⋅ 1 − 3 f ′ ( 1 ) ⋅ 1 = − 2 f ′ ( 1 ) = 2 f'(1)\cdot1-3f'(1)\cdot1=-2f'(1)=2 f ′ ( 1 ) ⋅ 1 − 3 f ′ ( 1 ) ⋅ 1 = − 2 f ′ ( 1 ) = 2 f ′ ( 1 ) = − 1 f'(1)=-1 f ′ ( 1 ) = − 1
两段都趋于 f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 )
答案：f ′ ( 1 ) = − 1 f'(1)=-1 f ′ ( 1 ) = − 1
例 1.9 2020 数一(2)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间
( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) 内有定义，且
lim x → 0 f ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to0}f(x)=0 x → 0 lim f ( x ) = 0 ，则（ ）
（A）当
lim x → 0 f ( x ) ∣ x ∣ = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0 x → 0 lim ∣ x ∣ f ( x ) = 0 时，
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导
（B）当
lim x → 0 f ( x ) x 2 = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=0 x → 0 lim x 2 f ( x ) = 0 时，
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导
（C）当
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导时，
lim x → 0 f ( x ) ∣ x ∣ = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0 x → 0 lim ∣ x ∣ f ( x ) = 0 （D）当
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导时，
lim x → 0 f ( x ) x 2 = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=0 x → 0 lim x 2 f ( x ) = 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 陷阱：没给 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) （A）（B）的反例：f ( x ) = 0 f(x)=0 f ( x ) = 0 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f f f
极限只看 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) f ( 0 ) = lim f = 0 f(0)=\lim f=0 f ( 0 ) = lim f = 0
② （C）正确。 可导 ⇒ 连续 ⇒ f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( x ) ∣ x ∣ = f ( x ) − f ( 0 ) x ⋅ x ∣ x ∣ → f ′ ( 0 ) ⋅ 0 = 0 \dfrac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=\dfrac{f(x)-f(0)}x\cdot\dfrac x{\sqrt{|x|}}\to f'(0)\cdot0=0 ∣ x ∣ f ( x ) = x f ( x ) − f ( 0 ) ⋅ ∣ x ∣ x → f ′ ( 0 ) ⋅ 0 = 0
把要算的比值拆成“导数定义” × “一个趋于 0 的量”：x ∣ x ∣ = ± ∣ x ∣ → 0 \frac x{\sqrt{|x|}}=\pm\sqrt{|x|}\to0 ∣ x ∣ x = ± ∣ x ∣ → 0
③ （D）反例。 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x x x 2 = 1 x \dfrac x{x^2}=\dfrac1x x 2 x = x 1
分母 x 2 x^2 x 2 x x x f ( x ) = f ′ ( 0 ) x + o ( x ) f(x)=f'(0)x+o(x) f ( x ) = f ′ ( 0 ) x + o ( x ) o ( x 2 ) o(x^2) o ( x 2 )
答案：C
例 1.10 2024 数一(4)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间
( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) 内有定义，
lim x → 0 f ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to0}f(x)=0 x → 0 lim f ( x ) = 0 ，则（ ）
（A）当
lim x → 0 f ( x ) x = m \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=m x → 0 lim x f ( x ) = m 时，
f ′ ( 0 ) = m f'(0)=m f ′ ( 0 ) = m （B）当
f ′ ( 0 ) = m f'(0)=m f ′ ( 0 ) = m 时，
lim x → 0 f ( x ) x = m \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=m x → 0 lim x f ( x ) = m （C）当
lim x → 0 f ′ ( x ) = m \lim\limits_{x\to0}f'(x)=m x → 0 lim f ′ ( x ) = m 时，
f ′ ( 0 ) = m f'(0)=m f ′ ( 0 ) = m （D）当
f ′ ( 0 ) = m f'(0)=m f ′ ( 0 ) = m 时，
lim x → 0 f ′ ( x ) = m \lim\limits_{x\to0}f'(x)=m x → 0 lim f ′ ( x ) = m 解答先遮住，自己试 5 分钟
① （B）正确。 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) f f f f ( 0 ) = lim f = 0 f(0)=\lim f=0 f ( 0 ) = lim f = 0 f ( x ) x = f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 → f ′ ( 0 ) = m \dfrac{f(x)}x=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\to f'(0)=m x f ( x ) = x − 0 f ( x ) − f ( 0 ) → f ′ ( 0 ) = m
又是同一个陷阱：f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
② （A）（C）的反例。 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f ( x ) x → 1 \frac{f(x)}x\to1 x f ( x ) → 1 f ′ ( x ) → 1 f'(x)\to1 f ′ ( x ) → 1 f f f f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
（A）（C）都没有保证 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f f f
③ （D）的反例。 f ( x ) = x 2 sin 1 x f(x)=x^2\sin\frac1x f ( x ) = x 2 sin x 1 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) = lim x sin 1 x = 0 f'(0)=\lim x\sin\frac1x=0 f ′ ( 0 ) = lim x sin x 1 = 0 f ′ ( x ) = 2 x sin 1 x − cos 1 x f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x f ′ ( x ) = 2 x sin x 1 − cos x 1
导数存在不等于导函数连续；这个函数是反例库里的“常客”（第 10 部分）。
答案：B
例 1.11 李林 第二章 §1 例 5 · p44
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处连续，下列命题错误的是（ ）
（A）若
lim x → 0 f ( x ) x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}x x → 0 lim x f ( x ) 存在，则
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 （B）若
lim x → 0 f ( x ) + f ( − x ) x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)+f(-x)}x x → 0 lim x f ( x ) + f ( − x ) 存在，则
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 （C）若
lim x → 0 f ( x ) x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}x x → 0 lim x f ( x ) 存在，则
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 存在 （D）若
lim x → 0 f ( x ) − f ( − x ) x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(-x)}x x → 0 lim x f ( x ) − f ( − x ) 存在，则
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 存在
解答先遮住，自己试 5 分钟
① （A）（C）对。 分母 → 0 \to0 → 0 lim f ( x ) = 0 \lim f(x)=0 lim f ( x ) = 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( x ) x = f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \dfrac{f(x)}x=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} x f ( x ) = x − 0 f ( x ) − f ( 0 ) f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
这里题目给了连续，所以 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
② （B）对。 极限存在 ⇒ f ( x ) + f ( − x ) → 0 f(x)+f(-x)\to0 f ( x ) + f ( − x ) → 0 2 f ( 0 ) = 0 2f(0)=0 2 f ( 0 ) = 0
同样是“分母趋于 0，分子也要趋于 0”。
③ （D）错。 反例 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=|x| f ( x ) = ∣ x ∣ ∣ x ∣ − ∣ − x ∣ x = 0 \dfrac{|x|-|-x|}x=0 x ∣ x ∣ − ∣ − x ∣ = 0 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
f ( x ) − f ( − x ) f(x)-f(-x) f ( x ) − f ( − x )
答案：D
例 1.12 李林 第二章 §1 例 12 · p46
已知
f ( x ) f(x) f ( x ) 是周期为 5 的连续函数，在
x = 0 x=0 x = 0 的某邻域内满足
f ( 1 + sin x ) − 3 f ( 1 − sin x ) = 8 x + α ( x ) f(1+\sin x)-3f(1-\sin x)=8x+\alpha(x) f ( 1 + sin x ) − 3 f ( 1 − sin x ) = 8 x + α ( x ) ，其中
α ( x ) = o ( x ) \alpha(x)=o(x) α ( x ) = o ( x ) ，且
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 1 x=1 x = 1 处可导。求曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在点
( 6 , f ( 6 ) ) (6,f(6)) ( 6 , f ( 6 )) 处的切线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 周期搬点。 周期为 5：f ( 6 ) = f ( 1 ) f(6)=f(1) f ( 6 ) = f ( 1 ) f ′ ( 6 ) = f ′ ( 1 ) f'(6)=f'(1) f ′ ( 6 ) = f ′ ( 1 )
周期函数整体平移 5 与原图重合，切线斜率也一样（“求导不变周期”）。
② 令 x → 0 x\to0 x → 0 f ( 1 ) f(1) f ( 1 ) 左边 → f ( 1 ) − 3 f ( 1 ) = − 2 f ( 1 ) \to f(1)-3f(1)=-2f(1) → f ( 1 ) − 3 f ( 1 ) = − 2 f ( 1 ) → 0 \to0 → 0 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
连续函数可以直接代极限。
③ 两边除以 x x x f ( 1 + sin x ) − f ( 1 ) sin x ⋅ sin x x + 3 ⋅ f ( 1 − sin x ) − f ( 1 ) − sin x ⋅ sin x x → f ′ ( 1 ) + 3 f ′ ( 1 ) = 4 f ′ ( 1 ) = 8 \dfrac{f(1+\sin x)-f(1)}{\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}x+3\cdot\dfrac{f(1-\sin x)-f(1)}{-\sin x}\cdot\dfrac{\sin x}x\to f'(1)+3f'(1)=4f'(1)=8 sin x f ( 1 + sin x ) − f ( 1 ) ⋅ x sin x + 3 ⋅ − sin x f ( 1 − sin x ) − f ( 1 ) ⋅ x sin x → f ′ ( 1 ) + 3 f ′ ( 1 ) = 4 f ′ ( 1 ) = 8 f ′ ( 1 ) = 2 f'(1)=2 f ′ ( 1 ) = 2
把 − 3 f ( 1 − sin x ) -3f(1-\sin x) − 3 f ( 1 − sin x ) − 3 [ f ( 1 − sin x ) − f ( 1 ) ] -3[f(1-\sin x)-f(1)] − 3 [ f ( 1 − sin x ) − f ( 1 )] f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 − sin x -\sin x − sin x + 3 +3 + 3
④ 切线。 y − 0 = 2 ( x − 6 ) y-0=2(x-6) y − 0 = 2 ( x − 6 ) y = 2 x − 12 y=2x-12 y = 2 x − 12
点斜式：切点 ( 6 , f ( 6 ) ) = ( 6 , 0 ) (6,f(6))=(6,0) ( 6 , f ( 6 )) = ( 6 , 0 ) f ′ ( 6 ) = 2 f'(6)=2 f ′ ( 6 ) = 2
答案：y = 2 x − 12 y=2x-12 y = 2 x − 12
例 1.13 李林 第二章 §1 例 3 · p43
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 的某邻域内有定义，且
lim x → 0 f ( x ) x = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}x=0 x → 0 lim x f ( x ) = 0 ，
f ′ ′ ( 0 ) = 4 f''(0)=4 f ′′ ( 0 ) = 4 ，求
lim x → 0 [ 1 + f ( x ) x ] 1 x \lim\limits_{x\to0}\Big[1+\dfrac{f(x)}x\Big]^{\frac1x} x → 0 lim [ 1 + x f ( x ) ] x 1 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先读出 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 ) f ′ f' f ′ f f f f ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 f ( x ) x ⋅ x = 0 f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}x\cdot x=0 f ( 0 ) = x → 0 lim f ( x ) = x → 0 lim x f ( x ) ⋅ x = 0 f ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x = 0 f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}x=0 f ′ ( 0 ) = x → 0 lim x f ( x ) − f ( 0 ) = 0
二阶导数存在，一阶导数就在附近处处存在，函数当然连续；分子的极限等于“比值的极限乘 x x x
② 写成 e 的幂。 [ 1 + f ( x ) x ] 1 x = e 1 x ln ( 1 + f ( x ) x ) \Big[1+\dfrac{f(x)}x\Big]^{\frac1x}=\e^{\frac1x\ln\left(1+\frac{f(x)}x\right)} [ 1 + x f ( x ) ] x 1 = e x 1 l n ( 1 + x f ( x ) ) f ( x ) x → 0 \dfrac{f(x)}x\to0 x f ( x ) → 0 ln ( 1 + f ( x ) x ) ∼ f ( x ) x \ln\Big(1+\dfrac{f(x)}x\Big)\sim\dfrac{f(x)}x ln ( 1 + x f ( x ) ) ∼ x f ( x ) ∼ f ( x ) x 2 \sim\dfrac{f(x)}{x^2} ∼ x 2 f ( x )
这是 1 ∞ 1^\infty 1 ∞
③ 求 lim f ( x ) x 2 \lim\dfrac{f(x)}{x^2} lim x 2 f ( x ) lim x → 0 f ( x ) x 2 = lim x → 0 f ′ ( x ) 2 x = 1 2 lim x → 0 f ′ ( x ) − f ′ ( 0 ) x − 0 = 1 2 f ′ ′ ( 0 ) = 2 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)}{2x}=\dfrac12\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x-0}=\dfrac12f''(0)=2 x → 0 lim x 2 f ( x ) = x → 0 lim 2 x f ′ ( x ) = 2 1 x → 0 lim x − 0 f ′ ( x ) − f ′ ( 0 ) = 2 1 f ′′ ( 0 ) = 2
第一次洛必达可以用，因为 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ( x ) x \frac{f'(x)}x x f ′ ( x ) f ′ f' f ′
④ 结论。 原式 = e 2 =\e^2 = e 2
指数的极限是 2，指数函数连续，极限可以直接搬进指数里。
答案：e 2 \e^2 e 2
例 1.14 李林 第二章 §1 例 9 · p45
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导，且
f ′ ( 0 ) = 2 f'(0)=2 f ′ ( 0 ) = 2 ，
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ，则
lim x → 0 f ( 1 − cos x ) ln ( 1 + x 2 ) = \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(1-\cos x)}{\ln(1+x^2)}= x → 0 lim ln ( 1 + x 2 ) f ( 1 − cos x ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆成三个因子。 f ( 1 − cos x ) ln ( 1 + x 2 ) = x 2 ln ( 1 + x 2 ) ⋅ 1 − cos x x 2 ⋅ f ( 1 − cos x ) − f ( 0 ) 1 − cos x \dfrac{f(1-\cos x)}{\ln(1+x^2)}=\dfrac{x^2}{\ln(1+x^2)}\cdot\dfrac{1-\cos x}{x^2}\cdot\dfrac{f(1-\cos x)-f(0)}{1-\cos x} ln ( 1 + x 2 ) f ( 1 − cos x ) = ln ( 1 + x 2 ) x 2 ⋅ x 2 1 − cos x ⋅ 1 − cos x f ( 1 − cos x ) − f ( 0 )
只知道 f f f = 1 − cos x =1-\cos x = 1 − cos x
② 分别求极限。 第一个因子 → 1 \to1 → 1 ln ( 1 + x 2 ) ∼ x 2 \ln(1+x^2)\sim x^2 ln ( 1 + x 2 ) ∼ x 2 → 1 2 \to\dfrac12 → 2 1 □ = 1 − cos x → 0 \square=1-\cos x\to0 □ = 1 − cos x → 0 → f ′ ( 0 ) = 2 \to f'(0)=2 → f ′ ( 0 ) = 2
导数定义里的“□”只要趋于 0、又不等于 0 就行；这里 □ 只从右边趋于 0，但 f f f
③ 相乘。 1 × 1 2 × 2 = 1 1\times\dfrac12\times2=1 1 × 2 1 × 2 = 1
三个因子的极限都存在，乘积的极限等于极限的乘积。
答案：1
1.4 可导性的判断：分段、绝对值、乘积大白话：初等函数在定义域内部“基本都可导”，出问题的只有几类地方：分段点、绝对值里面为 0 的点、根号里面为 0 的点 。判断时就盯着这些点，用定义算左右导数。李林讲义把常考的情形总结成了几条现成结论，下面的方框里列出来，做选择题可以直接用。
x y O 斜率 → 1/2 斜率 → −1/2 cos√|x | y = cos ∣ x ∣ y=\cos\sqrt{|x|} y = cos ∣ x ∣ 1 2 \frac12 2 1 − 1 2 -\frac12 − 2 1 x y O |x | sin|x | 切线 y =0 y = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ y=|x|\sin|x| y = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣
可导性的常用结论（李林讲义第二章 §1 题型三 p48）
f f f x 0 x_0 x 0 g g g x 0 x_0 x 0 F = f g F=fg F = f g x 0 x_0 x 0 ⟺ f ( x 0 ) = 0 \iff f(x_0)=0 ⟺ f ( x 0 ) = 0 ∣ x ∣ sin x |x|\sin x ∣ x ∣ sin x sin 0 = 0 \sin0=0 sin 0 = 0 f f f x 0 x_0 x 0 f ( x 0 ) ≠ 0 f(x_0)\ne0 f ( x 0 ) = 0 ∣ f ∣ |f| ∣ f ∣ f ( x 0 ) = 0 f(x_0)=0 f ( x 0 ) = 0 f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\ne0 f ′ ( x 0 ) = 0 ∣ f ∣ |f| ∣ f ∣ f ( x 0 ) = 0 f(x_0)=0 f ( x 0 ) = 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f ′ ( x 0 ) = 0 ∣ f ∣ |f| ∣ f ∣ ( x − x 0 ) k ∣ x − x 0 ∣ (x-x_0)^k|x-x_0| ( x − x 0 ) k ∣ x − x 0 ∣ x 0 x_0 x 0 k k k k + 1 k+1 k + 1
方法卡 · 判断在某点可不可导
什么时候用
选择题“下列函数在 0 处不可导的是”，或数不可导点的个数。
步骤
找可疑点：分段点、绝对值里为 0、根号里为 0 的点。
能用上面的结论就直接判；否则用定义，f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 )
绝对值里面的因子可以用等价无穷小简化（sin ∣ x ∣ ∼ ∣ x ∣ \sin|x|\sim|x| sin ∣ x ∣ ∼ ∣ x ∣ 最容易错
看到绝对值就说不可导（
x ∣ x ∣ x|x| x ∣ x ∣ 在 0 处可导）；看到
cos ∣ x ∣ \cos|x| cos ∣ x ∣ 以为不可导（它等于
cos x \cos x cos x ）。
例 1.15 2018 数一(1) 2018 数二(2) 2018 数三(1) 李林 第二章 习题 选择 (2) · p56
下列函数中，在
x = 0 x=0 x = 0 处不可导的是（ ）
（A）
f ( x ) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ f(x)=|x|\sin|x| f ( x ) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ （B）
f ( x ) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|} f ( x ) = ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ （C）
f ( x ) = cos ∣ x ∣ f(x)=\cos|x| f ( x ) = cos ∣ x ∣ （D）
f ( x ) = cos ∣ x ∣ f(x)=\cos\sqrt{|x|} f ( x ) = cos ∣ x ∣ 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 统一用定义：看 f ( x ) − f ( 0 ) x \frac{f(x)-f(0)}x x f ( x ) − f ( 0 ) 四个函数的 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
都是偶函数，可疑点都在 0；用定义最可靠。
② （A）（B）可导。 （A）∣ x ∣ sin ∣ x ∣ x = ∣ x ∣ x ⋅ sin ∣ x ∣ → 0 \dfrac{|x|\sin|x|}x=\dfrac{|x|}x\cdot\sin|x|\to0 x ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ = x ∣ x ∣ ⋅ sin ∣ x ∣ → 0 ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ x = ∣ x ∣ x sin ∣ x ∣ → 0 \dfrac{|x|\sin\sqrt{|x|}}x=\dfrac{|x|}x\sin\sqrt{|x|}\to0 x ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ = x ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ → 0
∣ x ∣ x = ± 1 \frac{|x|}x=\pm1 x ∣ x ∣ = ± 1
③ （C）可导。 cos ∣ x ∣ = cos x \cos|x|=\cos x cos ∣ x ∣ = cos x cos ∣ x ∣ − 1 x ∼ − x 2 / 2 x → 0 \dfrac{\cos|x|-1}x\sim\dfrac{-x^2/2}x\to0 x cos ∣ x ∣ − 1 ∼ x − x 2 /2 → 0
余弦是偶函数，绝对值套进去没有改变任何东西。
④ （D）不可导。 cos ∣ x ∣ − 1 x ∼ − 1 2 ∣ x ∣ x = − 1 2 ⋅ ∣ x ∣ x \dfrac{\cos\sqrt{|x|}-1}x\sim\dfrac{-\frac12|x|}x=-\dfrac12\cdot\dfrac{|x|}x x cos ∣ x ∣ − 1 ∼ x − 2 1 ∣ x ∣ = − 2 1 ⋅ x ∣ x ∣ − 1 2 -\frac12 − 2 1 1 2 \frac12 2 1
1 − cos u ∼ u 2 2 1-\cos u\sim\frac{u^2}2 1 − cos u ∼ 2 u 2 u = ∣ x ∣ u=\sqrt{|x|} u = ∣ x ∣ u 2 = ∣ x ∣ u^2=|x| u 2 = ∣ x ∣ ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣
答案：D
例 1.16 2015 数二(3) 李林 第二章 习题 选择 (6) · p56
设函数
f ( x ) = { x α cos 1 x β , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases}x^\alpha\cos\dfrac1{x^\beta},&x>0\\0,&x\le0\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x α cos x β 1 , 0 , x > 0 x ≤ 0 （
α > 0 \alpha>0 α > 0 ，
β > 0 \beta>0 β > 0 ）。若
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处连续，则（ ）
（A）
α − β > 1 \alpha-\beta>1 α − β > 1 （B）
0 < α − β ≤ 1 0<\alpha-\beta\le1 0 < α − β ≤ 1 （C）
α − β > 2 \alpha-\beta>2 α − β > 2 （D）
0 < α − β ≤ 2 0<\alpha-\beta\le2 0 < α − β ≤ 2 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先要 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 左导数为 0；右导数 lim x → 0 + x α cos x − β x = lim x α − 1 cos x − β \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^\alpha\cos x^{-\beta}}x=\lim x^{\alpha-1}\cos x^{-\beta} x → 0 + lim x x α cos x − β = lim x α − 1 cos x − β α > 1 \alpha>1 α > 1 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 α > 1 \alpha>1 α > 1
cos \cos cos x α − 1 x^{\alpha-1} x α − 1
② x > 0 x>0 x > 0 f ′ ( x ) = α x α − 1 cos x − β + β x α − β − 1 sin x − β f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\cos x^{-\beta}+\beta x^{\alpha-\beta-1}\sin x^{-\beta} f ′ ( x ) = α x α − 1 cos x − β + β x α − β − 1 sin x − β
乘积法则 + 链式法则：( cos x − β ) ′ = − sin x − β ⋅ ( − β x − β − 1 ) (\cos x^{-\beta})'=-\sin x^{-\beta}\cdot(-\beta x^{-\beta-1}) ( cos x − β ) ′ = − sin x − β ⋅ ( − β x − β − 1 )
③ 要 f ′ ( x ) → 0 f'(x)\to0 f ′ ( x ) → 0 第一项 → 0 \to0 → 0 α > 1 \alpha>1 α > 1 → 0 \to0 → 0 α − β − 1 > 0 \alpha-\beta-1>0 α − β − 1 > 0 α − β > 1 \alpha-\beta>1 α − β > 1 α > 1 \alpha>1 α > 1
导函数连续 = 导函数的极限等于导数值 0；振荡因子 sin x − β \sin x^{-\beta} sin x − β
答案：A
例 1.17 2025 数二(7)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 连续，给出下列四个条件：
①
lim x → 0 ∣ f ( x ) ∣ − f ( 0 ) x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{|f(x)|-f(0)}x x → 0 lim x ∣ f ( x ) ∣ − f ( 0 ) 存在；②
lim x → 0 f ( x ) − ∣ f ( 0 ) ∣ x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-|f(0)|}x x → 0 lim x f ( x ) − ∣ f ( 0 ) ∣ 存在；③
lim x → 0 ∣ f ( x ) ∣ x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{|f(x)|}x x → 0 lim x ∣ f ( x ) ∣ 存在；④
lim x → 0 ∣ f ( x ) ∣ − ∣ f ( 0 ) ∣ x \lim\limits_{x\to0}\dfrac{|f(x)|-|f(0)|}x x → 0 lim x ∣ f ( x ) ∣ − ∣ f ( 0 ) ∣ 存在。
其中能得到“
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导”的条件个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先看 ③：f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 分母 → 0 \to0 → 0 ∣ f ( 0 ) ∣ = 0 |f(0)|=0 ∣ f ( 0 ) ∣ = 0 x > 0 x>0 x > 0 ∣ f ( x ) ∣ x ≥ 0 \frac{|f(x)|}x\ge0 x ∣ f ( x ) ∣ ≥ 0 x < 0 x<0 x < 0 ≤ 0 \le0 ≤ 0 lim ∣ f ( x ) ∣ ∣ x ∣ = 0 \lim\dfrac{|f(x)|}{|x|}=0 lim ∣ x ∣ ∣ f ( x ) ∣ = 0 f ( x ) − f ( 0 ) x → 0 \dfrac{f(x)-f(0)}x\to0 x f ( x ) − f ( 0 ) → 0 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
一个量从右边看非负、从左边看非正，要有极限只能是 0；∣ f ( x ) ∣ ∣ x ∣ → 0 \frac{|f(x)|}{|x|}\to0 ∣ x ∣ ∣ f ( x ) ∣ → 0 f ( x ) x → 0 \frac{f(x)}x\to0 x f ( x ) → 0
② ① 和 ②。 分子趋于 0 ⇒ ∣ f ( 0 ) ∣ = f ( 0 ) |f(0)|=f(0) ∣ f ( 0 ) ∣ = f ( 0 ) f ( 0 ) ≥ 0 f(0)\ge0 f ( 0 ) ≥ 0 f ( 0 ) > 0 f(0)>0 f ( 0 ) > 0 f > 0 f>0 f > 0 ∣ f ∣ = f |f|=f ∣ f ∣ = f f ( x ) − f ( 0 ) x \frac{f(x)-f(0)}x x f ( x ) − f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
连续 + 保号性：f ( 0 ) > 0 f(0)>0 f ( 0 ) > 0
③ ④。 f ( 0 ) ≠ 0 f(0)\ne0 f ( 0 ) = 0 f f f ∣ f ∣ = ± f |f|=\pm f ∣ f ∣ = ± f ∣ f ( x ) ∣ − ∣ f ( 0 ) ∣ x = ± f ( x ) − f ( 0 ) x \frac{|f(x)|-|f(0)|}x=\pm\frac{f(x)-f(0)}x x ∣ f ( x ) ∣ − ∣ f ( 0 ) ∣ = ± x f ( x ) − f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
这是李林结论 2 的反向使用：f ( x 0 ) ≠ 0 f(x_0)\ne0 f ( x 0 ) = 0 ∣ f ∣ |f| ∣ f ∣ f f f
答案：D
例 1.18 李林 第二章 §1 例 17、例 18 · p49
（1）设
f ( x ) = x 5 + x 4 ∣ x ∣ f(x)=x^5+x^4|x| f ( x ) = x 5 + x 4 ∣ x ∣ ，则使
f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) 存在的最高阶数
n n n 为（ ）（A）2（B）3（C）4（D）5
（2）
f ( x ) = ( x 2 − x − 2 ) ∣ x 3 − x ∣ f(x)=(x^2-x-2)|x^3-x| f ( x ) = ( x 2 − x − 2 ) ∣ x 3 − x ∣ 的不可导点的个数为（ ）（A）3（B）2（C）1（D）0
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 拆开看。 x 5 x^5 x 5 x 4 ∣ x ∣ x^4|x| x 4 ∣ x ∣ k = 4 k=4 k = 4 n = 4 n=4 n = 4
x 4 ∣ x ∣ x^4|x| x 4 ∣ x ∣ 24 ∣ x ∣ 24|x| 24∣ x ∣
② (2) 分解因式。 f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 1 ) ⋅ ∣ x ∣ ⋅ ∣ x − 1 ∣ ⋅ ∣ x + 1 ∣ f(x)=(x-2)(x+1)\cdot|x|\cdot|x-1|\cdot|x+1| f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 1 ) ⋅ ∣ x ∣ ⋅ ∣ x − 1∣ ⋅ ∣ x + 1∣ x = 0 , 1 , − 1 x=0,1,-1 x = 0 , 1 , − 1
绝对值里为 0 的点才可疑；把 x 3 − x = x ( x − 1 ) ( x + 1 ) x^3-x=x(x-1)(x+1) x 3 − x = x ( x − 1 ) ( x + 1 )
③ (2) 逐点用结论 1。 x = − 1 x=-1 x = − 1 ( x + 1 ) ∣ x + 1 ∣ (x+1)|x+1| ( x + 1 ) ∣ x + 1∣ k = 1 k=1 k = 1 x = 0 x=0 x = 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) ∣ x − 1 ∣ ∣ x + 1 ∣ (x-2)(x+1)|x-1||x+1| ( x − 2 ) ( x + 1 ) ∣ x − 1∣∣ x + 1∣ − 2 ≠ 0 -2\ne0 − 2 = 0 x = 1 x=1 x = 1 ( x − 2 ) ( x + 1 ) ∣ x ∣ ∣ x + 1 ∣ (x-2)(x+1)|x||x+1| ( x − 2 ) ( x + 1 ) ∣ x ∣∣ x + 1∣ − 4 ≠ 0 -4\ne0 − 4 = 0
结论 1：可导函数 × “连续不可导”的因子，可导 ⇔ 前者在该点为 0。
答案：(1) C；(2) B
例 1.19 李林 第二章 §1 例 15 · p49
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 可导，
F ( x ) = f ( x ) [ 1 − ∣ ln ( 1 + x ) ∣ ] F(x)=f(x)\big[1-|\ln(1+x)|\big] F ( x ) = f ( x ) [ 1 − ∣ ln ( 1 + x ) ∣ ] ，则
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 是
F ( x ) F(x) F ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导的（ ）
（A）充分必要条件 （B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件 （D）既非充分也非必要条件
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆开，只看有绝对值的那一项。 F ( x ) = f ( x ) − f ( x ) ∣ ln ( 1 + x ) ∣ F(x)=f(x)-f(x)\,|\ln(1+x)| F ( x ) = f ( x ) − f ( x ) ∣ ln ( 1 + x ) ∣ f ( x ) f(x) f ( x ) F F F ⟺ \iff ⟺ f ( x ) ∣ ln ( 1 + x ) ∣ f(x)|\ln(1+x)| f ( x ) ∣ ln ( 1 + x ) ∣
可导函数加减可导函数仍然可导；反过来，如果 F F F F F F f f f
② 认出“可导 × 连续不可导”。 g ( x ) = ∣ ln ( 1 + x ) ∣ g(x)=|\ln(1+x)| g ( x ) = ∣ ln ( 1 + x ) ∣ − 1 -1 − 1 1 1 1 f ( x ) g ( x ) f(x)g(x) f ( x ) g ( x ) ⟺ f ( 0 ) = 0 \iff f(0)=0 ⟺ f ( 0 ) = 0
ln ( 1 + x ) ∼ x \ln(1+x)\sim x ln ( 1 + x ) ∼ x g g g ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( x ) g ( x ) x = f ( x ) − f ( 0 ) x ⋅ g ( x ) → f ′ ( 0 ) ⋅ 0 = 0 \frac{f(x)g(x)}x=\frac{f(x)-f(0)}x\cdot g(x)\to f'(0)\cdot0=0 x f ( x ) g ( x ) = x f ( x ) − f ( 0 ) ⋅ g ( x ) → f ′ ( 0 ) ⋅ 0 = 0
③ 结论。 充分、必要两个方向都成立，所以选（A）。
“ ⟺ \iff ⟺
答案：A
例 1.20 李林 第二章 §1 例 16 · p49
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = a x=a x = a 处可导，则
∣ f ( x ) ∣ |f(x)| ∣ f ( x ) ∣ 在
x = a x=a x = a 处不可导的充分必要条件是（ ）
（A）
f ( a ) = 0 f(a)=0 f ( a ) = 0 且
f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f ′ ( a ) = 0 （B）
f ( a ) = 0 f(a)=0 f ( a ) = 0 且
f ′ ( a ) ≠ 0 f'(a)\ne0 f ′ ( a ) = 0 （C）
f ( a ) > 0 f(a)>0 f ( a ) > 0 且
f ′ ( a ) > 0 f'(a)>0 f ′ ( a ) > 0 （D）
f ( a ) < 0 f(a)<0 f ( a ) < 0 且
f ′ ( a ) < 0 f'(a)<0 f ′ ( a ) < 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① f ( a ) ≠ 0 f(a)\ne0 f ( a ) = 0 f f f f ( a ) > 0 f(a)>0 f ( a ) > 0 a a a f > 0 f>0 f > 0 ∣ f ∣ = f |f|=f ∣ f ∣ = f f ( a ) < 0 f(a)<0 f ( a ) < 0 ∣ f ∣ = − f |f|=-f ∣ f ∣ = − f ∣ f ∣ |f| ∣ f ∣
函数值不为 0，附近就不变号，绝对值号可以直接去掉（这是保号性）。
② f ( a ) = 0 f(a)=0 f ( a ) = 0 ∣ f ( x ) ∣ − ∣ f ( a ) ∣ x − a = ∣ f ( x ) − f ( a ) ∣ x − a \dfrac{|f(x)|-|f(a)|}{x-a}=\dfrac{|f(x)-f(a)|}{x-a} x − a ∣ f ( x ) ∣ − ∣ f ( a ) ∣ = x − a ∣ f ( x ) − f ( a ) ∣ x → a + x\to a^+ x → a + ∣ f ′ ( a ) ∣ |f'(a)| ∣ f ′ ( a ) ∣ x → a − x\to a^- x → a − − ∣ f ′ ( a ) ∣ -|f'(a)| − ∣ f ′ ( a ) ∣ ⟺ f ′ ( a ) = 0 \iff f'(a)=0 ⟺ f ′ ( a ) = 0
分子取了绝对值是非负的：右边分母为正，商趋于 ∣ f ′ ( a ) ∣ |f'(a)| ∣ f ′ ( a ) ∣ − ∣ f ′ ( a ) ∣ -|f'(a)| − ∣ f ′ ( a ) ∣
③ 结论。 ∣ f ∣ |f| ∣ f ∣ ⟺ f ( a ) = 0 \iff f(a)=0 ⟺ f ( a ) = 0 f ′ ( a ) ≠ 0 f'(a)\ne0 f ′ ( a ) = 0
图上看：曲线斜着穿过 x x x x x x f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f ′ ( a ) = 0 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x
答案：B
1.5 切线、法线与相关变化率大白话：导数的两种“意思”：几何上是切线斜率，物理上是变化率（速度） 。求切线就是“点 + 斜率”；相关变化率是几个量同时随时间变，它们之间有一个等式，两边对时间 t t t
x y O (1,1) 切线 y =2x −1 法线 斜率 −1/2 y =x ²y = x 2 y=x^2 y = x 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) − 1 2 -\frac12 − 2 1 l w O l =12，l ′=2w =5d 长变长 宽变长 w ′=3 长方形的长、宽都在变长，对角线 d = l 2 + w 2 d=\sqrt{l^2+w^2} d = l 2 + w 2 t t t
公式
切线：y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=f'(x_0)(x-x_0) y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-y_0=-\dfrac1{f'(x_0)}(x-x_0) y − y 0 = − f ′ ( x 0 ) 1 ( x − x 0 ) f ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'(x_0)\ne0 f ′ ( x 0 ) = 0
两条曲线在 x 0 x_0 x 0 f ( x 0 ) = g ( x 0 ) f(x_0)=g(x_0) f ( x 0 ) = g ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) = g ′ ( x 0 ) f'(x_0)=g'(x_0) f ′ ( x 0 ) = g ′ ( x 0 )
相关变化率：几个量 x ( t ) , y ( t ) , … x(t),y(t),\dots x ( t ) , y ( t ) , … F ( x , y , … ) = 0 F(x,y,\dots)=0 F ( x , y , … ) = 0 t t t
方法卡 · 相关变化率
什么时候用
题目说“以某速率增加”“某量的变化率是多少”。
步骤
设出所有随时间变化的量，写出它们之间的等式（几何关系或物理公式）。
两边对 t t t d ( ⋅ ) d t \frac{\dd(\cdot)}{\dd t} d t d ( ⋅ )
最后才代入那一时刻的数值。 最容易错
先代数值再求导（数值是常数，一求导就没了）；忘了链式法则里的
d x d t \frac{\dd x}{\dd t} d t d x 。
例 1.21 2010 数二(3)
曲线
y = x 2 y=x^2 y = x 2 与曲线
y = a ln x y=a\ln x y = a ln x （
a ≠ 0 a\ne0 a = 0 ）相切，则
a = a= a = （ ）
（A）
4 e 4\e 4 e （B）
3 e 3\e 3 e （C）
2 e 2\e 2 e （D）
e \e e 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 设切点列方程。 设在 x 0 x_0 x 0 x 0 2 = a ln x 0 x_0^2=a\ln x_0 x 0 2 = a ln x 0 2 x 0 = a x 0 2x_0=\dfrac a{x_0} 2 x 0 = x 0 a
相切 = 有公共点 + 该点斜率相同，两个方程两个未知数。
② 解。 由第二式 a = 2 x 0 2 a=2x_0^2 a = 2 x 0 2 x 0 2 = 2 x 0 2 ln x 0 x_0^2=2x_0^2\ln x_0 x 0 2 = 2 x 0 2 ln x 0 ln x 0 = 1 2 \ln x_0=\dfrac12 ln x 0 = 2 1 x 0 = e x_0=\sqrt\e x 0 = e a = 2 e a=2\e a = 2 e
x 0 > 0 x_0>0 x 0 > 0 x 0 2 x_0^2 x 0 2
答案：C
例 1.22 2010 数二(13)
已知一个长方形的长
l l l 以
2 cm/s 2\ \text{cm/s} 2 cm/s 的速率增加，宽
w w w 以
3 cm/s 3\ \text{cm/s} 3 cm/s 的速率增加，则当
l = 12 cm l=12\ \text{cm} l = 12 cm ，
w = 5 cm w=5\ \text{cm} w = 5 cm 时，它的对角线增加的速率为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 等式。 对角线 d = l 2 + w 2 d=\sqrt{l^2+w^2} d = l 2 + w 2 d = 13 d=13 d = 13
勾股定理把三个随时间变化的量连起来。
② 对 t t t d d d t = l l ′ + w w ′ l 2 + w 2 = 12 × 2 + 5 × 3 13 = 3 cm/s \dfrac{\dd d}{\dd t}=\dfrac{l\,l'+w\,w'}{\sqrt{l^2+w^2}}=\dfrac{12\times2+5\times3}{13}=3\ \text{cm/s} d t d d = l 2 + w 2 l l ′ + w w ′ = 13 12 × 2 + 5 × 3 = 3 cm/s
对角线 d = l 2 + w 2 d=\sqrt{l^2+w^2} d = l 2 + w 2 l , w l,w l , w l , w l,w l , w d d t u = u ′ 2 u \frac{\dd}{\dd t}\sqrt u=\frac{u'}{2\sqrt u} d t d u = 2 u u ′ u ′ = 2 l l ′ + 2 w w ′ u'=2ll'+2ww' u ′ = 2 l l ′ + 2 w w ′
答案：3 cm/s 3\ \text{cm/s} 3 cm/s
例 1.23 2016 数二(13)
已知动点
P P P 在曲线
y = x 3 y=x^3 y = x 3 上运动，记坐标原点与点
P P P 间的距离为
l l l 。若点
P P P 的横坐标对时间的变化率为常数
v 0 v_0 v 0 ，则当点
P P P 运动到点
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 时，
l l l 对时间的变化率是 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 写成 x x x l = x 2 + y 2 = x 2 + x 6 l=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+x^6} l = x 2 + y 2 = x 2 + x 6
P P P y = x 3 y=x^3 y = x 3 l l l x x x
② 链式法则。 d l d t = 2 x + 6 x 5 2 x 2 + x 6 ⋅ d x d t \dfrac{\dd l}{\dd t}=\dfrac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot\dfrac{\dd x}{\dd t} d t d l = 2 x 2 + x 6 2 x + 6 x 5 ⋅ d t d x x = 1 x=1 x = 1 8 2 2 v 0 = 2 2 v 0 \dfrac{8}{2\sqrt2}v_0=2\sqrt2v_0 2 2 8 v 0 = 2 2 v 0
l l l x x x t t t x x x x x x t t t d x d t = v 0 \frac{\dd x}{\dd t}=v_0 d t d x = v 0
答案：2 2 v 0 2\sqrt2v_0 2 2 v 0
例 1.24 2021 数二(3)
有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为
2 cm/s 2\ \text{cm/s} 2 cm/s ，
− 3 cm/s -3\ \text{cm/s} − 3 cm/s ，当底面半径为
10 cm 10\ \text{cm} 10 cm ，高为
5 cm 5\ \text{cm} 5 cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间的变化速率分别为（ ）
（A）
125 π cm 3 / s 125\pi\ \text{cm}^3/\text{s} 125 π cm 3 / s ，
40 π cm 2 / s 40\pi\ \text{cm}^2/\text{s} 40 π cm 2 / s （B）
125 π cm 3 / s 125\pi\ \text{cm}^3/\text{s} 125 π cm 3 / s ，
− 40 π cm 2 / s -40\pi\ \text{cm}^2/\text{s} − 40 π cm 2 / s （C）
− 100 π cm 3 / s -100\pi\ \text{cm}^3/\text{s} − 100 π cm 3 / s ，
40 π cm 2 / s 40\pi\ \text{cm}^2/\text{s} 40 π cm 2 / s （D）
− 100 π cm 3 / s -100\pi\ \text{cm}^3/\text{s} − 100 π cm 3 / s ，
− 40 π cm 2 / s -40\pi\ \text{cm}^2/\text{s} − 40 π cm 2 / s 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 体积。 V = π r 2 h V=\pi r^2h V = π r 2 h V ′ = π ( 2 r h r ′ + r 2 h ′ ) = π ( 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 2 + 100 ⋅ ( − 3 ) ) = − 100 π V'=\pi(2rhr'+r^2h')=\pi(2\cdot10\cdot5\cdot2+100\cdot(-3))=-100\pi V ′ = π ( 2 r h r ′ + r 2 h ′ ) = π ( 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ 2 + 100 ⋅ ( − 3 )) = − 100 π
乘积法则：r 2 r^2 r 2 h h h
② 表面积。 S = 2 π r 2 + 2 π r h S=2\pi r^2+2\pi rh S = 2 π r 2 + 2 π r h S ′ = 2 π ( 2 r r ′ + r ′ h + r h ′ ) = 2 π ( 40 + 10 − 30 ) = 40 π S'=2\pi(2rr'+r'h+rh')=2\pi(40+10-30)=40\pi S ′ = 2 π ( 2 r r ′ + r ′ h + r h ′ ) = 2 π ( 40 + 10 − 30 ) = 40 π
表面积 = 两个底面 + 侧面；侧面 2 π r h 2\pi rh 2 π r h
答案：C
例 1.25 李林 第二章 §2 例 14 · p56
一动点
P P P 在曲线
9 y = 4 x 2 9y=4x^2 9 y = 4 x 2 上运动，
P P P 点的横坐标的运动速度为
30 cm/s 30\ \text{cm/s} 30 cm/s 。当
P P P 点经过点
( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) 时，从原点到
P P P 点的距离
s s s 的变化率是多少？
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 纵坐标的速度。 9 y = 4 x 2 9y=4x^2 9 y = 4 x 2 t t t 9 y ′ = 8 x x ′ 9y'=8xx' 9 y ′ = 8 x x ′ y ′ = 8 ⋅ 3 ⋅ 30 9 = 80 y'=\dfrac{8\cdot3\cdot30}9=80 y ′ = 9 8 ⋅ 3 ⋅ 30 = 80
等式两边同时对 t t t x x x y y y t t t
② 距离的速度。 s = x 2 + y 2 s=\sqrt{x^2+y^2} s = x 2 + y 2 s ′ = x x ′ + y y ′ s = 3 ⋅ 30 + 4 ⋅ 80 5 = 82 cm/s s'=\dfrac{xx'+yy'}s=\dfrac{3\cdot30+4\cdot80}5=82\ \text{cm/s} s ′ = s x x ′ + y y ′ = 5 3 ⋅ 30 + 4 ⋅ 80 = 82 cm/s
和上一道长方形题完全一样的套路；最后才代数值。
答案：82 cm/s 82\ \text{cm/s} 82 cm/s
1.6 微分：切线上的增量大白话：自变量走一小步 Δ x \Delta x Δ x Δ y \Delta y Δ y d y = f ′ ( x 0 ) Δ x \dd y=f'(x_0)\Delta x d y = f ′ ( x 0 ) Δ x 。步子越小，两者越接近，差距 Δ y − d y \Delta y-\dd y Δ y − d y Δ x \Delta x Δ x d y \dd y d y Δ y \Delta y Δ y
x y O Δx dy Δy 切线 x 0 在 x 0 x_0 x 0 Δ x \Delta x Δ x Δ y \Delta y Δ y d y \dd y d y f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 Δ y > d y \Delta y>\dd y Δ y > d y 微分的定义与计算
若 Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) A A A Δ x \Delta x Δ x f f f x 0 x_0 x 0 可微 ，d y = A Δ x \dd y=A\Delta x d y = A Δ x A = f ′ ( x 0 ) A=f'(x_0) A = f ′ ( x 0 )
d y = f ′ ( x ) d x , \displaystyle \dd y=f'(x)\dx, d y = f ′ ( x ) d x , Δ y = d y + o ( Δ x ) , \displaystyle \Delta y=\dd y+o(\Delta x), Δ y = d y + o ( Δ x ) , f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δ x . \displaystyle f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x. f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δ x . 方法卡 · 比较
Δ y \Delta y Δ y 与
d y \dd y d y 什么时候用
选择题问
Δ y \Delta y Δ y 、
d y \dd y d y 、0 的大小，已知
f ′ f' f ′ 、
f ′ ′ f'' f ′′ 的符号。
步骤
画图：d y \dd y d y Δ y \Delta y Δ y
f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 Δ x > 0 \Delta x>0 Δ x > 0 f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 Δ y > d y \Delta y>\dd y Δ y > d y f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0 最容易错
以为
d y \dd y d y 和
Δ y \Delta y Δ y 相等；忘了
Δ x < 0 \Delta x<0 Δ x < 0 时符号全反。
例 1.26 李林 第二章 §1 例 7 · p45
设函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 可导，
y = f ( x 2 ) y=f(x^2) y = f ( x 2 ) ，当自变量
x x x 在
x = − 1 x=-1 x = − 1 处取得增量
Δ x = − 0.1 \Delta x=-0.1 Δ x = − 0.1 时，相应的函数增量
Δ y \Delta y Δ y 的线性主部为
0.1 0.1 0.1 ，则
f ′ ( 1 ) = f'(1)= f ′ ( 1 ) = （ ）
（A）
− 1 -1 − 1 （B）
0.1 0.1 0.1 （C）
1 1 1 （D）
0.5 0.5 0.5 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 线性主部就是微分。 d y = y ′ Δ x = f ′ ( x 2 ) ⋅ 2 x ⋅ Δ x \dd y=y'\Delta x=f'(x^2)\cdot2x\cdot\Delta x d y = y ′ Δ x = f ′ ( x 2 ) ⋅ 2 x ⋅ Δ x
复合函数求导（2.2 节）：外层导数 f ′ ( x 2 ) f'(x^2) f ′ ( x 2 ) 2 x 2x 2 x
② 代数。 f ′ ( 1 ) ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 0.1 ) = 0.2 f ′ ( 1 ) = 0.1 f'(1)\cdot2\cdot(-1)\cdot(-0.1)=0.2f'(1)=0.1 f ′ ( 1 ) ⋅ 2 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 0.1 ) = 0.2 f ′ ( 1 ) = 0.1 f ′ ( 1 ) = 0.5 f'(1)=0.5 f ′ ( 1 ) = 0.5
x = − 1 x=-1 x = − 1 x 2 = 1 x^2=1 x 2 = 1 f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 )
答案：D
例 1.27 ep 板书 一元微分 例 8
设函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 具有二阶导数，且
f ′ ( x ) > 0 f'(x)>0 f ′ ( x ) > 0 ，
f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f ′′ ( x ) > 0 ，
Δ x \Delta x Δ x 为自变量
x x x 在点
x 0 x_0 x 0 处的增量，
Δ y \Delta y Δ y 与
d y \dd y d y 分别为
f ( x ) f(x) f ( x ) 在点
x 0 x_0 x 0 处对应的增量与微分。若
Δ x > 0 \Delta x>0 Δ x > 0 ，则（ ）
（A）
0 < d y < Δ y 0<\dd y<\Delta y 0 < d y < Δ y （B）
0 < Δ y < d y 0<\Delta y<\dd y 0 < Δ y < d y （C）
Δ y < d y < 0 \Delta y<\dd y<0 Δ y < d y < 0 （D）
d y < Δ y < 0 \dd y<\Delta y<0 d y < Δ y < 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 微分的符号。 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x > 0 \dd y=f'(x_0)\Delta x>0 d y = f ′ ( x 0 ) Δ x > 0
导数为正、步长为正，切线往上走。
② 增量与微分之差。 拉格朗日中值定理：Δ y = f ′ ( ξ ) Δ x \Delta y=f'(\xi)\Delta x Δ y = f ′ ( ξ ) Δ x ξ ∈ ( x 0 , x 0 + Δ x ) \xi\in(x_0,x_0+\Delta x) ξ ∈ ( x 0 , x 0 + Δ x ) f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 f ′ f' f ′ f ′ ( ξ ) > f ′ ( x 0 ) f'(\xi)>f'(x_0) f ′ ( ξ ) > f ′ ( x 0 ) Δ y > d y \Delta y>\dd y Δ y > d y
也可以直接看图 1.6：凹曲线在切线上方，沿曲线升得比沿切线多。所以选（A）。
答案：A
例 1.28 李林 第二章 §1 例 6 · p44
设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 在
x x x 处的增量为
Δ y = y Δ x 1 + x 2 + α \Delta y=\dfrac{y\Delta x}{1+x^2}+\alpha Δ y = 1 + x 2 y Δ x + α ，当
Δ x → 0 \Delta x\to0 Δ x → 0 时
α \alpha α 是
Δ x \Delta x Δ x 的高阶无穷小，且
y ( 0 ) = π y(0)=\pi y ( 0 ) = π ，求
d y d x ∣ x = 0 \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=0} d x d y x = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 认出线性主部。 Δ y = y 1 + x 2 Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=\dfrac y{1+x^2}\Delta x+o(\Delta x) Δ y = 1 + x 2 y Δ x + o ( Δ x ) y ′ = y 1 + x 2 y'=\dfrac y{1+x^2} y ′ = 1 + x 2 y
可微的定义：Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) Δ y = A Δ x + o ( Δ x ) A A A
② 代值。 y ′ ( 0 ) = π 1 + 0 = π y'(0)=\dfrac{\pi}{1+0}=\pi y ′ ( 0 ) = 1 + 0 π = π
题目只问 x = 0 x=0 x = 0 y ( x ) y(x) y ( x ) π e arctan x \pi\e^{\arctan x} π e a r c t a n x
答案：π \pi π
1.7 小结
题目里的说法 换成什么 例子
“在 x 0 x_0 x 0 f f f 0 0 \frac00 0 0 凑成 f ( x 0 + □ ) − f ( x 0 ) □ \frac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{\square} □ f ( x 0 + □ ) − f ( x 0 ) 例 1.5 、例 1.8 乘积里有一个因子在该点为 0 用定义，把这个因子留下和分母配对 例 1.6 没给 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) lim f = 0 \lim f=0 lim f = 0 可导 ⇒ 连续 ⇒ f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 例 1.9 、例 1.10 分段函数在分段点可导，求参数 连续一个方程 + 左右导数相等一个方程 例 1.2 、例 1.4 “下列哪个不可导” 找可疑点，用定义或李林三条结论 例 1.15 、例 1.18 “两曲线相切”“公共切线” 函数值相等 + 导数相等 例 1.21 、例 1.7 “以某速率增加” 写等式，对 t t t 例 1.22 、例 1.24 “线性主部”“增量与微分” d y = f ′ ( x 0 ) Δ x \dd y=f'(x_0)\Delta x d y = f ′ ( x 0 ) Δ x Δ y > d y \Delta y>\dd y Δ y > d y 例 1.26 、例 1.27
学完了，标记这一部分
第 2 部分
求导技术
求导是“手艺活”：公式背熟、法则用对，再加上隐函数、反函数、参数方程、对数求导、分段函数几种特殊形式。这一部分把每种形式的标准步骤讲一遍，配 22 道真题练手。
考试要求（大纲原文，李林讲义第二章第 2、4 条）
掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
对应李林讲义第二章第二节（p50—56）“导数与微分的计算”；Maki《真题分类精解》第九讲“求导技术全家桶”。这一部分是后面所有内容的基本功：单调、极值、多元偏导，最后都是“求导算对”。
2.1 求导公式与四则运算大白话：求导公式就像乘法口诀，必须背到脱口而出 ；四则运算法则告诉你“加减乘除拼起来的函数怎么求导”。其中乘法法则最容易错：不是“导数乘导数”，而是“前导后不导 + 前不导后导”。下面的图解释了为什么：长方形的长、宽同时变长一点，面积多出来的主要是两条细边。
uv v Δu u Δv Δu Δv u Δu v Δv 长 u u u v v v Δ u \Delta u Δ u Δ v \Delta v Δ v v Δ u + u Δ v + Δ u Δ v v\Delta u+u\Delta v+\Delta u\Delta v v Δ u + u Δ v + Δ u Δ v ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′ 基本求导公式（李林 p50）与四则运算
函数 导数
C C C 0 0 0 x μ x^\mu x μ μ x μ − 1 \mu x^{\mu-1} μ x μ − 1 a x a^x a x a x ln a a^x\ln a a x ln a e x \e^x e x e x \e^x e x log a x \log_ax log a x 1 x ln a \dfrac1{x\ln a} x ln a 1 ln ∣ x ∣ \ln|x| ln ∣ x ∣ 1 x \dfrac1x x 1 sin x \sin x sin x cos x \cos x cos x cos x \cos x cos x − sin x -\sin x − sin x tan x \tan x tan x sec 2 x \sec^2x sec 2 x cot x \cot x cot x − csc 2 x -\csc^2x − csc 2 x sec x \sec x sec x sec x tan x \sec x\tan x sec x tan x csc x \csc x csc x − csc x cot x -\csc x\cot x − csc x cot x arcsin x \arcsin x arcsin x 1 1 − x 2 \dfrac1{\sqrt{1-x^2}} 1 − x 2 1 arccos x \arccos x arccos x − 1 1 − x 2 -\dfrac1{\sqrt{1-x^2}} − 1 − x 2 1 arctan x \arctan x arctan x 1 1 + x 2 \dfrac1{1+x^2} 1 + x 2 1 arccot x \arccot x arccot x − 1 1 + x 2 -\dfrac1{1+x^2} − 1 + x 2 1
( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ , \displaystyle (u\pm v)'=u'\pm v', ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ , ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ , \displaystyle (uv)'=u'v+uv', ( uv ) ′ = u ′ v + u v ′ , ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 ) . \displaystyle \Big(\frac uv\Big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\ (v\ne0). ( v u ) ′ = v 2 u ′ v − u v ′ ( v = 0 ) . 微分形式完全一样：d ( u v ) = v d u + u d v \dd(uv)=v\,\dd u+u\,\dd v d ( uv ) = v d u + u d v
方法卡 · 求导前先化简
步骤
能拆成几项的先拆开（x 2 + 1 x = x 3 / 2 + x − 1 / 2 \frac{x^2+1}{\sqrt x}=x^{3/2}+x^{-1/2} x x 2 + 1 = x 3/2 + x − 1/2
常数因子提到外面。
剩下的乘积用乘法法则，商用除法法则。 最容易错
( u v ) ′ (uv)' ( uv ) ′ 写成
u ′ v ′ u'v' u ′ v ′ ；除法法则分子两项顺序写反（应“导上乘下 − 上乘导下”）。
例 2.1 基础
求导数：（1）
y = x 3 − 2 x + 1 x y=x^3-2\sqrt x+\dfrac1x y = x 3 − 2 x + x 1 ；（2）
y = e x sin x y=\e^x\sin x y = e x sin x ；（3）
y = x 2 + 1 x − 1 y=\dfrac{x^2+1}{x-1} y = x − 1 x 2 + 1 ；（4）用除法法则推出
( tan x ) ′ = sec 2 x (\tan x)'=\sec^2x ( tan x ) ′ = sec 2 x 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 逐项。 y ′ = 3 x 2 − 2 ⋅ 1 2 x − 1 2 − x − 2 = 3 x 2 − 1 x − 1 x 2 y'=3x^2-2\cdot\dfrac12x^{-\frac12}-x^{-2}=3x^2-\dfrac1{\sqrt x}-\dfrac1{x^2} y ′ = 3 x 2 − 2 ⋅ 2 1 x − 2 1 − x − 2 = 3 x 2 − x 1 − x 2 1
根式、分式都先改成幂 x 1 / 2 x^{1/2} x 1/2 x − 1 x^{-1} x − 1 ( x μ ) ′ = μ x μ − 1 (x^\mu)'=\mu x^{\mu-1} ( x μ ) ′ = μ x μ − 1
② (2) 乘法法则。 y ′ = e x sin x + e x cos x = e x ( sin x + cos x ) y'=\e^x\sin x+\e^x\cos x=\e^x(\sin x+\cos x) y ′ = e x sin x + e x cos x = e x ( sin x + cos x )
前导后不导 + 前不导后导。
③ (3) 除法法则。 y ′ = 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 y'=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2} y ′ = ( x − 1 ) 2 2 x ( x − 1 ) − ( x 2 + 1 ) = ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 1
导上乘下减上乘导下，除以下的平方。
④ (4) ( sin x cos x ) ′ = cos x cos x − sin x ( − sin x ) cos 2 x = 1 cos 2 x = sec 2 x \Big(\dfrac{\sin x}{\cos x}\Big)'=\dfrac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^2x}=\dfrac1{\cos^2x}=\sec^2x ( cos x sin x ) ′ = cos 2 x cos x cos x − sin x ( − sin x ) = cos 2 x 1 = sec 2 x
分子用了 cos 2 x + sin 2 x = 1 \cos^2x+\sin^2x=1 cos 2 x + sin 2 x = 1
答案：(1) 3 x 2 − 1 x − 1 x 2 3x^2-\frac1{\sqrt x}-\frac1{x^2} 3 x 2 − x 1 − x 2 1 e x ( sin x + cos x ) \e^x(\sin x+\cos x) e x ( sin x + cos x ) x 2 − 2 x − 1 ( x − 1 ) 2 \frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2} ( x − 1 ) 2 x 2 − 2 x − 1 sec 2 x \sec^2x sec 2 x
例 2.2 2015 数一(18) 2015 数三(19)
（Ⅰ）设函数
u ( x ) u(x) u ( x ) ，
v ( x ) v(x) v ( x ) 可导，利用导数定义证明
[ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) [u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) [ u ( x ) v ( x ) ] ′ = u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) ；（Ⅱ）设函数
u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , ⋯ , u n ( x ) u_1(x),u_2(x),\cdots,u_n(x) u 1 ( x ) , u 2 ( x ) , ⋯ , u n ( x ) 可导，
f ( x ) = u 1 ( x ) u 2 ( x ) ⋯ u n ( x ) f(x)=u_1(x)u_2(x)\cdots u_n(x) f ( x ) = u 1 ( x ) u 2 ( x ) ⋯ u n ( x ) ，写出
f ( x ) f(x) f ( x ) 的求导公式。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 加一项减一项。 u ( x + h ) v ( x + h ) − u ( x ) v ( x ) = [ u ( x + h ) − u ( x ) ] v ( x + h ) + u ( x ) [ v ( x + h ) − v ( x ) ] u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)=[u(x+h)-u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)-v(x)] u ( x + h ) v ( x + h ) − u ( x ) v ( x ) = [ u ( x + h ) − u ( x )] v ( x + h ) + u ( x ) [ v ( x + h ) − v ( x )]
这正是图 2.1 的长方形：先让长变、宽用新值，再让宽变、长用旧值；中间加减的 u ( x ) v ( x + h ) u(x)v(x+h) u ( x ) v ( x + h )
② (Ⅰ) 除以 h h h u ( x + h ) − u ( x ) h ⋅ v ( x + h ) + u ( x ) ⋅ v ( x + h ) − v ( x ) h → u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x ) \dfrac{u(x+h)-u(x)}h\cdot v(x+h)+u(x)\cdot\dfrac{v(x+h)-v(x)}h\to u'(x)v(x)+u(x)v'(x) h u ( x + h ) − u ( x ) ⋅ v ( x + h ) + u ( x ) ⋅ h v ( x + h ) − v ( x ) → u ′ ( x ) v ( x ) + u ( x ) v ′ ( x )
v v v v ( x + h ) → v ( x ) v(x+h)\to v(x) v ( x + h ) → v ( x )
③ (Ⅱ) 归纳写出。 f ′ ( x ) = u 1 ′ u 2 ⋯ u n + u 1 u 2 ′ ⋯ u n + ⋯ + u 1 u 2 ⋯ u n ′ = ∑ i = 1 n u 1 ⋯ u i − 1 u i ′ u i + 1 ⋯ u n f'(x)=u_1'u_2\cdots u_n+u_1u_2'\cdots u_n+\cdots+u_1u_2\cdots u_n'=\sum\limits_{i=1}^nu_1\cdots u_{i-1}u_i'u_{i+1}\cdots u_n f ′ ( x ) = u 1 ′ u 2 ⋯ u n + u 1 u 2 ′ ⋯ u n + ⋯ + u 1 u 2 ⋯ u n ′ = i = 1 ∑ n u 1 ⋯ u i − 1 u i ′ u i + 1 ⋯ u n
把前 n − 1 n-1 n − 1 U U U ( U u n ) ′ = U ′ u n + U u n ′ (Uu_n)'=U'u_n+Uu_n' ( U u n ) ′ = U ′ u n + U u n ′ U U U
答案：证明题。思路：（Ⅰ）加减 u ( x ) v ( x + h ) u(x)v(x+h) u ( x ) v ( x + h ) v v v f ′ = ∑ i = 1 n u 1 ⋯ u i ′ ⋯ u n f'=\sum_{i=1}^nu_1\cdots u_i'\cdots u_n f ′ = ∑ i = 1 n u 1 ⋯ u i ′ ⋯ u n
2.2 复合函数：链式法则大白话：一层套一层的函数，导数是“每一层的导数乘起来” 。x x x u u u u u u y y y
x u = x ²y = sin u ×2x ×cos u 总倍数 dy /dx = cos(x ²)·2x y = sin ( x 2 ) y=\sin(x^2) y = sin ( x 2 ) x x x Δ x \Delta x Δ x u = x 2 u=x^2 u = x 2 2 x Δ x 2x\Delta x 2 x Δ x cos u \cos u cos u cos ( x 2 ) ⋅ 2 x \cos(x^2)\cdot2x cos ( x 2 ) ⋅ 2 x 链式法则与一阶微分形式不变性
y = f ( u ) , u = g ( x ) ⟹ d y d x = d y d u ⋅ d u d x = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . \displaystyle y=f(u),\ u=g(x)\ \Longrightarrow\ \frac{\dd y}{\dd x}=\frac{\dd y}{\dd u}\cdot\frac{\dd u}{\dd x}=f'(g(x))\,g'(x). y = f ( u ) , u = g ( x ) ⟹ d x d y = d u d y ⋅ d x d u = f ′ ( g ( x )) g ′ ( x ) . 微分写法 d y = f ′ ( u ) d u \dd y=f'(u)\,\dd u d y = f ′ ( u ) d u u u u 一阶微分形式不变性 。刷题本的提醒：[ f ( g ( x ) ) ] ′ [f(g(x))]' [ f ( g ( x )) ] ′ f ′ ( g ( x ) ) f'(g(x)) f ′ ( g ( x )) g ′ ( x ) g'(x) g ′ ( x )
方法卡 · 链式法则
什么时候用
函数套函数：
ln cos x \ln\cos x ln cos x 、
e sin x 2 \e^{\sin x^2} e s i n x 2 、
f ( 3 x − 2 3 x + 2 ) f\big(\frac{3x-2}{3x+2}\big) f ( 3 x + 2 3 x − 2 ) 。
步骤
按 A.2 节拆层，从外到内写出每层。
从最外层开始：外层导数（里面原样保留）× 下一层导数 × ……
一直乘到最里层 x x x 最容易错
漏乘最里层的导数（最常见）；把
f ′ ( g ( x ) ) f'(g(x)) f ′ ( g ( x )) 写成
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 。
例 2.3 基础
求导数：（1）
y = sin 2 ( 3 x + 1 ) y=\sin^2(3x+1) y = sin 2 ( 3 x + 1 ) ；（2）
y = ln cos x y=\ln\cos x y = ln cos x ；（3）
y = e sin x 2 y=\e^{\sin x^2} y = e s i n x 2 ；（4）
y = ln ( x + 1 + x 2 ) y=\ln\big(x+\sqrt{1+x^2}\big) y = ln ( x + 1 + x 2 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 三层。 y ′ = 2 sin ( 3 x + 1 ) ⋅ cos ( 3 x + 1 ) ⋅ 3 = 3 sin ( 6 x + 2 ) y'=2\sin(3x+1)\cdot\cos(3x+1)\cdot3=3\sin(6x+2) y ′ = 2 sin ( 3 x + 1 ) ⋅ cos ( 3 x + 1 ) ⋅ 3 = 3 sin ( 6 x + 2 )
外层平方 → 中层正弦 → 里层一次函数，三个导数相乘；最后用倍角公式合并。
② (2) y ′ = 1 cos x ⋅ ( − sin x ) = − tan x y'=\dfrac1{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\tan x y ′ = cos x 1 ⋅ ( − sin x ) = − tan x
外层是对数，( ln u ) ′ = 1 u (\ln u)'=\frac1u ( ln u ) ′ = u 1 cos x \cos x cos x − sin x -\sin x − sin x − tan x -\tan x − tan x
③ (3) y ′ = e sin x 2 ⋅ cos x 2 ⋅ 2 x y'=\e^{\sin x^2}\cdot\cos x^2\cdot2x y ′ = e s i n x 2 ⋅ cos x 2 ⋅ 2 x
指数函数的导数是它自己（里面原样保留），再乘 sin \sin sin x 2 x^2 x 2
④ (4) y ′ = 1 x + 1 + x 2 ( 1 + x 1 + x 2 ) = 1 x + 1 + x 2 ⋅ 1 + x 2 + x 1 + x 2 = 1 1 + x 2 y'=\dfrac1{x+\sqrt{1+x^2}}\Big(1+\dfrac x{\sqrt{1+x^2}}\Big)=\dfrac1{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot\dfrac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}} y ′ = x + 1 + x 2 1 ( 1 + 1 + x 2 x ) = x + 1 + x 2 1 ⋅ 1 + x 2 1 + x 2 + x = 1 + x 2 1
里层 x + 1 + x 2 x+\sqrt{1+x^2} x + 1 + x 2
答案：(1) 3 sin ( 6 x + 2 ) 3\sin(6x+2) 3 sin ( 6 x + 2 ) − tan x -\tan x − tan x 2 x cos x 2 e sin x 2 2x\cos x^2\,\e^{\sin x^2} 2 x cos x 2 e s i n x 2 1 1 + x 2 \frac1{\sqrt{1+x^2}} 1 + x 2 1
例 2.4 2021 数三(11)
若
y = cos e − x y=\cos\e^{-\sqrt x} y = cos e − x ，则
d y d x ∣ x = 1 = \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=1}= d x d y x = 1 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆层。 y = cos u y=\cos u y = cos u u = e v u=\e^{v} u = e v v = − x v=-\sqrt x v = − x
最后一步算的是余弦，所以余弦在最外层。
② 链式法则。 y ′ = − sin e − x ⋅ e − x ⋅ ( − 1 2 x ) = e − x sin e − x 2 x y'=-\sin\e^{-\sqrt x}\cdot\e^{-\sqrt x}\cdot\Big(-\dfrac1{2\sqrt x}\Big)=\dfrac{\e^{-\sqrt x}\sin\e^{-\sqrt x}}{2\sqrt x} y ′ = − sin e − x ⋅ e − x ⋅ ( − 2 x 1 ) = 2 x e − x sin e − x
三个导数相乘：− sin u -\sin u − sin u e v \e^v e v − 1 2 x -\frac1{2\sqrt x} − 2 x 1
③ 代值。 x = 1 x=1 x = 1 e − 1 sin e − 1 2 \dfrac{\e^{-1}\sin\e^{-1}}2 2 e − 1 sin e − 1
把 x = 1 x=1 x = 1 1 = 1 \sqrt1=1 1 = 1 − x -\sqrt x − x − 1 -1 − 1
答案：1 2 e sin 1 e \frac1{2\e}\sin\frac1{\e} 2 e 1 sin e 1
例 2.5 2012 数三(10)
设函数
f ( x ) = { ln x , x ≥ 1 2 x − 1 , x < 1 f(x)=\begin{cases}\ln\sqrt x,&x\ge1\\2x-1,&x<1\end{cases} f ( x ) = { ln x , 2 x − 1 , x ≥ 1 x < 1 ，
y = f ( f ( x ) ) y=f(f(x)) y = f ( f ( x )) ，则
d y d x ∣ x = e = \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=\e}= d x d y x = e = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 里层在 e \e e x x x e \e e x ≥ 1 x\ge1 x ≥ 1 f ( x ) = ln x = 1 2 ln x f(x)=\ln\sqrt x=\dfrac12\ln x f ( x ) = ln x = 2 1 ln x f ( e ) = 1 2 < 1 f(\e)=\dfrac12<1 f ( e ) = 2 1 < 1
分段函数复合，先看里层的值落在外层哪一段。
② 外层用哪一段。 f ( x ) f(x) f ( x ) e \e e 1 2 < 1 \frac12<1 2 1 < 1 2 u − 1 2u-1 2 u − 1 y = 2 ⋅ 1 2 ln x − 1 = ln x − 1 y=2\cdot\dfrac12\ln x-1=\ln x-1 y = 2 ⋅ 2 1 ln x − 1 = ln x − 1
f ( x ) f(x) f ( x ) e \e e
③ 求导。 y ′ = 1 x y'=\dfrac1x y ′ = x 1 y ′ ( e ) = 1 e y'(\e)=\dfrac1{\e} y ′ ( e ) = e 1
在 x = e x=\e x = e y y y f ′ ( f ( e ) ) ⋅ f ′ ( e ) = 2 ⋅ 1 2 e f'(f(\e))\cdot f'(\e)=2\cdot\frac1{2\e} f ′ ( f ( e )) ⋅ f ′ ( e ) = 2 ⋅ 2 e 1
答案：1 e \frac1{\e} e 1
例 2.6 李林 第二章 §2 例 5 · p52
已知
y = f ( 3 x − 2 3 x + 2 ) y=f\Big(\dfrac{3x-2}{3x+2}\Big) y = f ( 3 x + 2 3 x − 2 ) ，
f ′ ( x ) = arctan x 2 f'(x)=\arctan x^2 f ′ ( x ) = arctan x 2 ，求
d y d x ∣ x = 0 \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=0} d x d y x = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 链式法则。 y ′ = f ′ ( 3 x − 2 3 x + 2 ) ⋅ ( 3 x − 2 3 x + 2 ) ′ = f ′ ( 3 x − 2 3 x + 2 ) ⋅ 12 ( 3 x + 2 ) 2 y'=f'\Big(\dfrac{3x-2}{3x+2}\Big)\cdot\Big(\dfrac{3x-2}{3x+2}\Big)'=f'\Big(\dfrac{3x-2}{3x+2}\Big)\cdot\dfrac{12}{(3x+2)^2} y ′ = f ′ ( 3 x + 2 3 x − 2 ) ⋅ ( 3 x + 2 3 x − 2 ) ′ = f ′ ( 3 x + 2 3 x − 2 ) ⋅ ( 3 x + 2 ) 2 12
外层 f f f 3 ( 3 x + 2 ) − 3 ( 3 x − 2 ) = 12 3(3x+2)-3(3x-2)=12 3 ( 3 x + 2 ) − 3 ( 3 x − 2 ) = 12
② 代 x = 0 x=0 x = 0 里层等于 − 1 -1 − 1 y ′ ( 0 ) = f ′ ( − 1 ) ⋅ 12 4 = arctan 1 ⋅ 3 = 3 π 4 y'(0)=f'(-1)\cdot\dfrac{12}4=\arctan1\cdot3=\dfrac{3\pi}4 y ′ ( 0 ) = f ′ ( − 1 ) ⋅ 4 12 = arctan 1 ⋅ 3 = 4 3 π
f ′ f' f ′ − 1 -1 − 1 f ′ ( − 1 ) = arctan ( − 1 ) 2 = π 4 f'(-1)=\arctan(-1)^2=\frac\pi4 f ′ ( − 1 ) = arctan ( − 1 ) 2 = 4 π
答案：3 π 4 \frac{3\pi}4 4 3 π
2.3 隐函数求导大白话：有些曲线写不成 y = ⋯ y=\cdots y = ⋯ F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 x 2 + y 2 = 25 x^2+y^2=25 x 2 + y 2 = 25 。不用解出 y y y y y y x x x x x x y y y y ′ y' y ′ y ′ y' y ′ x , y x,y x , y
x y O (3, 4) x ²+y ²=25切线斜率 −3/4 圆 x 2 + y 2 = 25 x^2+y^2=25 x 2 + y 2 = 25 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) x x x 2 x + 2 y y ′ = 0 2x+2yy'=0 2 x + 2 y y ′ = 0 y ′ = − x y = − 3 4 y'=-\frac xy=-\frac34 y ′ = − y x = − 4 3 隐函数求导的两种写法
直接求导 ：F ( x , y ( x ) ) = 0 F(x,y(x))=0 F ( x , y ( x )) = 0 x x x y y y y ′ y' y ′ y ′ y' y ′ 公式法 （多元函数学完后用，第 8 部分）：y ′ = − F x ′ F y ′ y'=-\dfrac{F_x'}{F_y'} y ′ = − F y ′ F x ′
求二阶导数：对“y ′ y' y ′ x x x y ′ y' y ′
方法卡 · 隐函数在某点的导数
什么时候用
方程
F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 ，求
y ′ ( x 0 ) y'(x_0) y ′ ( x 0 ) 、
y ′ ′ ( x 0 ) y''(x_0) y ′′ ( x 0 ) ，或曲线在某点的切线、法线。
步骤
把 x 0 x_0 x 0 y 0 = y ( x 0 ) y_0=y(x_0) y 0 = y ( x 0 )
方程两边对 x x x ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) y ′ ( x 0 ) y'(x_0) y ′ ( x 0 )
要二阶：对求导后的等式再求一次导，代入 x 0 , y 0 , y ′ ( x 0 ) x_0,y_0,y'(x_0) x 0 , y 0 , y ′ ( x 0 ) y ′ ′ ( x 0 ) y''(x_0) y ′′ ( x 0 ) 最容易错
对
y 3 y^3 y 3 求导写成
3 y 2 3y^2 3 y 2 （漏了
y ′ y' y ′ ）；对
x y xy x y 求导忘了乘积法则（应为
y + x y ′ y+xy' y + x y ′ ）。
例 2.7 2013 数一(9)
设函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 由方程
y − x = e x ( 1 − y ) y-x=\e^{x(1-y)} y − x = e x ( 1 − y ) 确定，则
lim n → ∞ n [ f ( 1 n ) − 1 ] = \lim\limits_{n\to\infty}n\Big[f\Big(\dfrac1n\Big)-1\Big]= n → ∞ lim n [ f ( n 1 ) − 1 ] = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先求 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) x = 0 x=0 x = 0 y − 0 = e 0 = 1 y-0=\e^0=1 y − 0 = e 0 = 1 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1
所求极限是 f ( 0 + 1 n ) − f ( 0 ) 1 n \frac{f(0+\frac1n)-f(0)}{\frac1n} n 1 f ( 0 + n 1 ) − f ( 0 ) f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
② 认出导数。 原式 = lim f ( 1 n ) − f ( 0 ) 1 n = f ′ ( 0 ) =\lim\dfrac{f(\frac1n)-f(0)}{\frac1n}=f'(0) = lim n 1 f ( n 1 ) − f ( 0 ) = f ′ ( 0 )
1.3 节的“伪装的导数定义”，增量 □ = 1 n \square=\frac1n □ = n 1
③ 隐函数求导。 两边对 x x x y ′ − 1 = e x ( 1 − y ) [ ( 1 − y ) − x y ′ ] y'-1=\e^{x(1-y)}\big[(1-y)-xy'\big] y ′ − 1 = e x ( 1 − y ) [ ( 1 − y ) − x y ′ ] x = 0 x=0 x = 0 y = 1 y=1 y = 1 y ′ − 1 = 1 ⋅ ( 0 − 0 ) y'-1=1\cdot(0-0) y ′ − 1 = 1 ⋅ ( 0 − 0 ) f ′ ( 0 ) = 1 f'(0)=1 f ′ ( 0 ) = 1
右边是复合函数：外层 e u \e^u e u u = x ( 1 − y ) u=x(1-y) u = x ( 1 − y ) x x x y y y y ′ y' y ′
答案：1
例 2.8 2011 数三(11)
曲线
tan ( x + y + π 4 ) = e y \tan\Big(x+y+\dfrac\pi4\Big)=\e^y tan ( x + y + 4 π ) = e y 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处的切线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两边求导。 sec 2 ( x + y + π 4 ) ⋅ ( 1 + y ′ ) = e y y ′ \sec^2\Big(x+y+\dfrac\pi4\Big)\cdot(1+y')=\e^yy' sec 2 ( x + y + 4 π ) ⋅ ( 1 + y ′ ) = e y y ′
左边链式法则，里层 x + y + π 4 x+y+\frac\pi4 x + y + 4 π 1 + y ′ 1+y' 1 + y ′ e y \e^y e y x x x y ′ y' y ′
② 代点。 sec 2 π 4 = 2 \sec^2\frac\pi4=2 sec 2 4 π = 2 2 ( 1 + y ′ ) = y ′ 2(1+y')=y' 2 ( 1 + y ′ ) = y ′ y ′ = − 2 y'=-2 y ′ = − 2
代入 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) x + y + π 4 = π 4 x+y+\frac\pi4=\frac\pi4 x + y + 4 π = 4 π sec 2 π 4 = 1 cos 2 π 4 = 2 \sec^2\frac\pi4=\frac1{\cos^2\frac\pi4}=2 sec 2 4 π = c o s 2 4 π 1 = 2 y ′ y' y ′
③ 切线。 y = − 2 x y=-2x y = − 2 x
切点是原点、斜率 − 2 -2 − 2 y = − 2 x y=-2x y = − 2 x
答案：y = − 2 x y=-2x y = − 2 x
例 2.9 2020 数三(10)
曲线
x + y + e 2 x y = 0 x+y+\e^{2xy}=0 x + y + e 2 x y = 0 在点
( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 ) 处的切线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两边求导。 1 + y ′ + e 2 x y ⋅ 2 ( y + x y ′ ) = 0 1+y'+\e^{2xy}\cdot2(y+xy')=0 1 + y ′ + e 2 x y ⋅ 2 ( y + x y ′ ) = 0
e 2 x y \e^{2xy} e 2 x y 2 x y 2xy 2 x y 2 ( y + x y ′ ) 2(y+xy') 2 ( y + x y ′ )
② 代 ( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 ) 1 + y ′ + 1 ⋅ 2 ( − 1 + 0 ) = 0 1+y'+1\cdot2(-1+0)=0 1 + y ′ + 1 ⋅ 2 ( − 1 + 0 ) = 0 y ′ = 1 y'=1 y ′ = 1
代点后方程里只剩 y ′ y' y ′
③ 切线。 y + 1 = x y+1=x y + 1 = x y = x − 1 y=x-1 y = x − 1
切点 ( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 ) y ′ ( 0 ) = 1 y'(0)=1 y ′ ( 0 ) = 1 y − y 0 = k ( x − x 0 ) y-y_0=k(x-x_0) y − y 0 = k ( x − x 0 )
答案：y = x − 1 y=x-1 y = x − 1
例 2.10 2023 数二(14)
曲线
3 x 3 = y 5 + 2 y 3 3x^3=y^5+2y^3 3 x 3 = y 5 + 2 y 3 在
x = 1 x=1 x = 1 对应点处的法线斜率为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 求点。 x = 1 x=1 x = 1 y 5 + 2 y 3 = 3 y^5+2y^3=3 y 5 + 2 y 3 = 3 y = 1 y=1 y = 1
y 5 + 2 y 3 y^5+2y^3 y 5 + 2 y 3 y = 1 y=1 y = 1
② 切线斜率。 9 x 2 = ( 5 y 4 + 6 y 2 ) y ′ 9x^2=(5y^4+6y^2)y' 9 x 2 = ( 5 y 4 + 6 y 2 ) y ′ 9 = 11 y ′ 9=11y' 9 = 11 y ′ y ′ = 9 11 y'=\dfrac9{11} y ′ = 11 9
y y y x x x y 5 y^5 y 5 y 3 y^3 y 3 x x x y ′ y' y ′ ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) y ′ y' y ′
③ 法线。 法线斜率 = − 11 9 =-\dfrac{11}9 = − 9 11
法线垂直切线，斜率是负倒数。
答案：− 11 9 -\frac{11}9 − 9 11
例 2.11 2012 数二(9)
设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 是由方程
x 2 − y + 1 = e y x^2-y+1=\e^y x 2 − y + 1 = e y 所确定的隐函数，则
d 2 y d x 2 ∣ x = 0 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{x=0}= d x 2 d 2 y x = 0 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① y ( 0 ) y(0) y ( 0 ) x = 0 x=0 x = 0 1 − y = e y 1-y=\e^y 1 − y = e y y = 0 y=0 y = 0
代值试出 y = 0 y=0 y = 0 1 − y 1-y 1 − y e y \e^y e y
② 一阶。 2 x − y ′ = e y y ′ 2x-y'=\e^yy' 2 x − y ′ = e y y ′ x = 0 , y = 0 x=0,y=0 x = 0 , y = 0 − y ′ = y ′ -y'=y' − y ′ = y ′ y ′ ( 0 ) = 0 y'(0)=0 y ′ ( 0 ) = 0
y y y x x x x x x e y \e^y e y e y y ′ \e^yy' e y y ′ x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0
③ 二阶。 再求导：2 − y ′ ′ = e y ( y ′ ) 2 + e y y ′ ′ 2-y''=\e^y(y')^2+\e^yy'' 2 − y ′′ = e y ( y ′ ) 2 + e y y ′′ 2 − y ′ ′ = 0 + y ′ ′ 2-y''=0+y'' 2 − y ′′ = 0 + y ′′ y ′ ′ ( 0 ) = 1 y''(0)=1 y ′′ ( 0 ) = 1
右边 e y y ′ \e^yy' e y y ′ e y y ′ ⋅ y ′ + e y y ′ ′ \e^yy'\cdot y'+\e^yy'' e y y ′ ⋅ y ′ + e y y ′′ y ′ ′ y'' y ′′
答案：1
例 2.12 2013 数二(2)
设函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 由方程
cos ( x y ) + ln y − x = 1 \cos(xy)+\ln y-x=1 cos ( x y ) + ln y − x = 1 确定，则
lim n → ∞ n [ f ( 2 n ) − 1 ] = \lim\limits_{n\to\infty}n\Big[f\Big(\dfrac2n\Big)-1\Big]= n → ∞ lim n [ f ( n 2 ) − 1 ] = （ ）
（A）2 （B）1 （C）
− 1 -1 − 1 （D）
− 2 -2 − 2 解答先遮住，自己试 5 分钟
① f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) x = 0 x=0 x = 0 1 + ln y = 1 1+\ln y=1 1 + ln y = 1 y = 1 y=1 y = 1 = lim 2 ⋅ f ( 2 n ) − f ( 0 ) 2 n = 2 f ′ ( 0 ) =\lim2\cdot\dfrac{f(\frac2n)-f(0)}{\frac2n}=2f'(0) = lim 2 ⋅ n 2 f ( n 2 ) − f ( 0 ) = 2 f ′ ( 0 )
增量是 2 n \frac2n n 2 2 n \frac2n n 2
② 求 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) − sin ( x y ) ( y + x y ′ ) + y ′ y − 1 = 0 -\sin(xy)(y+xy')+\dfrac{y'}y-1=0 − sin ( x y ) ( y + x y ′ ) + y y ′ − 1 = 0 x = 0 , y = 1 x=0,y=1 x = 0 , y = 1 0 + y ′ − 1 = 0 0+y'-1=0 0 + y ′ − 1 = 0 y ′ = 1 y'=1 y ′ = 1
cos ( x y ) \cos(xy) cos ( x y ) − sin ( x y ) ⋅ ( x y ) ′ -\sin(xy)\cdot(xy)' − sin ( x y ) ⋅ ( x y ) ′ x = 0 x=0 x = 0 sin 0 = 0 \sin0=0 sin 0 = 0
③ 结论。 原式 = 2 =2 = 2
和 2013 数一(9) 是同一个套路，同年两张卷子都考了。
答案：A
例 2.13 2022 数二(12)
已知函数
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由方程
x 2 + x y + y 3 = 3 x^2+xy+y^3=3 x 2 + x y + y 3 = 3 确定，则
y ′ ′ ( 1 ) = y''(1)= y ′′ ( 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点和一阶。 x = 1 x=1 x = 1 1 + y + y 3 = 3 1+y+y^3=3 1 + y + y 3 = 3 y = 1 y=1 y = 1 2 x + y + x y ′ + 3 y 2 y ′ = 0 2x+y+xy'+3y^2y'=0 2 x + y + x y ′ + 3 y 2 y ′ = 0 3 + 4 y ′ = 0 3+4y'=0 3 + 4 y ′ = 0 y ′ = − 3 4 y'=-\dfrac34 y ′ = − 4 3
x y xy x y y 3 y^3 y 3 y ′ y' y ′
② 二阶。 再求导：2 + y ′ + y ′ + x y ′ ′ + 6 y ( y ′ ) 2 + 3 y 2 y ′ ′ = 0 2+y'+y'+xy''+6y(y')^2+3y^2y''=0 2 + y ′ + y ′ + x y ′′ + 6 y ( y ′ ) 2 + 3 y 2 y ′′ = 0 x = 1 , y = 1 , y ′ = − 3 4 x=1,y=1,y'=-\frac34 x = 1 , y = 1 , y ′ = − 4 3 2 − 3 2 + 27 8 + 4 y ′ ′ = 0 2-\dfrac32+\dfrac{27}8+4y''=0 2 − 2 3 + 8 27 + 4 y ′′ = 0
再求一次导时 x y ′ xy' x y ′ y 3 y^3 y 3 ( x y ′ ) ′ = y ′ + x y ′ ′ (xy')'=y'+xy'' ( x y ′ ) ′ = y ′ + x y ′′ ( 3 y 2 y ′ ) ′ = 6 y ( y ′ ) 2 + 3 y 2 y ′ ′ (3y^2y')'=6y(y')^2+3y^2y'' ( 3 y 2 y ′ ) ′ = 6 y ( y ′ ) 2 + 3 y 2 y ′′
③ 解。 4 y ′ ′ = − 31 8 4y''=-\dfrac{31}8 4 y ′′ = − 8 31 y ′ ′ ( 1 ) = − 31 32 y''(1)=-\dfrac{31}{32} y ′′ ( 1 ) = − 32 31
把已知的数通分：2 − 3 2 + 27 8 = 31 8 2-\frac32+\frac{27}8=\frac{31}8 2 − 2 3 + 8 27 = 8 31 y ′ ′ y'' y ′′
答案：− 31 32 -\frac{31}{32} − 32 31
例 2.14 李林 第二章 §2 例 3、例 4 · p52
（1）设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由方程
x y + e y = x + 1 xy+\e^y=x+1 x y + e y = x + 1 确定，求
y ′ ′ ( 0 ) y''(0) y ′′ ( 0 ) ；（2）设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由方程
2 x y = x + y 2^{xy}=x+y 2 x y = x + y 确定，求
d y ∣ x = 0 \dd y\big|_{x=0} d y x = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 点与一阶。 x = 0 x=0 x = 0 e y = 1 \e^y=1 e y = 1 y = 0 y=0 y = 0 y + x y ′ + y ′ e y = 1 y+xy'+y'\e^y=1 y + x y ′ + y ′ e y = 1 y ′ ( 0 ) = 1 y'(0)=1 y ′ ( 0 ) = 1
先代点求 y y y y ′ y' y ′
② (1) 二阶。 再求导：2 y ′ + x y ′ ′ + y ′ ′ e y + ( y ′ ) 2 e y = 0 2y'+xy''+y''\e^y+(y')^2\e^y=0 2 y ′ + x y ′′ + y ′′ e y + ( y ′ ) 2 e y = 0 2 + y ′ ′ + 1 = 0 2+y''+1=0 2 + y ′′ + 1 = 0 y ′ ′ ( 0 ) = − 3 y''(0)=-3 y ′′ ( 0 ) = − 3
对 y ′ e y y'\e^y y ′ e y e y \e^y e y x x x e y y ′ \e^yy' e y y ′ ( y ′ ) 2 e y (y')^2\e^y ( y ′ ) 2 e y
③ (2) x = 0 x=0 x = 0 1 = y 1=y 1 = y 2 x y ln 2 ⋅ ( y + x y ′ ) = 1 + y ′ 2^{xy}\ln2\cdot(y+xy')=1+y' 2 x y ln 2 ⋅ ( y + x y ′ ) = 1 + y ′ ln 2 = 1 + y ′ \ln2=1+y' ln 2 = 1 + y ′ y ′ ( 0 ) = ln 2 − 1 y'(0)=\ln2-1 y ′ ( 0 ) = ln 2 − 1 d y ∣ x = 0 = ( ln 2 − 1 ) d x \dd y\big|_{x=0}=(\ln2-1)\dx d y x = 0 = ( ln 2 − 1 ) d x
( 2 u ) ′ = 2 u ln 2 ⋅ u ′ (2^u)'=2^u\ln2\cdot u' ( 2 u ) ′ = 2 u ln 2 ⋅ u ′
答案：(1) − 3 -3 − 3 ( ln 2 − 1 ) d x (\ln2-1)\dx ( ln 2 − 1 ) d x
例 2.15 李林 第二章 §2 例 2 · p51—52
设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由方程
x e f ( y ) = e y x\e^{f(y)}=\e^y x e f ( y ) = e y 确定，其中
f f f 有二阶导数且
f ′ ≠ 1 f'\ne1 f ′ = 1 ，求
d 2 y d x 2 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2} d x 2 d 2 y 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先取对数。 两边取对数：ln x + f ( y ) = y \ln x+f(y)=y ln x + f ( y ) = y
两边都是正的乘积和指数，取对数后乘法变加法，求导少写很多项。李林讲义是直接求导，结果一样。
② 一阶导数。 对 x x x 1 x + f ′ ( y ) y ′ = y ′ \dfrac1x+f'(y)\,y'=y' x 1 + f ′ ( y ) y ′ = y ′ y ′ = 1 x [ 1 − f ′ ( y ) ] y'=\dfrac1{x[1-f'(y)]} y ′ = x [ 1 − f ′ ( y )] 1
y y y x x x f ( y ) f(y) f ( y ) x x x y ′ y' y ′ f ′ ≠ 1 f'\ne1 f ′ = 1
③ 二阶导数。 y ′ ′ = − [ x ( 1 − f ′ ( y ) ) ] ′ x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 2 = − [ 1 − f ′ ( y ) ] − x f ′ ′ ( y ) y ′ x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 2 y''=-\dfrac{\big[x(1-f'(y))\big]'}{x^2[1-f'(y)]^2}=-\dfrac{[1-f'(y)]-xf''(y)\,y'}{x^2[1-f'(y)]^2} y ′′ = − x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 2 [ x ( 1 − f ′ ( y )) ] ′ = − x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 2 [ 1 − f ′ ( y )] − x f ′′ ( y ) y ′
y ′ = 1 u y'=\frac1{u} y ′ = u 1 − u ′ u 2 -\frac{u'}{u^2} − u 2 u ′ u = x [ 1 − f ′ ( y ) ] u=x[1-f'(y)] u = x [ 1 − f ′ ( y )] f ′ ( y ) f'(y) f ′ ( y ) x x x y ′ y' y ′
④ 代回 y ′ y' y ′ x f ′ ′ ( y ) y ′ = f ′ ′ ( y ) 1 − f ′ ( y ) xf''(y)\,y'=\dfrac{f''(y)}{1-f'(y)} x f ′′ ( y ) y ′ = 1 − f ′ ( y ) f ′′ ( y ) y ′ ′ = f ′ ′ ( y ) − [ 1 − f ′ ( y ) ] 2 x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 3 y''=\dfrac{f''(y)-[1-f'(y)]^2}{x^2[1-f'(y)]^3} y ′′ = x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 3 f ′′ ( y ) − [ 1 − f ′ ( y ) ] 2
二阶导数里不能留着 y ′ y' y ′ 1 − f ′ ( y ) 1-f'(y) 1 − f ′ ( y )
答案：f ′ ′ ( y ) − [ 1 − f ′ ( y ) ] 2 x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 3 \dfrac{f''(y)-[1-f'(y)]^2}{x^2[1-f'(y)]^3} x 2 [ 1 − f ′ ( y ) ] 3 f ′′ ( y ) − [ 1 − f ′ ( y ) ] 2
2.4 反函数求导大白话：反函数的图像是原函数关于 y = x y=x y = x 。y = e x y=\e^x y = e x ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ln x \ln x ln x ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 1 1 = 1 \frac11=1 1 1 = 1 y = x 3 y=x^3 y = x 3 ( 2 , 8 ) (2,8) ( 2 , 8 ) x 3 \sqrt[3]x 3 x ( 8 , 2 ) (8,2) ( 8 , 2 ) 1 12 \frac1{12} 12 1
x y O y =x ³y =∛x 斜率 3 斜率 1/3 y =x y = x 3 y=x^3 y = x 3 y = x 3 y=\sqrt[3]x y = 3 x y = x y=x y = x ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 1 3 \frac13 3 1 反函数的一阶、二阶导数
d x d y = 1 d y d x , \displaystyle \frac{\dd x}{\dd y}=\frac1{\dfrac{\dd y}{\dd x}}, d y d x = d x d y 1 , d 2 x d y 2 = d d y ( 1 y ′ ) = − y ′ ′ ( y ′ ) 2 ⋅ d x d y = − y ′ ′ ( y ′ ) 3 . \displaystyle \frac{\dd^2x}{\dd y^2}=\frac{\dd}{\dd y}\Big(\frac1{y'}\Big)=-\frac{y''}{(y')^2}\cdot\frac{\dd x}{\dd y}=-\frac{y''}{(y')^3}. d y 2 d 2 x = d y d ( y ′ 1 ) = − ( y ′ ) 2 y ′′ ⋅ d y d x = − ( y ′ ) 3 y ′′ . 二阶公式的分母是三次方，刷题本的助记是“2−1=3”：分子二阶导前面一个负号，分母一阶导三次方。前提：函数单调、y ′ ≠ 0 y'\ne0 y ′ = 0
方法卡 · 反函数在某点的导数
什么时候用
已知
f f f 的信息，求反函数
g g g 在某点的一阶、二阶导数。
步骤
先找对应点：g ( b ) = a g(b)=a g ( b ) = a f ( a ) = b f(a)=b f ( a ) = b
一阶：g ′ ( b ) = 1 f ′ ( a ) g'(b)=\dfrac1{f'(a)} g ′ ( b ) = f ′ ( a ) 1
二阶：g ′ ′ ( b ) = − f ′ ′ ( a ) [ f ′ ( a ) ] 3 g''(b)=-\dfrac{f''(a)}{[f'(a)]^3} g ′′ ( b ) = − [ f ′ ( a ) ] 3 f ′′ ( a ) f ′ ( g ( y ) ) g ′ ( y ) = 1 f'(g(y))g'(y)=1 f ′ ( g ( y )) g ′ ( y ) = 1 最容易错
把
g ′ ( b ) g'(b) g ′ ( b ) 写成
1 f ′ ( b ) \frac1{f'(b)} f ′ ( b ) 1 （应在对应点
a a a 处取）；二阶公式分母写成平方。
例 2.16 基础
用反函数求导法则推出
( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}} ( arcsin x ) ′ = 1 − x 2 1 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 写成反函数。 y = arcsin x y=\arcsin x y = arcsin x x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x ∈ ( − 1 , 1 ) x = sin y x=\sin y x = sin y y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y\in\big(-\frac\pi2,\frac\pi2\big) y ∈ ( − 2 π , 2 π )
反正弦的值域是 ( − π 2 , π 2 ) \big(-\frac\pi2,\frac\pi2\big) ( − 2 π , 2 π )
② 取倒数。 d y d x = 1 d x d y = 1 cos y \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac1{\frac{\dd x}{\dd y}}=\dfrac1{\cos y} d x d y = d y d x 1 = cos y 1
原函数 x = sin y x=\sin y x = sin y cos y \cos y cos y
③ 换回 x x x cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2 \cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2} cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2 ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 (\arcsin x)'=\dfrac1{\sqrt{1-x^2}} ( arcsin x ) ′ = 1 − x 2 1
y ∈ ( − π 2 , π 2 ) y\in\big(-\frac\pi2,\frac\pi2\big) y ∈ ( − 2 π , 2 π ) cos y > 0 \cos y>0 cos y > 0
答案：1 1 − x 2 \frac1{\sqrt{1-x^2}} 1 − x 2 1
例 2.17 李林 第二章 §2 例 8、例 9 · p53
（1）已知
f ′ ( x ) = a e x f'(x)=a\e^x f ′ ( x ) = a e x （
a > 0 a>0 a > 0 ），求
f f f 的反函数的二阶导数；（2）设可导函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有反函数
g ( x ) g(x) g ( x ) ，且
f ( a ) = 3 f(a)=3 f ( a ) = 3 ，
f ′ ( a ) = 1 f'(a)=1 f ′ ( a ) = 1 ，
f ′ ′ ( a ) = 2 f''(a)=2 f ′′ ( a ) = 2 ，求
g ′ ′ ( 3 ) g''(3) g ′′ ( 3 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 套公式。 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y ′ = a e x y'=a\e^x y ′ = a e x y ′ ′ = a e x y''=a\e^x y ′′ = a e x d 2 x d y 2 = − y ′ ′ ( y ′ ) 3 = − a e x a 3 e 3 x = − 1 a 2 e 2 x \dfrac{\dd^2x}{\dd y^2}=-\dfrac{y''}{(y')^3}=-\dfrac{a\e^x}{a^3\e^{3x}}=-\dfrac1{a^2\e^{2x}} d y 2 d 2 x = − ( y ′ ) 3 y ′′ = − a 3 e 3 x a e x = − a 2 e 2 x 1
“2−1=3”：分子二阶导带负号，分母一阶导三次方。
② (2) 对应点。 f ( a ) = 3 f(a)=3 f ( a ) = 3 g ( 3 ) = a g(3)=a g ( 3 ) = a
反函数把 3 送回 a a a f f f a a a
③ (2) 公式。 g ′ ′ ( 3 ) = − f ′ ′ ( a ) [ f ′ ( a ) ] 3 = − 2 1 = − 2 g''(3)=-\dfrac{f''(a)}{[f'(a)]^3}=-\dfrac21=-2 g ′′ ( 3 ) = − [ f ′ ( a ) ] 3 f ′′ ( a ) = − 1 2 = − 2
也可以对 f ′ ( g ( y ) ) g ′ ( y ) = 1 f'(g(y))g'(y)=1 f ′ ( g ( y )) g ′ ( y ) = 1 f ′ ′ ( g ) ( g ′ ) 2 + f ′ ( g ) g ′ ′ = 0 f''(g)(g')^2+f'(g)g''=0 f ′′ ( g ) ( g ′ ) 2 + f ′ ( g ) g ′′ = 0 g ′ ( 3 ) = 1 g'(3)=1 g ′ ( 3 ) = 1
答案：(1) − 1 a 2 e 2 x -\frac1{a^2\e^{2x}} − a 2 e 2 x 1 − 2 -2 − 2
例 2.18 李林 第二章 §2 例 10 · p53—54
设
f ( x ) = { 1 − 2 x 2 , x < − 1 x 3 , − 1 ≤ x ≤ 2 12 x − 16 , x > 2 f(x)=\begin{cases}1-2x^2,&x<-1\\x^3,&-1\le x\le2\\12x-16,&x>2\end{cases} f ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 − 2 x 2 , x 3 , 12 x − 16 , x < − 1 − 1 ≤ x ≤ 2 x > 2 。（1）写出
f ( x ) f(x) f ( x ) 的反函数
g ( x ) g(x) g ( x ) 的表达式；（2）
g ( x ) g(x) g ( x ) 是否有间断点、不可导点？若有，指出这些点。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 每段反解，并算出值域。 x < − 1 x<-1 x < − 1 y = 1 − 2 x 2 < − 1 y=1-2x^2<-1 y = 1 − 2 x 2 < − 1 x = − 1 − y 2 x=-\sqrt{\dfrac{1-y}2} x = − 2 1 − y − 1 ≤ x ≤ 2 -1\le x\le2 − 1 ≤ x ≤ 2 y = x 3 ∈ [ − 1 , 8 ] y=x^3\in[-1,8] y = x 3 ∈ [ − 1 , 8 ] x = y 3 x=\sqrt[3]y x = 3 y x > 2 x>2 x > 2 y = 12 x − 16 > 8 y=12x-16>8 y = 12 x − 16 > 8 x = y + 16 12 x=\dfrac{y+16}{12} x = 12 y + 16
反函数的定义域就是原函数的值域；第一段 x x x
② 写出 g g g g ( x ) = { − 1 − x 2 , x < − 1 x 3 , − 1 ≤ x ≤ 8 x + 16 12 , x > 8 g(x)=\begin{cases}-\sqrt{\frac{1-x}2},&x<-1\\\sqrt[3]x,&-1\le x\le8\\\frac{x+16}{12},&x>8\end{cases} g ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ − 2 1 − x , 3 x , 12 x + 16 , x < − 1 − 1 ≤ x ≤ 8 x > 8
把字母 y y y x x x ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) [ − 1 , 8 ] [-1,8] [ − 1 , 8 ] ( 8 , + ∞ ) (8,+\infty) ( 8 , + ∞ )
③ 连续性。 x = − 1 x=-1 x = − 1 − 1 = − 1 = g ( − 1 ) -\sqrt{1}=-1=g(-1) − 1 = − 1 = g ( − 1 ) x = 8 x=8 x = 8 g ( 8 ) = 2 g(8)=2 g ( 8 ) = 2 24 12 = 2 \dfrac{24}{12}=2 12 24 = 2 g g g
分段函数只可能在分段点断开；两个分段点左右都接上了。原函数 f f f
④ 可导性。 x = − 1 x=-1 x = − 1 1 4 ( 1 − x 2 ) − 1 2 ∣ x = − 1 = 1 4 \dfrac14\Big(\dfrac{1-x}2\Big)^{-\frac12}\Big|_{x=-1}=\dfrac14 4 1 ( 2 1 − x ) − 2 1 x = − 1 = 4 1 1 3 x − 2 3 ∣ x = − 1 = 1 3 \dfrac13x^{-\frac23}\Big|_{x=-1}=\dfrac13 3 1 x − 3 2 x = − 1 = 3 1 x = 0 x=0 x = 0 ( x 3 ) ′ = 1 3 x 2 3 → ∞ (\sqrt[3]x)'=\dfrac1{3\sqrt[3]{x^2}}\to\infty ( 3 x ) ′ = 3 3 x 2 1 → ∞ x = 8 x=8 x = 8 1 3 ⋅ 8 − 2 3 = 1 12 \dfrac13\cdot8^{-\frac23}=\dfrac1{12} 3 1 ⋅ 8 − 3 2 = 12 1 1 12 \dfrac1{12} 12 1
对照“反函数的导数是原函数导数的倒数”：f f f x = − 1 x=-1 x = − 1 1 4 \frac14 4 1 1 3 \frac13 3 1 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 f f f g ′ ( 8 ) = 1 12 g'(8)=\frac1{12} g ′ ( 8 ) = 12 1
答案：(1) g ( x ) = − 1 − x 2 ( x < − 1 ) g(x)=-\sqrt{\frac{1-x}2}\ (x<-1) g ( x ) = − 2 1 − x ( x < − 1 ) x 3 ( − 1 ≤ x ≤ 8 ) \sqrt[3]x\ (-1\le x\le8) 3 x ( − 1 ≤ x ≤ 8 ) x + 16 12 ( x > 8 ) \frac{x+16}{12}\ (x>8) 12 x + 16 ( x > 8 ) x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 0 x=0 x = 0
2.5 参数方程与极坐标曲线的导数大白话：点的位置随“时间” t t t x = x ( t ) x=x(t) x = x ( t ) y = y ( t ) y=y(t) y = y ( t ) t t t x x x x ′ ( t ) d t x'(t)\dt x ′ ( t ) d t y y y y ′ ( t ) d t y'(t)\dt y ′ ( t ) d t 。二阶导数最容易错：它是“斜率对 x x x t t t t t t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) r = r ( θ ) r=r(\theta) r = r ( θ ) x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ
x y O t =3π/2斜率 −1 摆线一拱 2π 摆线 x = t − sin t x=t-\sin t x = t − sin t y = 1 − cos t y=1-\cos t y = 1 − cos t t = 3 π 2 t=\frac{3\pi}2 t = 2 3 π y ′ ( t ) x ′ ( t ) = sin t 1 − cos t = − 1 \frac{y'(t)}{x'(t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=-1 x ′ ( t ) y ′ ( t ) = 1 − c o s t s i n t = − 1 x y O (0, π/2) 斜率 −2/π r =θ阿基米德螺线 r = θ r=\theta r = θ θ = π 2 \theta=\frac\pi2 θ = 2 π ( 0 , π 2 ) (0,\frac\pi2) ( 0 , 2 π ) − 2 π -\frac2\pi − π 2 r ′ ( θ ) = 1 r'(\theta)=1 r ′ ( θ ) = 1
公式（数学三不要求）
d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) , \displaystyle \frac{\dd y}{\dd x}=\frac{y'(t)}{x'(t)}, d x d y = x ′ ( t ) y ′ ( t ) , d 2 y d x 2 = d d t ( y ′ ( t ) x ′ ( t ) ) x ′ ( t ) = y ′ ′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) [ x ′ ( t ) ] 3 . \displaystyle \frac{\dd^2y}{\dd x^2}=\frac{\dfrac{\dd}{\dd t}\Big(\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\Big)}{x'(t)}=\frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}. d x 2 d 2 y = x ′ ( t ) d t d ( x ′ ( t ) y ′ ( t ) ) = [ x ′ ( t ) ] 3 y ′′ ( t ) x ′ ( t ) − y ′ ( t ) x ′′ ( t ) . 极坐标 r = r ( θ ) r=r(\theta) r = r ( θ ) x = r ( θ ) cos θ x=r(\theta)\cos\theta x = r ( θ ) cos θ y = r ( θ ) sin θ y=r(\theta)\sin\theta y = r ( θ ) sin θ θ \theta θ r ′ ( θ ) r'(\theta) r ′ ( θ )
方法卡 · 参数方程的二阶导数（真题四连考）
什么时候用
x = x ( t ) x=x(t) x = x ( t ) ，
y = y ( t ) y=y(t) y = y ( t ) ，求
d 2 y d x 2 \frac{\dd^2y}{\dd x^2} d x 2 d 2 y 在某个
t 0 t_0 t 0 处的值。
步骤
算 x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) y ′ ( t ) y'(t) y ′ ( t ) d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)} d x d y = x ′ ( t ) y ′ ( t ) 先化简 （常能约分）。
把化简后的结果对 t t t
再除以 x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) t 0 t_0 t 0 最容易错
二阶导数忘了除以
x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) （直接对
t t t 求导就交卷）；把
y ′ ′ ( t ) x ′ ′ ( t ) \frac{y''(t)}{x''(t)} x ′′ ( t ) y ′′ ( t ) 当成二阶导数。
例 2.19 2013 数一(11)
设
{ x = sin t y = t sin t + cos t \begin{cases}x=\sin t\\y=t\sin t+\cos t\end{cases} { x = sin t y = t sin t + cos t （
t t t 为参数），则
d 2 y d x 2 ∣ t = π 4 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=\frac\pi4}= d x 2 d 2 y t = 4 π = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶并化简。 x ′ ( t ) = cos t x'(t)=\cos t x ′ ( t ) = cos t y ′ ( t ) = sin t + t cos t − sin t = t cos t y'(t)=\sin t+t\cos t-\sin t=t\cos t y ′ ( t ) = sin t + t cos t − sin t = t cos t d y d x = t cos t cos t = t \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{t\cos t}{\cos t}=t d x d y = cos t t cos t = t
先化简：cos t \cos t cos t t t t
② 二阶。 d 2 y d x 2 = ( t ) ′ x ′ ( t ) = 1 cos t \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{(t)'}{x'(t)}=\dfrac1{\cos t} d x 2 d 2 y = x ′ ( t ) ( t ) ′ = cos t 1
对 t t t x ′ ( t ) = cos t x'(t)=\cos t x ′ ( t ) = cos t
③ 代值。 t = π 4 t=\frac\pi4 t = 4 π 1 cos π 4 = 2 \dfrac1{\cos\frac\pi4}=\sqrt2 cos 4 π 1 = 2
二阶导数化简后是 1 cos t \frac1{\cos t} c o s t 1 t = π 4 t=\frac\pi4 t = 4 π cos π 4 = 2 2 \cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2 cos 4 π = 2 2 2 \sqrt2 2
答案：2 \sqrt2 2
例 2.20 2020 数一(10) 2020 数二(9)
设
{ x = t 2 + 1 y = ln ( t + t 2 + 1 ) \begin{cases}x=\sqrt{t^2+1}\\y=\ln\big(t+\sqrt{t^2+1}\big)\end{cases} { x = t 2 + 1 y = ln ( t + t 2 + 1 ) ，则
d 2 y d x 2 ∣ t = 1 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=1}= d x 2 d 2 y t = 1 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 x ′ ( t ) = t t 2 + 1 x'(t)=\dfrac t{\sqrt{t^2+1}} x ′ ( t ) = t 2 + 1 t y ′ ( t ) = 1 t 2 + 1 y'(t)=\dfrac1{\sqrt{t^2+1}} y ′ ( t ) = t 2 + 1 1 d y d x = 1 t \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac1t d x d y = t 1
两个导数的分母相同，相除约掉，一阶导数只剩 1 t \frac1t t 1
② 二阶。 d 2 y d x 2 = − 1 t 2 t t 2 + 1 = − t 2 + 1 t 3 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{-\frac1{t^2}}{\frac t{\sqrt{t^2+1}}}=-\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t^3} d x 2 d 2 y = t 2 + 1 t − t 2 1 = − t 3 t 2 + 1
对 t t t ( 1 t ) ′ = − 1 t 2 \big(\frac1t\big)'=-\frac1{t^2} ( t 1 ) ′ = − t 2 1 x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t )
③ 代值。 t = 1 t=1 t = 1 − 2 -\sqrt2 − 2
把 t = 1 t=1 t = 1 t 2 + 1 = 2 \sqrt{t^2+1}=\sqrt2 t 2 + 1 = 2 t 3 = 1 t^3=1 t 3 = 1
答案：− 2 -\sqrt2 − 2
例 2.21 2021 数一(12) 2021 数二(12)
设函数
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由参数方程
{ x = 2 e t + t + 1 y = 4 ( t − 1 ) e t + t 2 \begin{cases}x=2\e^t+t+1\\y=4(t-1)\e^t+t^2\end{cases} { x = 2 e t + t + 1 y = 4 ( t − 1 ) e t + t 2 所确定，则
d 2 y d x 2 ∣ t = 0 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=0}= d x 2 d 2 y t = 0 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶并化简。 x ′ ( t ) = 2 e t + 1 x'(t)=2\e^t+1 x ′ ( t ) = 2 e t + 1 y ′ ( t ) = 4 e t + 4 ( t − 1 ) e t + 2 t = 4 t e t + 2 t = 2 t ( 2 e t + 1 ) y'(t)=4\e^t+4(t-1)\e^t+2t=4t\e^t+2t=2t(2\e^t+1) y ′ ( t ) = 4 e t + 4 ( t − 1 ) e t + 2 t = 4 t e t + 2 t = 2 t ( 2 e t + 1 ) d y d x = 2 t \dfrac{\dd y}{\dd x}=2t d x d y = 2 t
y ′ ( t ) y'(t) y ′ ( t ) x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t )
② 二阶。 d 2 y d x 2 = 2 2 e t + 1 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac2{2\e^t+1} d x 2 d 2 y = 2 e t + 1 2 t = 0 t=0 t = 0 2 3 \dfrac23 3 2
一阶导数化简后是 2 t 2t 2 t t t t x ′ ( t ) = 2 e t + 1 x'(t)=2\e^t+1 x ′ ( t ) = 2 e t + 1 t = 0 t=0 t = 0
答案：2 3 \frac23 3 2
例 2.22 2026 数一(13)
设函数
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由参数方程
{ x = 2 sin 2 t y = t + cos t \begin{cases}x=2\sin^2t\\y=t+\cos t\end{cases} { x = 2 sin 2 t y = t + cos t （
t ∈ ( 0 , π 2 ) t\in(0,\frac\pi2) t ∈ ( 0 , 2 π ) ）确定，则
d 2 y d x 2 ∣ t = π 4 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=\frac\pi4}= d x 2 d 2 y t = 4 π = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 x ′ ( t ) = 4 sin t cos t = 2 sin 2 t x'(t)=4\sin t\cos t=2\sin2t x ′ ( t ) = 4 sin t cos t = 2 sin 2 t y ′ ( t ) = 1 − sin t y'(t)=1-\sin t y ′ ( t ) = 1 − sin t d y d x = 1 − sin t 2 sin 2 t \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{1-\sin t}{2\sin2t} d x d y = 2 sin 2 t 1 − sin t
( sin 2 t ) ′ = 2 sin t cos t = sin 2 t (\sin^2t)'=2\sin t\cos t=\sin2t ( sin 2 t ) ′ = 2 sin t cos t = sin 2 t
② 对 t t t d d t ( 1 − sin t 2 sin 2 t ) = − cos t ⋅ 2 sin 2 t − ( 1 − sin t ) ⋅ 4 cos 2 t 4 sin 2 2 t \dfrac{\dd}{\dd t}\Big(\dfrac{1-\sin t}{2\sin2t}\Big)=\dfrac{-\cos t\cdot2\sin2t-(1-\sin t)\cdot4\cos2t}{4\sin^22t} d t d ( 2 sin 2 t 1 − sin t ) = 4 sin 2 2 t − cos t ⋅ 2 sin 2 t − ( 1 − sin t ) ⋅ 4 cos 2 t t = π 4 t=\frac\pi4 t = 4 π sin 2 t = 1 \sin2t=1 sin 2 t = 1 cos 2 t = 0 \cos2t=0 cos 2 t = 0 − 2 2 ⋅ 2 4 = − 2 4 \dfrac{-\frac{\sqrt2}2\cdot2}4=-\dfrac{\sqrt2}4 4 − 2 2 ⋅ 2 = − 4 2
除法法则；代值时 cos 2 t = 0 \cos2t=0 cos 2 t = 0
③ 再除以 x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) x ′ ( π 4 ) = 2 x'\big(\frac\pi4\big)=2 x ′ ( 4 π ) = 2 d 2 y d x 2 = − 2 8 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=-\dfrac{\sqrt2}8 d x 2 d 2 y = − 8 2
这是最容易漏的一步：对 t t t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t )
答案：− 2 8 -\frac{\sqrt2}8 − 8 2
例 2.23 2015 数二(9)
设
{ x = arctan t y = 3 t + t 3 \begin{cases}x=\arctan t\\y=3t+t^3\end{cases} { x = arctan t y = 3 t + t 3 ，则
d 2 y d x 2 ∣ t = 1 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=1}= d x 2 d 2 y t = 1 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 d y d x = 3 + 3 t 2 1 1 + t 2 = 3 ( 1 + t 2 ) 2 \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{3+3t^2}{\frac1{1+t^2}}=3(1+t^2)^2 d x d y = 1 + t 2 1 3 + 3 t 2 = 3 ( 1 + t 2 ) 2
参数方程的一阶导数是 y ′ ( t ) y'(t) y ′ ( t ) x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) x ′ ( t ) = 1 1 + t 2 x'(t)=\frac1{1+t^2} x ′ ( t ) = 1 + t 2 1 1 + t 2 1+t^2 1 + t 2
② 二阶。 d 2 y d x 2 = 12 t ( 1 + t 2 ) 1 1 + t 2 = 12 t ( 1 + t 2 ) 2 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{12t(1+t^2)}{\frac1{1+t^2}}=12t(1+t^2)^2 d x 2 d 2 y = 1 + t 2 1 12 t ( 1 + t 2 ) = 12 t ( 1 + t 2 ) 2 t = 1 t=1 t = 1
对 t t t 3 ⋅ 2 ( 1 + t 2 ) ⋅ 2 t 3\cdot2(1+t^2)\cdot2t 3 ⋅ 2 ( 1 + t 2 ) ⋅ 2 t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t )
答案：48
例 2.24 2017 数二(10)
设函数
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由参数方程
{ x = t + e t y = sin t \begin{cases}x=t+\e^t\\y=\sin t\end{cases} { x = t + e t y = sin t 确定，则
d 2 y d x 2 ∣ t = 0 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=0}= d x 2 d 2 y t = 0 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 d y d x = cos t 1 + e t \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{\cos t}{1+\e^t} d x d y = 1 + e t cos t
参数方程的一阶导数 = y ′ ( t ) x ′ ( t ) =\frac{y'(t)}{x'(t)} = x ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ ( t ) = 1 + e t x'(t)=1+\e^t x ′ ( t ) = 1 + e t y ′ ( t ) = cos t y'(t)=\cos t y ′ ( t ) = cos t
② 二阶。 d d t ( cos t 1 + e t ) = − sin t ( 1 + e t ) − cos t e t ( 1 + e t ) 2 \dfrac{\dd}{\dd t}\Big(\dfrac{\cos t}{1+\e^t}\Big)=\dfrac{-\sin t(1+\e^t)-\cos t\,\e^t}{(1+\e^t)^2} d t d ( 1 + e t cos t ) = ( 1 + e t ) 2 − sin t ( 1 + e t ) − cos t e t t = 0 t=0 t = 0 − 1 4 -\dfrac14 − 4 1 x ′ ( 0 ) = 2 x'(0)=2 x ′ ( 0 ) = 2 − 1 8 -\dfrac18 − 8 1
除法法则代 t = 0 t=0 t = 0 0 − 1 = − 1 0-1=-1 0 − 1 = − 1 4 4 4
答案：− 1 8 -\frac18 − 8 1
例 2.25 2013 数二(12) 李林 第二章 习题 填空 (7) · p57
曲线
{ x = arctan t y = ln 1 + t 2 \begin{cases}x=\arctan t\\y=\ln\sqrt{1+t^2}\end{cases} { x = arctan t y = ln 1 + t 2 上对应于
t = 1 t=1 t = 1 的点处的法线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点。 t = 1 t=1 t = 1 x = π 4 x=\dfrac\pi4 x = 4 π y = ln 2 = 1 2 ln 2 y=\ln\sqrt2=\dfrac12\ln2 y = ln 2 = 2 1 ln 2
参数代入两个方程，得到点的坐标。
② 切线斜率。 d y d x = t 1 + t 2 1 1 + t 2 = t = 1 \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{\frac t{1+t^2}}{\frac1{1+t^2}}=t=1 d x d y = 1 + t 2 1 1 + t 2 t = t = 1
y = ln 1 + t 2 = 1 2 ln ( 1 + t 2 ) y=\ln\sqrt{1+t^2}=\frac12\ln(1+t^2) y = ln 1 + t 2 = 2 1 ln ( 1 + t 2 ) y ′ ( t ) = t 1 + t 2 y'(t)=\frac t{1+t^2} y ′ ( t ) = 1 + t 2 t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t )
③ 法线。 斜率 − 1 -1 − 1 y − 1 2 ln 2 = − ( x − π 4 ) y-\dfrac12\ln2=-\Big(x-\dfrac\pi4\Big) y − 2 1 ln 2 = − ( x − 4 π ) y = − x + π 4 + 1 2 ln 2 y=-x+\dfrac\pi4+\dfrac12\ln2 y = − x + 4 π + 2 1 ln 2
法线斜率是切线斜率的负倒数。
答案：y = − x + π 4 + 1 2 ln 2 y=-x+\frac\pi4+\frac12\ln2 y = − x + 4 π + 2 1 ln 2
例 2.26 2014 数二(12)
曲线
L L L 的极坐标方程是
r = θ r=\theta r = θ ，则
L L L 在点
( r , θ ) = ( π 2 , π 2 ) (r,\theta)=\Big(\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big) ( r , θ ) = ( 2 π , 2 π ) 处的切线的直角坐标方程是 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 改成参数方程。 x = θ cos θ x=\theta\cos\theta x = θ cos θ y = θ sin θ y=\theta\sin\theta y = θ sin θ θ = π 2 \theta=\frac\pi2 θ = 2 π ( 0 , π 2 ) \Big(0,\dfrac\pi2\Big) ( 0 , 2 π )
极坐标 ( r , θ ) (r,\theta) ( r , θ ) ( r cos θ , r sin θ ) (r\cos\theta,r\sin\theta) ( r cos θ , r sin θ )
② 斜率。 x ′ ( θ ) = cos θ − θ sin θ = − π 2 x'(\theta)=\cos\theta-\theta\sin\theta=-\dfrac\pi2 x ′ ( θ ) = cos θ − θ sin θ = − 2 π y ′ ( θ ) = sin θ + θ cos θ = 1 y'(\theta)=\sin\theta+\theta\cos\theta=1 y ′ ( θ ) = sin θ + θ cos θ = 1 = 1 − π / 2 = − 2 π =\dfrac1{-\pi/2}=-\dfrac2\pi = − π /2 1 = − π 2
用参数方程的斜率公式；不能拿 r ′ ( θ ) = 1 r'(\theta)=1 r ′ ( θ ) = 1
③ 切线。 y = − 2 π x + π 2 y=-\dfrac2\pi x+\dfrac\pi2 y = − π 2 x + 2 π
切点 ( 0 , π 2 ) \big(0,\frac\pi2\big) ( 0 , 2 π ) y y y π 2 \frac\pi2 2 π
答案：y = − 2 π x + π 2 y=-\frac2\pi x+\frac\pi2 y = − π 2 x + 2 π
例 2.27 2019 数二(10)
曲线
{ x = t − sin t y = 1 − cos t \begin{cases}x=t-\sin t\\y=1-\cos t\end{cases} { x = t − sin t y = 1 − cos t 在
t = 3 π 2 t=\dfrac{3\pi}2 t = 2 3 π 对应点处的切线在
y y y 轴上的截距为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点。 t = 3 π 2 t=\frac{3\pi}2 t = 2 3 π x = 3 π 2 + 1 x=\dfrac{3\pi}2+1 x = 2 3 π + 1 y = 1 y=1 y = 1
把 t = 3 π 2 t=\frac{3\pi}2 t = 2 3 π sin 3 π 2 = − 1 \sin\frac{3\pi}2=-1 sin 2 3 π = − 1 cos 3 π 2 = 0 \cos\frac{3\pi}2=0 cos 2 3 π = 0
② 斜率。 d y d x = sin t 1 − cos t = − 1 1 = − 1 \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}=\dfrac{-1}{1}=-1 d x d y = 1 − cos t sin t = 1 − 1 = − 1
切线斜率是 y ′ ( t ) x ′ ( t ) \frac{y'(t)}{x'(t)} x ′ ( t ) y ′ ( t ) x ′ ( t ) = 1 − cos t x'(t)=1-\cos t x ′ ( t ) = 1 − cos t y ′ ( t ) = sin t y'(t)=\sin t y ′ ( t ) = sin t t = 3 π 2 t=\frac{3\pi}2 t = 2 3 π
③ 截距。 y − 1 = − ( x − 3 π 2 − 1 ) y-1=-\Big(x-\dfrac{3\pi}2-1\Big) y − 1 = − ( x − 2 3 π − 1 ) x = 0 x=0 x = 0 y = 3 π 2 + 2 y=\dfrac{3\pi}2+2 y = 2 3 π + 2
截距就是切线与 y y y
答案：3 π 2 + 2 \frac{3\pi}2+2 2 3 π + 2
例 2.28 2024 数二(2)
设函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 由参数方程
{ x = 1 + t 3 y = e t 2 \begin{cases}x=1+t^3\\y=\e^{t^2}\end{cases} { x = 1 + t 3 y = e t 2 确定，则
lim x → + ∞ x [ f ( 2 + 2 x ) − f ( 2 ) ] = \lim\limits_{x\to+\infty}x\Big[f\Big(2+\dfrac2x\Big)-f(2)\Big]= x → + ∞ lim x [ f ( 2 + x 2 ) − f ( 2 ) ] = （ ）
（A）
2 e 2\e 2 e （B）
4 3 e \dfrac43\e 3 4 e （C）
2 3 e \dfrac23\e 3 2 e （D）
e 3 \dfrac\e3 3 e 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 认出导数定义。 原式 = lim x → + ∞ 2 ⋅ f ( 2 + 2 x ) − f ( 2 ) 2 x = 2 f ′ ( 2 ) =\lim\limits_{x\to+\infty}2\cdot\dfrac{f(2+\frac2x)-f(2)}{\frac2x}=2f'(2) = x → + ∞ lim 2 ⋅ x 2 f ( 2 + x 2 ) − f ( 2 ) = 2 f ′ ( 2 )
增量 □ = 2 x → 0 \square=\frac2x\to0 □ = x 2 → 0 2 x \frac2x x 2
② x = 2 x=2 x = 2 t t t 1 + t 3 = 2 1+t^3=2 1 + t 3 = 2 t = 1 t=1 t = 1
参数方程的导数用 t t t x = 2 x=2 x = 2 t t t
③ 算导数。 f ′ ( 2 ) = 2 t e t 2 3 t 2 ∣ t = 1 = 2 e 3 f'(2)=\dfrac{2t\e^{t^2}}{3t^2}\Big|_{t=1}=\dfrac{2\e}3 f ′ ( 2 ) = 3 t 2 2 t e t 2 t = 1 = 3 2 e = 4 3 e =\dfrac43\e = 3 4 e
参数方程求导 f ′ = y ′ ( t ) x ′ ( t ) f'=\frac{y'(t)}{x'(t)} f ′ = x ′ ( t ) y ′ ( t ) y ′ ( t ) = 2 t e t 2 y'(t)=2t\e^{t^2} y ′ ( t ) = 2 t e t 2 x ′ ( t ) = 3 t 2 x'(t)=3t^2 x ′ ( t ) = 3 t 2 x = 2 x=2 x = 2 t = 1 t=1 t = 1
答案：B
例 2.29 李林 第二章 §2 例 13 · p55
已知曲线的极坐标方程是
r = 1 − cos θ r=1-\cos\theta r = 1 − cos θ ，求该曲线上对应于
θ = π 6 \theta=\dfrac\pi6 θ = 6 π 处的切线与法线的直角坐标方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 参数方程与点。 x = ( 1 − cos θ ) cos θ x=(1-\cos\theta)\cos\theta x = ( 1 − cos θ ) cos θ y = ( 1 − cos θ ) sin θ y=(1-\cos\theta)\sin\theta y = ( 1 − cos θ ) sin θ θ = π 6 \theta=\frac\pi6 θ = 6 π x = 3 2 − 3 4 x=\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac34 x = 2 3 − 4 3 y = 1 2 − 3 4 y=\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}4 y = 2 1 − 4 3
极坐标化成参数方程 x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ θ = π 6 \theta=\frac\pi6 θ = 6 π r = 1 − 3 2 r=1-\frac{\sqrt3}2 r = 1 − 2 3
② 斜率。 d y d x = cos θ − cos 2 θ − sin θ + sin 2 θ \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{\cos\theta-\cos2\theta}{-\sin\theta+\sin2\theta} d x d y = − sin θ + sin 2 θ cos θ − cos 2 θ θ = π 6 \theta=\frac\pi6 θ = 6 π = 3 2 − 1 2 − 1 2 + 3 2 = 1 =\dfrac{\frac{\sqrt3}2-\frac12}{-\frac12+\frac{\sqrt3}2}=1 = − 2 1 + 2 3 2 3 − 2 1 = 1
y = sin θ − 1 2 sin 2 θ y=\sin\theta-\frac12\sin2\theta y = sin θ − 2 1 sin 2 θ x = cos θ − cos 2 θ x=\cos\theta-\cos^2\theta x = cos θ − cos 2 θ θ \theta θ
③ 切线与法线。 切线：y − 1 2 + 3 4 = x − 3 2 + 3 4 y-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}4=x-\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac34 y − 2 1 + 4 3 = x − 2 3 + 4 3 x − y − 3 4 3 + 5 4 = 0 x-y-\dfrac34\sqrt3+\dfrac54=0 x − y − 4 3 3 + 4 5 = 0 x + y − 3 4 + 1 4 = 0 x+y-\dfrac{\sqrt3}4+\dfrac14=0 x + y − 4 3 + 4 1 = 0
法线斜率 − 1 -1 − 1 3 2 − 3 4 = 3 4 \frac{\sqrt3}2-\frac{\sqrt3}4=\frac{\sqrt3}4 2 3 − 4 3 = 4 3
答案：切线 x − y − 3 4 3 + 5 4 = 0 x-y-\frac34\sqrt3+\frac54=0 x − y − 4 3 3 + 4 5 = 0 x + y − 3 4 + 1 4 = 0 x+y-\frac{\sqrt3}4+\frac14=0 x + y − 4 3 + 4 1 = 0
例 2.30 李林 第二章 §2 例 6、例 7 · p52—53
（1）设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由
{ x = arctan t 2 y − t y 2 + e t = 5 \begin{cases}x=\arctan t\\2y-ty^2+\e^t=5\end{cases} { x = arctan t 2 y − t y 2 + e t = 5 确定，求
d y d x \dfrac{\dd y}{\dd x} d x d y ；（2）设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由
{ x = e − t y = ∫ 0 t ln ( 1 + u 2 ) d u \begin{cases}x=\e^{-t}\\y=\displaystyle\int_0^t\ln(1+u^2)\du\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = e − t y = ∫ 0 t ln ( 1 + u 2 ) d u 确定，求
d 2 y d x 2 ∣ t = 0 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{t=0} d x 2 d 2 y t = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) x x x t t t d x d t = 1 1 + t 2 \dfrac{\dd x}{\dd t}=\dfrac1{1+t^2} d t d x = 1 + t 2 1
x x x t t t
② (1) y y y t t t 对 2 y − t y 2 + e t = 5 2y-ty^2+\e^t=5 2 y − t y 2 + e t = 5 t t t 2 y t ′ − y 2 − 2 t y y t ′ + e t = 0 2y'_t-y^2-2ty\,y'_t+\e^t=0 2 y t ′ − y 2 − 2 t y y t ′ + e t = 0 y t ′ = y 2 − e t 2 ( 1 − t y ) y'_t=\dfrac{y^2-\e^t}{2(1-ty)} y t ′ = 2 ( 1 − t y ) y 2 − e t
第二个方程没有解出 y y y y y y t t t t t t t y 2 ty^2 t y 2
③ (1) 相除。 d y d x = y t ′ x t ′ = ( 1 + t 2 ) ( y 2 − e t ) 2 ( 1 − t y ) \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{(1+t^2)(y^2-\e^t)}{2(1-ty)} d x d y = x t ′ y t ′ = 2 ( 1 − t y ) ( 1 + t 2 ) ( y 2 − e t )
参数方程的一阶导数就是“y y y t t t x x x t t t y t ′ y'_t y t ′
④ (2) 一阶导数。 x t ′ = − e − t x'_t=-\e^{-t} x t ′ = − e − t y t ′ = ln ( 1 + t 2 ) y'_t=\ln(1+t^2) y t ′ = ln ( 1 + t 2 ) d y d x = ln ( 1 + t 2 ) − e − t = − e t ln ( 1 + t 2 ) \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{\ln(1+t^2)}{-\e^{-t}}=-\e^t\ln(1+t^2) d x d y = − e − t ln ( 1 + t 2 ) = − e t ln ( 1 + t 2 )
变上限积分对上限求导，等于把上限代进被积函数。
⑤ (2) 二阶导数。 d 2 y d x 2 = d d t [ − e t ln ( 1 + t 2 ) ] x t ′ = − e t ln ( 1 + t 2 ) − e t ⋅ 2 t 1 + t 2 − e − t \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{\frac{\dd}{\dd t}\big[-\e^t\ln(1+t^2)\big]}{x'_t}=\dfrac{-\e^t\ln(1+t^2)-\e^t\cdot\frac{2t}{1+t^2}}{-\e^{-t}} d x 2 d 2 y = x t ′ d t d [ − e t ln ( 1 + t 2 ) ] = − e − t − e t ln ( 1 + t 2 ) − e t ⋅ 1 + t 2 2 t t = 0 t=0 t = 0
二阶导数 = 一阶导数对 t t t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) t = 0 t=0 t = 0 ln 1 = 0 \ln1=0 ln 1 = 0 2 t = 0 2t=0 2 t = 0
答案：(1) ( 1 + t 2 ) ( y 2 − e t ) 2 ( 1 − t y ) \dfrac{(1+t^2)(y^2-\e^t)}{2(1-ty)} 2 ( 1 − t y ) ( 1 + t 2 ) ( y 2 − e t )
2.6 对数求导法与幂指函数大白话：底数、指数都含 x x x x x x^x x x 。办法是先改写成 e v ln u \e^{v\ln u} e v l n u
x y O 最低点 (1/e, e−1/e ) y =x x 1/e 1 y = x x = e x ln x y=x^x=\e^{x\ln x} y = x x = e x l n x x x ( ln x + 1 ) x^x(\ln x+1) x x ( ln x + 1 ) x = 1 e x=\frac1{\e} x = e 1 e − 1 / e ≈ 0.69 \e^{-1/\e}\approx0.69 e − 1/ e ≈ 0.69 两种写法
改写：u v = e v ln u u^v=\e^{v\ln u} u v = e v l n u ( u v ) ′ = u v ( v ′ ln u + v u ′ u ) (u^v)'=u^v\Big(v'\ln u+\dfrac{vu'}u\Big) ( u v ) ′ = u v ( v ′ ln u + u v u ′ )
取对数：ln y = v ln u \ln y=v\ln u ln y = v ln u x x x y ′ y = ( v ln u ) ′ \dfrac{y'}y=(v\ln u)' y y ′ = ( v ln u ) ′ y y y
取对数前要保证真数为正；为负时先加绝对值——求导公式 ( ln ∣ u ∣ ) ′ = u ′ u (\ln|u|)'=\frac{u'}u ( ln ∣ u ∣ ) ′ = u u ′
方法卡 · 对数求导法
什么时候用
幂指函数
u ( x ) v ( x ) u(x)^{v(x)} u ( x ) v ( x ) ；很多因子的乘、除、乘方、开方。
步骤
两边取对数（必要时加绝对值），把乘除、乘方化为加减、系数。
两边对 x x x y ′ y \frac{y'}y y y ′
两边乘 y y y y y y 最容易错
( x x ) ′ (x^x)' ( x x ) ′ 写成
x ⋅ x x − 1 x\cdot x^{x-1} x ⋅ x x − 1 （当幂函数）或
x x ln x x^x\ln x x x ln x （当指数函数），两个都错，正确答案是两者之和。
例 2.31 李林 第二章 §2 例 1 · p51
（1）设
y = ( 1 + x 2 ) arctan x y=(1+x^2)^{\arctan x} y = ( 1 + x 2 ) a r c t a n x ，求
y ′ y' y ′ ；（2）设
y = x 1 − x 1 + x y=x\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} y = x 1 + x 1 − x （
0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 ），求
y ′ y' y ′ 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 改写成指数。 y = e arctan x ⋅ ln ( 1 + x 2 ) y=\e^{\arctan x\cdot\ln(1+x^2)} y = e a r c t a n x ⋅ l n ( 1 + x 2 )
幂指函数的底数、指数都含 x x x e v ln u \e^{v\ln u} e v l n u
② (1) 求导。 y ′ = ( 1 + x 2 ) arctan x [ ln ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 + 2 x arctan x 1 + x 2 ] y'=(1+x^2)^{\arctan x}\Big[\dfrac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}+\dfrac{2x\arctan x}{1+x^2}\Big] y ′ = ( 1 + x 2 ) a r c t a n x [ 1 + x 2 ln ( 1 + x 2 ) + 1 + x 2 2 x arctan x ]
e □ \e^{\square} e □ □ ′ \square' □ ′ □ = arctan x ⋅ ln ( 1 + x 2 ) \square=\arctan x\cdot\ln(1+x^2) □ = arctan x ⋅ ln ( 1 + x 2 )
③ (2) 取对数。 ln y = ln x + 1 2 ln ( 1 − x ) − 1 2 ln ( 1 + x ) \ln y=\ln x+\dfrac12\ln(1-x)-\dfrac12\ln(1+x) ln y = ln x + 2 1 ln ( 1 − x ) − 2 1 ln ( 1 + x ) y ′ y = 1 x − 1 2 ( 1 − x ) − 1 2 ( 1 + x ) = 1 x − 1 1 − x 2 \dfrac{y'}y=\dfrac1x-\dfrac1{2(1-x)}-\dfrac1{2(1+x)}=\dfrac1x-\dfrac1{1-x^2} y y ′ = x 1 − 2 ( 1 − x ) 1 − 2 ( 1 + x ) 1 = x 1 − 1 − x 2 1
对数把根号变成 1 2 \frac12 2 1 1 2 ( 1 − x ) + 1 2 ( 1 + x ) = 1 1 − x 2 \frac1{2(1-x)}+\frac1{2(1+x)}=\frac1{1-x^2} 2 ( 1 − x ) 1 + 2 ( 1 + x ) 1 = 1 − x 2 1
④ (2) 乘回 y y y y ′ = x 1 − x 1 + x ( 1 x − 1 1 − x 2 ) y'=x\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\Big(\dfrac1x-\dfrac1{1-x^2}\Big) y ′ = x 1 + x 1 − x ( x 1 − 1 − x 2 1 )
最后一步别忘了把 y y y
答案：(1) ( 1 + x 2 ) arctan x ln ( 1 + x 2 ) + 2 x arctan x 1 + x 2 (1+x^2)^{\arctan x}\frac{\ln(1+x^2)+2x\arctan x}{1+x^2} ( 1 + x 2 ) a r c t a n x 1 + x 2 l n ( 1 + x 2 ) + 2 x a r c t a n x x 1 − x 1 + x ( 1 x − 1 1 − x 2 ) x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\big(\frac1x-\frac1{1-x^2}\big) x 1 + x 1 − x ( x 1 − 1 − x 2 1 )
例 2.32 2011 数三(9)
设
f ( x ) = lim t → 0 x ( 1 + 3 t ) x t f(x)=\lim\limits_{t\to0}x(1+3t)^{\frac xt} f ( x ) = t → 0 lim x ( 1 + 3 t ) t x ，则
f ′ ( x ) = f'(x)= f ′ ( x ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先求极限得到 f f f ( 1 + 3 t ) x t = [ ( 1 + 3 t ) 1 3 t ] 3 x → e 3 x (1+3t)^{\frac xt}=\Big[(1+3t)^{\frac1{3t}}\Big]^{3x}\to\e^{3x} ( 1 + 3 t ) t x = [ ( 1 + 3 t ) 3 t 1 ] 3 x → e 3 x f ( x ) = x e 3 x f(x)=x\e^{3x} f ( x ) = x e 3 x
t t t x x x 1 ∞ 1^\infty 1 ∞ ( 1 + u ) 1 u → e (1+u)^{\frac1u}\to\e ( 1 + u ) u 1 → e
② 求导。 f ′ ( x ) = e 3 x + 3 x e 3 x = ( 1 + 3 x ) e 3 x f'(x)=\e^{3x}+3x\e^{3x}=(1+3x)\e^{3x} f ′ ( x ) = e 3 x + 3 x e 3 x = ( 1 + 3 x ) e 3 x
先用重要极限求出 f ( x ) = x e 3 x f(x)=x\e^{3x} f ( x ) = x e 3 x ( e 3 x ) ′ = 3 e 3 x (\e^{3x})'=3\e^{3x} ( e 3 x ) ′ = 3 e 3 x
答案：( 1 + 3 x ) e 3 x (1+3x)\e^{3x} ( 1 + 3 x ) e 3 x
2.7 分段函数的导数与导数极限定理大白话：分段函数在每一段内部照常求导；只有在分段点，必须回到定义（1.2 节） 。有一个省事的办法叫“导数极限定理”：如果函数在分段点连续，而两边导函数的极限相等，那么这一点的导数就等于这个极限。但前提“连续”必须先验证，不然会出错（李林给过反例）。
x y O y =−x sin x （t <0）y =(x /3)sin(x /3)（t ≥0）f ″(0)：左 −2，右 2/92023 数一(3) 的曲线 x = 2 t + ∣ t ∣ x=2t+|t| x = 2 t + ∣ t ∣ y = ∣ t ∣ sin t y=|t|\sin t y = ∣ t ∣ sin t y = − x sin x y=-x\sin x y = − x sin x y = x 3 sin x 3 y=\frac x3\sin\frac x3 y = 3 x sin 3 x x x x − 2 -2 − 2 2 9 \frac29 9 2 分段点的两种处理
定义法 （永远可靠）：f ± ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 ± f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'_\pm(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^\pm}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} f ± ′ ( x 0 ) = x → x 0 ± lim x − x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) 导数极限定理 ：f f f x 0 x_0 x 0 连续 ，在去心邻域可导，且 lim x → x 0 f ′ ( x ) = A \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=A x → x 0 lim f ′ ( x ) = A f ′ ( x 0 ) = A f'(x_0)=A f ′ ( x 0 ) = A f = { 1 + x , x ≥ 0 x , x < 0 f=\begin{cases}1+x,&x\ge0\\x,&x<0\end{cases} f = { 1 + x , x , x ≥ 0 x < 0 f f f
刷题本：“分段点处用导数定义……求导时分段点一律去掉等号”——即各段的导函数只写在开区间上，分段点单独算。
方法卡 · 分段函数（含参数方程带绝对值）的高阶可导性
什么时候用
问“
f ′ f' f ′ 是否连续”“
f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 ) 是否存在”。
步骤
写出每一段的表达式（参数方程带 ∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ t t t y y y x x x
分段点处用定义求 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 )
各段求 f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) f ′ f' f ′ f ′ f' f ′ f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f ′′ ( x 0 ) 最容易错
直接把两段导函数在分段点的值当作
f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) 而不先验证连续；一阶连续就以为二阶也存在。
例 2.33 2023 数一(3) 2023 数二(5) 李林 第二章 §1 例 14 · p47（同类题）
设函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 由
{ x = 2 t + ∣ t ∣ y = ∣ t ∣ sin t \begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases} { x = 2 t + ∣ t ∣ y = ∣ t ∣ sin t 确定，则（ ）
（A）
f ( x ) f(x) f ( x ) 连续，
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 不存在 （B）
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 存在，
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处不连续
（C）
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 连续，
f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 ) 不存在 （D）
f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 ) 存在，
f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处不连续
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 按 t t t t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 x = 3 t x=3t x = 3 t y = t sin t y=t\sin t y = t sin t y = x 3 sin x 3 y=\dfrac x3\sin\dfrac x3 y = 3 x sin 3 x x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 t < 0 t<0 t < 0 x = t x=t x = t y = − t sin t y=-t\sin t y = − t sin t y = − x sin x y=-x\sin x y = − x sin x x < 0 x<0 x < 0
∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ t t t x x x
② 一阶导数。 f + ′ ( 0 ) = lim x → 0 + 1 3 sin x 3 = 0 f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac13\sin\dfrac x3=0 f + ′ ( 0 ) = x → 0 + lim 3 1 sin 3 x = 0 f − ′ ( 0 ) = lim x → 0 − ( − sin x ) = 0 f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}(-\sin x)=0 f − ′ ( 0 ) = x → 0 − lim ( − sin x ) = 0 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 x > 0 x>0 x > 0 f ′ ( x ) = 1 3 sin x 3 + x 9 cos x 3 → 0 f'(x)=\dfrac13\sin\dfrac x3+\dfrac x9\cos\dfrac x3\to0 f ′ ( x ) = 3 1 sin 3 x + 9 x cos 3 x → 0 x < 0 x<0 x < 0 f ′ ( x ) = − sin x − x cos x → 0 f'(x)=-\sin x-x\cos x\to0 f ′ ( x ) = − sin x − x cos x → 0 f ′ f' f ′
分段点用定义：f ( x ) − f ( 0 ) x \frac{f(x)-f(0)}x x f ( x ) − f ( 0 ) f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
③ 二阶导数。 f + ′ ′ ( 0 ) = lim x → 0 + f ′ ( x ) x = 1 9 + 1 9 = 2 9 f''_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f'(x)}x=\dfrac19+\dfrac19=\dfrac29 f + ′′ ( 0 ) = x → 0 + lim x f ′ ( x ) = 9 1 + 9 1 = 9 2 f − ′ ′ ( 0 ) = lim x → 0 − − sin x − x cos x x = − 2 f''_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-\sin x-x\cos x}x=-2 f − ′′ ( 0 ) = x → 0 − lim x − sin x − x cos x = − 2 f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 )
对 f ′ f' f ′ sin ( x / 3 ) 3 x → 1 9 \frac{\sin(x/3)}{3x}\to\frac19 3 x s i n ( x /3 ) → 9 1
答案：C
例 2.34 李林 第二章 §1 例 13 · p47
设
f ( x ) = e x 2 3 − 1 − x 2 3 f(x)=\e^{x^{\frac23}}-1-x^{\frac23} f ( x ) = e x 3 2 − 1 − x 3 2 ，求
f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 公式代不进去。 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ′ ( x ) = 2 3 x − 1 3 ( e x 2 3 − 1 ) f'(x)=\dfrac23x^{-\frac13}\Big(\e^{x^{\frac23}}-1\Big) f ′ ( x ) = 3 2 x − 3 1 ( e x 3 2 − 1 ) x = 0 x=0 x = 0 x − 1 3 x^{-\frac13} x − 3 1
公式里出现“0 − 1 / 3 0^{-1/3} 0 − 1/3
② 用定义。 f ′ ( 0 ) = lim x → 0 e x 2 / 3 − 1 − x 2 / 3 x = lim 1 2 x 4 / 3 x = lim 1 2 x 1 3 = 0 f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\e^{x^{2/3}}-1-x^{2/3}}x=\lim\dfrac{\frac12x^{4/3}}x=\lim\dfrac12x^{\frac13}=0 f ′ ( 0 ) = x → 0 lim x e x 2/3 − 1 − x 2/3 = lim x 2 1 x 4/3 = lim 2 1 x 3 1 = 0
把 x 2 / 3 x^{2/3} x 2/3 u u u e u − 1 − u ∼ u 2 2 = 1 2 x 4 / 3 \e^u-1-u\sim\frac{u^2}2=\frac12x^{4/3} e u − 1 − u ∼ 2 u 2 = 2 1 x 4/3 4 3 \frac43 3 4
③ 对照导数极限定理。 f f f lim x → 0 f ′ ( x ) = lim 2 3 x − 1 3 ⋅ x 2 3 = 0 \lim\limits_{x\to0}f'(x)=\lim\dfrac23x^{-\frac13}\cdot x^{\frac23}=0 x → 0 lim f ′ ( x ) = lim 3 2 x − 3 1 ⋅ x 3 2 = 0
定理的前提（连续）满足时两种方法结果相同。
答案：0
2.8 小结
函数的样子 方法 例子
加减乘除拼成的 四则法则；先化简、先拆项 例 2.1 、例 2.2 函数套函数 链式法则，从外往里一层乘一个导数 例 2.3 、例 2.6 分段函数套分段函数 先看里层的值落在外层哪一段 例 2.5 方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 两边对 x x x 例 2.7 、例 2.13 求反函数的导数 g ′ = 1 f ′ g'=\frac1{f'} g ′ = f ′ 1 g ′ ′ = − f ′ ′ ( f ′ ) 3 g''=-\frac{f''}{(f')^3} g ′′ = − ( f ′ ) 3 f ′′ 例 2.17 参数方程二阶导 一阶先化简，对 t t t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) 例 2.21 、例 2.22 极坐标 r = r ( θ ) r=r(\theta) r = r ( θ ) 改成 x = r cos θ x=r\cos\theta x = r cos θ y = r sin θ y=r\sin\theta y = r sin θ 例 2.26 u v u^v u v 改写 e v ln u \e^{v\ln u} e v l n u 例 2.31 分段点、带 ∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ 定义法；导数极限定理先验连续 例 2.33
学完了，标记这一部分
第 3 部分
高阶导数
高阶导数就是连续求导。考研只考“会算”：套公式、莱布尼茨、泰勒系数、找规律、奇偶性，五招覆盖全部题型。
考试要求（大纲原文，李林讲义第二章第 3 条）
了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
对应李林讲义第二章第二节“二、高阶导数的计算”（p51）与例 11、例 12（p54—55）。ep 板书把求 n n n
3.1 二阶导数与常用 n n n 大白话：导数本身还是一个函数，可以再求导：二阶导数 f ′ ′ f'' f ′′ n n n n n n 。几个基本函数求导很有规律：e x \e^{x} e x sin x \sin x sin x π 2 \frac\pi2 2 π 1 x + a \frac1{x+a} x + a 1
x y O sin x cos x −sin x 求一次导：左移 π/2 π 2π sin x \sin x sin x cos x = sin ( x + π 2 ) \cos x=\sin(x+\frac\pi2) cos x = sin ( x + 2 π ) − sin x = sin ( x + π ) -\sin x=\sin(x+\pi) − sin x = sin ( x + π ) π 2 \frac\pi2 2 π 常用 n n n
( e a x + b ) ( n ) = a n e a x + b , \displaystyle (\e^{ax+b})^{(n)}=a^n\e^{ax+b}, ( e a x + b ) ( n ) = a n e a x + b , ( a x ) ( n ) = a x ( ln a ) n , \displaystyle (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n, ( a x ) ( n ) = a x ( ln a ) n , sin ( n ) ( a x + b ) = a n sin ( a x + b + n π 2 ) , \displaystyle \sin^{(n)}(ax+b)=a^n\sin\Big(ax+b+\frac{n\pi}2\Big), sin ( n ) ( a x + b ) = a n sin ( a x + b + 2 nπ ) , cos ( n ) ( a x + b ) = a n cos ( a x + b + n π 2 ) , \displaystyle \cos^{(n)}(ax+b)=a^n\cos\Big(ax+b+\frac{n\pi}2\Big), cos ( n ) ( a x + b ) = a n cos ( a x + b + 2 nπ ) , ( 1 x + a ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! ( x + a ) n + 1 , \displaystyle \Big(\frac1{x+a}\Big)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}}, ( x + a 1 ) ( n ) = ( x + a ) n + 1 ( − 1 ) n n ! , [ ln ( 1 + x ) ] ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( 1 + x ) n , \displaystyle [\ln(1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}, [ ln ( 1 + x ) ] ( n ) = ( 1 + x ) n ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )! , ( x m ) ( n ) = m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) x m − n ( n ≤ m ) , \displaystyle (x^m)^{(n)}=m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}\ (n\le m), ( x m ) ( n ) = m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) x m − n ( n ≤ m ) , ( x m ) ( n ) = 0 ( n > m , m 为正整数 ) . \displaystyle (x^m)^{(n)}=0\ (n>m,\ m\ \text{为正整数}). ( x m ) ( n ) = 0 ( n > m , m 为正整数 ) . 方法卡 · 拆成基本函数再套公式
什么时候用
有理分式、对数、三角的高阶导数；尤其是分母能因式分解的分式。
步骤
分式：先因式分解分母，拆成 A x − a + B x − b \frac A{x-a}+\frac B{x-b} x − a A + x − b B
对数：ln u v = ln u − ln v \ln\frac{u}{v}=\ln u-\ln v ln v u = ln u − ln v sin \sin sin cos \cos cos
每一项套公式，最后代值。 最容易错
( 1 x + a ) ( n ) \big(\frac1{x+a}\big)^{(n)} ( x + a 1 ) ( n ) 的符号
( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n 丢掉；
ln ( 1 − 2 x ) \ln(1-2x) ln ( 1 − 2 x ) 忘了每求一次导多乘一个
− 2 -2 − 2 。
例 3.1 李林 第二章 习题 填空 (4) · p57
求
n n n 阶导数：（1）
y = e 2 x + 1 y=\e^{2x+1} y = e 2 x + 1 ；（2）
y = sin 2 x y=\sin2x y = sin 2 x ；（3）
y = 1 x 2 − 5 x + 6 y=\dfrac1{x^2-5x+6} y = x 2 − 5 x + 6 1 ，求
y ( n ) ( 0 ) y^{(n)}(0) y ( n ) ( 0 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) y ( n ) = 2 n e 2 x + 1 y^{(n)}=2^n\e^{2x+1} y ( n ) = 2 n e 2 x + 1
每求一次导，链式法则多乘一个里层导数 2。
② (2) y ( n ) = 2 n sin ( 2 x + n π 2 ) y^{(n)}=2^n\sin\Big(2x+\dfrac{n\pi}2\Big) y ( n ) = 2 n sin ( 2 x + 2 nπ )
每求一次导乘 2，同时相位加 π 2 \frac\pi2 2 π
③ (3) 拆项。 1 ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 1 x − 3 − 1 x − 2 \dfrac1{(x-2)(x-3)}=\dfrac1{x-3}-\dfrac1{x-2} ( x − 2 ) ( x − 3 ) 1 = x − 3 1 − x − 2 1
部分分式：通分验算 ( x − 2 ) − ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 1 ( x − 2 ) ( x − 3 ) \frac{(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\frac1{(x-2)(x-3)} ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) − ( x − 3 ) = ( x − 2 ) ( x − 3 ) 1
④ (3) 套公式代 0。 y ( n ) = ( − 1 ) n n ! [ 1 ( x − 3 ) n + 1 − 1 ( x − 2 ) n + 1 ] y^{(n)}=(-1)^nn!\Big[\dfrac1{(x-3)^{n+1}}-\dfrac1{(x-2)^{n+1}}\Big] y ( n ) = ( − 1 ) n n ! [ ( x − 3 ) n + 1 1 − ( x − 2 ) n + 1 1 ] y ( n ) ( 0 ) = n ! ( 1 2 n + 1 − 1 3 n + 1 ) y^{(n)}(0)=n!\Big(\dfrac1{2^{n+1}}-\dfrac1{3^{n+1}}\Big) y ( n ) ( 0 ) = n ! ( 2 n + 1 1 − 3 n + 1 1 )
( − 1 ) n ⋅ 1 ( − 3 ) n + 1 = − 1 3 n + 1 (-1)^n\cdot\frac1{(-3)^{n+1}}=-\frac1{3^{n+1}} ( − 1 ) n ⋅ ( − 3 ) n + 1 1 = − 3 n + 1 1 ( − 1 ) n ⋅ − 1 ( − 2 ) n + 1 = 1 2 n + 1 (-1)^n\cdot\frac{-1}{(-2)^{n+1}}=\frac1{2^{n+1}} ( − 1 ) n ⋅ ( − 2 ) n + 1 − 1 = 2 n + 1 1 ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n
答案：(1) 2 n e 2 x + 1 2^n\e^{2x+1} 2 n e 2 x + 1 2 n sin ( 2 x + n π 2 ) 2^n\sin(2x+\frac{n\pi}2) 2 n sin ( 2 x + 2 nπ ) n ! ( 1 2 n + 1 − 1 3 n + 1 ) n!\big(\frac1{2^{n+1}}-\frac1{3^{n+1}}\big) n ! ( 2 n + 1 1 − 3 n + 1 1 )
例 3.2 2010 数二(11)
函数
y = ln ( 1 − 2 x ) y=\ln(1-2x) y = ln ( 1 − 2 x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处的
n n n 阶导数
y ( n ) ( 0 ) = y^{(n)}(0)= y ( n ) ( 0 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 y ′ = − 2 1 − 2 x = 1 x − 1 2 y'=\dfrac{-2}{1-2x}=\dfrac1{x-\frac12} y ′ = 1 − 2 x − 2 = x − 2 1 1
把一阶导数写成 1 x + a \frac1{x+a} x + a 1 a = − 1 2 a=-\frac12 a = − 2 1
② 再求 n − 1 n-1 n − 1 y ( n ) = ( 1 x − 1 2 ) ( n − 1 ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( x − 1 2 ) n y^{(n)}=\Big(\dfrac1{x-\frac12}\Big)^{(n-1)}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(x-\frac12)^n} y ( n ) = ( x − 2 1 1 ) ( n − 1 ) = ( x − 2 1 ) n ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )!
n n n n − 1 n-1 n − 1
③ 代 0。 y ( n ) ( 0 ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( − 1 2 ) n = ( − 1 ) n − 1 ( − 1 ) n 2 n ( n − 1 ) ! = − 2 n ( n − 1 ) ! y^{(n)}(0)=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(-\frac12)^n}=(-1)^{n-1}(-1)^n2^n(n-1)!=-2^n(n-1)! y ( n ) ( 0 ) = ( − 2 1 ) n ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )! = ( − 1 ) n − 1 ( − 1 ) n 2 n ( n − 1 )! = − 2 n ( n − 1 )!
除以 ( − 1 2 ) n (-\frac12)^n ( − 2 1 ) n ( − 2 ) n (-2)^n ( − 2 ) n ( − 1 ) 2 n − 1 (-1)^{2n-1} ( − 1 ) 2 n − 1 − 1 -1 − 1 n = 1 n=1 n = 1 y ′ = − 2 1 − 2 x y'=\frac{-2}{1-2x} y ′ = 1 − 2 x − 2 y ′ ( 0 ) = − 2 y'(0)=-2 y ′ ( 0 ) = − 2
答案：− 2 n ( n − 1 ) ! -2^n(n-1)! − 2 n ( n − 1 )!
3.2 莱布尼茨公式：两个函数乘积的 n n n 大白话：乘积 u v uv uv n n n ( a + b ) n (a+b)^n ( a + b ) n 。最常见的用法：其中一个因子是多项式（比如 x 2 x^2 x 2
1 n =01 1 n =11 2 1 n =21 3 3 1 n =31 4 6 4 1 n =41 5 10 10 5 1 n =5杨辉三角：第 n n n C n k C_n^k C n k n = 5 n=5 n = 5 莱布尼茨公式
( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) = u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ′ + C n 2 u ( n − 2 ) v ′ ′ + ⋯ + u v ( n ) . \displaystyle (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}=u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v''+\cdots+uv^{(n)}. ( uv ) ( n ) = k = 0 ∑ n C n k u ( n − k ) v ( k ) = u ( n ) v + C n 1 u ( n − 1 ) v ′ + C n 2 u ( n − 2 ) v ′′ + ⋯ + u v ( n ) . 让多项式当 v v v v = x 2 v=x^2 v = x 2 v ′ ′ ′ = 0 v'''=0 v ′′′ = 0 u ( n ) x 2 + 2 n u ( n − 1 ) x + n ( n − 1 ) u ( n − 2 ) u^{(n)}x^2+2nu^{(n-1)}x+n(n-1)u^{(n-2)} u ( n ) x 2 + 2 n u ( n − 1 ) x + n ( n − 1 ) u ( n − 2 )
方法卡 · 莱布尼茨公式
什么时候用
多项式 × 指数、对数、三角函数，求某一点的高阶导数。
步骤
让多项式当 v v v u u u
写出不为 0 的那几项，系数用 C n k C_n^k C n k
代值；在 x = 0 x=0 x = 0 最容易错
系数漏乘
C n k C_n^k C n k ；
u ( n − k ) u^{(n-k)} u ( n − k ) 与
v ( k ) v^{(k)} v ( k ) 的阶数写反。
例 3.3 2024 数二(14)
已知函数
f ( x ) = x 2 ( e x − 1 ) f(x)=x^2(\e^x-1) f ( x ) = x 2 ( e x − 1 ) ，则
f ( 5 ) ( 1 ) = f^{(5)}(1)= f ( 5 ) ( 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆开。 f = x 2 e x − x 2 f=x^2\e^x-x^2 f = x 2 e x − x 2 ( x 2 ) ( 5 ) = 0 (x^2)^{(5)}=0 ( x 2 ) ( 5 ) = 0 ( x 2 e x ) ( 5 ) (x^2\e^x)^{(5)} ( x 2 e x ) ( 5 )
多项式 x 2 x^2 x 2
② 莱布尼茨。 ( x 2 e x ) ( 5 ) = e x ⋅ x 2 + C 5 1 e x ⋅ 2 x + C 5 2 e x ⋅ 2 = e x ( x 2 + 10 x + 20 ) (x^2\e^x)^{(5)}=\e^x\cdot x^2+C_5^1\e^x\cdot2x+C_5^2\e^x\cdot2=\e^x(x^2+10x+20) ( x 2 e x ) ( 5 ) = e x ⋅ x 2 + C 5 1 e x ⋅ 2 x + C 5 2 e x ⋅ 2 = e x ( x 2 + 10 x + 20 )
u = e x u=\e^x u = e x e x \e^x e x v = x 2 v=x^2 v = x 2 2 x 2x 2 x 2 2 2 0 0 0 C 5 1 = 5 C_5^1=5 C 5 1 = 5 C 5 2 = 10 C_5^2=10 C 5 2 = 10
③ 代 1。 f ( 5 ) ( 1 ) = e ( 1 + 10 + 20 ) = 31 e f^{(5)}(1)=\e(1+10+20)=31\e f ( 5 ) ( 1 ) = e ( 1 + 10 + 20 ) = 31 e
也可以对照 ep 板书例 25 的同类题 x 2 ( e x + 1 ) x^2(\e^x+1) x 2 ( e x + 1 )
答案：31 e 31\e 31 e
例 3.4 2015 数二(10)
函数
f ( x ) = x 2 ⋅ 2 x f(x)=x^2\cdot2^x f ( x ) = x 2 ⋅ 2 x 在
x = 0 x=0 x = 0 处的
n n n 阶导数
f ( n ) ( 0 ) = f^{(n)}(0)= f ( n ) ( 0 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 莱布尼茨，v = x 2 v=x^2 v = x 2 f ( n ) = ( 2 x ) ( n ) x 2 + C n 1 ( 2 x ) ( n − 1 ) ⋅ 2 x + C n 2 ( 2 x ) ( n − 2 ) ⋅ 2 f^{(n)}=(2^x)^{(n)}x^2+C_n^1(2^x)^{(n-1)}\cdot2x+C_n^2(2^x)^{(n-2)}\cdot2 f ( n ) = ( 2 x ) ( n ) x 2 + C n 1 ( 2 x ) ( n − 1 ) ⋅ 2 x + C n 2 ( 2 x ) ( n − 2 ) ⋅ 2
只剩前三项，后面 x 2 x^2 x 2
② 代 0。 前两项含 x x x n ( n − 1 ) 2 ⋅ ( ln 2 ) n − 2 ⋅ 2 = n ( n − 1 ) ( ln 2 ) n − 2 \dfrac{n(n-1)}2\cdot(\ln2)^{n-2}\cdot2=n(n-1)(\ln2)^{n-2} 2 n ( n − 1 ) ⋅ ( ln 2 ) n − 2 ⋅ 2 = n ( n − 1 ) ( ln 2 ) n − 2
莱布尼茨展开后，含 x x x x 2 x^2 x 2 x 2 x^2 x 2 2 x 2^x 2 x k k k 2 x ( ln 2 ) k 2^x(\ln2)^k 2 x ( ln 2 ) k
答案：n ( n − 1 ) ( ln 2 ) n − 2 n(n-1)(\ln2)^{n-2} n ( n − 1 ) ( ln 2 ) n − 2
3.3 用泰勒展开求 f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) 大白话：一个函数在 0 附近展开成 f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ a n = f ( n ) ( 0 ) n ! a_n=\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} a n = n ! f ( n ) ( 0 ) 。所以只要用已知的展开式（e x \e^x e x sin x \sin x sin x ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) f f f x n x^n x n n ! n! n ! f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 )
x y O ln(1+x ) x x −x ²/2三次 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) a n = f ( n ) ( 0 ) n ! a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} a n = n ! f ( n ) ( 0 ) 唯一性与常用展开
f ( x ) = ∑ n = 0 N a n x n + o ( x N ) ⟹ f ( n ) ( 0 ) = n ! a n . \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^N a_nx^n+o(x^N)\ \Longrightarrow\ f^{(n)}(0)=n!\,a_n. f ( x ) = n = 0 ∑ N a n x n + o ( x N ) ⟹ f ( n ) ( 0 ) = n ! a n . 要用的展开式：e x = ∑ x n n ! \e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!} e x = ∑ n ! x n sin x = ∑ ( − 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! \sin x=\sum\dfrac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} sin x = ∑ ( 2 k + 1 )! ( − 1 ) k x 2 k + 1 cos x = ∑ ( − 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! \cos x=\sum\dfrac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} cos x = ∑ ( 2 k )! ( − 1 ) k x 2 k ln ( 1 + x ) = ∑ n ≥ 1 ( − 1 ) n − 1 x n n \ln(1+x)=\sum\limits_{n\ge1}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}n ln ( 1 + x ) = n ≥ 1 ∑ n ( − 1 ) n − 1 x n 1 1 − x = ∑ x n \dfrac1{1-x}=\sum x^n 1 − x 1 = ∑ x n
方法卡 · 泰勒系数法求
f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) 什么时候用
x k × x^k\times x k × （已知展开的函数），求
f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) ，
n n n 是一般的正整数或很大的数（如 10）。
步骤
写出已知函数的展开式（通项）。
乘上 x k x^k x k x n x^n x n a n a_n a n k k k
f ( n ) ( 0 ) = n ! a n f^{(n)}(0)=n!\,a_n f ( n ) ( 0 ) = n ! a n 最容易错
下标平移错：
x 2 ln ( 1 + x ) x^2\ln(1+x) x 2 ln ( 1 + x ) 的
x n x^n x n 项来自
ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) 的
x n − 2 x^{n-2} x n − 2 项；忘了乘
n ! n! n ! 。
例 3.5 李林 第二章 §2 例 11 · p54
求函数
f ( x ) = x 2 ln ( 1 + x ) f(x)=x^2\ln(1+x) f ( x ) = x 2 ln ( 1 + x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处的
n n n 阶导数
f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) （
n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3 ）。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 展开。 x 2 ln ( 1 + x ) = x 2 ∑ m ≥ 1 ( − 1 ) m − 1 x m m = ∑ m ≥ 1 ( − 1 ) m − 1 x m + 2 m x^2\ln(1+x)=x^2\sum\limits_{m\ge1}\dfrac{(-1)^{m-1}x^m}m=\sum\limits_{m\ge1}\dfrac{(-1)^{m-1}x^{m+2}}m x 2 ln ( 1 + x ) = x 2 m ≥ 1 ∑ m ( − 1 ) m − 1 x m = m ≥ 1 ∑ m ( − 1 ) m − 1 x m + 2
把 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) x 2 x^2 x 2
② 找 x n x^n x n m + 2 = n m+2=n m + 2 = n m = n − 2 m=n-2 m = n − 2 a n = ( − 1 ) n − 3 n − 2 = ( − 1 ) n − 1 n − 2 a_n=\dfrac{(-1)^{n-3}}{n-2}=\dfrac{(-1)^{n-1}}{n-2} a n = n − 2 ( − 1 ) n − 3 = n − 2 ( − 1 ) n − 1
x 2 ⋅ x m x^2\cdot x^m x 2 ⋅ x m x n x^n x n m = n − 2 m=n-2 m = n − 2 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) m = 1 m=1 m = 1 n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3
③ 乘 n ! n! n ! f ( n ) ( 0 ) = ( − 1 ) n − 1 n ! n − 2 f^{(n)}(0)=\dfrac{(-1)^{n-1}n!}{n-2} f ( n ) ( 0 ) = n − 2 ( − 1 ) n − 1 n !
李林用莱布尼茨公式得到同样结果，但要算三项；泰勒法一步到位。
答案：( − 1 ) n − 1 n ! n − 2 \frac{(-1)^{n-1}n!}{n-2} n − 2 ( − 1 ) n − 1 n ! n ≥ 3 n\ge3 n ≥ 3
例 3.6 ep 板书 一元微分 例 21
已知
f ( x ) = x 2 cos 2 x f(x)=x^2\cos^2x f ( x ) = x 2 cos 2 x ，求
f ( 10 ) ( 0 ) f^{(10)}(0) f ( 10 ) ( 0 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 降幂。 f = x 2 2 + x 2 2 cos 2 x f=\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^2}2\cos2x f = 2 x 2 + 2 x 2 cos 2 x
cos 2 x = 1 + cos 2 x 2 \cos^2x=\frac{1+\cos2x}2 cos 2 x = 2 1 + c o s 2 x
② 找 x 10 x^{10} x 10 x 2 2 cos 2 x \dfrac{x^2}2\cos2x 2 x 2 cos 2 x cos 2 x \cos2x cos 2 x x 8 x^8 x 8 ( 2 x ) 8 8 ! \dfrac{(2x)^8}{8!} 8 ! ( 2 x ) 8 a 10 = 1 2 ⋅ 2 8 8 ! = 2 7 8 ! a_{10}=\dfrac12\cdot\dfrac{2^8}{8!}=\dfrac{2^7}{8!} a 10 = 2 1 ⋅ 8 ! 2 8 = 8 ! 2 7 x 2 2 \frac{x^2}2 2 x 2 x 10 x^{10} x 10
cos u \cos u cos u k k k ( − 1 ) k u 2 k ( 2 k ) ! \frac{(-1)^ku^{2k}}{(2k)!} ( 2 k )! ( − 1 ) k u 2 k k = 4 k=4 k = 4
③ 乘 10 ! 10! 10 ! f ( 10 ) ( 0 ) = 10 ! ⋅ 2 7 8 ! = 90 × 128 = 11520 f^{(10)}(0)=10!\cdot\dfrac{2^7}{8!}=90\times128=11520 f ( 10 ) ( 0 ) = 10 ! ⋅ 8 ! 2 7 = 90 × 128 = 11520
由 f ( n ) ( 0 ) = n ! a n f^{(n)}(0)=n!\,a_n f ( n ) ( 0 ) = n ! a n x 10 x^{10} x 10 2 7 8 ! \frac{2^7}{8!} 8 ! 2 7 10 ! 10! 10 ! 10 ! 8 ! = 10 × 9 = 90 \frac{10!}{8!}=10\times9=90 8 ! 10 ! = 10 × 9 = 90
答案：11520
例 3.7 2017 数一(9) 泰勒系数 奇偶性
已知函数
f ( x ) = 1 1 + x 2 f(x)=\dfrac1{1+x^2} f ( x ) = 1 + x 2 1 ，则
f ( 3 ) ( 0 ) = f^{(3)}(0)= f ( 3 ) ( 0 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 写出 f f f 1 1 + x 2 = 1 1 − ( − x 2 ) = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ \dfrac1{1+x^2}=\dfrac1{1-(-x^2)}=1-x^2+x^4-\cdots 1 + x 2 1 = 1 − ( − x 2 ) 1 = 1 − x 2 + x 4 − ⋯ f ( x ) = 1 − x 2 + o ( x 3 ) f(x)=1-x^2+o(x^3) f ( x ) = 1 − x 2 + o ( x 3 )
把 1 1 − u = 1 + u + u 2 + ⋯ \frac1{1-u}=1+u+u^2+\cdots 1 − u 1 = 1 + u + u 2 + ⋯ u u u − x 2 -x^2 − x 2 x x x x 4 x^4 x 4 x 3 x^3 x 3 o ( x 3 ) o(x^3) o ( x 3 )
② 读出 x 3 x^3 x 3 3 ! 3! 3 ! 展开式里没有 x 3 x^3 x 3 a 3 = 0 a_3=0 a 3 = 0 f ( 3 ) ( 0 ) = 3 ! ⋅ a 3 = 0 f^{(3)}(0)=3!\cdot a_3=0 f ( 3 ) ( 0 ) = 3 ! ⋅ a 3 = 0
展开式唯一，且 a n = f ( n ) ( 0 ) n ! a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} a n = n ! f ( n ) ( 0 )
③ 用奇偶性再核对一次。 f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f ( − x ) = f ( x ) f f f f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ ′ f''' f ′′′ f ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 f'''(0)=0 f ′′′ ( 0 ) = 0
偶函数求一次导变成奇函数，再求一次变回偶函数；奇函数 g g g g ( 0 ) = − g ( 0 ) g(0)=-g(0) g ( 0 ) = − g ( 0 ) g ( 0 ) = 0 g(0)=0 g ( 0 ) = 0
④ 硬算对照（考场不推荐）。 f ′ = − 2 x ( 1 + x 2 ) 2 f'=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2} f ′ = − ( 1 + x 2 ) 2 2 x f ′ ′ = 6 x 2 − 2 ( 1 + x 2 ) 3 f''=\dfrac{6x^2-2}{(1+x^2)^3} f ′′ = ( 1 + x 2 ) 3 6 x 2 − 2 f ′ ′ ′ = 24 x ( 1 − x 2 ) ( 1 + x 2 ) 4 f'''=\dfrac{24x(1-x^2)}{(1+x^2)^4} f ′′′ = ( 1 + x 2 ) 4 24 x ( 1 − x 2 ) x = 0 x=0 x = 0
直接求三阶导要连用两次商的求导法则，最容易算错；泰勒系数法和奇偶性都是一步得出答案，三种做法结果一致。
答案：0
3.4 找规律、构造递推，利用奇偶性与周期大白话：有些题给的不是具体函数，而是一个关系式（比如 f ′ = f 2 f'=f^2 f ′ = f 2 。另一个“秒杀”工具是奇偶性：奇函数在 0 处的偶数阶导数都是 0，偶函数在 0 处的奇数阶导数都是 0（因为“奇导偶、偶导奇”）；在某点附近对称的函数也一样。
x y O f =e− x ² （偶） f ′（奇）f ′(0)=0偶函数 f ( x ) = e − x 2 f(x)=\e^{-x^2} f ( x ) = e − x 2 f ′ f' f ′ f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ′ f''' f ′′′ f ′ ′ ′ ( 0 ) = 0 f'''(0)=0 f ′′′ ( 0 ) = 0 三条工具
归纳 ：求出 f ′ , f ′ ′ , f ′ ′ ′ f',f'',f''' f ′ , f ′′ , f ′′′ f ( n ) f^{(n)} f ( n ) 奇偶 ：f f f f ( 2 k ) ( 0 ) = 0 f^{(2k)}(0)=0 f ( 2 k ) ( 0 ) = 0 f f f f ( 2 k + 1 ) ( 0 ) = 0 f^{(2k+1)}(0)=0 f ( 2 k + 1 ) ( 0 ) = 0 对称点 ：若 f ( a + h ) = f ( a − h ) f(a+h)=f(a-h) f ( a + h ) = f ( a − h ) x = a x=a x = a f f f a a a
方法卡 · 看到关系式求
f ( n ) f^{(n)} f ( n ) 什么时候用
f ′ = f 2 f'=f^2 f ′ = f 2 、
f ′ = f 3 f'=f^3 f ′ = f 3 这类“导数用函数自己表示”的条件。
步骤
对关系式两边求导，右边用链式法则，再把 f ′ f' f ′
重复两三次，写出 f ′ ′ , f ′ ′ ′ , f ( 4 ) f'',f''',f^{(4)} f ′′ , f ′′′ , f ( 4 )
写出 f ( n ) f^{(n)} f ( n ) n = 1 , 2 n=1,2 n = 1 , 2 最容易错
换
f ′ f' f ′ 时漏了链式法则里的因子；只求到二阶就猜，规律容易看错。
例 3.8 李林 第二章 §2 例 12 · p55
已知函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 有任意阶导数，且
f ′ ( x ) = [ f ( x ) ] 2 f'(x)=[f(x)]^2 f ′ ( x ) = [ f ( x ) ] 2 ，求
f ( n ) ( x ) f^{(n)}(x) f ( n ) ( x ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 求二、三阶。 f ′ ′ = 2 f f ′ = 2 f 3 f''=2ff'=2f^3 f ′′ = 2 f f ′ = 2 f 3 f ′ ′ ′ = 2 ⋅ 3 f 2 f ′ = 3 ! f 4 f'''=2\cdot3f^2f'=3!f^4 f ′′′ = 2 ⋅ 3 f 2 f ′ = 3 ! f 4 f ( 4 ) = 3 ! ⋅ 4 f 3 f ′ = 4 ! f 5 f^{(4)}=3!\cdot4f^3f'=4!f^5 f ( 4 ) = 3 ! ⋅ 4 f 3 f ′ = 4 ! f 5
每次求导：幂次降 1 再乘 f ′ f' f ′ f ′ = f 2 f'=f^2 f ′ = f 2
② 归纳。 f ( n ) ( x ) = n ! [ f ( x ) ] n + 1 f^{(n)}(x)=n![f(x)]^{n+1} f ( n ) ( x ) = n ! [ f ( x ) ] n + 1
n = 1 n=1 n = 1 1 ! f 2 = f ′ 1!f^2=f' 1 ! f 2 = f ′ f = 1 C − x f=\frac1{C-x} f = C − x 1 ( 1 C − x ) ( n ) = n ! ( C − x ) n + 1 \big(\frac1{C-x}\big)^{(n)}=\frac{n!}{(C-x)^{n+1}} ( C − x 1 ) ( n ) = ( C − x ) n + 1 n !
答案：n ! [ f ( x ) ] n + 1 n![f(x)]^{n+1} n ! [ f ( x ) ] n + 1
例 3.9 2022 数三(13)
已知函数
f ( x ) = e sin x + e − sin x f(x)=\e^{\sin x}+\e^{-\sin x} f ( x ) = e s i n x + e − s i n x ，则
f ′ ′ ′ ( 2 π ) = f'''(2\pi)= f ′′′ ( 2 π ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 看对称。 f ( 2 π + h ) = e sin h + e − sin h f(2\pi+h)=\e^{\sin h}+\e^{-\sin h} f ( 2 π + h ) = e s i n h + e − s i n h h h h − h -h − h e − sin h + e sin h \e^{-\sin h}+\e^{\sin h} e − s i n h + e s i n h f f f x = 2 π x=2\pi x = 2 π
周期 2 π 2\pi 2 π sin ( 2 π + h ) = sin h \sin(2\pi+h)=\sin h sin ( 2 π + h ) = sin h
② 奇数阶导数为 0。 g ( h ) = f ( 2 π + h ) g(h)=f(2\pi+h) g ( h ) = f ( 2 π + h ) h = 0 h=0 h = 0 f ′ ′ ′ ( 2 π ) = 0 f'''(2\pi)=0 f ′′′ ( 2 π ) = 0
“偶导奇”：偶函数求一次导变奇、两次变偶、三次变奇；奇函数在 0 处的值是 0。
答案：0
例 3.10 ep 板书 一元微分 例 28
已知函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 具有任意阶导数，且
f ′ ( x ) = [ f ( x ) ] 3 f'(x)=[f(x)]^3 f ′ ( x ) = [ f ( x ) ] 3 ，则当
n > 1 n>1 n > 1 时，
f ( n ) ( x ) = f^{(n)}(x)= f ( n ) ( x ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 求前几阶。 f ′ ′ = 3 f 2 f ′ = 3 f 5 f''=3f^2f'=3f^5 f ′′ = 3 f 2 f ′ = 3 f 5 f ′ ′ ′ = 15 f 4 f ′ = 3 ⋅ 5 f 7 f'''=15f^4f'=3\cdot5f^7 f ′′′ = 15 f 4 f ′ = 3 ⋅ 5 f 7 f ( 4 ) = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 f 6 f ′ = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 f 9 f^{(4)}=3\cdot5\cdot7f^6f'=3\cdot5\cdot7f^9 f ( 4 ) = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 f 6 f ′ = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 f 9
每次求导：幂次降 1 再乘 f ′ = f 3 f'=f^3 f ′ = f 3
② 归纳。 f ( n ) = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) f 2 n + 1 = ( 2 n − 1 ) ! ! f 2 n + 1 f^{(n)}=1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)\,f^{2n+1}=(2n-1)!!\,f^{2n+1} f ( n ) = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋯ ( 2 n − 1 ) f 2 n + 1 = ( 2 n − 1 )!! f 2 n + 1
( 2 n − 1 ) ! ! (2n-1)!! ( 2 n − 1 )!! n = 2 n=2 n = 2 3 f 5 3f^5 3 f 5
答案：( 2 n − 1 ) ! ! [ f ( x ) ] 2 n + 1 (2n-1)!!\,[f(x)]^{2n+1} ( 2 n − 1 )!! [ f ( x ) ] 2 n + 1
3.5 小结
题目里的样子 用哪一招 例子
e a x \e^{ax} e a x sin ( a x + b ) \sin(ax+b) sin ( a x + b ) 1 x + a \frac1{x+a} x + a 1 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) 直接套 n n n 例 3.1 分母能分解的分式、ln ( 1 − 2 x ) \ln(1-2x) ln ( 1 − 2 x ) 先拆项或先求一阶，再套公式 例 3.1 、例 3.2 多项式 × 另一个函数，在一般点求导 莱布尼茨，让多项式当 v v v 例 3.3 、例 3.4 x k × x^k\times x k × 泰勒系数：f ( n ) ( 0 ) = n ! a n f^{(n)}(0)=n!a_n f ( n ) ( 0 ) = n ! a n 例 3.5 、例 3.6 、例 3.7 f ′ = f 2 f'=f^2 f ′ = f 2 求三四阶找规律 例 3.8 、例 3.10 在某点对称或奇偶 奇数阶（或偶数阶）导数为 0 例 3.9 、例 3.7
学完了，标记这一部分
第 4 部分
单调性、极值与最值
导数的正负决定函数的升降。这一部分从单调性出发，讲极值（附近最高最低）、最值（全局最高最低）、方程根的个数和不等式证明——都是“先看导数的符号”。
考试要求（大纲原文，李林讲义第四章第 1 条）
理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
对应李林讲义第四章第一节“单调性与极值”（p94—100）：题型一“证明不等式”、题型二“讨论函数的单调性与极值”、题型三“图形题”，以及第二节题型四“讨论含参数方程的根”。Maki 第十四讲 14.1 节与第十五讲。用单调性证明不等式、数方程的根，在《中值定理》笔记第 8 部分还有更难的题。
4.1 单调性：看导数的符号大白话：导数是斜率，斜率为正，曲线往上走；斜率为负，往下走 。所以要知道函数在哪里增、在哪里减，只要把 f ′ f' f ′ f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 f ′ f' f ′ f ′ f' f ′
x y O 极大 2 极小 −2 -1 1 + 增 − 减 + 增 f ′ 符号f ( x ) = x 3 − 3 x f(x)=x^3-3x f ( x ) = x 3 − 3 x f ′ = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) f'=3(x-1)(x+1) f ′ = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) + − + +\,-\,+ + − + 单调性判别定理
f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b )
f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 f ′ ≥ 0 f'\ge0 f ′ ≥ 0 f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 反过来不成立：y = x 3 y=x^3 y = x 3 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
只在一点 f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f ′ ( x 0 ) > 0 x 0 x_0 x 0 x 3 sin 1 x 2 + x x^3\sin\frac1{x^2}+x x 3 sin x 2 1 + x x 0 x_0 x 0 f > f ( x 0 ) f>f(x_0) f > f ( x 0 ) f < f ( x 0 ) f<f(x_0) f < f ( x 0 ) 方法卡 · 求单调区间
什么时候用
“讨论单调性”“求单调区间”，以及后面所有极值、最值、根的个数问题的第一步。
步骤
写出定义域。
求 f ′ f' f ′ f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 f ′ f' f ′
这些点把定义域切成几段，每段取一个点判断 f ′ f' f ′ 最容易错
漏掉
f ′ f' f ′ 不存在的点（如
x 2 / 3 x^{2/3} x 2/3 在 0 处）；忘了定义域的断点。
例 4.1 基础
求单调区间：（1）
f ( x ) = x 3 − 3 x f(x)=x^3-3x f ( x ) = x 3 − 3 x ；（2）
f ( x ) = x − ln ( 1 + x ) f(x)=x-\ln(1+x) f ( x ) = x − ln ( 1 + x ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 导数分解。 f ′ = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) f'=3x^2-3=3(x-1)(x+1) f ′ = 3 x 2 − 3 = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ± 1 \pm1 ± 1
因式分解后符号一目了然。
② (1) 符号轴。 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) + + + ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) − - − ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) + + + ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] ( − ∞ , − 1 ] [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ]
每段取一个点代进去：x = − 2 x=-2 x = − 2 x = 0 x=0 x = 0 − 3 -3 − 3 x = 2 x=2 x = 2
③ (2) 定义域 x > − 1 x>-1 x > − 1 f ′ = 1 − 1 1 + x = x 1 + x f'=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac x{1+x} f ′ = 1 − 1 + x 1 = 1 + x x ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) ( − 1 , 0 ] (-1,0] ( − 1 , 0 ] [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [ 0 , + ∞ )
分母 1 + x > 0 1+x>0 1 + x > 0 x x x x − ln ( 1 + x ) ≥ 0 x-\ln(1+x)\ge0 x − ln ( 1 + x ) ≥ 0 ln ( 1 + x ) ≤ x \ln(1+x)\le x ln ( 1 + x ) ≤ x
答案：(1) 增 ( − ∞ , − 1 ] (-\infty,-1] ( − ∞ , − 1 ] [ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] ( − 1 , 0 ] (-1,0] ( − 1 , 0 ] [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [ 0 , + ∞ )
例 4.2 2017 数一(2) 2017 数三(3)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 可导，且
f ( x ) f ′ ( x ) > 0 f(x)f'(x)>0 f ( x ) f ′ ( x ) > 0 ，则（ ）
（A）
f ( 1 ) > f ( − 1 ) f(1)>f(-1) f ( 1 ) > f ( − 1 ) （B）
f ( 1 ) < f ( − 1 ) f(1)<f(-1) f ( 1 ) < f ( − 1 ) （C）
∣ f ( 1 ) ∣ > ∣ f ( − 1 ) ∣ |f(1)|>|f(-1)| ∣ f ( 1 ) ∣ > ∣ f ( − 1 ) ∣ （D）
∣ f ( 1 ) ∣ < ∣ f ( − 1 ) ∣ |f(1)|<|f(-1)| ∣ f ( 1 ) ∣ < ∣ f ( − 1 ) ∣ 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 认出一个导数。 f ( x ) f ′ ( x ) = 1 2 [ f 2 ( x ) ] ′ f(x)f'(x)=\dfrac12\big[f^2(x)\big]' f ( x ) f ′ ( x ) = 2 1 [ f 2 ( x ) ] ′ [ f 2 ( x ) ] ′ > 0 \big[f^2(x)\big]'>0 [ f 2 ( x ) ] ′ > 0 f 2 f^2 f 2
看到“函数乘它的导数”，就想到它是 1 2 ( f 2 ) ′ \frac12(f^2)' 2 1 ( f 2 ) ′
② 比较。 f 2 ( 1 ) > f 2 ( − 1 ) f^2(1)>f^2(-1) f 2 ( 1 ) > f 2 ( − 1 ) ∣ f ( 1 ) ∣ > ∣ f ( − 1 ) ∣ |f(1)|>|f(-1)| ∣ f ( 1 ) ∣ > ∣ f ( − 1 ) ∣
平方相比较，开方后是绝对值。
③ 排除（A）（B）。 f = e x f=\e^x f = e x f f ′ = e 2 x > 0 ff'=\e^{2x}>0 f f ′ = e 2 x > 0 f ( 1 ) > f ( − 1 ) f(1)>f(-1) f ( 1 ) > f ( − 1 ) f = − e x f=-\e^x f = − e x f f ′ = e 2 x > 0 ff'=\e^{2x}>0 f f ′ = e 2 x > 0 f ( 1 ) < f ( − 1 ) f(1)<f(-1) f ( 1 ) < f ( − 1 )
两个例子分别否定（B）和（A）：条件只管 f 2 f^2 f 2 f f f
答案：C
例 4.3 李林 第二章 §1 例 4 · p44
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 是连续函数，且
f ′ ( 0 ) > 0 f'(0)>0 f ′ ( 0 ) > 0 ，则存在
δ > 0 \delta>0 δ > 0 ，使得（ ）
（A）
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( 0 , δ ) (0,\delta) ( 0 , δ ) 内单调增加 （B）
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( − δ , 0 ) (-\delta,0) ( − δ , 0 ) 内单调减少
（C）对任意
x ∈ ( 0 , δ ) x\in(0,\delta) x ∈ ( 0 , δ ) ，有
f ( x ) > f ( 0 ) f(x)>f(0) f ( x ) > f ( 0 ) （D）对任意
x ∈ ( − δ , 0 ) x\in(-\delta,0) x ∈ ( − δ , 0 ) ，有
f ( x ) > f ( 0 ) f(x)>f(0) f ( x ) > f ( 0 ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 由定义和保号性。 f ′ ( 0 ) = lim x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x > 0 f'(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}x>0 f ′ ( 0 ) = x → 0 + lim x f ( x ) − f ( 0 ) > 0 δ > 0 \delta>0 δ > 0 x ∈ ( 0 , δ ) x\in(0,\delta) x ∈ ( 0 , δ ) f ( x ) − f ( 0 ) x > 0 \dfrac{f(x)-f(0)}x>0 x f ( x ) − f ( 0 ) > 0 f ( x ) > f ( 0 ) f(x)>f(0) f ( x ) > f ( 0 )
极限为正 ⇒ 附近的值也为正（保号性）；x > 0 x>0 x > 0
② 为什么不是（A）。 反例 f ( x ) = x 3 sin 1 x 2 + x f(x)=x^3\sin\dfrac1{x^2}+x f ( x ) = x 3 sin x 2 1 + x f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) = 1 > 0 f'(0)=1>0 f ′ ( 0 ) = 1 > 0 f ′ ( x ) = 3 x 2 sin 1 x 2 − 2 cos 1 x 2 + 1 f'(x)=3x^2\sin\dfrac1{x^2}-2\cos\dfrac1{x^2}+1 f ′ ( x ) = 3 x 2 sin x 2 1 − 2 cos x 2 1 + 1 − 1 -1 − 1
一点处导数为正，只说明“过这一点时在上升”，不说明附近一整段都在上升——附近可能剧烈振荡。（D）也错：左边 f ( x ) < f ( 0 ) f(x)<f(0) f ( x ) < f ( 0 )
答案：C
4.2 极值：三个充分条件大白话：极大值就是“附近的山顶”，极小值是“附近的谷底”；它只和附近比，不和全局比 。山顶处要么切线水平（f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 f ′ f' f ′
x y O f ′>0f ′<0f ′>0山顶：极大 谷底：极小 f ′ f' f ′ f ′ f' f ′ x 3 x^3 x 3 x y O 尖顶：极大，f ′ 不存在 驻点：极小 (x −1)x 2/3 f ( x ) = ( x − 1 ) x 2 3 f(x)=(x-1)x^{\frac23} f ( x ) = ( x − 1 ) x 3 2 x = 0 x=0 x = 0 x = 2 5 x=\frac25 x = 5 2
极值的必要条件与三个充分条件
必要条件 （费马引理）：f f f x 0 x_0 x 0 f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f ′ ( x 0 ) = 0 x 3 x^3 x 3 第一充分条件 ：f f f x 0 x_0 x 0 f ′ f' f ′ x 0 x_0 x 0 第二充分条件 ：f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f ′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ( x 0 ) < 0 f''(x_0)<0 f ′′ ( x 0 ) < 0 f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f ′′ ( x 0 ) > 0 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = 0 第三充分条件 （推广）：f ′ ( x 0 ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 f ′ ( x 0 ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 f^{(n)}(x_0)\ne0 f ( n ) ( x 0 ) = 0 n n n f ( n ) < 0 f^{(n)}<0 f ( n ) < 0 > 0 >0 > 0 n n n
ep 板书的口诀：“新娘不是娘，极值点不是点”——极值点是一个 x x x ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) ( x 0 , f ( x 0 ))
方法卡 · 求极值
什么时候用
“求函数的极值”“
x 0 x_0 x 0 是否为极值点”。
步骤
求出所有驻点（f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0
对每一个点判断：能算 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0
把极值点代回 f f f 最容易错
漏掉不可导点；只写“极小值点
x = 1 x=1 x = 1 ”没写极小值；
f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = 0 时直接说“不是极值”（要用更高阶或第一充分条件）。
例 4.4 基础
求
f ( x ) = ( x − 1 ) x 2 3 f(x)=(x-1)x^{\frac23} f ( x ) = ( x − 1 ) x 3 2 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 可疑点。 f ′ ( x ) = x 2 3 + 2 3 ( x − 1 ) x − 1 3 = 3 x + 2 x − 2 3 x 1 / 3 = 5 x − 2 3 x 3 f'(x)=x^{\frac23}+\dfrac23(x-1)x^{-\frac13}=\dfrac{3x+2x-2}{3x^{1/3}}=\dfrac{5x-2}{3\sqrt[3]x} f ′ ( x ) = x 3 2 + 3 2 ( x − 1 ) x − 3 1 = 3 x 1/3 3 x + 2 x − 2 = 3 3 x 5 x − 2 x = 2 5 x=\dfrac25 x = 5 2 x = 0 x=0 x = 0
通分时把 x 2 / 3 x^{2/3} x 2/3 x x 1 / 3 \frac{x}{x^{1/3}} x 1/3 x x 3 \sqrt[3]x 3 x
② 符号。 x < 0 x<0 x < 0 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 0 < x < 2 5 0<x<\frac25 0 < x < 5 2 f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 x > 2 5 x>\frac25 x > 5 2 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0
不可导点照样用第一充分条件判断。
③ 结论。 极大值 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( 2 5 ) = − 3 5 ( 2 5 ) 2 3 f\big(\frac25\big)=-\dfrac35\Big(\dfrac25\Big)^{\frac23} f ( 5 2 ) = − 5 3 ( 5 2 ) 3 2
0 处左增右减，是尖顶；2 5 \frac25 5 2
答案：极大值 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( 2 5 ) = − 3 5 ( 2 5 ) 2 / 3 f(\frac25)=-\frac35\big(\frac25\big)^{2/3} f ( 5 2 ) = − 5 3 ( 5 2 ) 2/3
例 4.5 2019 数一(2)
设函数
f ( x ) = { x ∣ x ∣ , x ≤ 0 x ln x , x > 0 f(x)=\begin{cases}x|x|,&x\le0\\x\ln x,&x>0\end{cases} f ( x ) = { x ∣ x ∣ , x ln x , x ≤ 0 x > 0 ，则
x = 0 x=0 x = 0 是
f ( x ) f(x) f ( x ) 的（ ）
（A）可导点，极值点 （B）不可导点，极值点
（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 可导性。 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 lim x → 0 − − x 2 x = 0 \lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{-x^2}x=0 x → 0 − lim x − x 2 = 0 lim x → 0 + x ln x x = lim ln x = − ∞ \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x\ln x}x=\lim\ln x=-\infty x → 0 + lim x x ln x = lim ln x = − ∞
x ≤ 0 x\le0 x ≤ 0 x ∣ x ∣ = − x 2 x|x|=-x^2 x ∣ x ∣ = − x 2 ln x \ln x ln x
② 极值。 x < 0 x<0 x < 0 f = − x 2 < 0 f=-x^2<0 f = − x 2 < 0 0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 f = x ln x < 0 f=x\ln x<0 f = x ln x < 0 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
不可导点直接用极值的定义：比较附近的函数值。
答案：B
例 4.6 2014 数一(16)
设函数
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 由方程
y 3 + x y 2 + x 2 y + 6 = 0 y^3+xy^2+x^2y+6=0 y 3 + x y 2 + x 2 y + 6 = 0 确定，求
f ( x ) f(x) f ( x ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 求导找驻点。 两边对 x x x 3 y 2 y ′ + y 2 + 2 x y y ′ + 2 x y + x 2 y ′ = 0 3y^2y'+y^2+2xyy'+2xy+x^2y'=0 3 y 2 y ′ + y 2 + 2 x y y ′ + 2 x y + x 2 y ′ = 0 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 y 2 + 2 x y = 0 y^2+2xy=0 y 2 + 2 x y = 0 y ( y + 2 x ) = 0 y(y+2x)=0 y ( y + 2 x ) = 0
隐函数求导（2.3 节），驻点满足 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 y ′ y' y ′
② 与原方程联立。 y = 0 y=0 y = 0 6 = 0 6=0 6 = 0 y = − 2 x y=-2x y = − 2 x − 8 x 3 + 4 x 3 − 2 x 3 + 6 = 0 -8x^3+4x^3-2x^3+6=0 − 8 x 3 + 4 x 3 − 2 x 3 + 6 = 0 x 3 = 1 x^3=1 x 3 = 1 x = 1 x=1 x = 1 y = − 2 y=-2 y = − 2
驻点必须在曲线上，所以要和原方程联立；y = 0 y=0 y = 0
③ 二阶导数判别。 对求导后的式子再求导，代入 x = 1 x=1 x = 1 y = − 2 y=-2 y = − 2 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 ( 3 y 2 + 2 x y + x 2 ) y ′ ′ + 2 y ′ ⋅ ( ⋯ ) + 2 y = 0 (3y^2+2xy+x^2)y''+2y'\cdot(\cdots)+2y=0 ( 3 y 2 + 2 x y + x 2 ) y ′′ + 2 y ′ ⋅ ( ⋯ ) + 2 y = 0 ( 12 − 4 + 1 ) y ′ ′ − 4 = 0 (12-4+1)y''-4=0 ( 12 − 4 + 1 ) y ′′ − 4 = 0 y ′ ′ ( 1 ) = 4 9 > 0 y''(1)=\dfrac49>0 y ′′ ( 1 ) = 9 4 > 0
求二阶导时凡是含 y ′ y' y ′ y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 y ′ ′ y'' y ′′ 3 y 2 + 2 x y + x 2 3y^2+2xy+x^2 3 y 2 + 2 x y + x 2 ( 2 x y ) (2xy) ( 2 x y ) x x x 2 y 2y 2 y
④ 结论。 f ( x ) f(x) f ( x ) x = 1 x=1 x = 1 f ( 1 ) = − 2 f(1)=-2 f ( 1 ) = − 2
第二充分条件：y ′ ′ > 0 y''>0 y ′′ > 0
答案：极小值 f ( 1 ) = − 2 f(1)=-2 f ( 1 ) = − 2
例 4.7 2017 数一(17) 2017 数二(18)
已知函数
y ( x ) y(x) y ( x ) 由方程
x 3 + y 3 − 3 x + 3 y − 2 = 0 x^3+y^3-3x+3y-2=0 x 3 + y 3 − 3 x + 3 y − 2 = 0 确定，求
y ( x ) y(x) y ( x ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶导数。 3 x 2 + 3 y 2 y ′ − 3 + 3 y ′ = 0 3x^2+3y^2y'-3+3y'=0 3 x 2 + 3 y 2 y ′ − 3 + 3 y ′ = 0 y ′ = 1 − x 2 1 + y 2 y'=\dfrac{1-x^2}{1+y^2} y ′ = 1 + y 2 1 − x 2 x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1
分母 1 + y 2 > 0 1+y^2>0 1 + y 2 > 0
② 驻点处的 y y y x = 1 x=1 x = 1 y 3 + 3 y − 4 = 0 y^3+3y-4=0 y 3 + 3 y − 4 = 0 y = 1 y=1 y = 1 x = − 1 x=-1 x = − 1 y 3 + 3 y = 0 y^3+3y=0 y 3 + 3 y = 0 y = 0 y=0 y = 0
y 3 + 3 y y^3+3y y 3 + 3 y
③ 二阶导数。 y ′ ′ = − 2 x ( 1 + y 2 ) − ( 1 − x 2 ) ⋅ 2 y y ′ ( 1 + y 2 ) 2 y''=\dfrac{-2x(1+y^2)-(1-x^2)\cdot2yy'}{(1+y^2)^2} y ′′ = ( 1 + y 2 ) 2 − 2 x ( 1 + y 2 ) − ( 1 − x 2 ) ⋅ 2 y y ′ y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 1 − x 2 = 0 1-x^2=0 1 − x 2 = 0 y ′ ′ = − 2 x 1 + y 2 y''=\dfrac{-2x}{1+y^2} y ′′ = 1 + y 2 − 2 x x = 1 x=1 x = 1 y ′ ′ = − 1 < 0 y''=-1<0 y ′′ = − 1 < 0 x = − 1 x=-1 x = − 1 y ′ ′ = 2 > 0 y''=2>0 y ′′ = 2 > 0
商的求导后第二项含 ( 1 − x 2 ) (1-x^2) ( 1 − x 2 )
④ 结论。 极大值 y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1 y ( − 1 ) = 0 y(-1)=0 y ( − 1 ) = 0
把两个驻点的函数值写出来。
答案：极大值 y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1 y ( − 1 ) = 0 y(-1)=0 y ( − 1 ) = 0
例 4.8 2010 数三(3)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) ，
g ( x ) g(x) g ( x ) 具有二阶导数，且
g ′ ′ ( x ) < 0 g''(x)<0 g ′′ ( x ) < 0 。若
g ( x 0 ) = a g(x_0)=a g ( x 0 ) = a 是
g ( x ) g(x) g ( x ) 的极值，则
f ( g ( x ) ) f(g(x)) f ( g ( x )) 在
x 0 x_0 x 0 处取极大值的一个充分条件是（ ）
（A）
f ′ ( a ) < 0 f'(a)<0 f ′ ( a ) < 0 （B）
f ′ ( a ) > 0 f'(a)>0 f ′ ( a ) > 0 （C）
f ′ ′ ( a ) < 0 f''(a)<0 f ′′ ( a ) < 0 （D）
f ′ ′ ( a ) > 0 f''(a)>0 f ′′ ( a ) > 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 g ′ ( x 0 ) = 0 g'(x_0)=0 g ′ ( x 0 ) = 0 [ f ( g ( x ) ) ] ′ = f ′ ( g ) g ′ [f(g(x))]'=f'(g)g' [ f ( g ( x )) ] ′ = f ′ ( g ) g ′ x 0 x_0 x 0
复合函数的驻点：外层导数乘里层导数，里层为 0 整体就为 0。
② 二阶。 [ f ( g ) ] ′ ′ = f ′ ′ ( g ) ( g ′ ) 2 + f ′ ( g ) g ′ ′ [f(g)]''=f''(g)(g')^2+f'(g)g'' [ f ( g ) ] ′′ = f ′′ ( g ) ( g ′ ) 2 + f ′ ( g ) g ′′ x 0 x_0 x 0 = f ′ ( a ) g ′ ′ ( x 0 ) =f'(a)g''(x_0) = f ′ ( a ) g ′′ ( x 0 )
乘积求导；( g ′ ) 2 = 0 (g')^2=0 ( g ′ ) 2 = 0
③ 判别。 极大要求 f ′ ( a ) g ′ ′ ( x 0 ) < 0 f'(a)g''(x_0)<0 f ′ ( a ) g ′′ ( x 0 ) < 0 g ′ ′ < 0 g''<0 g ′′ < 0 f ′ ( a ) > 0 f'(a)>0 f ′ ( a ) > 0
第二充分条件；f ′ ′ ( a ) f''(a) f ′′ ( a )
答案：B
例 4.9 2011 数二(3)
函数
f ( x ) = ln ∣ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ∣ f(x)=\ln|(x-1)(x-2)(x-3)| f ( x ) = ln ∣ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ∣ 的驻点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆成三项。 f = ln ∣ x − 1 ∣ + ln ∣ x − 2 ∣ + ln ∣ x − 3 ∣ f=\ln|x-1|+\ln|x-2|+\ln|x-3| f = ln ∣ x − 1∣ + ln ∣ x − 2∣ + ln ∣ x − 3∣ f ′ = 1 x − 1 + 1 x − 2 + 1 x − 3 f'=\dfrac1{x-1}+\dfrac1{x-2}+\dfrac1{x-3} f ′ = x − 1 1 + x − 2 1 + x − 3 1
对数把乘积拆成和；( ln ∣ u ∣ ) ′ = u ′ u (\ln|u|)'=\frac{u'}u ( ln ∣ u ∣ ) ′ = u u ′
② 解方程。 通分：3 x 2 − 12 x + 11 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0 \dfrac{3x^2-12x+11}{(x-1)(x-2)(x-3)}=0 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) 3 x 2 − 12 x + 11 = 0 144 − 132 = 12 > 0 144-132=12>0 144 − 132 = 12 > 0 x = 2 ± 1 3 x=2\pm\dfrac1{\sqrt3} x = 2 ± 3 1
分子 ( x − 2 ) ( x − 3 ) + ( x − 1 ) ( x − 3 ) + ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 3 x 2 − 12 x + 11 (x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)+(x-1)(x-2)=3x^2-12x+11 ( x − 2 ) ( x − 3 ) + ( x − 1 ) ( x − 3 ) + ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 3 x 2 − 12 x + 11
答案：C
例 4.10 2019 数二(15) 2019 数三(15)
已知函数
f ( x ) = { x 2 x , x > 0 x e x + 1 , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases}x^{2x},&x>0\\x\e^x+1,&x\le0\end{cases} f ( x ) = { x 2 x , x e x + 1 , x > 0 x ≤ 0 ，求
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) ，并求
f ( x ) f(x) f ( x ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两段的导数。 x > 0 x>0 x > 0 f = e 2 x ln x f=\e^{2x\ln x} f = e 2 x l n x f ′ = 2 x 2 x ( ln x + 1 ) f'=2x^{2x}(\ln x+1) f ′ = 2 x 2 x ( ln x + 1 ) x < 0 x<0 x < 0 f ′ = ( x + 1 ) e x f'=(x+1)\e^x f ′ = ( x + 1 ) e x
幂指函数改写成 e v ln u \e^{v\ln u} e v l n u
② 分段点 0。 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f − ′ ( 0 ) = 1 f'_-(0)=1 f − ′ ( 0 ) = 1 f + ′ ( 0 ) = lim x → 0 + e 2 x ln x − 1 x = lim 2 x ln x x = lim 2 ln x = − ∞ f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\e^{2x\ln x}-1}x=\lim\dfrac{2x\ln x}x=\lim2\ln x=-\infty f + ′ ( 0 ) = x → 0 + lim x e 2 x l n x − 1 = lim x 2 x ln x = lim 2 ln x = − ∞ f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
分段点只能用定义求右导数；x ln x → 0 x\ln x\to0 x ln x → 0 e 2 x ln x − 1 ∼ 2 x ln x \e^{2x\ln x}-1\sim2x\ln x e 2 x l n x − 1 ∼ 2 x ln x
③ 可疑点与符号。 驻点 x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 1 e x=\frac1{\e} x = e 1 x = 0 x=0 x = 0 f ′ f' f ′ ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 0 , 1 e ) (0,\frac1{\e}) ( 0 , e 1 ) ( 1 e , + ∞ ) (\frac1{\e},+\infty) ( e 1 , + ∞ )
x > 0 x>0 x > 0 ln x + 1 \ln x+1 ln x + 1 x < 0 x<0 x < 0 x + 1 x+1 x + 1
④ 极值。 极小值 f ( − 1 ) = 1 − 1 e f(-1)=1-\dfrac1{\e} f ( − 1 ) = 1 − e 1 f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f ( 1 e ) = e − 2 e f\big(\frac1{\e}\big)=\e^{-\frac2{\e}} f ( e 1 ) = e − e 2
三个可疑点两侧都变号；0 处左增右减，是不可导的极大值点。
答案：f ′ ( x ) = 2 x 2 x ( ln x + 1 ) ( x > 0 ) f'(x)=2x^{2x}(\ln x+1)\ (x>0) f ′ ( x ) = 2 x 2 x ( ln x + 1 ) ( x > 0 ) ( x + 1 ) e x ( x < 0 ) (x+1)\e^x\ (x<0) ( x + 1 ) e x ( x < 0 ) f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) f ( − 1 ) = 1 − e − 1 f(-1)=1-\e^{-1} f ( − 1 ) = 1 − e − 1 f ( 1 e ) = e − 2 / e f(\frac1{\e})=\e^{-2/\e} f ( e 1 ) = e − 2/ e f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1
例 4.11 李林 第四章 §1 例 6、例 9 · p98—100
（1）设
f ( x ) f(x) f ( x ) 有二阶连续导数，且
f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 ，
lim x → 0 f ′ ′ ( x ) ∣ x ∣ = 1 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f''(x)}{|x|}=1 x → 0 lim ∣ x ∣ f ′′ ( x ) = 1 ，则（ ）（A）
f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 是极大值（B）
f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 是极小值（C）
( 0 , f ( 0 ) ) (0,f(0)) ( 0 , f ( 0 )) 是拐点（D）都不是。
（2）设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由方程
2 y 3 − 2 y 2 + 2 x y − x 2 = 1 2y^3-2y^2+2xy-x^2=1 2 y 3 − 2 y 2 + 2 x y − x 2 = 1 确定，求
y ( x ) y(x) y ( x ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 看 f ′ ′ f'' f ′′ 由极限，f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0)=0 f ′′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f ′′ ( x ) > 0 f ′ f' f ′
分母 ∣ x ∣ > 0 |x|>0 ∣ x ∣ > 0 f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0
② (1) 结论。 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 f ′ f' f ′ f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
第一充分条件。注意 f ′ ′ f'' f ′′
③ (2) 驻点。 求导：6 y 2 y ′ − 4 y y ′ + 2 y + 2 x y ′ − 2 x = 0 6y^2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0 6 y 2 y ′ − 4 y y ′ + 2 y + 2 x y ′ − 2 x = 0 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 y = x y=x y = x 2 x 3 − x 2 − 1 = 0 2x^3-x^2-1=0 2 x 3 − x 2 − 1 = 0 ( x − 1 ) ( 2 x 2 + x + 1 ) = 0 (x-1)(2x^2+x+1)=0 ( x − 1 ) ( 2 x 2 + x + 1 ) = 0 x = 1 x=1 x = 1 y = 1 y=1 y = 1
2 x 2 + x + 1 2x^2+x+1 2 x 2 + x + 1 x = 1 x=1 x = 1
④ (2) 二阶判别。 再求导并代入 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 ( 6 y 2 − 4 y + 2 x ) y ′ ′ + 2 y ′ − 2 = 0 (6y^2-4y+2x)y''+2y'-2=0 ( 6 y 2 − 4 y + 2 x ) y ′′ + 2 y ′ − 2 = 0 ( 6 − 4 + 2 ) y ′ ′ = 2 (6-4+2)y''=2 ( 6 − 4 + 2 ) y ′′ = 2 y ′ ′ ( 1 ) = 1 2 > 0 y''(1)=\dfrac12>0 y ′′ ( 1 ) = 2 1 > 0 y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1
含 y ′ y' y ′ y ′ ′ y'' y ′′ y ′ y' y ′
答案：(1) B；(2) 极小值 y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1
例 4.12 李林 第四章 §1 例 7 · p99
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 满足方程
2 f ′ ′ ( x ) + [ f ′ ( x ) ] 2 = 3 x 2f''(x)+[f'(x)]^2=3x 2 f ′′ ( x ) + [ f ′ ( x ) ] 2 = 3 x 。问
x = 0 x=0 x = 0 是否为
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 的极值点？
( 0 , f ( 0 ) ) (0,f(0)) ( 0 , f ( 0 )) 是否为曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 的拐点？
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 情形一：f ′ ( 0 ) ≠ 0 f'(0)\ne0 f ′ ( 0 ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 f ′ ′ ( 0 ) = − 1 2 [ f ′ ( 0 ) ] 2 ≠ 0 f''(0)=-\dfrac12[f'(0)]^2\ne0 f ′′ ( 0 ) = − 2 1 [ f ′ ( 0 ) ] 2 = 0 ( 0 , f ( 0 ) ) (0,f(0)) ( 0 , f ( 0 ))
可导函数的极值点一定是驻点（费马引理）；二阶可导时拐点处必须 f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 )
② 情形二：f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ( 0 ) f''(0) f ′′ ( 0 ) f ′ ′ ′ ( 0 ) f'''(0) f ′′′ ( 0 ) 把 x = 0 x=0 x = 0 f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0)=0 f ′′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ( x ) = 1 2 { 3 x − [ f ′ ( x ) ] 2 } f''(x)=\dfrac12\big\{3x-[f'(x)]^2\big\} f ′′ ( x ) = 2 1 { 3 x − [ f ′ ( x ) ] 2 } f ′ ′ ′ ( x ) = 1 2 [ 3 − 2 f ′ ( x ) f ′ ′ ( x ) ] f'''(x)=\dfrac12\big[3-2f'(x)f''(x)\big] f ′′′ ( x ) = 2 1 [ 3 − 2 f ′ ( x ) f ′′ ( x ) ] f ′ ′ ′ ( 0 ) = 3 2 f'''(0)=\dfrac32 f ′′′ ( 0 ) = 2 3
题目没说 f f f f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ ′ f''' f ′′′ f ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=f''(0)=0 f ′ ( 0 ) = f ′′ ( 0 ) = 0
③ 情形二的判断。 f ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=f''(0)=0 f ′ ( 0 ) = f ′′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ′ ( 0 ) ≠ 0 f'''(0)\ne0 f ′′′ ( 0 ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 f ′ ′ ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ′ ′ ( x ) x = 3 2 > 0 f'''(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f''(x)}x=\dfrac32>0 f ′′′ ( 0 ) = x → 0 lim x f ′′ ( x ) = 2 3 > 0 f ′ ′ f'' f ′′ ( 0 , f ( 0 ) ) (0,f(0)) ( 0 , f ( 0 ))
上面方框里的第三充分条件；拐点看 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ ′ ( 0 ) > 0 f'''(0)>0 f ′′′ ( 0 ) > 0 f ′ ′ f'' f ′′
答案：x = 0 x=0 x = 0 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 ( 0 , f ( 0 ) ) (0,f(0)) ( 0 , f ( 0 )) f ′ ( 0 ) ≠ 0 f'(0)\ne0 f ′ ( 0 ) = 0
4.3 最值与应用题大白话：极值是“附近最高”，最值是“整个区间最高” 。闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，而且只可能出现在三类地方：驻点、不可导点、区间端点。把它们的函数值全部算出来，最大的就是最大值，最小的就是最小值，不用判断谁是极大谁是极小。
x y O 端点 2e−2 驻点 e−1 不可导点 0：最小 端点 e：最大 -2 -1 1 f ( x ) = ∣ x ∣ e x f(x)=|x|\e^x f ( x ) = ∣ x ∣ e x [ − 2 , 1 ] [-2,1] [ − 2 , 1 ] − 2 -2 − 2 1 1 1 − 1 -1 − 1 0 0 0 f ( 1 ) = e f(1)=\e f ( 1 ) = e f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 最值的求法
闭区间 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ：比较 f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b ) 开区间或无穷区间 ：还要看两端的极限；若内部唯一的极值点是极小（大）值点，它就是最小（大）值点。应用题 ：建立函数 → 定义域 → 求驻点；实际问题中若驻点唯一且最值一定存在，驻点处就是所求。
方法卡 · 应用题求最值
什么时候用
“用料最省”“面积最大”“容积最大”等。
步骤
设变量，写出目标函数，注明定义域（端点常常是 0 或题目给的边界）。
求导，解驻点。
说明驻点唯一且最值存在（或比较端点），写出最值。 最容易错
忘了定义域，驻点不在定义域里还拿来用；只求出
x x x 没算最值本身。
例 4.13 李林 第四章 §1 例 5 · p98
求函数
f ( x ) = ∣ x ∣ e x f(x)=|x|\e^x f ( x ) = ∣ x ∣ e x 在
[ − 2 , 1 ] [-2,1] [ − 2 , 1 ] 上的极值与最值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 分段求导。 0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 f ′ = ( 1 + x ) e x > 0 f'=(1+x)\e^x>0 f ′ = ( 1 + x ) e x > 0 − 2 < x < 0 -2<x<0 − 2 < x < 0 f = − x e x f=-x\e^x f = − x e x f ′ = − ( 1 + x ) e x f'=-(1+x)\e^x f ′ = − ( 1 + x ) e x x = − 1 x=-1 x = − 1 x = 0 x=0 x = 0 f + ′ ( 0 ) = 1 f'_+(0)=1 f + ′ ( 0 ) = 1 f − ′ ( 0 ) = − 1 f'_-(0)=-1 f − ′ ( 0 ) = − 1
绝对值先去掉写成分段函数；分段点用定义。
② 极值。 − 1 -1 − 1 f ( − 1 ) = e − 1 f(-1)=\e^{-1} f ( − 1 ) = e − 1 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
左边一段 f ′ = − ( 1 + x ) e x f'=-(1+x)\e^x f ′ = − ( 1 + x ) e x e x \e^x e x − ( 1 + x ) -(1+x) − ( 1 + x ) x < − 1 x<-1 x < − 1 − 1 < x < 0 -1<x<0 − 1 < x < 0 − 1 -1 − 1 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0
③ 最值。 比较 f ( − 2 ) = 2 e − 2 ≈ 0.27 f(-2)=2\e^{-2}\approx0.27 f ( − 2 ) = 2 e − 2 ≈ 0.27 f ( − 1 ) = e − 1 ≈ 0.37 f(-1)=\e^{-1}\approx0.37 f ( − 1 ) = e − 1 ≈ 0.37 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( 1 ) = e f(1)=\e f ( 1 ) = e f ( 1 ) = e f(1)=\e f ( 1 ) = e f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
最值候选：端点 + 驻点 + 不可导点，直接比较大小。
答案：极大值 e − 1 \e^{-1} e − 1 e \e e
例 4.14 基础
边长为
a a a 的正方形铁皮，四角各剪去一个边长为
x x x 的小正方形，折成无盖盒子。
x x x 为多少时容积最大？
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 目标函数。 V ( x ) = x ( a − 2 x ) 2 V(x)=x(a-2x)^2 V ( x ) = x ( a − 2 x ) 2 0 < x < a 2 0<x<\dfrac a2 0 < x < 2 a
盒底边长 a − 2 x a-2x a − 2 x x x x
② 驻点。 V ′ = ( a − 2 x ) 2 − 4 x ( a − 2 x ) = ( a − 2 x ) ( a − 6 x ) V'=(a-2x)^2-4x(a-2x)=(a-2x)(a-6x) V ′ = ( a − 2 x ) 2 − 4 x ( a − 2 x ) = ( a − 2 x ) ( a − 6 x ) x = a 6 x=\dfrac a6 x = 6 a
剪去的边长 x x x 0 < x < a 2 0<x<\frac a2 0 < x < 2 a x = a 2 x=\frac a2 x = 2 a
③ 结论。 0 < x < a 6 0<x<\frac a6 0 < x < 6 a V ′ > 0 V'>0 V ′ > 0 a 6 < x < a 2 \frac a6<x<\frac a2 6 a < x < 2 a V ′ < 0 V'<0 V ′ < 0 x = a 6 x=\dfrac a6 x = 6 a V max = a 6 ⋅ ( 2 a 3 ) 2 = 2 a 3 27 V_{\max}=\dfrac a6\cdot\Big(\dfrac{2a}3\Big)^2=\dfrac{2a^3}{27} V m a x = 6 a ⋅ ( 3 2 a ) 2 = 27 2 a 3
唯一驻点且左增右减，就是最大值点。
答案：x = a 6 x=\frac a6 x = 6 a V max = 2 a 3 27 V_{\max}=\frac{2a^3}{27} V m a x = 27 2 a 3
例 4.15 2013 数二(20)
设函数
f ( x ) = ln x + 1 x f(x)=\ln x+\dfrac1x f ( x ) = ln x + x 1 。（Ⅰ）求
f ( x ) f(x) f ( x ) 的最小值；（Ⅱ）设数列
{ x n } \{x_n\} { x n } 满足
ln x n + 1 x n + 1 < 1 \ln x_n+\dfrac1{x_{n+1}}<1 ln x n + x n + 1 1 < 1 ，证明
lim n → ∞ x n \lim\limits_{n\to\infty}x_n n → ∞ lim x n 存在，并求此极限。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 最小值。 f ′ = 1 x − 1 x 2 = x − 1 x 2 f'=\dfrac1x-\dfrac1{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2} f ′ = x 1 − x 2 1 = x 2 x − 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1
定义域 x > 0 x>0 x > 0
② (Ⅱ) 单调。 由（Ⅰ）ln x n + 1 x n ≥ 1 > ln x n + 1 x n + 1 \ln x_n+\dfrac1{x_n}\ge1>\ln x_n+\dfrac1{x_{n+1}} ln x n + x n 1 ≥ 1 > ln x n + x n + 1 1 1 x n + 1 < 1 x n \dfrac1{x_{n+1}}<\dfrac1{x_n} x n + 1 1 < x n 1 x n + 1 > x n x_{n+1}>x_n x n + 1 > x n
（Ⅰ）的不等式 ln x + 1 x ≥ 1 \ln x+\frac1x\ge1 ln x + x 1 ≥ 1 x = x n x=x_n x = x n x n > 0 x_n>0 x n > 0
③ (Ⅱ) 有界。 ln x n < 1 − 1 x n + 1 < 1 \ln x_n<1-\dfrac1{x_{n+1}}<1 ln x n < 1 − x n + 1 1 < 1 x n < e x_n<\e x n < e
条件里扔掉正的 1 x n + 1 \frac1{x_{n+1}} x n + 1 1
④ (Ⅱ) 求极限。 单调增加有上界，极限 a a a a > 0 a>0 a > 0 ln a + 1 a ≤ 1 \ln a+\dfrac1a\le1 ln a + a 1 ≤ 1 ln a + 1 a ≥ 1 \ln a+\dfrac1a\ge1 ln a + a 1 ≥ 1 a = 1 a=1 a = 1
严格不等号取极限后变成 ≤ \le ≤ x = 1 x=1 x = 1
答案：(Ⅰ) 最小值 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 x n x_n x n x n < e x_n<\e x n < e
例 4.16 李林 第四章 §1 例 8 · p99—100
设
k > 0 k>0 k > 0 ，
f ( x ) = 1 3 k x 3 − x f(x)=\dfrac13kx^3-x f ( x ) = 3 1 k x 3 − x ，
x ∈ [ 0 , 1 k ] x\in\Big[0,\dfrac1k\Big] x ∈ [ 0 , k 1 ] ，则（ ）
（A）当
0 < k < 1 0<k<1 0 < k < 1 时，
f ( 1 k ) f\big(\frac1k\big) f ( k 1 ) 是
f ( x ) f(x) f ( x ) 的最大值 （B）当
0 < k < 1 0<k<1 0 < k < 1 时，
f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 是
f ( x ) f(x) f ( x ) 的最大值
（C）当
k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 时，
f ( 1 k ) f\big(\frac1k\big) f ( k 1 ) 是
f ( x ) f(x) f ( x ) 的最大值 （D）当
k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 时，
f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 是
f ( x ) f(x) f ( x ) 的最大值
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f ′ ( x ) = k x 2 − 1 = 0 f'(x)=kx^2-1=0 f ′ ( x ) = k x 2 − 1 = 0 x 0 = 1 k x_0=\dfrac1{\sqrt k} x 0 = k 1
闭区间上的最值只可能在端点或区间内部的驻点取到，先把驻点找出来。
② k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 1 k ≥ 1 k \dfrac1{\sqrt k}\ge\dfrac1k k 1 ≥ k 1 [ 0 , 1 k ] \big[0,\frac1k\big] [ 0 , k 1 ] f ′ ( x ) ≤ 0 f'(x)\le0 f ′ ( x ) ≤ 0 f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0
1 k ≥ 1 k \frac1{\sqrt k}\ge\frac1k k 1 ≥ k 1 k k k\sqrt k k k k ≥ 1 \sqrt k\ge1 k ≥ 1
③ 0 < k < 1 0<k<1 0 < k < 1 驻点在区间内部，f f f f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( 1 k ) = 1 − 3 k 3 k 2 f\big(\frac1k\big)=\dfrac{1-3k}{3k^2} f ( k 1 ) = 3 k 2 1 − 3 k k < 1 3 k<\frac13 k < 3 1 f ( 1 k ) f\big(\frac1k\big) f ( k 1 ) k > 1 3 k>\frac13 k > 3 1 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
先减后增的函数，最高点一定在两头之一；哪头高要看 k k k 0 < k < 1 0<k<1 0 < k < 1
④ 结论。 所以选（D）。
只有（D）在它的条件下总成立。做选择题也可以像李林那样取 k = 1 k=1 k = 1 f ′ = x 2 − 1 ≤ 0 f'=x^2-1\le0 f ′ = x 2 − 1 ≤ 0 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
答案：D
4.4 方程根的个数大白话：“方程 f ( x ) = k f(x)=k f ( x ) = k y = k y=k y = k y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 。先把参数分离到一边，画出 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x )
x y O y =4y =−4y =−k ：3 个交点x 5 −5 x y = x 5 − 5 x y=x^5-5x y = x 5 − 5 x x = − 1 x=-1 x = − 1 − 4 -4 − 4 x = 1 x=1 x = 1 y = − k y=-k y = − k − 4 -4 − 4 数根的步骤（李林第四章 题型四）
能分离参数就分离：f ( x , k ) = 0 f(x,k)=0 f ( x , k ) = 0 g ( x ) = k g(x)=k g ( x ) = k
求 g g g
画草图，看水平线 y = k y=k y = k k k k
每个严格单调区间上至多一个根；端点值异号才有根（零点定理）。求区间上是否有根，也可以用《中值定理》笔记里的罗尔定理思路。
方法卡 · 含参数方程的根
什么时候用
“方程有几个实根”“有 3 个根，求
k k k 的范围”。
步骤
分离参数：k = g ( x ) k=g(x) k = g ( x ) f ( x , k ) f(x,k) f ( x , k )
列表：单调区间、极大值 M M M m m m
按 k k k M M M m m m 最容易错
忘了看定义域端点的极限（如
x → 0 + x\to0^+ x → 0 + 时
ln x → − ∞ \ln x\to-\infty ln x → − ∞ ）；把“有且仅有”写成“至少”。
例 4.17 2019 数三(2)
已知方程
x 5 − 5 x + k = 0 x^5-5x+k=0 x 5 − 5 x + k = 0 有 3 个不同的实根，则
k k k 的取值范围是（ ）
（A）
( − ∞ , − 4 ) (-\infty,-4) ( − ∞ , − 4 ) （B）
( 4 , + ∞ ) (4,+\infty) ( 4 , + ∞ ) （C）
{ − 4 , 4 } \{-4,4\} { − 4 , 4 } （D）
( − 4 , 4 ) (-4,4) ( − 4 , 4 ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 分离参数。 x 5 − 5 x = − k x^5-5x=-k x 5 − 5 x = − k g ( x ) = x 5 − 5 x g(x)=x^5-5x g ( x ) = x 5 − 5 x
参数单独放一边，另一边的图像固定。
② 单调与极值。 g ′ = 5 x 4 − 5 = 5 ( x 2 + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) g'=5x^4-5=5(x^2+1)(x-1)(x+1) g ′ = 5 x 4 − 5 = 5 ( x 2 + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) g ( − 1 ) = 4 g(-1)=4 g ( − 1 ) = 4 g ( 1 ) = − 4 g(1)=-4 g ( 1 ) = − 4 x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞ g → ± ∞ g\to\pm\infty g → ± ∞
两个单调增区间的“无穷端”保证了外侧两段各能取到所有大/小的值。
③ 数交点。 三个根 ⇔ 水平线 y = − k y=-k y = − k − 4 -4 − 4 − 4 < − k < 4 -4<-k<4 − 4 < − k < 4 − 4 < k < 4 -4<k<4 − 4 < k < 4
− k = ± 4 -k=\pm4 − k = ± 4
答案：D
例 4.18 2021 数二(4) 2021 数三(3)
函数
f ( x ) = a x − b ln x f(x)=ax-b\ln x f ( x ) = a x − b ln x （
a > 0 a>0 a > 0 ）有 2 个零点，则
b a \dfrac ba a b 的取值范围是（ ）
（A）
( e , + ∞ ) (\e,+\infty) ( e , + ∞ ) （B）
( 0 , e ) (0,\e) ( 0 , e ) （C）
( 0 , 1 e ) \Big(0,\dfrac1{\e}\Big) ( 0 , e 1 ) （D）
( 1 e , + ∞ ) \Big(\dfrac1{\e},+\infty\Big) ( e 1 , + ∞ ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先排除 b ≤ 0 b\le0 b ≤ 0 b ≤ 0 b\le0 b ≤ 0 f ′ = a − b x > 0 f'=a-\dfrac bx>0 f ′ = a − x b > 0 f f f
b ≤ 0 b\le0 b ≤ 0 x x x
② b > 0 b>0 b > 0 f ′ = a − b x f'=a-\dfrac bx f ′ = a − x b x = b a x=\dfrac ba x = a b f ( b a ) = b − b ln b a f\big(\frac ba\big)=b-b\ln\dfrac ba f ( a b ) = b − b ln a b x → 0 + x\to0^+ x → 0 + x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ f → + ∞ f\to+\infty f → + ∞
两端的走向决定零点个数：x → 0 + x\to0^+ x → 0 + ln x → − ∞ \ln x\to-\infty ln x → − ∞ − b < 0 -b<0 − b < 0 + ∞ +\infty + ∞ x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ a x ax a x + ∞ +\infty + ∞
③ 两个零点 ⇔ 最小值小于 0。 b ( 1 − ln b a ) < 0 b\Big(1-\ln\dfrac ba\Big)<0 b ( 1 − ln a b ) < 0 ln b a > 1 \ln\dfrac ba>1 ln a b > 1 b a > e \dfrac ba>\e a b > e
开口向上的“碗”，最低点在 x x x x x x
答案：A
例 4.19 2011 数三(18)
证明方程
4 arctan x − x + 4 π 3 − 3 = 0 4\arctan x-x+\dfrac{4\pi}3-\sqrt3=0 4 arctan x − x + 3 4 π − 3 = 0 恰有两个实根。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 单调区间。 f ( x ) = 4 arctan x − x + 4 π 3 − 3 f(x)=4\arctan x-x+\dfrac{4\pi}3-\sqrt3 f ( x ) = 4 arctan x − x + 3 4 π − 3 f ′ = 4 1 + x 2 − 1 = 3 − x 2 1 + x 2 f'=\dfrac4{1+x^2}-1=\dfrac{3-x^2}{1+x^2} f ′ = 1 + x 2 4 − 1 = 1 + x 2 3 − x 2 ( − ∞ , − 3 ) (-\infty,-\sqrt3) ( − ∞ , − 3 ) ( − 3 , 3 ) (-\sqrt3,\sqrt3) ( − 3 , 3 ) ( 3 , + ∞ ) (\sqrt3,+\infty) ( 3 , + ∞ )
f ′ f' f ′ 3 − x 2 3-x^2 3 − x 2
② 极值与两端。 f ( − 3 ) = − 4 π 3 + 3 + 4 π 3 − 3 = 0 f(-\sqrt3)=-\dfrac{4\pi}3+\sqrt3+\dfrac{4\pi}3-\sqrt3=0 f ( − 3 ) = − 3 4 π + 3 + 3 4 π − 3 = 0 f ( 3 ) = 8 π 3 − 2 3 > 0 f(\sqrt3)=\dfrac{8\pi}3-2\sqrt3>0 f ( 3 ) = 3 8 π − 2 3 > 0 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ f → + ∞ f\to+\infty f → + ∞ x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ f → − ∞ f\to-\infty f → − ∞
arctan ( ± 3 ) = ± π 3 \arctan(\pm\sqrt3)=\pm\frac\pi3 arctan ( ± 3 ) = ± 3 π − x -x − x
③ 数根。 ( − ∞ , − 3 ] (-\infty,-\sqrt3] ( − ∞ , − 3 ] + ∞ +\infty + ∞ x = − 3 x=-\sqrt3 x = − 3 ( − 3 , 3 ] (-\sqrt3,\sqrt3] ( − 3 , 3 ] ( 3 , + ∞ ) (\sqrt3,+\infty) ( 3 , + ∞ ) − ∞ -\infty − ∞
每个单调区间至多一个根，端点值异号（或等于 0）才有根。
答案：证明题。思路：f ′ = 3 − x 2 1 + x 2 f'=\frac{3-x^2}{1+x^2} f ′ = 1 + x 2 3 − x 2 f ( − 3 ) = 0 f(-\sqrt3)=0 f ( − 3 ) = 0 ( 3 , + ∞ ) (\sqrt3,+\infty) ( 3 , + ∞ ) − ∞ -\infty − ∞
例 4.20 李林 第四章 §2 例 7、例 9 · p104—105
（1）讨论方程
2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + k = 0 2x^3-9x^2+12x+k=0 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + k = 0 不同实根的个数；（2）设方程
a x + 1 x 2 − 1 = 0 ax+\dfrac1{x^2}-1=0 a x + x 2 1 − 1 = 0 在
( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) 内有两个不同实根，求
a a a 的取值范围。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 极值。 f = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + k f=2x^3-9x^2+12x+k f = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + k f ′ = 6 ( x − 1 ) ( x − 2 ) f'=6(x-1)(x-2) f ′ = 6 ( x − 1 ) ( x − 2 ) f ( 1 ) = 5 + k f(1)=5+k f ( 1 ) = 5 + k f ( 2 ) = 4 + k f(2)=4+k f ( 2 ) = 4 + k
三次函数“增—减—增”，两端趋于 ± ∞ \pm\infty ± ∞
② (1) 分情况。 5 + k > 0 5+k>0 5 + k > 0 4 + k < 0 4+k<0 4 + k < 0 − 5 < k < − 4 -5<k<-4 − 5 < k < − 4 k = − 5 k=-5 k = − 5 k = − 4 k=-4 k = − 4 k < − 5 k<-5 k < − 5 k > − 4 k>-4 k > − 4
极大值在 x x x
③ (2) 分离参数。 a = 1 x − 1 x 3 = g ( x ) a=\dfrac1x-\dfrac1{x^3}=g(x) a = x 1 − x 3 1 = g ( x ) g ′ = 3 − x 2 x 4 g'=\dfrac{3-x^2}{x^4} g ′ = x 4 3 − x 2 x = 3 x=\sqrt3 x = 3 g ( 3 ) = 2 3 9 g(\sqrt3)=\dfrac{2\sqrt3}9 g ( 3 ) = 9 2 3 x → 0 + x\to0^+ x → 0 + g → − ∞ g\to-\infty g → − ∞ x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ g → 0 + g\to0^+ g → 0 +
分离后只需研究一条固定曲线。
④ (2) 结论。 水平线 y = a y=a y = a 0 < a < 2 3 9 0<a<\dfrac{2\sqrt3}9 0 < a < 9 2 3
a ≤ 0 a\le0 a ≤ 0 g > 0 g>0 g > 0 a = 2 3 9 a=\frac{2\sqrt3}9 a = 9 2 3
答案：(1) − 5 < k < − 4 -5<k<-4 − 5 < k < − 4 k = − 5 k=-5 k = − 5 − 4 -4 − 4 0 < a < 2 3 9 0<a<\frac{2\sqrt3}9 0 < a < 9 2 3
例 4.21 李林 第四章 §2 例 8 · p105
求方程
k arctan x = x k\arctan x=x k arctan x = x 不同实根的个数，其中
k k k 为参数。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 奇函数，只看正半轴。 令 f ( x ) = k arctan x − x f(x)=k\arctan x-x f ( x ) = k arctan x − x f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f ( − x ) = − f ( x ) x = 0 x=0 x = 0 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ )
奇函数的图形关于原点对称，正半轴有一个零点 x 0 x_0 x 0 − x 0 -x_0 − x 0
② 求导。 f ′ ( x ) = k 1 + x 2 − 1 = ( k − 1 ) − x 2 1 + x 2 f'(x)=\dfrac k{1+x^2}-1=\dfrac{(k-1)-x^2}{1+x^2} f ′ ( x ) = 1 + x 2 k − 1 = 1 + x 2 ( k − 1 ) − x 2
分母恒正，符号只看分子 ( k − 1 ) − x 2 (k-1)-x^2 ( k − 1 ) − x 2 k k k
③ k ≤ 1 k\le1 k ≤ 1 x > 0 x>0 x > 0 f ′ ( x ) < 0 f'(x)<0 f ′ ( x ) < 0 f f f ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) f ( x ) < f ( 0 ) = 0 f(x)<f(0)=0 f ( x ) < f ( 0 ) = 0 x = 0 x=0 x = 0
从 0 出发一直往下走，不会再回到 0；这里也包括 k ≤ 0 k\le0 k ≤ 0
④ k > 1 k>1 k > 1 f f f ( 0 , k − 1 ) \big(0,\sqrt{k-1}\big) ( 0 , k − 1 ) ( k − 1 , + ∞ ) \big(\sqrt{k-1},+\infty\big) ( k − 1 , + ∞ ) f ( x ) > f ( 0 ) = 0 f(x)>f(0)=0 f ( x ) > f ( 0 ) = 0 f ( k − 1 ) > 0 f\big(\sqrt{k-1}\big)>0 f ( k − 1 ) > 0 lim x → + ∞ f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty x → + ∞ lim f ( x ) = − ∞ x 0 x_0 x 0
arctan x < π 2 \arctan x<\frac\pi2 arctan x < 2 π x x x − ∞ -\infty − ∞
⑤ 结论。 k ≤ 1 k\le1 k ≤ 1 x = 0 x=0 x = 0 k > 1 k>1 k > 1 − x 0 , 0 , x 0 -x_0,\ 0,\ x_0 − x 0 , 0 , x 0
把正半轴的结果按奇对称搬到负半轴，再加上 x = 0 x=0 x = 0
答案：k ≤ 1 k\le1 k ≤ 1 k > 1 k>1 k > 1
4.5 用单调性证明不等式大白话：要证 f ( x ) > g ( x ) f(x)>g(x) f ( x ) > g ( x ) F = f − g F=f-g F = f − g F F F ≥ 0 \ge0 ≥ 0 F F F 。一次求导看不出符号，就再求一次导，一层一层往下推，直到能看出符号为止。这是证明不等式最基本、最常用的方法。
x y O x ln(1+x ) x /(1+x )1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) x 1 + x < ln ( 1 + x ) < x \frac x{1+x}<\ln(1+x)<x 1 + x x < ln ( 1 + x ) < x 单调性证不等式的套路
移项作差：F ( x ) = f ( x ) − g ( x ) F(x)=f(x)-g(x) F ( x ) = f ( x ) − g ( x ) a < b a<b a < b x x x
求 F ′ F' F ′ F ′ F' F ′
由端点值 F ( a ) = 0 F(a)=0 F ( a ) = 0 F > 0 F>0 F > 0
常用不等式：ln ( 1 + x ) ≤ x \ln(1+x)\le x ln ( 1 + x ) ≤ x e x ≥ 1 + x \e^x\ge1+x e x ≥ 1 + x sin x < x < tan x \sin x<x<\tan x sin x < x < tan x 0 < x < π 2 0<x<\frac\pi2 0 < x < 2 π x 1 + x < ln ( 1 + x ) \frac x{1+x}<\ln(1+x) 1 + x x < ln ( 1 + x ) x > 0 x>0 x > 0
方法卡 · 作差求导
什么时候用
证明区间上的不等式
f ( x ) > g ( x ) f(x)>g(x) f ( x ) > g ( x ) ，或含两个参数
a < b a<b a < b 的不等式。
步骤
作差 F = f − g F=f-g F = f − g
求 F ′ F' F ′ F ′ ′ F'' F ′′ F ′ ′ F'' F ′′ F ′ F' F ′ F ′ F' F ′ F ′ F' F ′
写清逻辑链：F ′ ′ > 0 ⇒ F ′ ↗ ⇒ F ′ > F ′ ( a ) = 0 ⇒ F ↗ ⇒ F > F ( a ) = 0 F''>0\Rightarrow F'\nearrow\Rightarrow F'>F'(a)=0\Rightarrow F\nearrow\Rightarrow F>F(a)=0 F ′′ > 0 ⇒ F ′ ↗⇒ F ′ > F ′ ( a ) = 0 ⇒ F ↗⇒ F > F ( a ) = 0 最容易错
只证了
F ′ > 0 F'>0 F ′ > 0 忘了端点值
F ( a ) = 0 F(a)=0 F ( a ) = 0 ；两个参数的题不知道把谁换成
x x x （通常把大的
b b b 换成
x x x ）。
例 4.22 李林 第四章 §1 例 1 · p95
设
x ∈ ( 0 , 1 ) x\in(0,1) x ∈ ( 0 , 1 ) ，证明：（1）
( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) < x 2 (1+x)\ln^2(1+x)<x^2 ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) < x 2 ；（2）
1 ln 2 − 1 < 1 ln ( 1 + x ) − 1 x < 1 2 \dfrac1{\ln2}-1<\dfrac1{\ln(1+x)}-\dfrac1x<\dfrac12 ln 2 1 − 1 < ln ( 1 + x ) 1 − x 1 < 2 1 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 作差、两次求导。 F ( x ) = x 2 − ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) F(x)=x^2-(1+x)\ln^2(1+x) F ( x ) = x 2 − ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F ( 0 ) = 0 F ′ = 2 x − ln 2 ( 1 + x ) − 2 ln ( 1 + x ) F'=2x-\ln^2(1+x)-2\ln(1+x) F ′ = 2 x − ln 2 ( 1 + x ) − 2 ln ( 1 + x ) F ′ ( 0 ) = 0 F'(0)=0 F ′ ( 0 ) = 0 F ′ ′ = 2 − 2 ln ( 1 + x ) 1 + x − 2 1 + x = 2 1 + x [ x − ln ( 1 + x ) ] > 0 F''=2-\dfrac{2\ln(1+x)}{1+x}-\dfrac2{1+x}=\dfrac2{1+x}\big[x-\ln(1+x)\big]>0 F ′′ = 2 − 1 + x 2 ln ( 1 + x ) − 1 + x 2 = 1 + x 2 [ x − ln ( 1 + x ) ] > 0
一阶导数的符号看不出，就再求一阶；x − ln ( 1 + x ) > 0 x-\ln(1+x)>0 x − ln ( 1 + x ) > 0
② (1) 逐层推回。 F ′ ′ > 0 ⇒ F ′ F''>0\Rightarrow F' F ′′ > 0 ⇒ F ′ ⇒ F ′ ( x ) > F ′ ( 0 ) = 0 ⇒ F \Rightarrow F'(x)>F'(0)=0\Rightarrow F ⇒ F ′ ( x ) > F ′ ( 0 ) = 0 ⇒ F ⇒ F ( x ) > F ( 0 ) = 0 \Rightarrow F(x)>F(0)=0 ⇒ F ( x ) > F ( 0 ) = 0
每一层都用“端点值 + 单调性”。
③ (2) 单调性。 G ( x ) = 1 ln ( 1 + x ) − 1 x G(x)=\dfrac1{\ln(1+x)}-\dfrac1x G ( x ) = ln ( 1 + x ) 1 − x 1 G ′ = ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) − x 2 x 2 ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) < 0 G'=\dfrac{(1+x)\ln^2(1+x)-x^2}{x^2(1+x)\ln^2(1+x)}<0 G ′ = x 2 ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) ( 1 + x ) ln 2 ( 1 + x ) − x 2 < 0 G G G ( 0 , 1 ] (0,1] ( 0 , 1 ]
第（1）问正是为第（2）问的导数符号准备的。
④ (2) 两端的值。 G ( 1 ) = 1 ln 2 − 1 G(1)=\dfrac1{\ln2}-1 G ( 1 ) = ln 2 1 − 1 lim x → 0 + G = lim x − ln ( 1 + x ) x ln ( 1 + x ) = lim x 2 / 2 x 2 = 1 2 \lim\limits_{x\to0^+}G=\lim\dfrac{x-\ln(1+x)}{x\ln(1+x)}=\lim\dfrac{x^2/2}{x^2}=\dfrac12 x → 0 + lim G = lim x ln ( 1 + x ) x − ln ( 1 + x ) = lim x 2 x 2 /2 = 2 1 1 ln 2 − 1 < G ( x ) < 1 2 \dfrac1{\ln2}-1<G(x)<\dfrac12 ln 2 1 − 1 < G ( x ) < 2 1
递减函数的值夹在右端值和左端极限之间；左端极限用泰勒 x − ln ( 1 + x ) ∼ x 2 2 x-\ln(1+x)\sim\frac{x^2}2 x − ln ( 1 + x ) ∼ 2 x 2
答案：证明题。思路：（1）作差后求两次导，F ′ ′ = 2 1 + x [ x − ln ( 1 + x ) ] > 0 F''=\frac2{1+x}[x-\ln(1+x)]>0 F ′′ = 1 + x 2 [ x − ln ( 1 + x )] > 0 F > 0 F>0 F > 0 G ′ < 0 G'<0 G ′ < 0 G G G G ( 1 ) G(1) G ( 1 ) G ( 0 + ) = 1 2 G(0^+)=\frac12 G ( 0 + ) = 2 1
例 4.23 李林 第四章 §1 例 2 · p96
设
0 < a < b 0<a<b 0 < a < b ，证明：
2 a a 2 + b 2 < ln b − ln a b − a < 1 a b \dfrac{2a}{a^2+b^2}<\dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}<\dfrac1{\sqrt{ab}} a 2 + b 2 2 a < b − a ln b − ln a < ab 1 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 左边：拉格朗日。 ln b − ln a b − a = 1 ξ \dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}=\dfrac1\xi b − a ln b − ln a = ξ 1 a < ξ < b a<\xi<b a < ξ < b 1 ξ > 1 b > 2 a a 2 + b 2 \dfrac1\xi>\dfrac1b>\dfrac{2a}{a^2+b^2} ξ 1 > b 1 > a 2 + b 2 2 a
中值定理把差商变成一个导数值；最后一步因为 a 2 + b 2 > 2 a b a^2+b^2>2ab a 2 + b 2 > 2 ab
② 右边：把 b b b x x x g ( x ) = ln x − ln a − x − a a x g(x)=\ln x-\ln a-\dfrac{x-a}{\sqrt{ax}} g ( x ) = ln x − ln a − a x x − a x ≥ a x\ge a x ≥ a g ( a ) = 0 g(a)=0 g ( a ) = 0 g ′ = 1 x − 1 a ( 1 2 x + a 2 x x ) = − ( x − a ) 2 2 x a x < 0 g'=\dfrac1x-\dfrac1{\sqrt a}\Big(\dfrac1{2\sqrt x}+\dfrac a{2x\sqrt x}\Big)=-\dfrac{(\sqrt x-\sqrt a)^2}{2x\sqrt{ax}}<0 g ′ = x 1 − a 1 ( 2 x 1 + 2 x x a ) = − 2 x a x ( x − a ) 2 < 0
含两个字母的不等式，把一个换成变量，就变成单变量的单调性问题。
③ 结论。 g g g g ( b ) < g ( a ) = 0 g(b)<g(a)=0 g ( b ) < g ( a ) = 0 ln b − ln a < b − a a b \ln b-\ln a<\dfrac{b-a}{\sqrt{ab}} ln b − ln a < ab b − a b − a > 0 b-a>0 b − a > 0
“对数平均数”夹在两个平均数之间，这是很常用的结论。
答案：证明题。思路：左边用拉格朗日中值定理 1 ξ > 1 b > 2 a a 2 + b 2 \frac1\xi>\frac1b>\frac{2a}{a^2+b^2} ξ 1 > b 1 > a 2 + b 2 2 a b b b x x x g ′ = − ( x − a ) 2 2 x a x < 0 g'=-\frac{(\sqrt x-\sqrt a)^2}{2x\sqrt{ax}}<0 g ′ = − 2 x a x ( x − a ) 2 < 0 g ( a ) = 0 g(a)=0 g ( a ) = 0
例 4.24 2020 数二(6)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间
[ − 2 , 2 ] [-2,2] [ − 2 , 2 ] 上可导，且
f ′ ( x ) > f ( x ) > 0 f'(x)>f(x)>0 f ′ ( x ) > f ( x ) > 0 ，则（ ）
（A）
f ( − 2 ) f ( − 1 ) > 1 \dfrac{f(-2)}{f(-1)}>1 f ( − 1 ) f ( − 2 ) > 1 （B）
f ( 0 ) f ( − 1 ) > e \dfrac{f(0)}{f(-1)}>\e f ( − 1 ) f ( 0 ) > e （C）
f ( 1 ) f ( − 1 ) < e 2 \dfrac{f(1)}{f(-1)}<\e^2 f ( − 1 ) f ( 1 ) < e 2 （D）
f ( 2 ) f ( − 1 ) < e 3 \dfrac{f(2)}{f(-1)}<\e^3 f ( − 1 ) f ( 2 ) < e 3 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 构造辅助函数。 F ( x ) = e − x f ( x ) F(x)=\e^{-x}f(x) F ( x ) = e − x f ( x ) F ′ = e − x ( f ′ − f ) > 0 F'=\e^{-x}\big(f'-f\big)>0 F ′ = e − x ( f ′ − f ) > 0 F F F
看到 f ′ − f f'-f f ′ − f e − x \e^{-x} e − x
② 比较。 F ( 0 ) > F ( − 1 ) F(0)>F(-1) F ( 0 ) > F ( − 1 ) f ( 0 ) > e f ( − 1 ) f(0)>\e f(-1) f ( 0 ) > e f ( − 1 ) f ( 0 ) f ( − 1 ) > e \dfrac{f(0)}{f(-1)}>\e f ( − 1 ) f ( 0 ) > e
F ( − 1 ) = e f ( − 1 ) F(-1)=\e f(-1) F ( − 1 ) = e f ( − 1 ) f > 0 f>0 f > 0 f ( − 1 ) f(-1) f ( − 1 )
③ 检查其余。 （A）：F ( − 2 ) < F ( − 1 ) F(-2)<F(-1) F ( − 2 ) < F ( − 1 ) f ( − 2 ) < e − 1 f ( − 1 ) f(-2)<\e^{-1}f(-1) f ( − 2 ) < e − 1 f ( − 1 ) f ( 1 ) > e 2 f ( − 1 ) f(1)>\e^2f(-1) f ( 1 ) > e 2 f ( − 1 ) f ( 2 ) > e 3 f ( − 1 ) f(2)>\e^3f(-1) f ( 2 ) > e 3 f ( − 1 )
同一个递增函数 F F F
答案：B
例 4.25 李林 第四章 §1 例 3 · p97
证明：当
x > 0 x>0 x > 0 时，
( 1 + 1 x ) x < e < ( 1 + 1 x ) x + 1 \Big(1+\dfrac1x\Big)^x<\e<\Big(1+\dfrac1x\Big)^{x+1} ( 1 + x 1 ) x < e < ( 1 + x 1 ) x + 1 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 取对数，化成两个函数。 要证的是 f 1 ( x ) = x ln ( 1 + 1 x ) < 1 < ( x + 1 ) ln ( 1 + 1 x ) = f 2 ( x ) f_1(x)=x\ln\Big(1+\dfrac1x\Big)<1<(x+1)\ln\Big(1+\dfrac1x\Big)=f_2(x) f 1 ( x ) = x ln ( 1 + x 1 ) < 1 < ( x + 1 ) ln ( 1 + x 1 ) = f 2 ( x )
幂指函数比大小先取对数；ln \ln ln ln e = 1 \ln\e=1 ln e = 1
② 左边：f 1 f_1 f 1 f 1 ′ ( x ) = ln ( 1 + x ) − ln x − 1 1 + x f_1'(x)=\ln(1+x)-\ln x-\dfrac1{1+x} f 1 ′ ( x ) = ln ( 1 + x ) − ln x − 1 + x 1 f 1 ′ ′ ( x ) = 1 1 + x − 1 x + 1 ( 1 + x ) 2 = − 1 x ( 1 + x ) 2 < 0 f_1''(x)=\dfrac1{1+x}-\dfrac1x+\dfrac1{(1+x)^2}=\dfrac{-1}{x(1+x)^2}<0 f 1 ′′ ( x ) = 1 + x 1 − x 1 + ( 1 + x ) 2 1 = x ( 1 + x ) 2 − 1 < 0 f 1 ′ f_1' f 1 ′ lim x → + ∞ f 1 ′ ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to+\infty}f_1'(x)=0 x → + ∞ lim f 1 ′ ( x ) = 0 f 1 ′ ( x ) > 0 f_1'(x)>0 f 1 ′ ( x ) > 0 f 1 f_1 f 1 lim x → + ∞ f 1 ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}f_1(x)=1 x → + ∞ lim f 1 ( x ) = 1 f 1 ( x ) < 1 f_1(x)<1 f 1 ( x ) < 1
一阶导数的符号看不出来，就再求一次导：f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 1 f_1 f 1
③ 右边：f 2 f_2 f 2 f 2 ′ ( x ) = ln ( 1 + x ) − ln x − 1 x f_2'(x)=\ln(1+x)-\ln x-\dfrac1x f 2 ′ ( x ) = ln ( 1 + x ) − ln x − x 1 f 2 ′ ′ ( x ) = 1 1 + x − 1 x + 1 x 2 = 1 x 2 ( 1 + x ) > 0 f_2''(x)=\dfrac1{1+x}-\dfrac1x+\dfrac1{x^2}=\dfrac1{x^2(1+x)}>0 f 2 ′′ ( x ) = 1 + x 1 − x 1 + x 2 1 = x 2 ( 1 + x ) 1 > 0 f 2 ′ f_2' f 2 ′ f 2 ′ ( x ) < 0 f_2'(x)<0 f 2 ′ ( x ) < 0 f 2 f_2 f 2 f 2 ( x ) > 1 f_2(x)>1 f 2 ( x ) > 1
和②完全对称：递增并趋于 0 的函数一直是负的；递减并趋于 1 的函数一直在 1 上方。两个极限都来自 ln ( 1 + 1 x ) ∼ 1 x \ln\big(1+\frac1x\big)\sim\frac1x ln ( 1 + x 1 ) ∼ x 1
④ 结论。 两边同时成立，取指数就得到原不等式。
指数函数单调增加，对数形式的不等式可以原样搬回。这也说明 ( 1 + 1 x ) x \big(1+\frac1x\big)^x ( 1 + x 1 ) x ( 1 + 1 x ) x + 1 \big(1+\frac1x\big)^{x+1} ( 1 + x 1 ) x + 1
答案：证明题。思路：取对数后 f 1 = x ln ( 1 + 1 x ) f_1=x\ln\big(1+\frac1x\big) f 1 = x ln ( 1 + x 1 ) f 2 = ( x + 1 ) ln ( 1 + 1 x ) f_2=(x+1)\ln\big(1+\frac1x\big) f 2 = ( x + 1 ) ln ( 1 + x 1 )
4.6 小结
题目里的说法 换成什么 例子
“讨论单调性”“单调区间” f ′ f' f ′ 例 4.1 f f ′ > 0 f f'>0 f f ′ > 0 f ′ − f > 0 f'-f>0 f ′ − f > 0 凑成某个函数的导数：1 2 ( f 2 ) ′ \frac12(f^2)' 2 1 ( f 2 ) ′ ( e − x f ) ′ (\e^{-x}f)' ( e − x f ) ′ 例 4.2 、例 4.24 “求极值” 驻点 + 不可导点，逐个判别，写出函数值 例 4.4 、例 4.10 隐函数的极值 令 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 例 4.6 、例 4.7 “x 0 x_0 x 0 直接比较附近的函数值 例 4.5 复合函数、抽象函数的极值条件 一阶为 0，二阶看符号 例 4.8 、例 4.11 最值、应用题 端点 + 驻点 + 不可导点，比较大小 例 4.13 、例 4.14 “有几个根”“有 3 个根求参数” 分离参数，画草图数交点 例 4.17 、例 4.18 证明不等式 作差，求导（不行再求一次），端点值 + 单调 例 4.22 、例 4.23
学完了，标记这一部分
第 5 部分
凹凸性、拐点、渐近线与曲率
二阶导数管曲线“往哪边弯”：凹凸、拐点由它决定；曲线跑到无穷远贴近的直线是渐近线；弯的程度是曲率。这一部分配 29 道真题，是一元微分学真题最多的一块。
考试要求（大纲原文，李林讲义第四章第 2、3 条）
会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f ′′ ( x ) > 0 f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f ′′ ( x ) < 0 f ( x ) f(x) f ( x )
（仅数学一、数学二要求）了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
对应李林讲义第四章第二节“凹凸性与拐点”（p100—106）：题型一“讨论曲线的凹凸性与拐点”、题型二“图形题”、题型三“曲率与曲率圆”、题型五“求渐近线方程”。本笔记一律按大纲的叫法：f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0
5.1 凹凸性：曲线往哪边弯大白话：单调性说曲线是上坡还是下坡；凹凸性说它是“往上弯”（像碗口朝上）还是“往下弯”（像帽子） 。往上弯时斜率越来越大，也就是 f ′ f' f ′ f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0
x y O 弦在上 切线在下 凹：f ″>0 凹（f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0 凹凸的定义与判别
定义 ：对区间内任意 x 1 ≠ x 2 x_1\ne x_2 x 1 = x 2 f ( x 1 + x 2 2 ) < f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f\Big(\dfrac{x_1+x_2}2\Big)<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}2 f ( 2 x 1 + x 2 ) < 2 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 判别 ：f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0 几何 ：凹 ⟺ 弦在上、切线在下 ⟺ f ′ f' f ′ f ( x ) − f ( a ) x − a \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} x − a f ( x ) − f ( a ) x x x
方法卡 · 凹凸性的判断
什么时候用
求凹凸区间；比较函数与弦、切线的大小；“下列关于凹凸的说法正确的是”。
步骤
求 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 f ′ ′ f'' f ′′
每段看 f ′ ′ f'' f ′′
比大小的选择题：画一个满足条件的草图（凹就画“碗”），看弦、切线在哪一边。 最容易错
把“凹凸”和“单调”混在一起（凹函数可以递减）；以为“凹 ⇒
f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 ”（
x 4 x^4 x 4 在 0 处
f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 但仍是凹的）。
例 5.1 2014 数一(2) 2014 数二(3) 2014 数三(4) 李林 第四章 §2 例 3 · p103
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 具有 2 阶导数，
g ( x ) = f ( 0 ) ( 1 − x ) + f ( 1 ) x g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x g ( x ) = f ( 0 ) ( 1 − x ) + f ( 1 ) x ，则在区间
[ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 上（ ）
（A）当
f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 时，
f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\ge g(x) f ( x ) ≥ g ( x ) （B）当
f ′ ( x ) ≥ 0 f'(x)\ge0 f ′ ( x ) ≥ 0 时，
f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\le g(x) f ( x ) ≤ g ( x ) （C）当
f ′ ′ ( x ) ≥ 0 f''(x)\ge0 f ′′ ( x ) ≥ 0 时，
f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\ge g(x) f ( x ) ≥ g ( x ) （D）当
f ′ ′ ( x ) ≥ 0 f''(x)\ge0 f ′′ ( x ) ≥ 0 时，
f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\le g(x) f ( x ) ≤ g ( x ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 认出 g g g g ( 0 ) = f ( 0 ) g(0)=f(0) g ( 0 ) = f ( 0 ) g ( 1 ) = f ( 1 ) g(1)=f(1) g ( 1 ) = f ( 1 ) g g g y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) ( 0 , f ( 0 ) ) (0,f(0)) ( 0 , f ( 0 )) ( 1 , f ( 1 ) ) (1,f(1)) ( 1 , f ( 1 ))
把代数式翻译成图形：两个端点值 + 一次函数 = 弦。
② 凹函数在弦下方。 f ′ ′ ≥ 0 f''\ge0 f ′′ ≥ 0 f f f f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\le g(x) f ( x ) ≤ g ( x )
也可以严格证：F = f − g F=f-g F = f − g F ( 0 ) = F ( 1 ) = 0 F(0)=F(1)=0 F ( 0 ) = F ( 1 ) = 0 F ′ ′ = f ′ ′ ≥ 0 F''=f''\ge0 F ′′ = f ′′ ≥ 0 F F F
③ 排除（A）（B）。 f ′ ≥ 0 f'\ge0 f ′ ≥ 0 f = x 2 f=x^2 f = x 2 f ≤ g f\le g f ≤ g f = x f=\sqrt x f = x f ≥ g f\ge g f ≥ g
单调性决定不了曲线与弦的位置，凹凸性才决定。
答案：D
例 5.2 2026 数一(3) 2026 数二(5)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间
[ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 上有定义，则（ ）
（A）当
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) 单调递减，在
( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 单调递增时，
f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 是极小值
（B）当
f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) 是极小值时，
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) 单调递减，在
( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 单调递增
（C）当
f ( x ) f(x) f ( x ) 的图形在
[ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 是凹的时，
f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} x − 1 f ( x ) − f ( 1 ) 在
[ − 1 , 1 ) [-1,1) [ − 1 , 1 ) 单调递增
（D）当
f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} x − 1 f ( x ) − f ( 1 ) 在
[ − 1 , 1 ) [-1,1) [ − 1 , 1 ) 单调递增时，
f ( x ) f(x) f ( x ) 的图形在
[ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] 是凹的
解答先遮住，自己试 5 分钟
① （A）错：没说连续。 反例 f ( x ) = ∣ x ∣ f(x)=|x| f ( x ) = ∣ x ∣ x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( 0 ) = 5 f(0)=5 f ( 0 ) = 5 f ( 0 ) = 5 f(0)=5 f ( 0 ) = 5
题目只说“有定义”，f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) x = 0 x=0 x = 0
② （B）错：极小值点附近可以振荡。 反例 f ( x ) = x 2 ( 2 + sin 1 x ) f(x)=x^2\Big(2+\sin\dfrac1x\Big) f ( x ) = x 2 ( 2 + sin x 1 ) f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ≥ x 2 ≥ 0 f\ge x^2\ge0 f ≥ x 2 ≥ 0 f ( 0 ) f(0) f ( 0 ) f ′ f' f ′
极值只和附近的函数值比大小，不要求两侧单调。
③ （C）对：凹 ⟺ 割线斜率递增。 凹函数上固定端点 ( 1 , f ( 1 ) ) (1,f(1)) ( 1 , f ( 1 )) x x x f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} x − 1 f ( x ) − f ( 1 )
这是凹函数的“割线斜率单调”性质；图 5.1 中连接 ( x , f ( x ) ) (x,f(x)) ( x , f ( x )) x x x
④ （D）错：只固定了一个端点。 只对以 ( 1 , f ( 1 ) ) (1,f(1)) ( 1 , f ( 1 ))
凹的定义要求“任意两点”，这里只检验了“其中一个点是 1”的情形。
答案：C
例 5.3 2022 数二(3)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = x 0 x=x_0 x = x 0 处有 2 阶导数，则（ ）
（A）当
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x 0 x_0 x 0 的某邻域内单调增加时，
f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f ′ ( x 0 ) > 0 （B）当
f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f ′ ( x 0 ) > 0 时，
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x 0 x_0 x 0 的某邻域内单调增加
（C）当
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x 0 x_0 x 0 的某邻域内是凹函数时，
f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f ′′ ( x 0 ) > 0 （D）当
f ′ ′ ( x 0 ) > 0 f''(x_0)>0 f ′′ ( x 0 ) > 0 时，
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x 0 x_0 x 0 的某邻域内是凹函数
解答先遮住，自己试 5 分钟
① “二阶导数存在”的含义。 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f ′′ ( x 0 ) f ′ f' f ′ x 0 x_0 x 0 x 0 x_0 x 0
要谈 f ′ f' f ′ x 0 x_0 x 0 f ′ f' f ′
② （B）对。 f ′ ( x 0 ) > 0 f'(x_0)>0 f ′ ( x 0 ) > 0 f ′ f' f ′ x 0 x_0 x 0 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 f f f
这和 4.1 节李林例题的区别：那里只有一点可导，f ′ f' f ′
③ （A）（C）（D）的反例。 （A）f = x 3 f=x^3 f = x 3 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 f = x 4 f=x^4 f = x 4 f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0)=0 f ′′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ f'' f ′′
严格单调、严格凹都允许导数在个别点为 0；一点的二阶导数管不到邻域。
答案：B
例 5.4 2011 数二(16)
设函数
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由参数方程
{ x = 1 3 t 3 + t + 1 3 y = 1 3 t 3 − t + 1 3 \begin{cases}x=\dfrac13t^3+t+\dfrac13\\y=\dfrac13t^3-t+\dfrac13\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 1 t 3 + t + 3 1 y = 3 1 t 3 − t + 3 1 确定，求
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 的极值和曲线
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 的凹凸区间及拐点。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 d y d x = t 2 − 1 t 2 + 1 \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{t^2-1}{t^2+1} d x d y = t 2 + 1 t 2 − 1 t = ± 1 t=\pm1 t = ± 1 x ′ ( t ) = t 2 + 1 > 0 x'(t)=t^2+1>0 x ′ ( t ) = t 2 + 1 > 0 x x x t t t
x x x t t t t t t x x x
② 极值。 t < − 1 t<-1 t < − 1 y ′ > 0 y'>0 y ′ > 0 − 1 < t < 1 -1<t<1 − 1 < t < 1 y ′ < 0 y'<0 y ′ < 0 t > 1 t>1 t > 1 y ′ > 0 y'>0 y ′ > 0 t = − 1 t=-1 t = − 1 x = − 1 x=-1 x = − 1 y = 1 y=1 y = 1 t = 1 t=1 t = 1 x = 5 3 x=\dfrac53 x = 3 5 y = − 1 3 y=-\dfrac13 y = − 3 1
把 t = ± 1 t=\pm1 t = ± 1 x x x y y y
③ 二阶与凹凸。 d 2 y d x 2 = ( t 2 − 1 t 2 + 1 ) ′ t 2 + 1 = 4 t ( t 2 + 1 ) 3 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{\big(\frac{t^2-1}{t^2+1}\big)'}{t^2+1}=\dfrac{4t}{(t^2+1)^3} d x 2 d 2 y = t 2 + 1 ( t 2 + 1 t 2 − 1 ) ′ = ( t 2 + 1 ) 3 4 t t < 0 t<0 t < 0 t > 0 t>0 t > 0 t = 0 t=0 t = 0 x = 1 3 x=\dfrac13 x = 3 1 y = 1 3 y=\dfrac13 y = 3 1
参数方程二阶导数：对 t t t x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t )
④ 结论。 凸区间 ( − ∞ , 1 3 ) \Big(-\infty,\dfrac13\Big) ( − ∞ , 3 1 ) ( 1 3 , + ∞ ) \Big(\dfrac13,+\infty\Big) ( 3 1 , + ∞ ) ( 1 3 , 1 3 ) \Big(\dfrac13,\dfrac13\Big) ( 3 1 , 3 1 )
区间要用 x x x t t t
答案：极大值 y ( − 1 ) = 1 y(-1)=1 y ( − 1 ) = 1 y ( 5 3 ) = − 1 3 y(\frac53)=-\frac13 y ( 3 5 ) = − 3 1 ( − ∞ , 1 3 ) (-\infty,\frac13) ( − ∞ , 3 1 ) ( 1 3 , + ∞ ) (\frac13,+\infty) ( 3 1 , + ∞ ) ( 1 3 , 1 3 ) (\frac13,\frac13) ( 3 1 , 3 1 )
5.2 拐点：凹凸的分界点大白话：拐点是曲线从“往上弯”变成“往下弯”（或反过来）的那一点，就像开车时方向盘从左打换成右打 。所以拐点处 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′
x y O 拐点 (1, −1) 凸（f ″<0） 凹（f ″>0） 切线穿过曲线 y = x 3 − 3 x 2 + 1 y=x^3-3x^2+1 y = x 3 − 3 x 2 + 1 f ′ ′ = 6 ( x − 1 ) f''=6(x-1) f ′′ = 6 ( x − 1 ) x = 1 x=1 x = 1 ( 1 , − 1 ) (1,-1) ( 1 , − 1 ) 拐点的判别（与极值平行）
第一判别法 ：f f f x 0 x_0 x 0 f ′ ′ f'' f ′′ x 0 x_0 x 0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) ( x 0 , f ( x 0 )) 第二判别法 ：f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'''(x_0)\ne0 f ′′′ ( x 0 ) = 0 推广 ：f ′ ′ ( x 0 ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( x 0 ) = 0 f ( n ) ( x 0 ) ≠ 0 f^{(n)}(x_0)\ne0 f ( n ) ( x 0 ) = 0 n n n n n n f ′ ( x 0 ) = 0 f'(x_0)=0 f ′ ( x 0 ) = 0 多项式乘积的“重根规则” （孝哥一页纸）：f = ∏ ( x − a i ) k i f=\prod(x-a_i)^{k_i} f = ∏ ( x − a i ) k i a i a_i a i k i k_i k i k i ≥ 3 k_i\ge3 k i ≥ 3
拐点写成点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) ( x 0 , f ( x 0 )) x 0 x_0 x 0
方法卡 · 求拐点
什么时候用
“求拐点”“拐点处的切线”“有拐点求参数”。
步骤
求 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 f ′ ′ f'' f ′′
检查两侧 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ ′ ≠ 0 f'''\ne0 f ′′′ = 0
写成坐标 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) ( x 0 , f ( x 0 )) f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f ′ ( x 0 ) 最容易错
只解
f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 就认定是拐点（
x 4 x^4 x 4 在 0 处不是）；漏掉
f ′ ′ f'' f ′′ 不存在的点（
x 3 \sqrt[3]x 3 x 在 0 处是拐点）。
例 5.5 2011 数一(1)
曲线
y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 3 ) 3 ( x − 4 ) 4 y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4 y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 3 ) 3 ( x − 4 ) 4 的拐点是（ ）
（A）
( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) （B）
( 2 , 0 ) (2,0) ( 2 , 0 ) （C）
( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) （D）
( 4 , 0 ) (4,0) ( 4 , 0 ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 看每个根的重数。 在 x = 3 x=3 x = 3 y = ( x − 3 ) 3 g ( x ) y=(x-3)^3g(x) y = ( x − 3 ) 3 g ( x ) g ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 4 g(x)=(x-1)(x-2)^2(x-4)^4 g ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 4 g ( 3 ) = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 ≠ 0 g(3)=2\cdot1\cdot1=2\ne0 g ( 3 ) = 2 ⋅ 1 ⋅ 1 = 2 = 0
把要研究的那个因子单独拿出来，其余因子在该点不为 0，只影响系数不影响符号。
② 三重根处是拐点。 y ′ ′ = 6 ( x − 3 ) g ( x ) + ( x − 3 ) 2 ( ⋯ ) y''=6(x-3)g(x)+(x-3)^2(\cdots) y ′′ = 6 ( x − 3 ) g ( x ) + ( x − 3 ) 2 ( ⋯ ) y ′ ′ y'' y ′′ 6 ( x − 3 ) g ( 3 ) 6(x-3)g(3) 6 ( x − 3 ) g ( 3 ) ( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 )
( x − 3 ) 3 (x-3)^3 ( x − 3 ) 3 6 ( x − 3 ) 6(x-3) 6 ( x − 3 )
③ 其他三个点。 x = 1 x=1 x = 1 y ′ ′ ( 1 ) ≠ 0 y''(1)\ne0 y ′′ ( 1 ) = 0 x = 2 x=2 x = 2 y ′ ( 2 ) = 0 y'(2)=0 y ′ ( 2 ) = 0 y ′ ′ ( 2 ) ≠ 0 y''(2)\ne0 y ′′ ( 2 ) = 0 x = 4 x=4 x = 4 y ′ ′ y'' y ′′ ∼ 12 ( x − 4 ) 2 ⋅ ( ⋯ ) \sim12(x-4)^2\cdot(\cdots) ∼ 12 ( x − 4 ) 2 ⋅ ( ⋯ )
孝哥一页纸的重根规则：偶数重根是极值点，三重以上奇数重根是拐点。
答案：C
例 5.6 2018 数二(10) 2018 数三(9)
曲线
y = x 2 + 2 ln x y=x^2+2\ln x y = x 2 + 2 ln x 在其拐点处的切线方程是 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拐点。 y ′ = 2 x + 2 x y'=2x+\dfrac2x y ′ = 2 x + x 2 y ′ ′ = 2 − 2 x 2 y''=2-\dfrac2{x^2} y ′′ = 2 − x 2 2 x > 0 x>0 x > 0 y ′ ′ = 0 y''=0 y ′′ = 0 x = 1 x=1 x = 1 y ′ ′ y'' y ′′ ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
定义域 x > 0 x>0 x > 0 x = 1 x=1 x = 1 y ( 1 ) = 1 + 0 = 1 y(1)=1+0=1 y ( 1 ) = 1 + 0 = 1
② 切线。 y ′ ( 1 ) = 4 y'(1)=4 y ′ ( 1 ) = 4 y − 1 = 4 ( x − 1 ) y-1=4(x-1) y − 1 = 4 ( x − 1 ) y = 4 x − 3 y=4x-3 y = 4 x − 3
切点是拐点 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) y ′ ( 1 ) = 2 + 2 = 4 y'(1)=2+2=4 y ′ ( 1 ) = 2 + 2 = 4
答案：y = 4 x − 3 y=4x-3 y = 4 x − 3
例 5.7 2019 数二(2) 2019 数三(10)
曲线
y = x sin x + 2 cos x ( − π 2 < x < 2 π ) y=x\sin x+2\cos x\ \Big(-\dfrac\pi2<x<2\pi\Big) y = x sin x + 2 cos x ( − 2 π < x < 2 π ) 的拐点坐标为（ ）
（A）
( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) （B）
( π , − 2 ) (\pi,-2) ( π , − 2 ) （C）
( π 2 , π 2 ) \Big(\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\Big) ( 2 π , 2 π ) （D）
( 3 π 2 , − 3 π 2 ) \Big(\dfrac{3\pi}2,-\dfrac{3\pi}2\Big) ( 2 3 π , − 2 3 π ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 二阶导数。 y ′ = sin x + x cos x − 2 sin x = x cos x − sin x y'=\sin x+x\cos x-2\sin x=x\cos x-\sin x y ′ = sin x + x cos x − 2 sin x = x cos x − sin x y ′ ′ = cos x − x sin x − cos x = − x sin x y''=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x y ′′ = cos x − x sin x − cos x = − x sin x
乘积法则后 cos x \cos x cos x
② 找变号点。 − x sin x = 0 -x\sin x=0 − x sin x = 0 x = 0 x=0 x = 0 x = π x=\pi x = π x = 0 x=0 x = 0 − x sin x ≈ − x 2 ≤ 0 -x\sin x\approx-x^2\le0 − x sin x ≈ − x 2 ≤ 0 x = π x=\pi x = π sin x \sin x sin x y ′ ′ y'' y ′′
x = 0 x=0 x = 0
③ 坐标。 y ( π ) = 0 + 2 cos π = − 2 y(\pi)=0+2\cos\pi=-2 y ( π ) = 0 + 2 cos π = − 2 ( π , − 2 ) (\pi,-2) ( π , − 2 )
拐点是曲线上的点，要写成 ( x 0 , y ( x 0 ) ) (x_0,y(x_0)) ( x 0 , y ( x 0 )) x = π x=\pi x = π
答案：B
例 5.8 2010 数三(12)
若曲线
y = x 3 + a x 2 + b x + 1 y=x^3+ax^2+bx+1 y = x 3 + a x 2 + b x + 1 有拐点
( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ，则
b = b= b = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 二阶导数为 0。 y ′ ′ = 6 x + 2 a y''=6x+2a y ′′ = 6 x + 2 a y ′ ′ ( − 1 ) = − 6 + 2 a = 0 y''(-1)=-6+2a=0 y ′′ ( − 1 ) = − 6 + 2 a = 0 a = 3 a=3 a = 3
三次函数的拐点就是 y ′ ′ y'' y ′′
② 点在曲线上。 y ( − 1 ) = − 1 + a − b + 1 = a − b = 0 y(-1)=-1+a-b+1=a-b=0 y ( − 1 ) = − 1 + a − b + 1 = a − b = 0 b = 3 b=3 b = 3
拐点坐标必须满足曲线方程。
答案：3
例 5.9 2023 数二(7)
设函数
f ( x ) = ( x 2 + a ) e x f(x)=(x^2+a)\e^x f ( x ) = ( x 2 + a ) e x ，若
f ( x ) f(x) f ( x ) 没有极值点，但曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有拐点，则
a a a 的取值范围是（ ）
（A）
[ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) （B）
[ 1 , + ∞ ) [1,+\infty) [ 1 , + ∞ ) （C）
[ 1 , 2 ) [1,2) [ 1 , 2 ) （D）
[ 2 , + ∞ ) [2,+\infty) [ 2 , + ∞ ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 没有极值点。 f ′ = ( x 2 + 2 x + a ) e x f'=(x^2+2x+a)\e^x f ′ = ( x 2 + 2 x + a ) e x f ′ f' f ′ 4 − 4 a ≤ 0 4-4a\le0 4 − 4 a ≤ 0 a ≥ 1 a\ge1 a ≥ 1
e x > 0 \e^x>0 e x > 0 a = 1 a=1 a = 1 ( x + 1 ) 2 ≥ 0 (x+1)^2\ge0 ( x + 1 ) 2 ≥ 0
② 有拐点。 f ′ ′ = ( x 2 + 4 x + a + 2 ) e x f''=(x^2+4x+a+2)\e^x f ′′ = ( x 2 + 4 x + a + 2 ) e x 16 − 4 ( a + 2 ) > 0 16-4(a+2)>0 16 − 4 ( a + 2 ) > 0 a < 2 a<2 a < 2
二次式要有两个不同实根才会变号；判别式等于 0 时不变号。
③ 合起来。 1 ≤ a < 2 1\le a<2 1 ≤ a < 2
两个条件取交集，注意端点：1 可以取，2 不能取。
答案：C
例 5.10 李林 第四章 §2 例 1、例 2 · p102—103
（1）求曲线
f ( x ) = ( x − 5 ) x 2 3 f(x)=(x-5)x^{\frac23} f ( x ) = ( x − 5 ) x 3 2 的凹凸区间与拐点；（2）设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处有二阶连续导数，
f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 f(0)=f'(0)=0 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 ，
f ′ ′ ( 0 ) ≠ 0 f''(0)\ne0 f ′′ ( 0 ) = 0 ，证明
( 0 , F ( 0 ) ) (0,F(0)) ( 0 , F ( 0 )) 是曲线
F ( x ) = ( 1 − e 2 x ) f ( x ) F(x)=(1-\e^{2x})f(x) F ( x ) = ( 1 − e 2 x ) f ( x ) 的拐点。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 二阶导数。 f ′ = 5 ( x − 2 ) 3 x 3 f'=\dfrac{5(x-2)}{3\sqrt[3]x} f ′ = 3 3 x 5 ( x − 2 ) f ′ ′ = 10 ( x + 1 ) 9 x x 3 f''=\dfrac{10(x+1)}{9x\sqrt[3]x} f ′′ = 9 x 3 x 10 ( x + 1 ) f ′ ′ ( − 1 ) = 0 f''(-1)=0 f ′′ ( − 1 ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 f ′ ′ f'' f ′′
4.2 节同一类函数；x x 3 = x 4 / 3 x\sqrt[3]x=x^{4/3} x 3 x = x 4/3 x ≠ 0 x\ne0 x = 0
② (1) 符号。 x < − 1 x<-1 x < − 1 f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0 − 1 < x < 0 -1<x<0 − 1 < x < 0 x > 0 x>0 x > 0 f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 ( − 1 , − 6 ) (-1,-6) ( − 1 , − 6 ) x = 0 x=0 x = 0
分母 x 4 / 3 > 0 x^{4/3}>0 x 4/3 > 0 f ′ ′ f'' f ′′ x + 1 x+1 x + 1 f ( − 1 ) = − 6 f(-1)=-6 f ( − 1 ) = − 6
③ (2) F ′ ′ ( 0 ) = 0 F''(0)=0 F ′′ ( 0 ) = 0 F ′ = − 2 e 2 x f + ( 1 − e 2 x ) f ′ F'=-2\e^{2x}f+(1-\e^{2x})f' F ′ = − 2 e 2 x f + ( 1 − e 2 x ) f ′ F ′ ′ = − 4 e 2 x f − 4 e 2 x f ′ + ( 1 − e 2 x ) f ′ ′ F''=-4\e^{2x}f-4\e^{2x}f'+(1-\e^{2x})f'' F ′′ = − 4 e 2 x f − 4 e 2 x f ′ + ( 1 − e 2 x ) f ′′ F ′ ′ ( 0 ) = 0 F''(0)=0 F ′′ ( 0 ) = 0
乘积逐项求导，代入 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0 f(0)=f'(0)=0 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = 0
④ (2) 用 F ′ ′ ′ ( 0 ) ≠ 0 F'''(0)\ne0 F ′′′ ( 0 ) = 0 F ′ ′ ′ ( 0 ) = lim F ′ ′ ( x ) x = lim [ − 4 e 2 x ( f ( x ) x + f ′ ( x ) x ) + 1 − e 2 x x f ′ ′ ( x ) ] = − 4 [ 0 + f ′ ′ ( 0 ) ] − 2 f ′ ′ ( 0 ) = − 6 f ′ ′ ( 0 ) ≠ 0 F'''(0)=\lim\dfrac{F''(x)}x=\lim\Big[-4\e^{2x}\Big(\dfrac{f(x)}x+\dfrac{f'(x)}x\Big)+\dfrac{1-\e^{2x}}xf''(x)\Big]=-4[0+f''(0)]-2f''(0)=-6f''(0)\ne0 F ′′′ ( 0 ) = lim x F ′′ ( x ) = lim [ − 4 e 2 x ( x f ( x ) + x f ′ ( x ) ) + x 1 − e 2 x f ′′ ( x ) ] = − 4 [ 0 + f ′′ ( 0 )] − 2 f ′′ ( 0 ) = − 6 f ′′ ( 0 ) = 0
只知道 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ f'' f ′′ F ′ ′ ′ ( 0 ) F'''(0) F ′′′ ( 0 ) f ( x ) x → f ′ ( 0 ) = 0 \frac{f(x)}x\to f'(0)=0 x f ( x ) → f ′ ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) x → f ′ ′ ( 0 ) \frac{f'(x)}x\to f''(0) x f ′ ( x ) → f ′′ ( 0 )
答案：(1) 凸区间 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( − 1 , + ∞ ) (-1,+\infty) ( − 1 , + ∞ ) ( − 1 , − 6 ) (-1,-6) ( − 1 , − 6 ) F ′ ′ ( 0 ) = 0 F''(0)=0 F ′′ ( 0 ) = 0 F ′ ′ ′ ( 0 ) = − 6 f ′ ′ ( 0 ) ≠ 0 F'''(0)=-6f''(0)\ne0 F ′′′ ( 0 ) = − 6 f ′′ ( 0 ) = 0
5.3 看图题：从 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ 大白话：题目给的是导函数的图，问原函数。只要记住一句话（Maki）：“极值点看穿过，拐点看升降” ——f ′ f' f ′ x x x f f f f ′ f' f ′ f f f f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ f'' f ′′ x x x
x f″(x) O a ：相切b ：穿过0：不存在，两侧异号 2015 数一(1) 的 f ′ ′ f'' f ′′ a a a x x x b b b x y=f′(x) O 竖直渐近线 相切 峰顶 2016 数二(4) 的 f ′ f' f ′ x x x
读图口诀
给的图 f f f f f f
f ′ f' f ′ f ′ f' f ′ 穿过 x x x f ′ f' f ′ f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ （看不出，需要 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ 穿过 x x x f ′ ′ f'' f ′′
与 x x x f f f
方法卡 · 看图题
什么时候用
题目给出
y = f ′ ( x ) y=f'(x) y = f ′ ( x ) 或
y = f ′ ′ ( x ) y=f''(x) y = f ′′ ( x ) 的图像，问极值点、拐点个数。
步骤
确认图是 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′
从左到右扫一遍，标出所有“穿过 x x x
按口诀对号入座；碰到 x x x 最容易错
把
f ′ ′ f'' f ′′ 与
x x x 轴的交点个数直接当拐点个数（相切的点要排除）；漏掉函数值不存在的那个点。
例 5.11 2015 数一(1) 2015 数二(4) 2015 数三(2)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) ( − ∞ , + ∞ ) 上连续，其 2 阶导函数
f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x ) 的图形如图所示（见上方左图），则曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 的拐点个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 列出候选点。 f ′ ′ f'' f ′′ x x x a < 0 < b a<0<b a < 0 < b x = 0 x=0 x = 0 f ′ ′ f'' f ′′ a a a b b b
拐点只可能出现在 f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 f ′ ′ f'' f ′′
② 逐个看变号。 a a a a a a x x x f ′ ′ ≥ 0 f''\ge0 f ′′ ≥ 0 f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0 f f f b b b x x x
“穿过”才变号；f ′ ′ f'' f ′′ f f f
③ 结论。 共 2 个拐点。所以选（C）。
易错：数交点得 2（漏 0、多 a a a
答案：C
例 5.12 2016 数二(4) 2016 数三(1) 李林 第四章 习题 选择 (2) · p106
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) ( − ∞ , + ∞ ) 内连续，其导函数的图形如图所示（见上方右图），则（ ）
（A）函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 有 2 个极值点，曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有 2 个拐点
（B）函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 有 2 个极值点，曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有 3 个拐点
（C）函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 有 3 个极值点，曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有 1 个拐点
（D）函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 有 3 个极值点，曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有 2 个拐点
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 极值点：看穿过。 f ′ f' f ′ x x x x x x
相切点两侧 f ′ ≥ 0 f'\ge0 f ′ ≥ 0 f ′ f' f ′
② 拐点：看升降。 竖直渐近线处：左边 f ′ f' f ′ − ∞ -\infty − ∞ − ∞ -\infty − ∞
f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ f f f f ′ f' f ′
答案：B
x y=f′(x) O x 1 x 2 x 3 下面例题所用：f ′ f' f ′ x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x x x x = 0 x=0 x = 0 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) x 3 x_3 x 3 x y O L 1 L 2 L 3 下面例题所用：三条曲线 L 1 L_1 L 1 L 2 L_2 L 2 L 3 L_3 L 3 f f f f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′
例 5.13 李林 第四章 §1 例 10 · p100（图按原题重画）
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) ( − ∞ , + ∞ ) 内连续，其导函数
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 的图形如图所示（见上方左图），则
f ( x ) f(x) f ( x ) 有（ ）
（A）一个极小值点和两个极大值点 （B）两个极小值点和一个极大值点
（C）两个极小值点和两个极大值点 （D）三个极小值点和一个极大值点
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 找可疑点。 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3 f ′ f' f ′ x = 0 x=0 x = 0
极值点只可能是驻点或不可导点；f f f
② 逐个看 f ′ f' f ′ x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x = 0 x=0 x = 0 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 x 3 x_3 x 3
第一充分条件只要求 f f f x = 0 x=0 x = 0
③ 结论。 两个极小值点、两个极大值点，所以选（C）。
只数 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 x = 0 x=0 x = 0
答案：C
例 5.14 李林 第四章 §2 例 4 · p103（图按原题思路重画）
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 有二阶连续导数，
L 1 , L 2 , L 3 L_1,L_2,L_3 L 1 , L 2 , L 3 （见上方右图）分别为曲线（ ）
（A）
y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ′ ′ ( x ) y=f(x),\ y=f'(x),\ y=f''(x) y = f ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ′′ ( x ) （B）
y = f ( x ) , y = f ′ ′ ( x ) , y = f ′ ( x ) y=f(x),\ y=f''(x),\ y=f'(x) y = f ( x ) , y = f ′′ ( x ) , y = f ′ ( x ) （C）
y = f ′ ′ ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ( x ) y=f''(x),\ y=f'(x),\ y=f(x) y = f ′′ ( x ) , y = f ′ ( x ) , y = f ( x ) （D）
y = f ′ ( x ) , y = f ( x ) , y = f ′ ′ ( x ) y=f'(x),\ y=f(x),\ y=f''(x) y = f ′ ( x ) , y = f ( x ) , y = f ′′ ( x ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 判别规则。 如果曲线 A A A B B B A A A x x x B B B A A A x x x B B B
导数的正负决定原函数的升降（4.1 节），这是在图上认“谁是谁的导数”的唯一依据。
② L 2 L_2 L 2 L 3 L_3 L 3 L 2 L_2 L 2 x x x L 3 L_3 L 3 L 2 L_2 L 2 2.1 < x < 4.2 2.1<x<4.2 2.1 < x < 4.2 L 3 L_3 L 3
符号与升降一一对应，而且 L 2 L_2 L 2 L 3 L_3 L 3
③ L 1 L_1 L 1 L 2 L_2 L 2 L 1 L_1 L 1 ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π ) x x x L 2 L_2 L 2 L 1 L_1 L 1 ( π , 2 π ) (\pi,2\pi) ( π , 2 π ) L 2 L_2 L 2
同样的规则再用一次；也可以对照凹凸：L 3 L_3 L 3 ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π ) ( π , 2 π ) (\pi,2\pi) ( π , 2 π ) L 1 L_1 L 1
④ 结论。 L 1 = f ′ ′ L_1=f'' L 1 = f ′′ L 2 = f ′ L_2=f' L 2 = f ′ L 3 = f L_3=f L 3 = f
李林的做法是先假设 L 3 = f L_3=f L 3 = f x x x
答案：C
5.4 渐近线：曲线跑到无穷远时贴近的直线大白话：渐近线是曲线“跑到无穷远”时越来越贴近的直线 。三种：竖直的（x x x y y y x x x y y y x x x y y y + ∞ +\infty + ∞ − ∞ -\infty − ∞
x y O y =x y =0x =0y = 1 x + ln ( 1 + e x ) y=\frac1x+\ln(1+\e^x) y = x 1 + ln ( 1 + e x ) x = 0 x=0 x = 0 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ y = 0 y=0 y = 0 x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ y = x y=x y = x 三种渐近线的求法
竖直 ：lim x → x 0 ± f ( x ) = ∞ \lim\limits_{x\to x_0^\pm}f(x)=\infty x → x 0 ± lim f ( x ) = ∞ x = x 0 x=x_0 x = x 0 水平 ：lim x → + ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A x → + ∞ lim f ( x ) = A lim x → − ∞ f ( x ) = A \lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A x → − ∞ lim f ( x ) = A y = A y=A y = A 斜 ：k = lim x → ± ∞ f ( x ) x ≠ 0 k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}x\ne0 k = x → ± ∞ lim x f ( x ) = 0 b = lim x → ± ∞ [ f ( x ) − k x ] b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx] b = x → ± ∞ lim [ f ( x ) − k x ] y = k x + b y=kx+b y = k x + b
最快的办法：把 f ( x ) f(x) f ( x ) x → ∞ x\to\infty x → ∞ k x + b + o ( 1 ) kx+b+o(1) k x + b + o ( 1 ) k k k b b b ln ( 1 + u ) ∼ u \ln(1+u)\sim u ln ( 1 + u ) ∼ u
方法卡 · 求全部渐近线
步骤
竖直：列出无定义点等候选点，逐个求单侧极限，是 ∞ \infty ∞
水平：分别求 x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞
斜：在没有水平渐近线的方向上求 k k k b b b 最容易错
可去间断点也当成竖直渐近线；把
+ ∞ +\infty + ∞ 、
− ∞ -\infty − ∞ 两个方向混在一起；
k k k 存在但
b b b 不存在时也写斜渐近线。
例 5.15 2012 数一(1) 2012 数二(1) 2012 数三(1) 李林 第四章 习题 选择 (3) · p106
曲线
y = x 2 + x x 2 − 1 y=\dfrac{x^2+x}{x^2-1} y = x 2 − 1 x 2 + x 的渐近线的条数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 化简。 y = x ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x x − 1 y=\dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac x{x-1} y = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x ( x + 1 ) = x − 1 x x ≠ − 1 x\ne-1 x = − 1
分子分母约掉公因式，看清哪个间断点是可去的。
② 竖直。 x → 1 x\to1 x → 1 y → ∞ y\to\infty y → ∞ x = 1 x=1 x = 1 x → − 1 x\to-1 x → − 1 y → 1 2 y\to\dfrac12 y → 2 1
x → − 1 x\to-1 x → − 1 1 2 \frac12 2 1
③ 水平与斜。 x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞ y → 1 y\to1 y → 1 y = 1 y=1 y = 1
两个方向都趋于 1，只算一条。
答案：C
例 5.16 2014 数一(1) 2014 数二(2) 2014 数三(2)
下列曲线中有渐近线的是（ ）
（A）
y = x + sin x y=x+\sin x y = x + sin x （B）
y = x 2 + sin x y=x^2+\sin x y = x 2 + sin x （C）
y = x + sin 1 x y=x+\sin\dfrac1x y = x + sin x 1 （D）
y = x 2 + sin 1 x y=x^2+\sin\dfrac1x y = x 2 + sin x 1 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 都没有竖直、水平渐近线。 四个函数处处有界或在 0 附近有界（sin 1 x \sin\frac1x sin x 1 x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞
sin 1 x \sin\frac1x sin x 1
② 看斜渐近线。 （C）：k = lim x + sin 1 x x = 1 k=\lim\dfrac{x+\sin\frac1x}x=1 k = lim x x + sin x 1 = 1 b = lim sin 1 x = 0 b=\lim\sin\dfrac1x=0 b = lim sin x 1 = 0 y = x y=x y = x k = 1 k=1 k = 1 b = lim sin x b=\lim\sin x b = lim sin x y x → ∞ \frac yx\to\infty x y → ∞ k k k
斜渐近线要 k k k b b b
答案：C
例 5.17 2023 数一(1) 2023 数二(1)
曲线
y = x ln ( e + 1 x − 1 ) y=x\ln\Big(\e+\dfrac1{x-1}\Big) y = x ln ( e + x − 1 1 ) 的渐近线方程为（ ）
（A）
y = x + e y=x+\e y = x + e （B）
y = x + 1 e y=x+\dfrac1{\e} y = x + e 1 （C）
y = x y=x y = x （D）
y = x − 1 e y=x-\dfrac1{\e} y = x − e 1 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 斜率。 k = lim x → ∞ ln ( e + 1 x − 1 ) = ln e = 1 k=\lim\limits_{x\to\infty}\ln\Big(\e+\dfrac1{x-1}\Big)=\ln\e=1 k = x → ∞ lim ln ( e + x − 1 1 ) = ln e = 1
选项都是斜线，直接求 k k k b b b
② 截距。 b = lim x [ ln ( e + 1 x − 1 ) − 1 ] = lim x ln ( 1 + 1 e ( x − 1 ) ) = lim x e ( x − 1 ) = 1 e b=\lim x\Big[\ln\Big(\e+\dfrac1{x-1}\Big)-1\Big]=\lim x\ln\Big(1+\dfrac1{\e(x-1)}\Big)=\lim\dfrac x{\e(x-1)}=\dfrac1{\e} b = lim x [ ln ( e + x − 1 1 ) − 1 ] = lim x ln ( 1 + e ( x − 1 ) 1 ) = lim e ( x − 1 ) x = e 1
把 1 写成 ln e \ln\e ln e ln e + 1 x − 1 e \ln\frac{\e+\frac1{x-1}}{\e} ln e e + x − 1 1 ln ( 1 + u ) ∼ u \ln(1+u)\sim u ln ( 1 + u ) ∼ u
③ 结论。 y = x + 1 e y=x+\dfrac1{\e} y = x + e 1
这条曲线还有竖直渐近线 x = 1 x=1 x = 1 x = 1 − 1 e x=1-\frac1{\e} x = 1 − e 1
答案：B
例 5.18 2010 数二(10)
曲线
y = 2 x 3 x 2 + 1 y=\dfrac{2x^3}{x^2+1} y = x 2 + 1 2 x 3 的渐近线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 多项式除法。 2 x 3 x 2 + 1 = 2 x − 2 x x 2 + 1 \dfrac{2x^3}{x^2+1}=2x-\dfrac{2x}{x^2+1} x 2 + 1 2 x 3 = 2 x − x 2 + 1 2 x
分子次数比分母高 1，除一次就得到“斜线 + 趋于 0 的余项”。
② 读出。 2 x x 2 + 1 → 0 \dfrac{2x}{x^2+1}\to0 x 2 + 1 2 x → 0 y = 2 x y=2x y = 2 x
余项趋于 0，所以 k = 2 k=2 k = 2 b = 0 b=0 b = 0
答案：y = 2 x y=2x y = 2 x
例 5.19 2016 数二(9)
曲线
y = x 3 1 + x 2 + arctan ( 1 + x 2 ) y=\dfrac{x^3}{1+x^2}+\arctan(1+x^2) y = 1 + x 2 x 3 + arctan ( 1 + x 2 ) 的斜渐近线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拆开。 x 3 1 + x 2 = x − x 1 + x 2 \dfrac{x^3}{1+x^2}=x-\dfrac x{1+x^2} 1 + x 2 x 3 = x − 1 + x 2 x arctan ( 1 + x 2 ) → π 2 \arctan(1+x^2)\to\dfrac\pi2 arctan ( 1 + x 2 ) → 2 π x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞
前一项除法，后一项反正切在无穷远处趋于 π 2 \frac\pi2 2 π
② 读出。 y = x + π 2 + o ( 1 ) y=x+\dfrac\pi2+o(1) y = x + 2 π + o ( 1 ) y = x + π 2 y=x+\dfrac\pi2 y = x + 2 π
x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ − ∞ -\infty − ∞
答案：y = x + π 2 y=x+\frac\pi2 y = x + 2 π
例 5.20 2017 数二(9)
曲线
y = x ( 1 + arcsin 2 x ) y=x\Big(1+\arcsin\dfrac2x\Big) y = x ( 1 + arcsin x 2 ) 的斜渐近线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① k k k k = lim ( 1 + arcsin 2 x ) = 1 k=\lim\Big(1+\arcsin\dfrac2x\Big)=1 k = lim ( 1 + arcsin x 2 ) = 1
y y y x x x 1 + arcsin 2 x 1+\arcsin\frac2x 1 + arcsin x 2 x → ∞ x\to\infty x → ∞ 2 x \frac2x x 2 arcsin 0 = 0 \arcsin0=0 arcsin 0 = 0 k = 1 k=1 k = 1
② b b b b = lim x arcsin 2 x = lim x ⋅ 2 x = 2 b=\lim x\arcsin\dfrac2x=\lim x\cdot\dfrac2x=2 b = lim x arcsin x 2 = lim x ⋅ x 2 = 2 y = x + 2 y=x+2 y = x + 2
x → ∞ x\to\infty x → ∞ 2 x → 0 \frac2x\to0 x 2 → 0 arcsin u ∼ u \arcsin u\sim u arcsin u ∼ u x arcsin 2 x x\arcsin\frac2x x arcsin x 2
答案：y = x + 2 y=x+2 y = x + 2
例 5.21 2020 数二(15)
求曲线
y = x 1 + x ( 1 + x ) x y=\dfrac{x^{1+x}}{(1+x)^x} y = ( 1 + x ) x x 1 + x （
x > 0 x>0 x > 0 ）的斜渐近线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① k k k y x = ( x 1 + x ) x = ( 1 + 1 x ) − x → e − 1 \dfrac yx=\Big(\dfrac x{1+x}\Big)^x=\Big(1+\dfrac1x\Big)^{-x}\to\e^{-1} x y = ( 1 + x x ) x = ( 1 + x 1 ) − x → e − 1
( x 1 + x ) x \big(\frac x{1+x}\big)^x ( 1 + x x ) x ( 1 + 1 x ) x \big(1+\frac1x\big)^x ( 1 + x 1 ) x e \e e 1 e \frac1\e e 1
② b b b 1 x \frac1x x 1 ( 1 + 1 x ) − x = e − x ln ( 1 + 1 x ) = e − 1 + 1 2 x + o ( 1 x ) = e − 1 ( 1 + 1 2 x + o ( 1 x ) ) \Big(1+\dfrac1x\Big)^{-x}=\e^{-x\ln(1+\frac1x)}=\e^{-1+\frac1{2x}+o(\frac1x)}=\e^{-1}\Big(1+\dfrac1{2x}+o\Big(\dfrac1x\Big)\Big) ( 1 + x 1 ) − x = e − x l n ( 1 + x 1 ) = e − 1 + 2 x 1 + o ( x 1 ) = e − 1 ( 1 + 2 x 1 + o ( x 1 ) )
截距要看比常数更细的 1 x \frac1x x 1 ln ( 1 + u ) \ln(1+u) ln ( 1 + u ) u = 1 x u=\frac1x u = x 1 e v ≈ 1 + v \e^v\approx1+v e v ≈ 1 + v
③ 读出。 y = x ⋅ e − 1 ( 1 + 1 2 x + o ( 1 x ) ) = x e + 1 2 e + o ( 1 ) y=x\cdot\e^{-1}\Big(1+\dfrac1{2x}+o\big(\tfrac1x\big)\Big)=\dfrac x{\e}+\dfrac1{2\e}+o(1) y = x ⋅ e − 1 ( 1 + 2 x 1 + o ( x 1 ) ) = e x + 2 e 1 + o ( 1 ) y = x e + 1 2 e y=\dfrac x{\e}+\dfrac1{2\e} y = e x + 2 e 1
展开式乘 x x x b b b
答案：y = 1 e x + 1 2 e y=\frac1{\e}x+\frac1{2\e} y = e 1 x + 2 e 1
例 5.22 2025 数二(12)
曲线
y = x 3 − 3 x 2 + 1 3 y=\sqrt[3]{x^3-3x^2+1} y = 3 x 3 − 3 x 2 + 1 的渐近线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 提出 x x x y = x ( 1 − 3 x + 1 x 3 ) 1 3 = x ( 1 − 1 x + o ( 1 x ) ) = x − 1 + o ( 1 ) y=x\Big(1-\dfrac3x+\dfrac1{x^3}\Big)^{\frac13}=x\Big(1-\dfrac1x+o\Big(\dfrac1x\Big)\Big)=x-1+o(1) y = x ( 1 − x 3 + x 3 1 ) 3 1 = x ( 1 − x 1 + o ( x 1 ) ) = x − 1 + o ( 1 )
把 x x x ( 1 + u ) 1 3 ≈ 1 + u 3 (1+u)^{\frac13}\approx1+\frac u3 ( 1 + u ) 3 1 ≈ 1 + 3 u 1 x \frac1x x 1
② 结论。 斜渐近线 y = x − 1 y=x-1 y = x − 1 x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞
三次根号对负数也有定义，两个方向都成立。
答案：y = x − 1 y=x-1 y = x − 1
例 5.23 2025 数三(11)
设
g ( x ) g(x) g ( x ) 是函数
f ( x ) = 1 2 ln 3 + x 3 − x f(x)=\dfrac12\ln\dfrac{3+x}{3-x} f ( x ) = 2 1 ln 3 − x 3 + x 的反函数，则曲线
y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) 的渐近线方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 看原函数。 f f f ( − 3 , 3 ) (-3,3) ( − 3 , 3 ) x → 3 − x\to3^- x → 3 − f → + ∞ f\to+\infty f → + ∞ x → − 3 + x\to-3^+ x → − 3 + f → − ∞ f\to-\infty f → − ∞ f f f f f f x = ± 3 x=\pm3 x = ± 3
对数真数趋于 + ∞ +\infty + ∞ 0 + 0^+ 0 +
② 反函数对调。 反函数的图像是关于 y = x y=x y = x x = ± 3 x=\pm3 x = ± 3 y = ± 3 y=\pm3 y = ± 3
也可以直接反解：g ( x ) = 3 ⋅ e 2 x − 1 e 2 x + 1 g(x)=3\cdot\frac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1} g ( x ) = 3 ⋅ e 2 x + 1 e 2 x − 1 x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞ ± 3 \pm3 ± 3
答案：y = 3 y=3 y = 3 y = − 3 y=-3 y = − 3
例 5.24 2026 数三(1)
f ( x ) = x e 1 x f(x)=x\e^{\frac1x} f ( x ) = x e x 1 的渐近线（ ）
（A）无水平渐近线，无铅直渐近线 （B）有水平渐近线，有铅直渐近线
（C）无水平渐近线，有铅直渐近线 （D）有水平渐近线，无铅直渐近线
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 铅直。 x → 0 + x\to0^+ x → 0 + x e 1 x = e 1 / x 1 / x → + ∞ x\e^{\frac1x}=\dfrac{\e^{1/x}}{1/x}\to+\infty x e x 1 = 1/ x e 1/ x → + ∞ x = 0 x=0 x = 0
令 u = 1 x → + ∞ u=\frac1x\to+\infty u = x 1 → + ∞ e u u → + ∞ \frac{\e^u}u\to+\infty u e u → + ∞ x → 0 − x\to0^- x → 0 −
② 水平。 x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞ e 1 x → 1 \e^{\frac1x}\to1 e x 1 → 1 f ∼ x → ± ∞ f\sim x\to\pm\infty f ∼ x → ± ∞
（其实有斜渐近线 y = x + 1 y=x+1 y = x + 1 x e 1 / x = x + 1 + o ( 1 ) x\e^{1/x}=x+1+o(1) x e 1/ x = x + 1 + o ( 1 )
答案：C
例 5.25 2021 数二(18)
设函数
f ( x ) = x ∣ x ∣ 1 + x f(x)=\dfrac{x|x|}{1+x} f ( x ) = 1 + x x ∣ x ∣ ，求函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 的凹凸性及渐近线。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 分段写出。 x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 f = x 2 1 + x = x − 1 + 1 1 + x f=\dfrac{x^2}{1+x}=x-1+\dfrac1{1+x} f = 1 + x x 2 = x − 1 + 1 + x 1 x < 0 x<0 x < 0 x ≠ − 1 x\ne-1 x = − 1 f = − x 2 1 + x = − x + 1 − 1 1 + x f=-\dfrac{x^2}{1+x}=-x+1-\dfrac1{1+x} f = − 1 + x x 2 = − x + 1 − 1 + x 1
先去绝对值，再做多项式除法，后面求导和求渐近线都方便。
② 凹凸。 x > 0 x>0 x > 0 f ′ ′ = 2 ( 1 + x ) 3 > 0 f''=\dfrac2{(1+x)^3}>0 f ′′ = ( 1 + x ) 3 2 > 0 − 1 < x < 0 -1<x<0 − 1 < x < 0 f ′ ′ = − 2 ( 1 + x ) 3 < 0 f''=-\dfrac2{(1+x)^3}<0 f ′′ = − ( 1 + x ) 3 2 < 0 x < − 1 x<-1 x < − 1 f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 x = 0 x=0 x = 0 f f f ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
( 1 1 + x ) ′ ′ = 2 ( 1 + x ) 3 \big(\frac1{1+x}\big)''=\frac2{(1+x)^3} ( 1 + x 1 ) ′′ = ( 1 + x ) 3 2 x < − 1 x<-1 x < − 1 ( 1 + x ) 3 < 0 (1+x)^3<0 ( 1 + x ) 3 < 0
③ 渐近线。 竖直 x = − 1 x=-1 x = − 1 x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ y = x − 1 y=x-1 y = x − 1 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ y = − x + 1 y=-x+1 y = − x + 1
两个方向的斜渐近线不同，要分开写——这正是“正负无穷分开看”的例子。
答案：凹区间 ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) x = − 1 x=-1 x = − 1 y = x − 1 y=x-1 y = x − 1 x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ y = − x + 1 y=-x+1 y = − x + 1 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞
例 5.26 李林 第四章 §2 例 10 · p105
求曲线
y = 1 x + ln ( 1 + e x ) y=\dfrac1x+\ln(1+\e^x) y = x 1 + ln ( 1 + e x ) 的渐近线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 竖直。 x → 0 x\to0 x → 0 1 x → ∞ \dfrac1x\to\infty x 1 → ∞ x = 0 x=0 x = 0
ln ( 1 + e x ) \ln(1+\e^x) ln ( 1 + e x ) 1 x \frac1x x 1
② 向左。 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ 1 x → 0 \dfrac1x\to0 x 1 → 0 ln ( 1 + e x ) → ln 1 = 0 \ln(1+\e^x)\to\ln1=0 ln ( 1 + e x ) → ln 1 = 0 y = 0 y=0 y = 0
x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ e x → 0 \e^x\to0 e x → 0 ln ( 1 + e x ) → ln 1 = 0 \ln(1+\e^x)\to\ln1=0 ln ( 1 + e x ) → ln 1 = 0 1 x \frac1x x 1
③ 向右。 x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ ln ( 1 + e x ) = x + ln ( 1 + e − x ) \ln(1+\e^x)=x+\ln(1+\e^{-x}) ln ( 1 + e x ) = x + ln ( 1 + e − x ) y = x + 1 x + ln ( 1 + e − x ) = x + o ( 1 ) y=x+\dfrac1x+\ln(1+\e^{-x})=x+o(1) y = x + x 1 + ln ( 1 + e − x ) = x + o ( 1 ) y = x y=x y = x
把 e x \e^x e x ln ( e x ( 1 + e − x ) ) = x + ln ( 1 + e − x ) \ln(\e^x(1+\e^{-x}))=x+\ln(1+\e^{-x}) ln ( e x ( 1 + e − x )) = x + ln ( 1 + e − x )
答案：x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ y = x y=x y = x x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞
描绘函数的图形（大纲要求） 把第 4、5 部分的工具合起来用：① 定义域、奇偶性；② 求 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′
例 5.27 李林 第四章 §1 例 4 · p97—98（补上渐近线与作图）
设
f ( x ) = x 3 ( 2 + x ) 2 + 4 f(x)=\dfrac{x^3}{(2+x)^2}+4 f ( x ) = ( 2 + x ) 2 x 3 + 4 。求
f ( x ) f(x) f ( x ) 的单调区间和极值、曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 的凹凸区间和拐点、渐近线，并描绘函数的图形。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 定义域与两个导数。 定义域 x ≠ − 2 x\ne-2 x = − 2 f ′ ( x ) = 3 x 2 ( x + 2 ) − 2 x 3 ( x + 2 ) 3 = x 2 ( x + 6 ) ( x + 2 ) 3 f'(x)=\dfrac{3x^2(x+2)-2x^3}{(x+2)^3}=\dfrac{x^2(x+6)}{(x+2)^3} f ′ ( x ) = ( x + 2 ) 3 3 x 2 ( x + 2 ) − 2 x 3 = ( x + 2 ) 3 x 2 ( x + 6 ) f ′ ′ ( x ) = 24 x ( x + 2 ) 4 f''(x)=\dfrac{24x}{(x+2)^4} f ′′ ( x ) = ( x + 2 ) 4 24 x
商的求导公式算完先约掉一个 ( x + 2 ) (x+2) ( x + 2 ) f ′ ′ f'' f ′′ f ′ f' f ′
② 分段列表。 分点：f ′ f' f ′ − 6 -6 − 6 0 0 0 f ′ ′ f'' f ′′ 0 0 0 − 2 -2 − 2
分段点要把一阶、二阶导数的零点和不存在的点都放进去；每段里随便代一个数就能定符号。
区间 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ 曲线
( − ∞ , − 6 ) (-\infty,-6) ( − ∞ , − 6 ) + + + − - − 上升，凸 ( − 6 , − 2 ) (-6,-2) ( − 6 , − 2 ) − - − − - − 下降，凸 ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) + + + − - − 上升，凸 ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) + + + + + + 上升，凹
③ 极值与拐点。 x = − 6 x=-6 x = − 6 f ′ f' f ′ f ( − 6 ) = − 216 16 + 4 = − 19 2 f(-6)=\dfrac{-216}{16}+4=-\dfrac{19}2 f ( − 6 ) = 16 − 216 + 4 = − 2 19 x = 0 x=0 x = 0 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ ( 0 , 4 ) (0,4) ( 0 , 4 )
极值看 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ x = 0 x=0 x = 0
④ 渐近线。 lim x → − 2 f ( x ) = − ∞ \lim\limits_{x\to-2}f(x)=-\infty x → − 2 lim f ( x ) = − ∞ x = − 2 x=-2 x = − 2 lim x → ∞ f ( x ) x = 1 \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}x=1 x → ∞ lim x f ( x ) = 1 lim x → ∞ [ f ( x ) − x ] = lim [ − 4 x 2 − 4 x ( x + 2 ) 2 + 4 ] = − 4 + 4 = 0 \lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-x]=\lim\Big[\dfrac{-4x^2-4x}{(x+2)^2}+4\Big]=-4+4=0 x → ∞ lim [ f ( x ) − x ] = lim [ ( x + 2 ) 2 − 4 x 2 − 4 x + 4 ] = − 4 + 4 = 0 y = x y=x y = x x → ± ∞ x\to\pm\infty x → ± ∞
按 5.4 节的顺序：先竖直、再水平、最后斜；f ( x ) → ± ∞ f(x)\to\pm\infty f ( x ) → ± ∞
⑤ 描点连线。 先画 x = − 2 x=-2 x = − 2 y = x y=x y = x ( − 6 , − 19 2 ) \big(-6,-\frac{19}2\big) ( − 6 , − 2 19 ) ( 0 , 4 ) (0,4) ( 0 , 4 ) − ∞ -\infty − ∞ y = x y=x y = x
渐近线是“骨架”，关键点是“钉子”，表里的升降凹凸决定每一段怎么弯；x = − 2 x=-2 x = − 2 − ∞ -\infty − ∞
x y O 极大值 −19/2 拐点 (0, 4) x =−2y =x 凸 凹 y = x 3 ( 2 + x ) 2 + 4 y=\dfrac{x^3}{(2+x)^2}+4 y = ( 2 + x ) 2 x 3 + 4 x = − 2 x=-2 x = − 2 y = x y=x y = x ( − 6 , − 19 2 ) \big(-6,-\frac{19}2\big) ( − 6 , − 2 19 ) ( 0 , 4 ) (0,4) ( 0 , 4 ) 答案：增区间 ( − ∞ , − 6 ) (-\infty,-6) ( − ∞ , − 6 ) ( − 2 , + ∞ ) (-2,+\infty) ( − 2 , + ∞ ) ( − 6 , − 2 ) (-6,-2) ( − 6 , − 2 ) f ( − 6 ) = − 19 2 f(-6)=-\frac{19}2 f ( − 6 ) = − 2 19 ( − ∞ , − 2 ) (-\infty,-2) ( − ∞ , − 2 ) ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) ( 0 , 4 ) (0,4) ( 0 , 4 ) x = − 2 x=-2 x = − 2 y = x y=x y = x
5.5 曲率与曲率圆（数一、数二）大白话：曲率量的是“弯得有多厉害”：同样走一小段弧，切线方向转过的角度越大，弯得越厉害 。直线曲率为 0；半径为 R R R 1 R \frac1R R 1 R = 1 K R=\frac1K R = K 1
x y O 圆心 (0, 1/2) R =1/2y =x ²y = x 2 y=x^2 y = x 2 K = 2 K=2 K = 2 1 2 \frac12 2 1 ( 0 , 1 2 ) (0,\frac12) ( 0 , 2 1 ) 曲率公式（李林 p101）
K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 , \displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}, K = ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣ , K = ∣ x ′ ( t ) y ′ ′ ( t ) − x ′ ′ ( t ) y ′ ( t ) ∣ [ x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) ] 3 / 2 , \displaystyle K=\frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{\big[x'^2(t)+y'^2(t)\big]^{3/2}}, K = [ x ′2 ( t ) + y ′2 ( t ) ] 3/2 ∣ x ′ ( t ) y ′′ ( t ) − x ′′ ( t ) y ′ ( t ) ∣ , R = 1 K . \displaystyle R=\frac1K. R = K 1 . 曲率圆：与曲线在该点相切、凹向相同、半径为 R R R ξ = x − y ′ ( 1 + y ′ 2 ) y ′ ′ \xi=x-\dfrac{y'(1+y'^2)}{y''} ξ = x − y ′′ y ′ ( 1 + y ′2 ) η = y + 1 + y ′ 2 y ′ ′ \eta=y+\dfrac{1+y'^2}{y''} η = y + y ′′ 1 + y ′2
方法卡 · 求曲率、曲率半径、曲率圆
什么时候用
“曲率为某值的点”“曲率半径”“曲率圆方程”。
步骤
求 y ′ y' y ′ y ′ ′ y'' y ′′
代入公式；只问曲率半径就取倒数。
曲率圆：圆心在凹的一侧，沿法线走 R R R ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 = R 2 (x-\xi)^2+(y-\eta)^2=R^2 ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 = R 2 最容易错
分母的
3 2 \frac32 2 3 次方写成平方；参数式公式分子少了绝对值或两项写反；圆心放到了凸的一侧。
例 5.28 2012 数二(13)
曲线
y = x 2 + x y=x^2+x y = x 2 + x （
x < 0 x<0 x < 0 ）上曲率为
2 2 \dfrac{\sqrt2}2 2 2 的点的坐标是 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 曲率。 y ′ = 2 x + 1 y'=2x+1 y ′ = 2 x + 1 y ′ ′ = 2 y''=2 y ′′ = 2 K = 2 [ 1 + ( 2 x + 1 ) 2 ] 3 / 2 K=\dfrac2{[1+(2x+1)^2]^{3/2}} K = [ 1 + ( 2 x + 1 ) 2 ] 3/2 2
曲率公式 K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} K = ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣
② 解方程。 2 [ 1 + ( 2 x + 1 ) 2 ] 3 / 2 = 2 2 \dfrac2{[1+(2x+1)^2]^{3/2}}=\dfrac{\sqrt2}2 [ 1 + ( 2 x + 1 ) 2 ] 3/2 2 = 2 2 [ 1 + ( 2 x + 1 ) 2 ] 3 / 2 = 2 2 = 2 3 / 2 [1+(2x+1)^2]^{3/2}=2\sqrt2=2^{3/2} [ 1 + ( 2 x + 1 ) 2 ] 3/2 = 2 2 = 2 3/2 ( 2 x + 1 ) 2 = 1 (2x+1)^2=1 ( 2 x + 1 ) 2 = 1 x = 0 x=0 x = 0 x = − 1 x=-1 x = − 1
两边同时 2 3 \frac23 3 2
③ 取 x < 0 x<0 x < 0 x = − 1 x=-1 x = − 1 y = 1 − 1 = 0 y=1-1=0 y = 1 − 1 = 0 ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 )
解出的两个根里只有 x = − 1 x=-1 x = − 1 x < 0 x<0 x < 0 x = 0 x=0 x = 0
答案：( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 )
例 5.29 2014 数二(4)
曲线
{ x = t 2 + 7 y = t 2 + 4 t + 1 \begin{cases}x=t^2+7\\y=t^2+4t+1\end{cases} { x = t 2 + 7 y = t 2 + 4 t + 1 上对应于
t = 1 t=1 t = 1 的点处的曲率半径是（ ）
（A）
10 50 \dfrac{\sqrt{10}}{50} 50 10 （B）
10 100 \dfrac{\sqrt{10}}{100} 100 10 （C）
10 10 10\sqrt{10} 10 10 （D）
5 10 5\sqrt{10} 5 10 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 各阶导数。 t = 1 t=1 t = 1 x ′ = 2 t = 2 x'=2t=2 x ′ = 2 t = 2 x ′ ′ = 2 x''=2 x ′′ = 2 y ′ = 2 t + 4 = 6 y'=2t+4=6 y ′ = 2 t + 4 = 6 y ′ ′ = 2 y''=2 y ′′ = 2
参数式曲率公式要用 x , y x,y x , y t t t t = 1 t=1 t = 1
② 参数式公式。 K = ∣ 2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 6 ∣ ( 4 + 36 ) 3 / 2 = 8 40 40 = 1 10 10 K=\dfrac{|2\cdot2-2\cdot6|}{(4+36)^{3/2}}=\dfrac8{40\sqrt{40}}=\dfrac1{10\sqrt{10}} K = ( 4 + 36 ) 3/2 ∣2 ⋅ 2 − 2 ⋅ 6∣ = 40 40 8 = 10 10 1 R = 10 10 R=10\sqrt{10} R = 10 10
把四个导数值代入参数式公式：分子 ∣ x ′ y ′ ′ − x ′ ′ y ′ ∣ = ∣ 4 − 12 ∣ = 8 |x'y''-x''y'|=|4-12|=8 ∣ x ′ y ′′ − x ′′ y ′ ∣ = ∣4 − 12∣ = 8 40 3 / 2 = 80 10 40^{3/2}=80\sqrt{10} 4 0 3/2 = 80 10
答案：C
例 5.30 2018 数二(12)
曲线
{ x = cos 3 t y = sin 3 t \begin{cases}x=\cos^3t\\y=\sin^3t\end{cases} { x = cos 3 t y = sin 3 t 在
t = π 4 t=\dfrac\pi4 t = 4 π 对应点处的曲率为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 x ′ = − 3 cos 2 t sin t x'=-3\cos^2t\sin t x ′ = − 3 cos 2 t sin t y ′ = 3 sin 2 t cos t y'=3\sin^2t\cos t y ′ = 3 sin 2 t cos t t = π 4 t=\frac\pi4 t = 4 π x ′ = − 3 2 4 x'=-\dfrac{3\sqrt2}4 x ′ = − 4 3 2 y ′ = 3 2 4 y'=\dfrac{3\sqrt2}4 y ′ = 4 3 2
x = cos 3 t x=\cos^3t x = cos 3 t t t t 3 cos 2 t 3\cos^2t 3 cos 2 t ( cos t ) ′ = − sin t (\cos t)'=-\sin t ( cos t ) ′ = − sin t t = π 4 t=\frac\pi4 t = 4 π 2 2 \frac{\sqrt2}2 2 2 2 4 \frac{\sqrt2}4 4 2
② 二阶。 x ′ ′ = 6 cos t sin 2 t − 3 cos 3 t = 3 2 4 x''=6\cos t\sin^2t-3\cos^3t=\dfrac{3\sqrt2}4 x ′′ = 6 cos t sin 2 t − 3 cos 3 t = 4 3 2 y ′ ′ = 6 sin t cos 2 t − 3 sin 3 t = 3 2 4 y''=6\sin t\cos^2t-3\sin^3t=\dfrac{3\sqrt2}4 y ′′ = 6 sin t cos 2 t − 3 sin 3 t = 4 3 2
一阶导数再对 t t t 6 ⋅ 2 4 6\cdot\frac{\sqrt2}4 6 ⋅ 4 2 3 ⋅ 2 4 3\cdot\frac{\sqrt2}4 3 ⋅ 4 2
③ 代公式。 K = ∣ x ′ y ′ ′ − x ′ ′ y ′ ∣ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = 9 8 + 9 8 ( 9 4 ) 3 / 2 = 9 / 4 27 / 8 = 2 3 K=\dfrac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}=\dfrac{\frac98+\frac98}{(\frac94)^{3/2}}=\dfrac{9/4}{27/8}=\dfrac23 K = ( x ′2 + y ′2 ) 3/2 ∣ x ′ y ′′ − x ′′ y ′ ∣ = ( 4 9 ) 3/2 8 9 + 8 9 = 27/8 9/4 = 3 2
参数式曲率公式：分子 ∣ x ′ y ′ ′ − x ′ ′ y ′ ∣ = 9 4 |x'y''-x''y'|=\frac94 ∣ x ′ y ′′ − x ′′ y ′ ∣ = 4 9 ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( 9 4 ) 3 / 2 = 27 8 (x'^2+y'^2)^{3/2}=\big(\frac94\big)^{3/2}=\frac{27}8 ( x ′2 + y ′2 ) 3/2 = ( 4 9 ) 3/2 = 8 27
答案：2 3 \frac23 3 2
例 5.31 2024 数二(11)
曲线
y 2 = x y^2=x y 2 = x 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处的曲率圆方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 把 x x x y y y x = y 2 x=y^2 x = y 2 x ′ ( y ) = 2 y = 0 x'(y)=2y=0 x ′ ( y ) = 2 y = 0 x ′ ′ ( y ) = 2 x''(y)=2 x ′′ ( y ) = 2 K = 2 ( 1 + 0 ) 3 / 2 = 2 K=\dfrac{2}{(1+0)^{3/2}}=2 K = ( 1 + 0 ) 3/2 2 = 2 R = 1 2 R=\dfrac12 R = 2 1
在原点 y y y x x x x = y 2 x=y^2 x = y 2
② 圆心。 曲线开口向右（凹向 x x x x x x 1 2 \frac12 2 1 ( 1 2 , 0 ) \Big(\dfrac12,0\Big) ( 2 1 , 0 )
圆心在凹的一侧的法线上；原点处法线就是 x x x
③ 方程。 ( x − 1 2 ) 2 + y 2 = 1 4 \Big(x-\dfrac12\Big)^2+y^2=\dfrac14 ( x − 2 1 ) 2 + y 2 = 4 1
圆心 ( 1 2 , 0 ) \big(\frac12,0\big) ( 2 1 , 0 ) 1 2 \frac12 2 1 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 (x-a)^2+(y-b)^2=R^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2
答案：( x − 1 2 ) 2 + y 2 = 1 4 (x-\frac12)^2+y^2=\frac14 ( x − 2 1 ) 2 + y 2 = 4 1
例 5.32 2026 数二(13)
求曲线
x 2 + 2 3 x y + y 2 = 1 x^2+2\sqrt3xy+y^2=1 x 2 + 2 3 x y + y 2 = 1 在
( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 处的曲率半径
R = R= R = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 两边对 x x x 2 x + 2 3 y + 2 3 x y ′ + 2 y y ′ = 0 2x+2\sqrt3y+2\sqrt3xy'+2yy'=0 2 x + 2 3 y + 2 3 x y ′ + 2 y y ′ = 0 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 2 3 + 2 y ′ = 0 2\sqrt3+2y'=0 2 3 + 2 y ′ = 0 y ′ = − 3 y'=-\sqrt3 y ′ = − 3
方程确定的是隐函数，两边对 x x x y y y x x x ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) y ′ y' y ′
② 二阶。 再求导：2 + 4 3 y ′ + 2 3 x y ′ ′ + 2 y ′ 2 + 2 y y ′ ′ = 0 2+4\sqrt3y'+2\sqrt3xy''+2y'^2+2yy''=0 2 + 4 3 y ′ + 2 3 x y ′′ + 2 y ′2 + 2 y y ′′ = 0 2 − 12 + 6 + 2 y ′ ′ = 0 2-12+6+2y''=0 2 − 12 + 6 + 2 y ′′ = 0 y ′ ′ = 2 y''=2 y ′′ = 2
再求一次导时，乘积项都要用乘积法则：( 2 3 x y ′ ) ′ = 2 3 y ′ + 2 3 x y ′ ′ (2\sqrt3xy')'=2\sqrt3y'+2\sqrt3xy'' ( 2 3 x y ′ ) ′ = 2 3 y ′ + 2 3 x y ′′ ( 2 y y ′ ) ′ = 2 y ′ 2 + 2 y y ′ ′ (2yy')'=2y'^2+2yy'' ( 2 y y ′ ) ′ = 2 y ′2 + 2 y y ′′
③ 曲率半径。 K = 2 ( 1 + 3 ) 3 / 2 = 1 4 K=\dfrac2{(1+3)^{3/2}}=\dfrac14 K = ( 1 + 3 ) 3/2 2 = 4 1 R = 4 R=4 R = 4
代入曲率公式：1 + y ′ 2 = 1 + 3 = 4 1+y'^2=1+3=4 1 + y ′2 = 1 + 3 = 4 4 3 / 2 = 8 4^{3/2}=8 4 3/2 = 8 K = 2 8 = 1 4 K=\frac28=\frac14 K = 8 2 = 4 1
答案：4
例 5.33 2016 数二(5)
设函数
f i ( x ) f_i(x) f i ( x ) （
i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 ）具有二阶连续导数，且
f i ′ ′ ( x 0 ) < 0 f_i''(x_0)<0 f i ′′ ( x 0 ) < 0 （
i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 ）。若两条曲线
y = f i ( x ) y=f_i(x) y = f i ( x ) （
i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 ）在点
( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) 处具有公切线
y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) ，且在该点处曲线
y = f 1 ( x ) y=f_1(x) y = f 1 ( x ) 的曲率大于曲线
y = f 2 ( x ) y=f_2(x) y = f 2 ( x ) 的曲率，则在
x 0 x_0 x 0 的某个邻域内，有（ ）
（A）
f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ g ( x ) f_1(x)\le f_2(x)\le g(x) f 1 ( x ) ≤ f 2 ( x ) ≤ g ( x ) （B）
f 2 ( x ) ≤ f 1 ( x ) ≤ g ( x ) f_2(x)\le f_1(x)\le g(x) f 2 ( x ) ≤ f 1 ( x ) ≤ g ( x ) （C）
f 1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) f_1(x)\le g(x)\le f_2(x) f 1 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 2 ( x ) （D）
f 2 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 1 ( x ) f_2(x)\le g(x)\le f_1(x) f 2 ( x ) ≤ g ( x ) ≤ f 1 ( x ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 都在切线下方。 f i ′ ′ < 0 f_i''<0 f i ′′ < 0 x 0 x_0 x 0 f i ≤ g f_i\le g f i ≤ g
凸函数的切线在曲线上方。
② 曲率大的弯得更厉害。 公切线意味着 f 1 ′ ( x 0 ) = f 2 ′ ( x 0 ) f_1'(x_0)=f_2'(x_0) f 1 ′ ( x 0 ) = f 2 ′ ( x 0 ) K 1 > K 2 K_1>K_2 K 1 > K 2 ∣ f 1 ′ ′ ( x 0 ) ∣ > ∣ f 2 ′ ′ ( x 0 ) ∣ |f_1''(x_0)|>|f_2''(x_0)| ∣ f 1 ′′ ( x 0 ) ∣ > ∣ f 2 ′′ ( x 0 ) ∣ f 1 ′ ′ ( x 0 ) < f 2 ′ ′ ( x 0 ) < 0 f_1''(x_0)<f_2''(x_0)<0 f 1 ′′ ( x 0 ) < f 2 ′′ ( x 0 ) < 0
分母 ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 (1+y'^2)^{3/2} ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′ ′ ∣ |y''| ∣ y ′′ ∣
③ 泰勒比较。 f 1 ( x ) − f 2 ( x ) = f 1 ′ ′ ( ξ 1 ) − f 2 ′ ′ ( ξ 2 ) 2 ( x − x 0 ) 2 ≤ 0 f_1(x)-f_2(x)=\dfrac{f_1''(\xi_1)-f_2''(\xi_2)}2(x-x_0)^2\le0 f 1 ( x ) − f 2 ( x ) = 2 f 1 ′′ ( ξ 1 ) − f 2 ′′ ( ξ 2 ) ( x − x 0 ) 2 ≤ 0 f 1 ′ ′ < f 2 ′ ′ f_1''<f_2'' f 1 ′′ < f 2 ′′ f 1 ≤ f 2 ≤ g f_1\le f_2\le g f 1 ≤ f 2 ≤ g
函数值、一阶导数相同，差别只在二阶项；弯得更厉害的那条离切线更远。
答案：A
例 5.34 2019 数二(6)
已知
f ( x ) f(x) f ( x ) ，
g ( x ) g(x) g ( x ) 二阶可导且二阶导函数在
x = a x=a x = a 处连续，则
lim x → a f ( x ) − g ( x ) ( x − a ) 2 = 0 \lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{(x-a)^2}=0 x → a lim ( x − a ) 2 f ( x ) − g ( x ) = 0 是曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 和
y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) 在
x = a x=a x = a 对应的点处相切且曲率相等的（ ）
（A）充分非必要条件 （B）充分必要条件
（C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 条件 ⇔ 三个量相等。 令 h = f − g h=f-g h = f − g lim h ( x ) ( x − a ) 2 = 0 \lim\dfrac{h(x)}{(x-a)^2}=0 lim ( x − a ) 2 h ( x ) = 0 h ( a ) = h ′ ( a ) = 0 h(a)=h'(a)=0 h ( a ) = h ′ ( a ) = 0 h ′ ′ ( a ) = 0 h''(a)=0 h ′′ ( a ) = 0
泰勒：h ( x ) = h ( a ) + h ′ ( a ) ( x − a ) + h ′ ′ ( a ) 2 ( x − a ) 2 + o ( ( x − a ) 2 ) h(x)=h(a)+h'(a)(x-a)+\frac{h''(a)}2(x-a)^2+o((x-a)^2) h ( x ) = h ( a ) + h ′ ( a ) ( x − a ) + 2 h ′′ ( a ) ( x − a ) 2 + o (( x − a ) 2 ) ( x − a ) 2 (x-a)^2 ( x − a ) 2
② 充分。 值与一阶导相等 ⇒ 相切；二阶导也相等 ⇒ 曲率 ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 \dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣
曲率只依赖 y ′ y' y ′ ∣ y ′ ′ ∣ |y''| ∣ y ′′ ∣
③ 不必要。 曲率相等只要求 ∣ f ′ ′ ( a ) ∣ = ∣ g ′ ′ ( a ) ∣ |f''(a)|=|g''(a)| ∣ f ′′ ( a ) ∣ = ∣ g ′′ ( a ) ∣ f ′ ′ ( a ) = − g ′ ′ ( a ) ≠ 0 f''(a)=-g''(a)\ne0 f ′′ ( a ) = − g ′′ ( a ) = 0 f = x 2 f=x^2 f = x 2 g = − x 2 g=-x^2 g = − x 2
曲率公式里有绝对值，丢掉了凹向的信息。
答案：A
例 5.35 李林 第四章 §2 例 5、例 6 · p103—104
（1）已知抛物线
y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y = a x 2 + b x + c 经过点
P ( 1 , 2 ) P(1,2) P ( 1 , 2 ) ，在该点与圆
( x − 1 2 ) 2 + ( y − 5 2 ) 2 = 1 2 \Big(x-\dfrac12\Big)^2+\Big(y-\dfrac52\Big)^2=\dfrac12 ( x − 2 1 ) 2 + ( y − 2 5 ) 2 = 2 1 相切，且有相同的曲率半径与凹向，求
a , b , c a,b,c a , b , c 。
（2）设
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 有二阶连续导数，且
f ′ ′ ( x ) f''(x) f ′′ ( x ) 不变号，曲线
y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 在点
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 处的曲率圆为
x 2 + y 2 = 2 x^2+y^2=2 x 2 + y 2 = 2 ，则
f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间
( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) 内（ ）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 过点与相切。 a + b + c = 2 a+b+c=2 a + b + c = 2 P P P 2 ( x − 1 2 ) + 2 ( y − 5 2 ) y ′ = 0 2\big(x-\frac12\big)+2\big(y-\frac52\big)y'=0 2 ( x − 2 1 ) + 2 ( y − 2 5 ) y ′ = 0 y ′ = 1 y'=1 y ′ = 1 2 a + b = 1 2a+b=1 2 a + b = 1
隐函数求导得到圆在 P P P P P P 2 a + b 2a+b 2 a + b
② (1) 曲率半径与凹向。 圆的半径 2 2 \frac{\sqrt2}2 2 2 K = 2 K=\sqrt2 K = 2 ∣ 2 a ∣ ( 1 + 1 ) 3 / 2 = 2 \dfrac{|2a|}{(1+1)^{3/2}}=\sqrt2 ( 1 + 1 ) 3/2 ∣2 a ∣ = 2 ∣ a ∣ = 2 |a|=2 ∣ a ∣ = 2 ( 1 2 , 5 2 ) (\frac12,\frac52) ( 2 1 , 2 5 ) P P P a = 2 a=2 a = 2 a = 2 a=2 a = 2 b = − 3 b=-3 b = − 3 c = 3 c=3 c = 3
凹向相同：圆心在哪一侧，曲线就往哪一侧弯，所以 y ′ ′ = 2 a > 0 y''=2a>0 y ′′ = 2 a > 0
③ (2) 读出 f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 ) f ′ ′ ( 1 ) f''(1) f ′′ ( 1 ) 圆 x 2 + y 2 = 2 x^2+y^2=2 x 2 + y 2 = 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) y ′ = − 1 y'=-1 y ′ = − 1 y ′ ′ = − 2 y''=-2 y ′′ = − 2 f ′ ( 1 ) = − 1 f'(1)=-1 f ′ ( 1 ) = − 1 f ′ ′ ( 1 ) = − 2 f''(1)=-2 f ′′ ( 1 ) = − 2
对圆求两次隐函数导数：1 + y ′ 2 + y y ′ ′ = 0 1+y'^2+yy''=0 1 + y ′2 + y y ′′ = 0 y ′ ′ = − 2 y''=-2 y ′′ = − 2
④ (2) 判断。 f ′ ′ f'' f ′′ f ′ ′ < 0 f''<0 f ′′ < 0 f ′ f' f ′ f ′ ( x ) < f ′ ( 1 ) = − 1 < 0 f'(x)<f'(1)=-1<0 f ′ ( x ) < f ′ ( 1 ) = − 1 < 0 f f f ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) f ( 2 ) − f ( 1 ) = f ′ ( ξ ) < − 1 f(2)-f(1)=f'(\xi)<-1 f ( 2 ) − f ( 1 ) = f ′ ( ξ ) < − 1 f ( 2 ) < 0 < f ( 1 ) f(2)<0<f(1) f ( 2 ) < 0 < f ( 1 )
拉格朗日中值定理 + 零点定理。
答案：(1) a = 2 a=2 a = 2 b = − 3 b=-3 b = − 3 c = 3 c=3 c = 3
5.6 小结
题目里的说法 换成什么 例子
f ′ ′ ≥ 0 f''\ge0 f ′′ ≥ 0 f f f 凹：弦在上、切线在下 例 5.1 、例 5.2 “在一点有二阶导数”推邻域性质 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ 例 5.3 求拐点、拐点处切线 f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 例 5.6 、例 5.7 多项式乘积的拐点、极值点 重根规则：偶重极值，奇重（≥3）拐点 例 5.5 有拐点、无极值求参数 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ 例 5.9 给 f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ 极值点看穿过，拐点看升降 例 5.11 、例 5.12 “描绘函数的图形” 两个导数分段列表 + 渐近线，最后描点连线 例 5.27 渐近线条数、方程 先竖直、再水平、最后斜；正负无穷分开 例 5.15 、例 5.25 斜渐近线的截距 展开成 k x + b + o ( 1 ) kx+b+o(1) k x + b + o ( 1 ) 例 5.17 、例 5.21 曲率、曲率半径 K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} K = ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣ ∣ x ′ y ′ ′ − x ′ ′ y ′ ∣ |x'y''-x''y'| ∣ x ′ y ′′ − x ′′ y ′ ∣ 例 5.29 、例 5.30 曲率圆、公切线比曲率 凹的一侧沿法线走 R R R ∣ y ′ ′ ∣ |y''| ∣ y ′′ ∣ 例 5.31 、例 5.33
学完了，标记这一部分
第 6 部分
空间解析几何（仅数学一）
空间解析几何只考数一，单独出题很少，但它是后面“多元函数的几何应用”（第 9 部分）以及三重积分、曲面积分的地基：求法向量、写切平面、找旋转曲面方程、找投影区域，都要用这一部分的工具。只要会算叉积，大部分题就是套公式。
考试要求（大纲原文，李林讲义第十一章，仅数学一要求）
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件。
理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
掌握平面方程和直线方程及其求法。
会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
会求点到直线以及点到平面的距离。
了解曲面方程和空间曲线方程的概念。
了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程。
了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程。
对应李林讲义第十一章（p271—285）：题型一“向量的运算”、题型二“平面方程与直线方程”、题型三“旋转曲面”，以及章末习题。真题方面，Maki 真题书没有给这一章单独立讲：2010—2026 年数一只有 2 道单独的选择题（2019、2020，都和线性代数的秩结合），另外有 3 道大题的第一问考旋转曲面或投影曲线（2013、2017、2025），下面全部收进来。
6.1 空间直角坐标系与向量：高中立体几何的延续大白话：在平面直角坐标系上再竖一根 z z z ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) 。高中立体几何里你已经用过“空间向量”：向量 = 终点坐标减起点坐标，长度 = 各坐标平方和再开方（就是长方体的对角线长）。这一节只补两个新名词：方向余弦 和投影 。
x y z O P 2 3 2 (2, 3, 0) |OP | 点 P ( 2 , 3 , 2 ) P(2,3,2) P ( 2 , 3 , 2 ) x x x y y y ∣ O P ∣ |OP| ∣ OP ∣ ∣ O P ∣ = 2 2 + 3 2 + 2 2 = 17 |OP|=\sqrt{2^2+3^2+2^2}=\sqrt{17} ∣ OP ∣ = 2 2 + 3 2 + 2 2 = 17 向量的坐标表示
坐标 ：a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 i + a 2 j + a 3 k \vv a=(a_1,a_2,a_3)=a_1\vv i+a_2\vv j+a_3\vv k a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) = a 1 i + a 2 j + a 3 k i , j , k \vv i,\vv j,\vv k i , j , k P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P_1(x_1,y_1,z_1) P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) P_2(x_2,y_2,z_2) P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) P 1 P 2 → = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) \overrightarrow{P_1P_2}=(x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1) P 1 P 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 ) 模（长度） ：∣ a ∣ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 |\vv a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} ∣ a ∣ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 单位向量 ：a ∘ = a ∣ a ∣ \vv a^\circ=\dfrac{\vv a}{|\vv a|} a ∘ = ∣ a ∣ a a \vv a a 方向余弦 ：a \vv a a x , y , z x,y,z x , y , z α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α , β , γ cos α = a 1 ∣ a ∣ \cos\alpha=\dfrac{a_1}{|\vv a|} cos α = ∣ a ∣ a 1 cos β = a 2 ∣ a ∣ \cos\beta=\dfrac{a_2}{|\vv a|} cos β = ∣ a ∣ a 2 cos γ = a 3 ∣ a ∣ \cos\gamma=\dfrac{a_3}{|\vv a|} cos γ = ∣ a ∣ a 3 ( cos α , cos β , cos γ ) = a ∘ (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\vv a^\circ ( cos α , cos β , cos γ ) = a ∘ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 投影 ：b \vv b b a \vv a a P r j a b = ∣ b ∣ cos ( a , b ^ ) = a ⋅ b ∣ a ∣ \mathrm{Prj}_{\vv a}\vv b=|\vv b|\cos(\widehat{\vv a,\vv b})=\dfrac{\vv a\cdot\vv b}{|\vv a|} Prj a b = ∣ b ∣ cos ( a , b ) = ∣ a ∣ a ⋅ b
方法卡 · 向量的坐标计算
什么时候用
求模、单位向量、方向余弦、方向角；已知两个方向角求第三个。
步骤
向量 = 终点 − 起点，先把坐标写出来。
模 = 平方和开方；单位向量 = 向量 ÷ 模。
方向余弦就是单位向量的三个坐标；已知其中两个，用平方和为 1 求第三个，再看题目给的锐角、钝角定正负。 最容易错
把
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 记成
α + β + γ = π \alpha+\beta+\gamma=\pi α + β + γ = π 或“余弦和为 1”；单位向量忘了除以模。
例 6.1 基础
（1）已知
A ( 1 , 2 , 3 ) A(1,2,3) A ( 1 , 2 , 3 ) ，
B ( 3 , 0 , 4 ) B(3,0,4) B ( 3 , 0 , 4 ) ，求
A B → \overrightarrow{AB} A B 的模、单位向量和方向余弦；（2）向量
a \vv a a 的模为 2，与
x x x 轴、
y y y 轴正向的夹角分别为
π 3 \dfrac\pi3 3 π 、
π 4 \dfrac\pi4 4 π ，与
z z z 轴正向的夹角为锐角，求
a \vv a a 的坐标。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 终点减起点。 A B → = ( 3 − 1 , 0 − 2 , 4 − 3 ) = ( 2 , − 2 , 1 ) \overrightarrow{AB}=(3-1,\ 0-2,\ 4-3)=(2,-2,1) A B = ( 3 − 1 , 0 − 2 , 4 − 3 ) = ( 2 , − 2 , 1 ) ∣ A B → ∣ = 4 + 4 + 1 = 3 |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+4+1}=3 ∣ A B ∣ = 4 + 4 + 1 = 3
向量的坐标永远是“终点减起点”，顺序反了方向就反了。
② (1) 单位向量就是方向余弦。 A B → ∘ = ( 2 3 , − 2 3 , 1 3 ) \overrightarrow{AB}^\circ=\Big(\dfrac23,-\dfrac23,\dfrac13\Big) A B ∘ = ( 3 2 , − 3 2 , 3 1 ) cos α = 2 3 \cos\alpha=\dfrac23 cos α = 3 2 cos β = − 2 3 \cos\beta=-\dfrac23 cos β = − 3 2 cos γ = 1 3 \cos\gamma=\dfrac13 cos γ = 3 1
单位向量的三个坐标恰好是它与三根轴夹角的余弦；检验：4 9 + 4 9 + 1 9 = 1 \frac49+\frac49+\frac19=1 9 4 + 9 4 + 9 1 = 1
③ (2) 求第三个方向余弦。 cos 2 γ = 1 − cos 2 π 3 − cos 2 π 4 = 1 − 1 4 − 1 2 = 1 4 \cos^2\gamma=1-\cos^2\dfrac\pi3-\cos^2\dfrac\pi4=1-\dfrac14-\dfrac12=\dfrac14 cos 2 γ = 1 − cos 2 3 π − cos 2 4 π = 1 − 4 1 − 2 1 = 4 1 γ \gamma γ cos γ = 1 2 \cos\gamma=\dfrac12 cos γ = 2 1
三个方向余弦的平方和为 1；锐角的余弦为正，所以取正号。
④ (2) 乘上模。 a = 2 ( 1 2 , 2 2 , 1 2 ) = ( 1 , 2 , 1 ) \vv a=2\Big(\dfrac12,\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac12\Big)=(1,\sqrt2,1) a = 2 ( 2 1 , 2 2 , 2 1 ) = ( 1 , 2 , 1 )
向量 = 模 × 单位向量，而单位向量就是 ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) ( cos α , cos β , cos γ )
答案：(1) ∣ A B → ∣ = 3 |\overrightarrow{AB}|=3 ∣ A B ∣ = 3 ( 2 3 , − 2 3 , 1 3 ) (\frac23,-\frac23,\frac13) ( 3 2 , − 3 2 , 3 1 ) 2 3 , − 2 3 , 1 3 \frac23,-\frac23,\frac13 3 2 , − 3 2 , 3 1 a = ( 1 , 2 , 1 ) \vv a=(1,\sqrt2,1) a = ( 1 , 2 , 1 )
6.2 数量积、向量积、混合积大白话：三种“乘法”各管一件事。数量积（点积） 高中学过，结果是一个数，管“夹角、垂直”；向量积（叉积） 是新东西，结果是一个向量，它同时垂直于两个已知向量 ，长度等于两者张成的平行四边形面积——以后求平面的法向量、直线的方向向量，全靠它一步算出来，不用再像高中那样设 ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) 混合积 ( a × b ) ⋅ c (\vv a\times\vv b)\cdot\vv c ( a × b ) ⋅ c
a b a ×b 面积 = |a ×b | a × b \vv a\times\vv b a × b a \vv a a b \vv b b a \vv a a b \vv b b a × b \vv a\times\vv b a × b a b c 体积 = |[a b c ]| 混合积 [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c [\vv a\,\vv b\,\vv c]=(\vv a\times\vv b)\cdot\vv c [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c ∣ a × b ∣ |\vv a\times\vv b| ∣ a × b ∣
三种乘积（设 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \vv a=(a_1,a_2,a_3) a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \vv b=(b_1,b_2,b_3) b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) \vv c=(c_1,c_2,c_3) c = ( c 1 , c 2 , c 3 )
数量积 ：a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 \vv a\cdot\vv b=|\vv a||\vv b|\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 a ⋅ b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0 \vv a\perp\vv b\iff\vv a\cdot\vv b=0 a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0 二阶行列式 （高中没学，先补上）：∣ p q r s ∣ = p s − q r \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=ps-qr p r q s = p s − q r 向量积 ：a × b = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ = ( ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ , − ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ , ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ ) \vv a\times\vv b=\begin{vmatrix}\vv i&\vv j&\vv k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\Big(\begin{vmatrix}a_2&a_3\\b_2&b_3\end{vmatrix},\ -\begin{vmatrix}a_1&a_3\\b_1&b_3\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}a_1&a_2\\b_1&b_2\end{vmatrix}\Big) a × b = i a 1 b 1 j a 2 b 2 k a 3 b 3 = ( a 2 b 2 a 3 b 3 , − a 1 b 1 a 3 b 3 , a 1 b 1 a 2 b 2 ) ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ |\vv a\times\vv b|=|\vv a||\vv b|\sin\theta ∣ a × b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ b × a = − a × b \vv b\times\vv a=-\vv a\times\vv b b × a = − a × b a ∥ b ⟺ a × b = 0 ⟺ \vv a\parallel\vv b\iff\vv a\times\vv b=\vv 0\iff a ∥ b ⟺ a × b = 0 ⟺ 混合积 ：[ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = ∣ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ∣ [\vv a\,\vv b\,\vv c]=(\vv a\times\vv b)\cdot\vv c=\begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix} [ a b c ] = ( a × b ) ⋅ c = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a , b , c \vv a,\vv b,\vv c a , b , c ⟺ [ a b c ] = 0 \iff[\vv a\,\vv b\,\vv c]=0 ⟺ [ a b c ] = 0
方法卡 · 叉积怎么算（最常用的一步）
什么时候用
要一个“同时垂直于两个向量”的向量；求面积；判断平行。
步骤
把 a \vv a a b \vv b b a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 \begin{matrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{matrix} a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
第 1 个坐标：盖住第 1 列，剩下的 2 × 2 2\times2 2 × 2 a 2 b 3 − a 3 b 2 a_2b_3-a_3b_2 a 2 b 3 − a 3 b 2
第 2 个坐标：盖住第 2 列，算出 a 1 b 3 − a 3 b 1 a_1b_3-a_3b_1 a 1 b 3 − a 3 b 1 再变号 。第 3 个坐标：盖住第 3 列，a 1 b 2 − a 2 b 1 a_1b_2-a_2b_1 a 1 b 2 − a 2 b 1
检验：结果分别与 a \vv a a b \vv b b 最容易错
第 2 个坐标忘了变号（最常见）；把
a × b \vv a\times\vv b a × b 与
b × a \vv b\times\vv a b × a 当成相等（差一个负号）；要“单位向量”时只写一个方向（应有
± \pm ± 两个）。
例 6.2 李林 第十一章 例 1—例 3 · p277
（1）设
a = ( 2 , 1 , − 2 ) \vv a=(2,1,-2) a = ( 2 , 1 , − 2 ) ，
b = ( 0 , 1 , − 1 ) \vv b=(0,1,-1) b = ( 0 , 1 , − 1 ) ，求
a ⋅ b \vv a\cdot\vv b a ⋅ b 、
P r j a b \mathrm{Prj}_{\vv a}\vv b Prj a b 和夹角
( a , b ^ ) (\widehat{\vv a,\vv b}) ( a , b ) ；（2）设
a = ( 2 , 5 , 7 ) \vv a=(2,5,7) a = ( 2 , 5 , 7 ) ，
b = ( 1 , 2 , 4 ) \vv b=(1,2,4) b = ( 1 , 2 , 4 ) ，求同时垂直于
a \vv a a 、
b \vv b b 的单位向量；（3）已知
△ A B C \triangle ABC △ A BC 的顶点
A ( 1 , 1 , 2 ) A(1,1,2) A ( 1 , 1 , 2 ) ，
B ( 2 , 0 , − 1 ) B(2,0,-1) B ( 2 , 0 , − 1 ) ，
C ( 2 , 1 , 2 ) C(2,1,2) C ( 2 , 1 , 2 ) ，求面积
S S S 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 点积与夹角。 a ⋅ b = 0 + 1 + 2 = 3 \vv a\cdot\vv b=0+1+2=3 a ⋅ b = 0 + 1 + 2 = 3 ∣ a ∣ = 3 |\vv a|=3 ∣ a ∣ = 3 ∣ b ∣ = 2 |\vv b|=\sqrt2 ∣ b ∣ = 2 cos θ = 3 3 2 = 2 2 \cos\theta=\dfrac3{3\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2 cos θ = 3 2 3 = 2 2 θ = π 4 \theta=\dfrac\pi4 θ = 4 π
夹角公式 cos θ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ \cos\theta=\frac{\vv a\cdot\vv b}{|\vv a||\vv b|} cos θ = ∣ a ∣∣ b ∣ a ⋅ b
② (1) 投影。 P r j a b = a ⋅ b ∣ a ∣ = 3 3 = 1 \mathrm{Prj}_{\vv a}\vv b=\dfrac{\vv a\cdot\vv b}{|\vv a|}=\dfrac33=1 Prj a b = ∣ a ∣ a ⋅ b = 3 3 = 1
b \vv b b a \vv a a ∣ a ∣ |\vv a| ∣ a ∣
③ (2) 叉积。 a × b = ( 5 ⋅ 4 − 7 ⋅ 2 , − ( 2 ⋅ 4 − 7 ⋅ 1 ) , 2 ⋅ 2 − 5 ⋅ 1 ) = ( 6 , − 1 , − 1 ) \vv a\times\vv b=(5\cdot4-7\cdot2,\ -(2\cdot4-7\cdot1),\ 2\cdot2-5\cdot1)=(6,-1,-1) a × b = ( 5 ⋅ 4 − 7 ⋅ 2 , − ( 2 ⋅ 4 − 7 ⋅ 1 ) , 2 ⋅ 2 − 5 ⋅ 1 ) = ( 6 , − 1 , − 1 ) ( 6 , − 1 , − 1 ) ⋅ ( 2 , 5 , 7 ) = 12 − 5 − 7 = 0 (6,-1,-1)\cdot(2,5,7)=12-5-7=0 ( 6 , − 1 , − 1 ) ⋅ ( 2 , 5 , 7 ) = 12 − 5 − 7 = 0 ( 6 , − 1 , − 1 ) ⋅ ( 1 , 2 , 4 ) = 6 − 2 − 4 = 0 (6,-1,-1)\cdot(1,2,4)=6-2-4=0 ( 6 , − 1 , − 1 ) ⋅ ( 1 , 2 , 4 ) = 6 − 2 − 4 = 0
叉积同时垂直于两个向量；第 2 个坐标 − ( 8 − 7 ) = − 1 -(8-7)=-1 − ( 8 − 7 ) = − 1
④ (2) 单位化，两个方向。 ∣ a × b ∣ = 36 + 1 + 1 = 38 |\vv a\times\vv b|=\sqrt{36+1+1}=\sqrt{38} ∣ a × b ∣ = 36 + 1 + 1 = 38 ± 1 38 ( 6 , − 1 , − 1 ) \pm\dfrac1{\sqrt{38}}(6,-1,-1) ± 38 1 ( 6 , − 1 , − 1 )
同时垂直于两个向量的方向有两个（朝上、朝下），所以带 ± \pm ±
⑤ (3) 面积 = 叉积模的一半。 A B → = ( 1 , − 1 , − 3 ) \overrightarrow{AB}=(1,-1,-3) A B = ( 1 , − 1 , − 3 ) A C → = ( 1 , 0 , 0 ) \overrightarrow{AC}=(1,0,0) A C = ( 1 , 0 , 0 ) A B → × A C → = ( 0 , − 3 , 1 ) \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0,-3,1) A B × A C = ( 0 , − 3 , 1 ) S = 1 2 9 + 1 = 10 2 S=\dfrac12\sqrt{9+1}=\dfrac{\sqrt{10}}2 S = 2 1 9 + 1 = 2 10
两边向量的叉积的模是平行四边形面积，三角形是一半；这比先求三边再用海伦公式快得多。
答案：(1) a ⋅ b = 3 \vv a\cdot\vv b=3 a ⋅ b = 3 P r j a b = 1 \mathrm{Prj}_{\vv a}\vv b=1 Prj a b = 1 π 4 \frac\pi4 4 π ± 1 38 ( 6 , − 1 , − 1 ) \pm\frac1{\sqrt{38}}(6,-1,-1) ± 38 1 ( 6 , − 1 , − 1 ) S = 10 2 S=\frac{\sqrt{10}}2 S = 2 10
例 6.3 李林 第十一章 习题 选择(1)—(3)、填空(1) · p280—282
（1）设
∣ a ∣ = 2 |\vv a|=2 ∣ a ∣ = 2 ，
∣ b ∣ = 2 |\vv b|=\sqrt2 ∣ b ∣ = 2 ，且
a ⋅ b = 2 \vv a\cdot\vv b=2 a ⋅ b = 2 ，则
∣ a × b ∣ = |\vv a\times\vv b|= ∣ a × b ∣ = （ ）（A）2 （B）
2 2 2\sqrt2 2 2 （C）
2 2 \dfrac{\sqrt2}2 2 2 （D）1
（2）以
a = ( 1 , 1 , 0 ) \vv a=(1,1,0) a = ( 1 , 1 , 0 ) 、
b = ( 1 , 0 , 1 ) \vv b=(1,0,1) b = ( 1 , 0 , 1 ) 为邻边的平行四边形面积为 ______。
（3）向量
a = ( 1 , 2 , 1 ) \vv a=(1,2,1) a = ( 1 , 2 , 1 ) ，
b = ( − 1 , 0 , 2 ) \vv b=(-1,0,2) b = ( − 1 , 0 , 2 ) ，
c = ( 0 , k , − 3 ) \vv c=(0,k,-3) c = ( 0 , k , − 3 ) 共面，则
k = k= k = ______。
（4）设
a , b \vv a,\vv b a , b 为非零向量，且
( a + 3 b ) ⊥ ( 7 a − 5 b ) (\vv a+3\vv b)\perp(7\vv a-5\vv b) ( a + 3 b ) ⊥ ( 7 a − 5 b ) ，
( a − 4 b ) ⊥ ( 7 a − 2 b ) (\vv a-4\vv b)\perp(7\vv a-2\vv b) ( a − 4 b ) ⊥ ( 7 a − 2 b ) ，则
a \vv a a 与
b \vv b b 的夹角为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 先求夹角，再用正弦。 cos θ = 2 2 2 = 2 2 \cos\theta=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}2 cos θ = 2 2 2 = 2 2 sin θ = 2 2 \sin\theta=\dfrac{\sqrt2}2 sin θ = 2 2 ∣ a × b ∣ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2 = 2 |\vv a\times\vv b|=2\cdot\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=2 ∣ a × b ∣ = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 2 = 2
点积给余弦，叉积的模用正弦；也可以用恒等式 ∣ a × b ∣ 2 + ( a ⋅ b ) 2 = ∣ a ∣ 2 ∣ b ∣ 2 |\vv a\times\vv b|^2+(\vv a\cdot\vv b)^2=|\vv a|^2|\vv b|^2 ∣ a × b ∣ 2 + ( a ⋅ b ) 2 = ∣ a ∣ 2 ∣ b ∣ 2 8 − 4 = 4 8-4=4 8 − 4 = 4
② (2) 叉积的模。 a × b = ( 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 , − ( 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 1 ) , 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 ) = ( 1 , − 1 , − 1 ) \vv a\times\vv b=(1\cdot1-0\cdot0,\ -(1\cdot1-0\cdot1),\ 1\cdot0-1\cdot1)=(1,-1,-1) a × b = ( 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 , − ( 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 1 ) , 1 ⋅ 0 − 1 ⋅ 1 ) = ( 1 , − 1 , − 1 ) 3 \sqrt3 3
平行四边形面积 = 两邻边叉积的模。
③ (3) 共面 ⟺ 混合积为 0。 ∣ 1 2 1 − 1 0 2 0 k − 3 ∣ = 1 ( 0 − 2 k ) − 2 ( 3 − 0 ) + 1 ( − k − 0 ) = − 3 k − 6 = 0 \begin{vmatrix}1&2&1\\-1&0&2\\0&k&-3\end{vmatrix}=1(0-2k)-2(3-0)+1(-k-0)=-3k-6=0 1 − 1 0 2 0 k 1 2 − 3 = 1 ( 0 − 2 k ) − 2 ( 3 − 0 ) + 1 ( − k − 0 ) = − 3 k − 6 = 0 k = − 2 k=-2 k = − 2
三阶行列式按第一行展开：每个元素乘以“盖住它所在行和列”剩下的二阶行列式，符号 + , − , + +,-,+ + , − , +
④ (4) 把垂直翻译成点积为 0。 7 ∣ a ∣ 2 + 16 a ⋅ b − 15 ∣ b ∣ 2 = 0 7|\vv a|^2+16\,\vv a\cdot\vv b-15|\vv b|^2=0 7∣ a ∣ 2 + 16 a ⋅ b − 15∣ b ∣ 2 = 0 7 ∣ a ∣ 2 − 30 a ⋅ b + 8 ∣ b ∣ 2 = 0 7|\vv a|^2-30\,\vv a\cdot\vv b+8|\vv b|^2=0 7∣ a ∣ 2 − 30 a ⋅ b + 8∣ b ∣ 2 = 0 46 a ⋅ b = 23 ∣ b ∣ 2 46\,\vv a\cdot\vv b=23|\vv b|^2 46 a ⋅ b = 23∣ b ∣ 2 a ⋅ b = ∣ b ∣ 2 2 \vv a\cdot\vv b=\dfrac{|\vv b|^2}2 a ⋅ b = 2 ∣ b ∣ 2 ∣ a ∣ 2 = ∣ b ∣ 2 |\vv a|^2=|\vv b|^2 ∣ a ∣ 2 = ∣ b ∣ 2
点积像多项式一样展开：( a + 3 b ) ⋅ ( 7 a − 5 b ) = 7 a ⋅ a − 5 a ⋅ b + 21 b ⋅ a − 15 b ⋅ b (\vv a+3\vv b)\cdot(7\vv a-5\vv b)=7\vv a\cdot\vv a-5\vv a\cdot\vv b+21\vv b\cdot\vv a-15\vv b\cdot\vv b ( a + 3 b ) ⋅ ( 7 a − 5 b ) = 7 a ⋅ a − 5 a ⋅ b + 21 b ⋅ a − 15 b ⋅ b
⑤ (4) 夹角。 cos θ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ = ∣ b ∣ 2 / 2 ∣ b ∣ 2 = 1 2 \cos\theta=\dfrac{\vv a\cdot\vv b}{|\vv a||\vv b|}=\dfrac{|\vv b|^2/2}{|\vv b|^2}=\dfrac12 cos θ = ∣ a ∣∣ b ∣ a ⋅ b = ∣ b ∣ 2 ∣ b ∣ 2 /2 = 2 1 θ = π 3 \theta=\dfrac\pi3 θ = 3 π
由上一步 ∣ a ∣ = ∣ b ∣ |\vv a|=|\vv b| ∣ a ∣ = ∣ b ∣ ∣ a ∣ ∣ b ∣ = ∣ b ∣ 2 |\vv a||\vv b|=|\vv b|^2 ∣ a ∣∣ b ∣ = ∣ b ∣ 2
答案：(1) A；(2) 3 \sqrt3 3 − 2 -2 − 2 π 3 \frac\pi3 3 π
6.3 平面：一个点 + 一个法向量大白话：一个平面由“一个点 + 一个垂直于它的方向（法向量）”完全确定 。点 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M ( x , y , z ) M 0 M → \overrightarrow{M_0M} M 0 M M 0 M → ⊥ n \overrightarrow{M_0M}\perp\vv n M 0 M ⊥ n n = ( x , y , z ) \vv n=(x,y,z) n = ( x , y , z )
M 0 M (x , y , z )n =(A , B , C )点法式：M 0 M → ⋅ n = 0 \overrightarrow{M_0M}\cdot\vv n=0 M 0 M ⋅ n = 0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 平面方程的几种写法
点法式 ：过 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) n = ( A , B , C ) \vv n=(A,B,C) n = ( A , B , C ) A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 一般式 ：A x + B y + C z + D = 0 Ax+By+Cz+D=0 A x + B y + C z + D = 0 x , y , z x,y,z x , y , z D = 0 D=0 D = 0 z z z C = 0 C=0 C = 0 z z z 截距式 ：x a + y b + z c = 1 \dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1 a x + b y + c z = 1 a , b , c a,b,c a , b , c 平面束 ：直线 L : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 L:\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} L : { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 L L L ( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 (A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0 ( A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0
方法卡 · 求平面方程
什么时候用
“求过某点、平行于某两个向量（或两条直线）的平面”“过某直线且满足……的平面”。
步骤
找一个点 M 0 M_0 M 0
找法向量：平面里两个不平行的向量 u , v \vv u,\vv v u , v n = u × v \vv n=\vv u\times\vv v n = u × v n = s \vv n=\vv s n = s
代入点法式展开。
题目说“过某条直线（一般式）”：直接写平面束，用剩下的一个条件解 λ \lambda λ λ \lambda λ 最容易错
平面束漏解：第二个平面本身对应“
λ = ∞ \lambda=\infty λ = ∞ ”，不单独检查就会漏；两个向量平行时叉积为
0 \vv 0 0 ，不能当法向量。
例 6.4 李林 第十一章 例 4、例 5 · p277—278 李林 第十一章 习题 填空(2) · p280
（1）求过点
( 1 , − 1 , 2 ) (1,-1,2) ( 1 , − 1 , 2 ) 且平行于向量
a = ( 1 , − 2 , 1 ) \vv a=(1,-2,1) a = ( 1 , − 2 , 1 ) 、
b = ( 2 , 0 , − 1 ) \vv b=(2,0,-1) b = ( 2 , 0 , − 1 ) 的平面方程；（2）求过原点且与两条直线
L 1 : { x = 1 y = − 1 + t z = 2 + t L_1:\begin{cases}x=1\\y=-1+t\\z=2+t\end{cases} L 1 : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = − 1 + t z = 2 + t 、
L 2 : x + 1 1 = y + 2 2 = z − 1 1 L_2:\dfrac{x+1}1=\dfrac{y+2}2=\dfrac{z-1}1 L 2 : 1 x + 1 = 2 y + 2 = 1 z − 1 都平行的平面方程；（3）求过原点和点
P ( 1 , − 3 , 2 ) P(1,-3,2) P ( 1 , − 3 , 2 ) 且与平面
4 x − y + 2 z = 5 4x-y+2z=5 4 x − y + 2 z = 5 垂直的平面方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 法向量 = 两个方向的叉积。 n = a × b = ( ( − 2 ) ( − 1 ) − 1 ⋅ 0 , − ( 1 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ 2 ) , 1 ⋅ 0 − ( − 2 ) ⋅ 2 ) = ( 2 , 3 , 4 ) \vv n=\vv a\times\vv b=((-2)(-1)-1\cdot0,\ -(1\cdot(-1)-1\cdot2),\ 1\cdot0-(-2)\cdot2)=(2,3,4) n = a × b = (( − 2 ) ( − 1 ) − 1 ⋅ 0 , − ( 1 ⋅ ( − 1 ) − 1 ⋅ 2 ) , 1 ⋅ 0 − ( − 2 ) ⋅ 2 ) = ( 2 , 3 , 4 )
平面平行于 a \vv a a b \vv b b
② (1) 点法式。 2 ( x − 1 ) + 3 ( y + 1 ) + 4 ( z − 2 ) = 0 2(x-1)+3(y+1)+4(z-2)=0 2 ( x − 1 ) + 3 ( y + 1 ) + 4 ( z − 2 ) = 0 2 x + 3 y + 4 z − 7 = 0 2x+3y+4z-7=0 2 x + 3 y + 4 z − 7 = 0
代入已知点展开；检验 ( 1 , − 1 , 2 ) (1,-1,2) ( 1 , − 1 , 2 ) 2 − 3 + 8 − 7 = 0 2-3+8-7=0 2 − 3 + 8 − 7 = 0
③ (2) 读出两条直线的方向。 L 1 L_1 L 1 t t t s 1 = ( 0 , 1 , 1 ) \vv s_1=(0,1,1) s 1 = ( 0 , 1 , 1 ) L 2 L_2 L 2 s 2 = ( 1 , 2 , 1 ) \vv s_2=(1,2,1) s 2 = ( 1 , 2 , 1 )
参数式看 t t t
④ (2) 叉积与平面。 n = s 1 × s 2 = ( 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 , − ( 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ) , 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ) = ( − 1 , 1 , − 1 ) \vv n=\vv s_1\times\vv s_2=(1\cdot1-1\cdot2,\ -(0\cdot1-1\cdot1),\ 0\cdot2-1\cdot1)=(-1,1,-1) n = s 1 × s 2 = ( 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 2 , − ( 0 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 ) , 0 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ) = ( − 1 , 1 , − 1 ) − x + y − z = 0 -x+y-z=0 − x + y − z = 0 x − y + z = 0 x-y+z=0 x − y + z = 0
平面与两条直线都平行，法向量就垂直于两个方向向量；过原点，所以常数项为 0。
⑤ (3) 平面里的一个向量 + 已知平面的法向量。 O P → = ( 1 , − 3 , 2 ) \overrightarrow{OP}=(1,-3,2) OP = ( 1 , − 3 , 2 ) ( 4 , − 1 , 2 ) (4,-1,2) ( 4 , − 1 , 2 ) n = ( 1 , − 3 , 2 ) × ( 4 , − 1 , 2 ) = ( − 4 , 6 , 11 ) \vv n=(1,-3,2)\times(4,-1,2)=(-4,6,11) n = ( 1 , − 3 , 2 ) × ( 4 , − 1 , 2 ) = ( − 4 , 6 , 11 ) − 4 x + 6 y + 11 z = 0 -4x+6y+11z=0 − 4 x + 6 y + 11 z = 0 4 x − 6 y − 11 z = 0 4x-6y-11z=0 4 x − 6 y − 11 z = 0
两平面垂直 ⟺ 法向量垂直，所以一个平面的法向量“躺在”另一个平面里。检验 P P P 4 + 18 − 22 = 0 4+18-22=0 4 + 18 − 22 = 0
答案：(1) 2 x + 3 y + 4 z − 7 = 0 2x+3y+4z-7=0 2 x + 3 y + 4 z − 7 = 0 x − y + z = 0 x-y+z=0 x − y + z = 0 4 x − 6 y − 11 z = 0 4x-6y-11z=0 4 x − 6 y − 11 z = 0
例 6.5 李林 第十一章 例 8 · p279 李林 第十一章 习题 解答(4) · p281、p284
（1）求过原点和直线
L : { x + 2 y + z − 1 = 0 2 x − y + 3 z + 2 = 0 L:\begin{cases}x+2y+z-1=0\\2x-y+3z+2=0\end{cases} L : { x + 2 y + z − 1 = 0 2 x − y + 3 z + 2 = 0 的平面方程；（2）求过点
( 1 , 8 , 2 ) (1,8,2) ( 1 , 8 , 2 ) 和直线
{ x + y − z − 2 = 0 3 x + y − z − 5 = 0 \begin{cases}x+y-z-2=0\\3x+y-z-5=0\end{cases} { x + y − z − 2 = 0 3 x + y − z − 5 = 0 的平面方程；（3）平面
π \pi π 过直线
{ 3 x − 2 y + 2 = 0 x − 2 y − z + 6 = 0 \begin{cases}3x-2y+2=0\\x-2y-z+6=0\end{cases} { 3 x − 2 y + 2 = 0 x − 2 y − z + 6 = 0 ，且与点
P ( 1 , 2 , 1 ) P(1,2,1) P ( 1 , 2 , 1 ) 的距离为 1，求
π \pi π 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 写平面束，代原点。 x + 2 y + z − 1 + λ ( 2 x − y + 3 z + 2 ) = 0 x+2y+z-1+\lambda(2x-y+3z+2)=0 x + 2 y + z − 1 + λ ( 2 x − y + 3 z + 2 ) = 0 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 ) − 1 + 2 λ = 0 -1+2\lambda=0 − 1 + 2 λ = 0 λ = 1 2 \lambda=\dfrac12 λ = 2 1
过直线的平面都在这个“束”里；再给一个点，就能定出 λ \lambda λ
② (1) 整理。 2 x + 3 2 y + 5 2 z = 0 2x+\dfrac32y+\dfrac52z=0 2 x + 2 3 y + 2 5 z = 0 4 x + 3 y + 5 z = 0 4x+3y+5z=0 4 x + 3 y + 5 z = 0
乘 2 去分母。检验：在 L L L z = 0 z=0 z = 0 L L L ( − 3 5 , 4 5 , 0 ) \big(-\frac35,\frac45,0\big) ( − 5 3 , 5 4 , 0 ) 4 x + 3 y + 5 z = − 12 5 + 12 5 + 0 = 0 4x+3y+5z=-\frac{12}5+\frac{12}5+0=0 4 x + 3 y + 5 z = − 5 12 + 5 12 + 0 = 0
③ (2) 同样代点。 ( x + y − z − 2 ) + λ ( 3 x + y − z − 5 ) = 0 (x+y-z-2)+\lambda(3x+y-z-5)=0 ( x + y − z − 2 ) + λ ( 3 x + y − z − 5 ) = 0 ( 1 , 8 , 2 ) (1,8,2) ( 1 , 8 , 2 ) 5 + 4 λ = 0 5+4\lambda=0 5 + 4 λ = 0 λ = − 5 4 \lambda=-\dfrac54 λ = − 4 5 4 ( x + y − z − 2 ) − 5 ( 3 x + y − z − 5 ) = 0 4(x+y-z-2)-5(3x+y-z-5)=0 4 ( x + y − z − 2 ) − 5 ( 3 x + y − z − 5 ) = 0 11 x + y − z − 17 = 0 11x+y-z-17=0 11 x + y − z − 17 = 0
把 ( 1 , 8 , 2 ) (1,8,2) ( 1 , 8 , 2 ) 5 + 4 λ = 0 5+4\lambda=0 5 + 4 λ = 0
④ (3) 平面束 + 距离公式。 ( 3 x − 2 y + 2 ) + λ ( x − 2 y − z + 6 ) = 0 (3x-2y+2)+\lambda(x-2y-z+6)=0 ( 3 x − 2 y + 2 ) + λ ( x − 2 y − z + 6 ) = 0 ( 3 + λ ) x − ( 2 + 2 λ ) y − λ z + ( 2 + 6 λ ) = 0 (3+\lambda)x-(2+2\lambda)y-\lambda z+(2+6\lambda)=0 ( 3 + λ ) x − ( 2 + 2 λ ) y − λ z + ( 2 + 6 λ ) = 0 ∣ ( 3 + λ ) − 2 ( 2 + 2 λ ) − λ + ( 2 + 6 λ ) ∣ ( 3 + λ ) 2 + ( 2 + 2 λ ) 2 + λ 2 = 1 \dfrac{|(3+\lambda)-2(2+2\lambda)-\lambda+(2+6\lambda)|}{\sqrt{(3+\lambda)^2+(2+2\lambda)^2+\lambda^2}}=1 ( 3 + λ ) 2 + ( 2 + 2 λ ) 2 + λ 2 ∣ ( 3 + λ ) − 2 ( 2 + 2 λ ) − λ + ( 2 + 6 λ ) ∣ = 1 ∣ 2 λ + 1 ∣ = 6 λ 2 + 14 λ + 13 |2\lambda+1|=\sqrt{6\lambda^2+14\lambda+13} ∣2 λ + 1∣ = 6 λ 2 + 14 λ + 13
点到平面距离公式 d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d = A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ P ( 1 , 2 , 1 ) P(1,2,1) P ( 1 , 2 , 1 )
⑤ (3) 解 λ \lambda λ 平方：4 λ 2 + 4 λ + 1 = 6 λ 2 + 14 λ + 13 4\lambda^2+4\lambda+1=6\lambda^2+14\lambda+13 4 λ 2 + 4 λ + 1 = 6 λ 2 + 14 λ + 13 λ 2 + 5 λ + 6 = 0 \lambda^2+5\lambda+6=0 λ 2 + 5 λ + 6 = 0 λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2 − 3 -3 − 3 x + 2 y + 2 z − 10 = 0 x+2y+2z-10=0 x + 2 y + 2 z − 10 = 0 4 y + 3 z − 16 = 0 4y+3z-16=0 4 y + 3 z − 16 = 0 x − 2 y − z + 6 = 0 x-2y-z+6=0 x − 2 y − z + 6 = 0 P P P ∣ 1 − 4 − 1 + 6 ∣ 6 = 2 6 ≠ 1 \dfrac{|1-4-1+6|}{\sqrt6}=\dfrac2{\sqrt6}\ne1 6 ∣1 − 4 − 1 + 6∣ = 6 2 = 1
平面束不含第二个平面，必须单独检查；这里它不满足，所以答案就是两个。
答案：(1) 4 x + 3 y + 5 z = 0 4x+3y+5z=0 4 x + 3 y + 5 z = 0 11 x + y − z − 17 = 0 11x+y-z-17=0 11 x + y − z − 17 = 0 x + 2 y + 2 z − 10 = 0 x+2y+2z-10=0 x + 2 y + 2 z − 10 = 0 4 y + 3 z − 16 = 0 4y+3z-16=0 4 y + 3 z − 16 = 0
6.4 直线：一个点 + 一个方向向量大白话：一条直线由“一个点 + 一个方向”确定 。点 M M M M 0 M → \overrightarrow{M_0M} M 0 M s \vv s s t t t s = n 1 × n 2 \vv s=\vv n_1\times\vv n_2 s = n 1 × n 2
n 1 n 2 s =n 1 × n 2 交线 L π1 π2 两个平面相交成直线 L L L s \vv s s n 1 \vv n_1 n 1 n 2 \vv n_2 n 2 s = n 1 × n 2 \vv s=\vv n_1\times\vv n_2 s = n 1 × n 2 直线方程的三种写法
对称式（点向式） ：过 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) s = ( m , n , p ) \vv s=(m,n,p) s = ( m , n , p ) x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \dfrac{x-x_0}m=\dfrac{y-y_0}n=\dfrac{z-z_0}p m x − x 0 = n y − y 0 = p z − z 0 x − 1 0 = y 1 = z − 1 2 \dfrac{x-1}0=\dfrac y1=\dfrac{z-1}2 0 x − 1 = 1 y = 2 z − 1 x = 1 x=1 x = 1 y 1 = z − 1 2 \dfrac y1=\dfrac{z-1}2 1 y = 2 z − 1 参数式 ：x = x 0 + m t x=x_0+mt x = x 0 + m t y = y 0 + n t y=y_0+nt y = y 0 + n t z = z 0 + p t z=z_0+pt z = z 0 + pt t t t 一般式 ：{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 \begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases} { A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 s = n 1 × n 2 \vv s=\vv n_1\times\vv n_2 s = n 1 × n 2
方法卡 · 求直线方程
什么时候用
“求过某点、满足平行/垂直/相交条件的直线”。
步骤
找一个点。
找方向：两点相减；平行于已知直线 ⟹ 同方向；垂直于已知平面 ⟹ s = n \vv s=\vv n s = n
条件是“与已知直线 L 1 L_1 L 1 L 1 L_1 L 1 Q ( t ) Q(t) Q ( t ) P 0 Q → \overrightarrow{P_0Q} P 0 Q t t t 最容易错
一般式化对称式时，取的点必须同时满足两个方程；对称式里分母为 0 就不敢写——按“分子为 0”理解即可。
例 6.6 李林 第十一章 例 6 · p278
设直线
L L L 的一般式方程为
{ x − 2 y − 3 z + 6 = 0 x + y + z − 5 = 0 \begin{cases}x-2y-3z+6=0\\x+y+z-5=0\end{cases} { x − 2 y − 3 z + 6 = 0 x + y + z − 5 = 0 ，将其化为对称式方程和参数式方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 方向 = 两个法向量的叉积。 n 1 = ( 1 , − 2 , − 3 ) \vv n_1=(1,-2,-3) n 1 = ( 1 , − 2 , − 3 ) n 2 = ( 1 , 1 , 1 ) \vv n_2=(1,1,1) n 2 = ( 1 , 1 , 1 ) s = n 1 × n 2 = ( ( − 2 ) ⋅ 1 − ( − 3 ) ⋅ 1 , − ( 1 ⋅ 1 − ( − 3 ) ⋅ 1 ) , 1 ⋅ 1 − ( − 2 ) ⋅ 1 ) = ( 1 , − 4 , 3 ) \vv s=\vv n_1\times\vv n_2=((-2)\cdot1-(-3)\cdot1,\ -(1\cdot1-(-3)\cdot1),\ 1\cdot1-(-2)\cdot1)=(1,-4,3) s = n 1 × n 2 = (( − 2 ) ⋅ 1 − ( − 3 ) ⋅ 1 , − ( 1 ⋅ 1 − ( − 3 ) ⋅ 1 ) , 1 ⋅ 1 − ( − 2 ) ⋅ 1 ) = ( 1 , − 4 , 3 )
直线在两个平面里，方向同时垂直于两个法向量。
② 取一个点。 令 z = 5 z=5 z = 5 x − 2 y = 9 x-2y=9 x − 2 y = 9 x + y = 0 x+y=0 x + y = 0 x = 3 x=3 x = 3 y = − 3 y=-3 y = − 3 ( 3 , − 3 , 5 ) (3,-3,5) ( 3 , − 3 , 5 )
三个未知数两个方程，先给一个变量赋值，剩下两个解方程组；选 z = 5 z=5 z = 5
③ 写出两种形式。 对称式 x − 3 1 = y + 3 − 4 = z − 5 3 \dfrac{x-3}1=\dfrac{y+3}{-4}=\dfrac{z-5}3 1 x − 3 = − 4 y + 3 = 3 z − 5 x = 3 + t x=3+t x = 3 + t y = − 3 − 4 t y=-3-4t y = − 3 − 4 t z = 5 + 3 t z=5+3t z = 5 + 3 t
检验：t = 0 t=0 t = 0 ( 1 , − 4 , 3 ) (1,-4,3) ( 1 , − 4 , 3 )
答案：x − 3 1 = y + 3 − 4 = z − 5 3 \frac{x-3}1=\frac{y+3}{-4}=\frac{z-5}3 1 x − 3 = − 4 y + 3 = 3 z − 5 x = 3 + t , y = − 3 − 4 t , z = 5 + 3 t x=3+t,\ y=-3-4t,\ z=5+3t x = 3 + t , y = − 3 − 4 t , z = 5 + 3 t
例 6.7 李林 第十一章 例 7 · p278—279 李林 第十一章 习题 解答(1) · p281、p284
（1）求过点
P 0 ( − 1 , 0 , 4 ) P_0(-1,0,4) P 0 ( − 1 , 0 , 4 ) 、平行于平面
π : 3 x − 4 y + z − 10 = 0 \pi:3x-4y+z-10=0 π : 3 x − 4 y + z − 10 = 0 ，且与直线
L 1 : x + 1 3 = y − 3 1 = z 2 L_1:\dfrac{x+1}3=\dfrac{y-3}1=\dfrac z2 L 1 : 3 x + 1 = 1 y − 3 = 2 z 相交的直线
L L L ；（2）求过点
P 0 ( 2 , − 1 , 3 ) P_0(2,-1,3) P 0 ( 2 , − 1 , 3 ) 、与直线
L 1 : x − 1 2 = y − 1 = z + 2 1 L_1:\dfrac{x-1}2=\dfrac y{-1}=\dfrac{z+2}1 L 1 : 2 x − 1 = − 1 y = 1 z + 2 相交，且平行于平面
3 x − 2 y + z + 5 = 0 3x-2y+z+5=0 3 x − 2 y + z + 5 = 0 的直线。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 把交点设在 L 1 L_1 L 1 L 1 L_1 L 1 Q = ( − 1 + 3 t , 3 + t , 2 t ) Q=(-1+3t,\ 3+t,\ 2t) Q = ( − 1 + 3 t , 3 + t , 2 t ) P 0 P_0 P 0 Q Q Q P 0 Q → = ( 3 t , 3 + t , 2 t − 4 ) \overrightarrow{P_0Q}=(3t,\ 3+t,\ 2t-4) P 0 Q = ( 3 t , 3 + t , 2 t − 4 )
“与 L 1 L_1 L 1 L 1 L_1 L 1 t t t
② (1) 平行于平面 ⟺ 方向垂直于法向量。 ( 3 t , 3 + t , 2 t − 4 ) ⋅ ( 3 , − 4 , 1 ) = 9 t − 12 − 4 t + 2 t − 4 = 7 t − 16 = 0 (3t,3+t,2t-4)\cdot(3,-4,1)=9t-12-4t+2t-4=7t-16=0 ( 3 t , 3 + t , 2 t − 4 ) ⋅ ( 3 , − 4 , 1 ) = 9 t − 12 − 4 t + 2 t − 4 = 7 t − 16 = 0 t = 16 7 t=\dfrac{16}7 t = 7 16 P 0 Q → = ( 48 7 , 37 7 , 4 7 ) \overrightarrow{P_0Q}=\Big(\dfrac{48}7,\dfrac{37}7,\dfrac47\Big) P 0 Q = ( 7 48 , 7 37 , 7 4 )
直线与平面平行，方向向量躺在平面方向上，与法向量的点积为 0。
③ (1) 写方程。 方向取 ( 48 , 37 , 4 ) (48,37,4) ( 48 , 37 , 4 ) x + 1 48 = y 37 = z − 4 4 \dfrac{x+1}{48}=\dfrac y{37}=\dfrac{z-4}4 48 x + 1 = 37 y = 4 z − 4
方向向量可以乘任意非零常数，乘 7 去分母。李林讲义用“s \vv s s s 1 \vv s_1 s 1 P 0 P 1 → \overrightarrow{P_0P_1} P 0 P 1
④ (2) 同样的套路。 Q = ( 1 + 2 t , − t , − 2 + t ) Q=(1+2t,-t,-2+t) Q = ( 1 + 2 t , − t , − 2 + t ) P 0 Q → = ( 2 t − 1 , 1 − t , t − 5 ) \overrightarrow{P_0Q}=(2t-1,\ 1-t,\ t-5) P 0 Q = ( 2 t − 1 , 1 − t , t − 5 ) ( 3 , − 2 , 1 ) (3,-2,1) ( 3 , − 2 , 1 ) 6 t − 3 − 2 + 2 t + t − 5 = 9 t − 10 = 0 6t-3-2+2t+t-5=9t-10=0 6 t − 3 − 2 + 2 t + t − 5 = 9 t − 10 = 0 t = 10 9 t=\dfrac{10}9 t = 9 10 P 0 Q → = ( 11 9 , − 1 9 , − 35 9 ) \overrightarrow{P_0Q}=\Big(\dfrac{11}9,-\dfrac19,-\dfrac{35}9\Big) P 0 Q = ( 9 11 , − 9 1 , − 9 35 )
和 (1) 一模一样：交点设参数，平行用点积为 0。
⑤ (2) 写方程。 x − 2 11 = y + 1 − 1 = z − 3 − 35 \dfrac{x-2}{11}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{-35} 11 x − 2 = − 1 y + 1 = − 35 z − 3
方向乘 9 去分母。检验方向与法向量：33 + 2 − 35 = 0 33+2-35=0 33 + 2 − 35 = 0
答案：(1) x + 1 48 = y 37 = z − 4 4 \frac{x+1}{48}=\frac y{37}=\frac{z-4}4 48 x + 1 = 37 y = 4 z − 4 x − 2 11 = y + 1 − 1 = z − 3 − 35 \frac{x-2}{11}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{-35} 11 x − 2 = − 1 y + 1 = − 35 z − 3
6.5 位置关系、夹角与距离大白话：夹角全都换成向量的夹角 ——平面看法向量，直线看方向向量；只有“直线与平面的夹角”用正弦，因为方向向量与法向量的夹角恰好是它的余角。距离全都换成投影、面积、体积 ：点到平面 = 在法向量上的投影长度；点到直线 = 平行四边形面积 ÷ 底；两条异面直线 = 平行六面体体积 ÷ 底面积。真题还会把“平面、直线的位置关系”翻译成线性代数里的秩。
P 0 P 1 n d 点到平面的距离：任取平面上一点 P 1 P_1 P 1 d = ∣ P 1 P 0 → ⋅ n ∣ ∣ n ∣ d=\dfrac{|\overrightarrow{P_1P_0}\cdot\vv n|}{|\vv n|} d = ∣ n ∣ ∣ P 1 P 0 ⋅ n ∣ ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ 三条交线互相平行 三个平面两两相交、三条交线互相平行：法向量共面（r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2
夹角、平行垂直、距离
两平面夹角 ：cos θ = ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ ∣ n 1 ∣ ∣ n 2 ∣ \cos\theta=\dfrac{|\vv n_1\cdot\vv n_2|}{|\vv n_1||\vv n_2|} cos θ = ∣ n 1 ∣∣ n 2 ∣ ∣ n 1 ⋅ n 2 ∣ 两直线夹角 ：cos φ = ∣ s 1 ⋅ s 2 ∣ ∣ s 1 ∣ ∣ s 2 ∣ \cos\varphi=\dfrac{|\vv s_1\cdot\vv s_2|}{|\vv s_1||\vv s_2|} cos φ = ∣ s 1 ∣∣ s 2 ∣ ∣ s 1 ⋅ s 2 ∣ [ 0 , π 2 ] [0,\frac\pi2] [ 0 , 2 π ] 直线与平面夹角 ：sin φ = ∣ s ⋅ n ∣ ∣ s ∣ ∣ n ∣ \sin\varphi=\dfrac{|\vv s\cdot\vv n|}{|\vv s||\vv n|} sin φ = ∣ s ∣∣ n ∣ ∣ s ⋅ n ∣ s ⋅ n = 0 \vv s\cdot\vv n=0 s ⋅ n = 0 s ∥ n \vv s\parallel\vv n s ∥ n 点到平面 ：d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d = A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ 点到直线 ：d = ∣ M 1 M 0 → × s ∣ ∣ s ∣ d=\dfrac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times\vv s|}{|\vv s|} d = ∣ s ∣ ∣ M 1 M 0 × s ∣ M 1 M_1 M 1 两条直线 （M 1 ∈ L 1 M_1\in L_1 M 1 ∈ L 1 M 2 ∈ L 2 M_2\in L_2 M 2 ∈ L 2 [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] = 0 [\overrightarrow{M_1M_2}\ \vv s_1\ \vv s_2]=0 [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] = 0 d = ∣ [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] ∣ ∣ s 1 × s 2 ∣ d=\dfrac{|[\overrightarrow{M_1M_2}\ \vv s_1\ \vv s_2]|}{|\vv s_1\times\vv s_2|} d = ∣ s 1 × s 2 ∣ ∣ [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] ∣ 三个平面与秩 （系数矩阵 A \boldsymbol A A A ˉ \bar{\boldsymbol A} A ˉ r ( A ) = r ( A ˉ ) = 3 r(\boldsymbol A)=r(\bar{\boldsymbol A})=3 r ( A ) = r ( A ˉ ) = 3 = 2 =2 = 2 r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2 r ( A ˉ ) = 3 r(\bar{\boldsymbol A})=3 r ( A ˉ ) = 3 r ( A ) = 1 r(\boldsymbol A)=1 r ( A ) = 1 r ( A ˉ ) = 2 r(\bar{\boldsymbol A})=2 r ( A ˉ ) = 2
方法卡 · 夹角与距离
什么时候用
求夹角、距离、公垂线；判断两条直线相交/异面；三个平面的位置关系。
步骤
先把每个平面的法向量、每条直线的方向向量和一个点写出来。
夹角：套对应的余弦（线面角用正弦）公式，结果取锐角。
距离：点到平面直接套公式；点到直线用叉积；也可以设垂足为参数点，用“垂直 ⟹ 点积为 0”求出来再算两点距离。
两直线相交：两个方向不平行，且混合积为 0（共面）。 最容易错
线面角误用余弦；直线夹角忘了绝对值得到钝角；把“两两相交”误读成“有公共点”（2019 真题的陷阱）。
例 6.8 2019 数一(6)
如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i ( i = 1 , 2 , 3 ) a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=d_i\ (i=1,2,3) a i 1 x + a i 2 y + a i 3 z = d i ( i = 1 , 2 , 3 ) 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为
A \boldsymbol A A 、
A ˉ \bar{\boldsymbol A} A ˉ ，则（ ）
（A）
r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2 ，
r ( A ˉ ) = 3 r(\bar{\boldsymbol A})=3 r ( A ˉ ) = 3 （B）
r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2 ，
r ( A ˉ ) = 2 r(\bar{\boldsymbol A})=2 r ( A ˉ ) = 2 （C）
r ( A ) = 1 r(\boldsymbol A)=1 r ( A ) = 1 ，
r ( A ˉ ) = 2 r(\bar{\boldsymbol A})=2 r ( A ˉ ) = 2 （D）
r ( A ) = 1 r(\boldsymbol A)=1 r ( A ) = 1 ，
r ( A ˉ ) = 1 r(\bar{\boldsymbol A})=1 r ( A ˉ ) = 1 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 翻译图形：有没有公共点。 三条交线互相平行且不重合，三个平面没有公共点（若有公共点，它同时在两条平行且不重合的交线上，矛盾），所以方程组无解，r ( A ) ≠ r ( A ˉ ) r(\boldsymbol A)\ne r(\bar{\boldsymbol A}) r ( A ) = r ( A ˉ )
方程组的解 = 三个平面的公共点；无解 ⟺ 系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。
② 法向量：r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2 A \boldsymbol A A r ( A ) ≥ 2 r(\boldsymbol A)\ge2 r ( A ) ≥ 2 s ≠ 0 \vv s\ne\vv 0 s = 0 A s = 0 \boldsymbol A\vv s=\vv 0 A s = 0 r ( A ) ≤ 2 r(\boldsymbol A)\le2 r ( A ) ≤ 2
交线在平面内，方向就垂直于该平面的法向量；齐次方程组有非零解 ⟺ 秩小于未知数个数 3。
③ 合起来。 r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2 r ( A ˉ ) r(\bar{\boldsymbol A}) r ( A ˉ ) r ( A ) r(\boldsymbol A) r ( A ) r ( A ˉ ) = 3 r(\bar{\boldsymbol A})=3 r ( A ˉ ) = 3
增广矩阵只多一列，秩最多加 1。（C）（D）的 r ( A ) = 1 r(\boldsymbol A)=1 r ( A ) = 1
答案：A
例 6.9 2020 数一(6)
已知直线
L 1 : x − a 2 a 1 = y − b 2 b 1 = z − c 2 c 1 L_1:\dfrac{x-a_2}{a_1}=\dfrac{y-b_2}{b_1}=\dfrac{z-c_2}{c_1} L 1 : a 1 x − a 2 = b 1 y − b 2 = c 1 z − c 2 与直线
L 2 : x − a 3 a 2 = y − b 3 b 2 = z − c 3 c 2 L_2:\dfrac{x-a_3}{a_2}=\dfrac{y-b_3}{b_2}=\dfrac{z-c_3}{c_2} L 2 : a 2 x − a 3 = b 2 y − b 3 = c 2 z − c 3 相交于一点，记向量
α i = ( a i , b i , c i ) T \boldsymbol\alpha_i=(a_i,b_i,c_i)^{\mathrm T} α i = ( a i , b i , c i ) T ，
i = 1 , 2 , 3 i=1,2,3 i = 1 , 2 , 3 ，则（ ）
（A）
α 1 \boldsymbol\alpha_1 α 1 可由
α 2 , α 3 \boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3 α 2 , α 3 线性表示 （B）
α 2 \boldsymbol\alpha_2 α 2 可由
α 1 , α 3 \boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_3 α 1 , α 3 线性表示
（C）
α 3 \boldsymbol\alpha_3 α 3 可由
α 1 , α 2 \boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2 α 1 , α 2 线性表示 （D）
α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 线性无关
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 读出点和方向。 L 1 L_1 L 1 α 2 \boldsymbol\alpha_2 α 2 α 1 \boldsymbol\alpha_1 α 1 L 2 L_2 L 2 α 3 \boldsymbol\alpha_3 α 3 α 2 \boldsymbol\alpha_2 α 2
对称式：分子里减掉的是点的坐标，分母是方向。本题的陷阱是下标错位，要看仔细。
② 相交点写两次。 交点既在 L 1 L_1 L 1 L 2 L_2 L 2 α 2 + t α 1 = α 3 + u α 2 \boldsymbol\alpha_2+t\boldsymbol\alpha_1=\boldsymbol\alpha_3+u\boldsymbol\alpha_2 α 2 + t α 1 = α 3 + u α 2 α 3 = t α 1 + ( 1 − u ) α 2 \boldsymbol\alpha_3=t\boldsymbol\alpha_1+(1-u)\boldsymbol\alpha_2 α 3 = t α 1 + ( 1 − u ) α 2
用参数式写出两条直线上的点，令它们相等就是交点。这比 Maki 书上的“混合积为 0 + 方向不平行”更直接。
③ 排除（A）（B）（D）。 （D）：由②，三个向量线性相关，错。（A）（B）的反例：α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T \boldsymbol\alpha_1=(1,0,0)^{\mathrm T} α 1 = ( 1 , 0 , 0 ) T α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T \boldsymbol\alpha_2=(0,1,0)^{\mathrm T} α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T α 3 = 0 \boldsymbol\alpha_3=\vv 0 α 3 = 0 L 1 L_1 L 1 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) x x x L 2 L_2 L 2 y y y ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) α 1 \boldsymbol\alpha_1 α 1 α 2 , 0 \boldsymbol\alpha_2,\vv 0 α 2 , 0 α 2 \boldsymbol\alpha_2 α 2 α 1 , 0 \boldsymbol\alpha_1,\vv 0 α 1 , 0
选择题排除选项，找一个满足题设但使选项不成立的具体例子最稳。
答案：C
例 6.10 李林 第十一章 习题 填空(3)(5)(6) · p280、p282—283
（1）求直线
L 1 : x − 1 = y − 5 2 = z + 6 L_1:x-1=\dfrac{y-5}2=z+6 L 1 : x − 1 = 2 y − 5 = z + 6 与直线
L 2 : { x − y = 6 2 y + z = 3 L_2:\begin{cases}x-y=6\\2y+z=3\end{cases} L 2 : { x − y = 6 2 y + z = 3 的夹角；（2）求点
P 0 ( 1 , − 1 , 0 ) P_0(1,-1,0) P 0 ( 1 , − 1 , 0 ) 到直线
L : { 2 y − 3 z = 3 x = y L:\begin{cases}2y-3z=3\\x=y\end{cases} L : { 2 y − 3 z = 3 x = y 的距离；（3）求过点
P ( 2 , 1 , 3 ) P(2,1,3) P ( 2 , 1 , 3 ) 且与直线
L : x + 1 3 = y − 1 2 = z − 1 L:\dfrac{x+1}3=\dfrac{y-1}2=\dfrac z{-1} L : 3 x + 1 = 2 y − 1 = − 1 z 垂直相交的直线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 两个方向向量。 s 1 = ( 1 , 2 , 1 ) \vv s_1=(1,2,1) s 1 = ( 1 , 2 , 1 ) s 2 = ( 1 , − 1 , 0 ) × ( 0 , 2 , 1 ) = ( ( − 1 ) ⋅ 1 − 0 ⋅ 2 , − ( 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 ) , 1 ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ 0 ) = ( − 1 , − 1 , 2 ) \vv s_2=(1,-1,0)\times(0,2,1)=((-1)\cdot1-0\cdot2,\ -(1\cdot1-0\cdot0),\ 1\cdot2-(-1)\cdot0)=(-1,-1,2) s 2 = ( 1 , − 1 , 0 ) × ( 0 , 2 , 1 ) = (( − 1 ) ⋅ 1 − 0 ⋅ 2 , − ( 1 ⋅ 1 − 0 ⋅ 0 ) , 1 ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ 0 ) = ( − 1 , − 1 , 2 )
L 2 L_2 L 2
② (1) 夹角。 cos φ = ∣ − 1 − 2 + 2 ∣ 6 ⋅ 6 = 1 6 \cos\varphi=\dfrac{|-1-2+2|}{\sqrt6\cdot\sqrt6}=\dfrac16 cos φ = 6 ⋅ 6 ∣ − 1 − 2 + 2∣ = 6 1 φ = arccos 1 6 \varphi=\arccos\dfrac16 φ = arccos 6 1
直线夹角取锐角，所以分子加绝对值。
③ (2) 直线上的点和方向。 s = ( 0 , 2 , − 3 ) × ( 1 , − 1 , 0 ) = ( 2 ⋅ 0 − ( − 3 ) ( − 1 ) , − ( 0 ⋅ 0 − ( − 3 ) ⋅ 1 ) , 0 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 1 ) = ( − 3 , − 3 , − 2 ) \vv s=(0,2,-3)\times(1,-1,0)=(2\cdot0-(-3)(-1),\ -(0\cdot0-(-3)\cdot1),\ 0\cdot(-1)-2\cdot1)=(-3,-3,-2) s = ( 0 , 2 , − 3 ) × ( 1 , − 1 , 0 ) = ( 2 ⋅ 0 − ( − 3 ) ( − 1 ) , − ( 0 ⋅ 0 − ( − 3 ) ⋅ 1 ) , 0 ⋅ ( − 1 ) − 2 ⋅ 1 ) = ( − 3 , − 3 , − 2 ) ( 3 , 3 , 2 ) (3,3,2) ( 3 , 3 , 2 ) y = 0 y=0 y = 0 x = 0 x=0 x = 0 z = − 1 z=-1 z = − 1 M 1 ( 0 , 0 , − 1 ) M_1(0,0,-1) M 1 ( 0 , 0 , − 1 )
一般式：方向 = 法向量叉积，点 = 令一个变量取值后解方程组。
④ (2) 叉积公式。 M 1 P 0 → = ( 1 , − 1 , 1 ) \overrightarrow{M_1P_0}=(1,-1,1) M 1 P 0 = ( 1 , − 1 , 1 ) M 1 P 0 → × s = ( ( − 1 ) ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 , − ( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ) , 1 ⋅ 3 − ( − 1 ) ⋅ 3 ) = ( − 5 , 1 , 6 ) \overrightarrow{M_1P_0}\times\vv s=((-1)\cdot2-1\cdot3,\ -(1\cdot2-1\cdot3),\ 1\cdot3-(-1)\cdot3)=(-5,1,6) M 1 P 0 × s = (( − 1 ) ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 , − ( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ) , 1 ⋅ 3 − ( − 1 ) ⋅ 3 ) = ( − 5 , 1 , 6 ) d = 62 22 = 31 11 = 341 11 d=\dfrac{\sqrt{62}}{\sqrt{22}}=\sqrt{\dfrac{31}{11}}=\dfrac{\sqrt{341}}{11} d = 22 62 = 11 31 = 11 341
平行四边形面积 ∣ M 1 P 0 → × s ∣ |\overrightarrow{M_1P_0}\times\vv s| ∣ M 1 P 0 × s ∣ ∣ s ∣ |\vv s| ∣ s ∣ P 0 P_0 P 0 L L L
⑤ (3) 垂足设成参数点。 L L L Q = ( − 1 + 3 t , 1 + 2 t , − t ) Q=(-1+3t,\ 1+2t,\ -t) Q = ( − 1 + 3 t , 1 + 2 t , − t ) P Q → = ( 3 t − 3 , 2 t , − t − 3 ) \overrightarrow{PQ}=(3t-3,\ 2t,\ -t-3) PQ = ( 3 t − 3 , 2 t , − t − 3 ) P Q → ⋅ ( 3 , 2 , − 1 ) = 9 t − 9 + 4 t + t + 3 = 14 t − 6 = 0 \overrightarrow{PQ}\cdot(3,2,-1)=9t-9+4t+t+3=14t-6=0 PQ ⋅ ( 3 , 2 , − 1 ) = 9 t − 9 + 4 t + t + 3 = 14 t − 6 = 0 t = 3 7 t=\dfrac37 t = 7 3
“垂直相交”= 交点在 L L L L L L
⑥ (3) 写方程。 P Q → = ( − 12 7 , 6 7 , − 24 7 ) = − 6 7 ( 2 , − 1 , 4 ) \overrightarrow{PQ}=\Big(-\dfrac{12}7,\dfrac67,-\dfrac{24}7\Big)=-\dfrac67(2,-1,4) PQ = ( − 7 12 , 7 6 , − 7 24 ) = − 7 6 ( 2 , − 1 , 4 ) x − 2 2 = y − 1 − 1 = z − 3 4 \dfrac{x-2}2=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-3}4 2 x − 2 = − 1 y − 1 = 4 z − 3
方向乘 − 7 6 -\frac76 − 6 7 ( 2 , − 1 , 4 ) ⋅ ( 3 , 2 , − 1 ) = 6 − 2 − 4 = 0 (2,-1,4)\cdot(3,2,-1)=6-2-4=0 ( 2 , − 1 , 4 ) ⋅ ( 3 , 2 , − 1 ) = 6 − 2 − 4 = 0
答案：(1) arccos 1 6 \arccos\frac16 arccos 6 1 341 11 \frac{\sqrt{341}}{11} 11 341 x − 2 2 = y − 1 − 1 = z − 3 4 \frac{x-2}2=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}4 2 x − 2 = − 1 y − 1 = 4 z − 3
例 6.11 李林 第十一章 习题 解答(2) · p281、p284
求与两直线
L 1 : x + 2 = 3 − y = z + 1 L_1:x+2=3-y=z+1 L 1 : x + 2 = 3 − y = z + 1 和
L 2 : x + 4 2 = y = z − 4 3 L_2:\dfrac{x+4}2=y=\dfrac{z-4}3 L 2 : 2 x + 4 = y = 3 z − 4 同时垂直相交的直线（公垂线）方程，并求
L 1 L_1 L 1 、
L 2 L_2 L 2 之间的距离。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两条直线的点和方向。 L 1 L_1 L 1 x + 2 = 3 − y = z + 1 = t x+2=3-y=z+1=t x + 2 = 3 − y = z + 1 = t ( x , y , z ) = ( − 2 + t , 3 − t , − 1 + t ) (x,y,z)=(-2+t,\ 3-t,\ -1+t) ( x , y , z ) = ( − 2 + t , 3 − t , − 1 + t ) s 1 = ( 1 , − 1 , 1 ) \vv s_1=(1,-1,1) s 1 = ( 1 , − 1 , 1 ) L 2 L_2 L 2 ( x , y , z ) = ( − 4 + 2 u , u , 4 + 3 u ) (x,y,z)=(-4+2u,\ u,\ 4+3u) ( x , y , z ) = ( − 4 + 2 u , u , 4 + 3 u ) s 2 = ( 2 , 1 , 3 ) \vv s_2=(2,1,3) s 2 = ( 2 , 1 , 3 )
3 − y = t 3-y=t 3 − y = t y = 3 − t y=3-t y = 3 − t y y y − 1 -1 − 1
② 公垂线的方向。 s = s 1 × s 2 = ( ( − 1 ) ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 , − ( 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ) , 1 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ 2 ) = ( − 4 , − 1 , 3 ) \vv s=\vv s_1\times\vv s_2=((-1)\cdot3-1\cdot1,\ -(1\cdot3-1\cdot2),\ 1\cdot1-(-1)\cdot2)=(-4,-1,3) s = s 1 × s 2 = (( − 1 ) ⋅ 3 − 1 ⋅ 1 , − ( 1 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ) , 1 ⋅ 1 − ( − 1 ) ⋅ 2 ) = ( − 4 , − 1 , 3 )
公垂线同时垂直于两条直线，方向就是叉积。
③ 找两个垂足。 连线 P 1 P 2 → = ( − 2 + 2 u − t , − 3 + u + t , 5 + 3 u − t ) \overrightarrow{P_1P_2}=(-2+2u-t,\ -3+u+t,\ 5+3u-t) P 1 P 2 = ( − 2 + 2 u − t , − 3 + u + t , 5 + 3 u − t ) s 1 \vv s_1 s 1 s 2 \vv s_2 s 2 P 1 P 2 → ⋅ s 1 = 6 + 4 u − 3 t = 0 \overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vv s_1=6+4u-3t=0 P 1 P 2 ⋅ s 1 = 6 + 4 u − 3 t = 0 P 1 P 2 → ⋅ s 2 = 8 + 14 u − 4 t = 0 \overrightarrow{P_1P_2}\cdot\vv s_2=8+14u-4t=0 P 1 P 2 ⋅ s 2 = 8 + 14 u − 4 t = 0 t = 2 t=2 t = 2 u = 0 u=0 u = 0 P 1 ( 0 , 1 , 1 ) P_1(0,1,1) P 1 ( 0 , 1 , 1 ) P 2 ( − 4 , 0 , 4 ) P_2(-4,0,4) P 2 ( − 4 , 0 , 4 )
两个垂足各用一个参数；“同时垂直”给出两个方程，正好解出两个参数。
④ 方程与距离。 公垂线 x − 4 = y − 1 − 1 = z − 1 3 \dfrac x{-4}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}3 − 4 x = − 1 y − 1 = 3 z − 1 ∣ P 1 P 2 ∣ = 16 + 1 + 9 = 26 |P_1P_2|=\sqrt{16+1+9}=\sqrt{26} ∣ P 1 P 2 ∣ = 16 + 1 + 9 = 26 M 1 ( − 2 , 3 , − 1 ) M_1(-2,3,-1) M 1 ( − 2 , 3 , − 1 ) M 2 ( − 4 , 0 , 4 ) M_2(-4,0,4) M 2 ( − 4 , 0 , 4 ) ∣ [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] ∣ ∣ s 1 × s 2 ∣ = ∣ ( − 2 , − 3 , 5 ) ⋅ ( − 4 , − 1 , 3 ) ∣ 26 = 26 26 = 26 \dfrac{|[\overrightarrow{M_1M_2}\ \vv s_1\ \vv s_2]|}{|\vv s_1\times\vv s_2|}=\dfrac{|(-2,-3,5)\cdot(-4,-1,3)|}{\sqrt{26}}=\dfrac{26}{\sqrt{26}}=\sqrt{26} ∣ s 1 × s 2 ∣ ∣ [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] ∣ = 26 ∣ ( − 2 , − 3 , 5 ) ⋅ ( − 4 , − 1 , 3 ) ∣ = 26 26 = 26
两个垂足之间的线段就是公垂线段，它的长度就是异面直线的距离；两种算法结果一致。
答案：公垂线 x − 4 = y − 1 − 1 = z − 1 3 \frac x{-4}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}3 − 4 x = − 1 y − 1 = 3 z − 1 26 \sqrt{26} 26
6.6 曲面：柱面、旋转曲面、二次曲面大白话：空间里一个方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 。考研要会三类：柱面 ——方程里缺哪个字母，就沿那根轴无限延伸（空间里的 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1 旋转曲面 ——绕哪根轴转，哪个坐标就不变，另外两个坐标合并成“到轴的距离”；二次曲面 ——六种标准形状，用“截痕法”（用平行于坐标面的平面去切，看截出来的是椭圆、双曲线还是抛物线）来认。
x y z O A (1,0,0)B (0,1,1)L 2013 数一(19)：直线 L L L z z z z z z L L L z z z x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 x^2+y^2=2z^2-2z+1 x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 旋转曲面的写法
坐标面内的曲线绕坐标轴 ：y O z yOz y O z f ( y , z ) = 0 f(y,z)=0 f ( y , z ) = 0 z z z z z z y y y ± x 2 + y 2 \pm\sqrt{x^2+y^2} ± x 2 + y 2 f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0 f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 y y y f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0 f(y,\pm\sqrt{x^2+z^2})=0 f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0 绕谁谁不变，另一个换成 ± 根号平方和 。空间直线（或曲线）绕 z z z ：把母线写成以 z z z x = φ ( z ) x=\varphi(z) x = φ ( z ) y = ψ ( z ) y=\psi(z) y = ψ ( z ) x 2 + y 2 = φ 2 ( z ) + ψ 2 ( z ) x^2+y^2=\varphi^2(z)+\psi^2(z) x 2 + y 2 = φ 2 ( z ) + ψ 2 ( z ) z z z 绕一般的直线 ：点 M M M M M M M M M
x y z O 椭球面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 = 1 x y z O 单叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1 a 2 x 2 + b 2 y 2 − c 2 z 2 = 1 x y z O 双叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1 a 2 x 2 + b 2 y 2 − c 2 z 2 = − 1
x y z O 椭圆抛物面 z = x 2 a 2 + y 2 b 2 z=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} z = a 2 x 2 + b 2 y 2 x y z O 双曲抛物面（马鞍面）z = x 2 a 2 − y 2 b 2 z=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2} z = a 2 x 2 − b 2 y 2 x y z O 二次锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 c 2 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2} a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 z 2
方法卡 · 认曲面、写旋转曲面
什么时候用
“求……绕……旋转所得曲面方程”“下列方程表示什么曲面”。
步骤
认曲面：先看缺不缺字母（缺 ⟹ 柱面）；再看平方项的符号：三正 = 椭球面，两正一负 = 单叶，一正两负 = 双叶，等号右边为 0 = 锥面，有一个变量是一次 = 抛物面。
旋转曲面：母线在坐标面内 ⟹ 用口诀；母线是空间直线 ⟹ 写参数式，用“高度相同、到轴距离相同”消去参数。
检验：母线上取一两个点代入所得方程。 最容易错
绕
z z z 轴旋转时把
z z z 也换掉；母线是空间直线（不在坐标面里）时硬套口诀；把单叶双曲面说成锥面——直线与轴异面时转出单叶双曲面，相交时才是锥面。
例 6.12 李林 第十一章 例 10、例 11 · p279 李林 第十一章 习题 填空(7)、解答(6) · p280—281、p285
求下列旋转曲面的方程：（1）曲线
{ x 2 + 2 z 2 = 4 y = 0 \begin{cases}x^2+2z^2=4\\y=0\end{cases} { x 2 + 2 z 2 = 4 y = 0 绕
z z z 轴；（2）曲线
{ x 2 − y 2 = 2 z = 0 \begin{cases}x^2-y^2=2\\z=0\end{cases} { x 2 − y 2 = 2 z = 0 绕
x x x 轴；（3）直线
L : x − 1 0 = y 1 = z − 1 2 L:\dfrac{x-1}0=\dfrac y1=\dfrac{z-1}2 L : 0 x − 1 = 1 y = 2 z − 1 绕
z z z 轴；（4）直线
{ x = 1 y = z \begin{cases}x=1\\y=z\end{cases} { x = 1 y = z 绕
z z z 轴。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 母线在 x O z xOz x O z z z z z z z x x x ± x 2 + y 2 \pm\sqrt{x^2+y^2} ± x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 x^2+y^2+2z^2=4 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4
旋转时点的高度 z z z z z z x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x 2 + y 2 ∣ x 0 ∣ |x_0| ∣ x 0 ∣
② (2) 母线在 x O y xOy x O y x x x x x x y y y ± y 2 + z 2 \pm\sqrt{y^2+z^2} ± y 2 + z 2 x 2 − ( y 2 + z 2 ) = 2 x^2-(y^2+z^2)=2 x 2 − ( y 2 + z 2 ) = 2
绕谁谁不变；平方以后 ± \pm ±
③ (3) 空间直线：写参数式。 L L L x = 1 x=1 x = 1 y = t y=t y = t z = 1 + 2 t z=1+2t z = 1 + 2 t t = z − 1 2 t=\dfrac{z-1}2 t = 2 z − 1 z z z 1 + t 2 1+t^2 1 + t 2 x 2 + y 2 = 1 + ( z − 1 2 ) 2 x^2+y^2=1+\Big(\dfrac{z-1}2\Big)^2 x 2 + y 2 = 1 + ( 2 z − 1 ) 2 x 2 + y 2 − ( z − 1 2 ) 2 = 1 x^2+y^2-\Big(\dfrac{z-1}2\Big)^2=1 x 2 + y 2 − ( 2 z − 1 ) 2 = 1
L L L
④ (4) 同样的方法。 x = 1 x=1 x = 1 y = z y=z y = z z z z 1 + z 2 1+z^2 1 + z 2 x 2 + y 2 = 1 + z 2 x^2+y^2=1+z^2 x 2 + y 2 = 1 + z 2
这条直线与 z z z x = 1 x=1 x = 1 z z z
答案：(1) x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 x^2+y^2+2z^2=4 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 x 2 − ( y 2 + z 2 ) = 2 x^2-(y^2+z^2)=2 x 2 − ( y 2 + z 2 ) = 2 x 2 + y 2 − ( z − 1 2 ) 2 = 1 x^2+y^2-\big(\frac{z-1}2\big)^2=1 x 2 + y 2 − ( 2 z − 1 ) 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 + z 2 x^2+y^2=1+z^2 x 2 + y 2 = 1 + z 2
例 6.13 2013 数一(19)
设直线
L L L 过
A ( 1 , 0 , 0 ) A(1,0,0) A ( 1 , 0 , 0 ) ，
B ( 0 , 1 , 1 ) B(0,1,1) B ( 0 , 1 , 1 ) 两点，将
L L L 绕
z z z 轴旋转一周得到曲面
Σ \Sigma Σ ，
Σ \Sigma Σ 与平面
z = 0 z=0 z = 0 ，
z = 2 z=2 z = 2 所围成的立体为
Ω \Omega Ω 。（Ⅰ）求曲面
Σ \Sigma Σ 的方程；（Ⅱ）求
Ω \Omega Ω 的形心坐标。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 写出 L L L A B → = ( − 1 , 1 , 1 ) \overrightarrow{AB}=(-1,1,1) A B = ( − 1 , 1 , 1 ) L L L x = 1 − t x=1-t x = 1 − t y = t y=t y = t z = t z=t z = t
直线过点 A A A A B → \overrightarrow{AB} A B t t t t = 0 t=0 t = 0 A A A t = 1 t=1 t = 1 B B B
② (Ⅰ) 高度相同、到轴距离相同。 高度为 z z z t = z t=z t = z z z z ( 1 − z ) 2 + z 2 (1-z)^2+z^2 ( 1 − z ) 2 + z 2 Σ \Sigma Σ x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 x^2+y^2=2z^2-2z+1 x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1
绕 z z z A A A 1 = 1 1=1 1 = 1 B B B 1 = 2 − 2 + 1 1=2-2+1 1 = 2 − 2 + 1
③ (Ⅱ) 形心在轴上。 Ω \Omega Ω z z z x ˉ = y ˉ = 0 \bar x=\bar y=0 x ˉ = y ˉ = 0 A ( z ) = π ( 2 z 2 − 2 z + 1 ) A(z)=\pi(2z^2-2z+1) A ( z ) = π ( 2 z 2 − 2 z + 1 ) V = ∫ 0 2 A ( z ) d z = 10 π 3 V=\displaystyle\int_0^2A(z)\dz=\dfrac{10\pi}3 V = ∫ 0 2 A ( z ) d z = 3 10 π ∫ 0 2 z A ( z ) d z = 14 π 3 \displaystyle\int_0^2zA(z)\dz=\dfrac{14\pi}3 ∫ 0 2 z A ( z ) d z = 3 14 π z ˉ = 7 5 \bar z=\dfrac75 z ˉ = 5 7
（Ⅱ）用的是三重积分的“先二后一”（截面法），这里只把结果写出来，详细做法见三重积分笔记。
答案：(Ⅰ) x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 x^2+y^2=2z^2-2z+1 x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 ( 0 , 0 , 7 5 ) \big(0,0,\frac75\big) ( 0 , 0 , 5 7 )
例 6.14 2025 数一(20)
（节选第一步）设
Σ \Sigma Σ 是由直线
{ x = 0 y = 0 \begin{cases}x=0\\y=0\end{cases} { x = 0 y = 0 绕直线
{ x = t y = t z = t \begin{cases}x=t\\y=t\\z=t\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = t y = t z = t （
t t t 为参数）旋转一周得到的曲面，求
Σ \Sigma Σ 的方程。（原题接着用高斯公式计算
Σ \Sigma Σ 介于平面
x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0 与
x + y + z = 1 x+y+z=1 x + y + z = 1 之间部分的曲面积分，属于曲面积分，本笔记不做。）
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 看清谁绕谁。 母线是 z z z k = ( 0 , 0 , 1 ) \vv k=(0,0,1) k = ( 0 , 0 , 1 ) e = 1 3 ( 1 , 1 , 1 ) \vv e=\dfrac1{\sqrt3}(1,1,1) e = 3 1 ( 1 , 1 , 1 )
两直线相交 ⟹ 锥面；异面 ⟹ 单叶双曲面；平行 ⟹ 圆柱面。
② 母线与轴的夹角不变。 cos θ = k ⋅ e = 1 3 \cos\theta=\vv k\cdot\vv e=\dfrac1{\sqrt3} cos θ = k ⋅ e = 3 1 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M ( x , y , z ) O M → \overrightarrow{OM} OM θ \theta θ π − θ \pi-\theta π − θ ∣ x + y + z ∣ 3 = x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 1 3 \dfrac{|x+y+z|}{\sqrt3}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\cdot\dfrac1{\sqrt3} 3 ∣ x + y + z ∣ = x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3 1
绕轴旋转时，母线上每一点与轴的夹角都不变；取 ∣ cos ∣ |\cos| ∣ cos ∣
③ 平方化简。 ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2 ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 Σ \Sigma Σ x y + y z + z x = 0 xy+yz+zx=0 x y + yz + z x = 0 z z z ( 0 , 0 , c ) (0,0,c) ( 0 , 0 , c )
母线本身一定在旋转面上，用它来检验最方便。
答案：x y + y z + z x = 0 xy+yz+zx=0 x y + yz + z x = 0
例 6.15 李林 第十一章 例 12 · p280
求直线
L : x − 1 1 = y 1 = z − 1 − 1 L:\dfrac{x-1}1=\dfrac y1=\dfrac{z-1}{-1} L : 1 x − 1 = 1 y = − 1 z − 1 在平面
π : x − y + 2 z − 1 = 0 \pi:x-y+2z-1=0 π : x − y + 2 z − 1 = 0 上的投影直线
L 0 L_0 L 0 的方程，并求
L 0 L_0 L 0 绕
y y y 轴旋转一周所得曲面的方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 过 L L L π \pi π L L L x − y − 1 = 0 x-y-1=0 x − y − 1 = 0 y + z − 1 = 0 y+z-1=0 y + z − 1 = 0 x − y − 1 + λ ( y + z − 1 ) = 0 x-y-1+\lambda(y+z-1)=0 x − y − 1 + λ ( y + z − 1 ) = 0 x + ( λ − 1 ) y + λ z − ( 1 + λ ) = 0 x+(\lambda-1)y+\lambda z-(1+\lambda)=0 x + ( λ − 1 ) y + λ z − ( 1 + λ ) = 0
投影直线 = 已知平面 π \pi π L L L π \pi π
② 垂直定 λ \lambda λ 与 π \pi π ( 1 , λ − 1 , λ ) ⋅ ( 1 , − 1 , 2 ) = 1 − λ + 1 + 2 λ = 0 (1,\lambda-1,\lambda)\cdot(1,-1,2)=1-\lambda+1+2\lambda=0 ( 1 , λ − 1 , λ ) ⋅ ( 1 , − 1 , 2 ) = 1 − λ + 1 + 2 λ = 0 λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2 x − 3 y − 2 z + 1 = 0 x-3y-2z+1=0 x − 3 y − 2 z + 1 = 0
两平面垂直 ⟺ 法向量点积为 0。
③ 投影直线的参数式。 L 0 : { x − y + 2 z − 1 = 0 x − 3 y − 2 z + 1 = 0 L_0:\begin{cases}x-y+2z-1=0\\x-3y-2z+1=0\end{cases} L 0 : { x − y + 2 z − 1 = 0 x − 3 y − 2 z + 1 = 0 x = 2 y x=2y x = 2 y z = − 1 2 ( y − 1 ) z=-\dfrac12(y-1) z = − 2 1 ( y − 1 ) y y y x = 2 y x=2y x = 2 y z = − 1 2 ( y − 1 ) z=-\dfrac12(y-1) z = − 2 1 ( y − 1 )
下一步要绕 y y y x x x z z z y y y
④ 绕 y y y y y y y y y x 2 + z 2 = 4 y 2 + 1 4 ( y − 1 ) 2 x^2+z^2=4y^2+\dfrac14(y-1)^2 x 2 + z 2 = 4 y 2 + 4 1 ( y − 1 ) 2 4 x 2 − 17 y 2 + 4 z 2 + 2 y − 1 = 0 4x^2-17y^2+4z^2+2y-1=0 4 x 2 − 17 y 2 + 4 z 2 + 2 y − 1 = 0
绕 y y y y y y x 2 + z 2 \sqrt{x^2+z^2} x 2 + z 2 4 x 2 + 4 z 2 = 16 y 2 + y 2 − 2 y + 1 4x^2+4z^2=16y^2+y^2-2y+1 4 x 2 + 4 z 2 = 16 y 2 + y 2 − 2 y + 1
答案：L 0 : { x − y + 2 z − 1 = 0 x − 3 y − 2 z + 1 = 0 L_0:\begin{cases}x-y+2z-1=0\\x-3y-2z+1=0\end{cases} L 0 : { x − y + 2 z − 1 = 0 x − 3 y − 2 z + 1 = 0 4 x 2 − 17 y 2 + 4 z 2 + 2 y − 1 = 0 4x^2-17y^2+4z^2+2y-1=0 4 x 2 − 17 y 2 + 4 z 2 + 2 y − 1 = 0
例 6.16 李林 第十一章 习题 解答(7) · p281、p285
（1）求顶点在原点、准线为
{ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 z = c \begin{cases}\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\\z=c\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1 z = c （
c ≠ 0 c\ne0 c = 0 ）的锥面方程；（2）说出下列方程表示的曲面：①
x 2 + y 2 = 2 x x^2+y^2=2x x 2 + y 2 = 2 x ；②
x 2 + y 2 − z 2 = 1 x^2+y^2-z^2=1 x 2 + y 2 − z 2 = 1 ；③
x 2 + y 2 − z 2 = − 1 x^2+y^2-z^2=-1 x 2 + y 2 − z 2 = − 1 ；④
z = x 2 − y 2 z=x^2-y^2 z = x 2 − y 2 ；⑤
x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x 2 + y 2 = z 2 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 锥面上的点与准线上的点共线。 设 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M ( x , y , z ) O M OM OM M 1 ( x 1 , y 1 , c ) M_1(x_1,y_1,c) M 1 ( x 1 , y 1 , c ) x x 1 = y y 1 = z c \dfrac x{x_1}=\dfrac y{y_1}=\dfrac zc x 1 x = y 1 y = c z x 1 = c x z x_1=\dfrac{cx}z x 1 = z c x y 1 = c y z y_1=\dfrac{cy}z y 1 = z cy
锥面由过顶点和准线上每一点的直线组成，O O O M M M M 1 M_1 M 1
② (1) 代入准线方程。 c 2 x 2 a 2 z 2 + c 2 y 2 b 2 z 2 = 1 \dfrac{c^2x^2}{a^2z^2}+\dfrac{c^2y^2}{b^2z^2}=1 a 2 z 2 c 2 x 2 + b 2 z 2 c 2 y 2 = 1 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 c 2 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2} a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 z 2
M 1 M_1 M 1 a = b a=b a = b
③ (2) 按方法卡逐个认。 ①缺 z z z ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 (x-1)^2+y^2=1 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 z z z
看缺不缺字母、平方项符号、等号右边是正、负还是 0，这三件事就能认出所有常见二次曲面。
答案：(1) x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 c 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2} a 2 x 2 + b 2 y 2 = c 2 z 2
6.7 空间曲线及其投影大白话：空间曲线有两种写法：两张曲面的交线（方程组），或者参数方程 。往 x O y xOy x O y z z z x , y x,y x , y z = 0 z=0 z = 0
x y z O C (x −1)²+y ²=1 2017 数一(19)：锥面与柱面的交线 C C C z z z x 2 + y 2 = 2 x x^2+y^2=2x x 2 + y 2 = 2 x z = 0 z=0 z = 0 x O y xOy x O y 空间曲线与投影
一般式 ：{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 参数式 ：x = x ( t ) x=x(t) x = x ( t ) y = y ( t ) y=y(t) y = y ( t ) z = z ( t ) z=z(t) z = z ( t ) 往 x O y xOy x O y ：消去 z z z H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H ( x , y ) = 0 { H ( x , y ) = 0 z = 0 \begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases} { H ( x , y ) = 0 z = 0 y O z yOz y O z x x x x O z xOz x O z y y y 投影区域 ：立体或曲面在 x O y xOy x O y
方法卡 · 求投影曲线
什么时候用
“求曲线在某坐标面上的投影”“求立体在
x O y xOy x O y 面上的投影区域”。
步骤
往哪个面投影，就消去不在那个面里的变量（x O y xOy x O y z z z
消元：一个方程能解出 z z z z 2 z^2 z 2
结果写成“柱面方程 + 坐标面方程”的方程组；注意消元前的范围限制（如 z ≥ 0 z\ge0 z ≥ 0 最容易错
只写
H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H ( x , y ) = 0 不写
z = 0 z=0 z = 0 （那是柱面，不是曲线）；往
x O z xOz x O z 面投影却消去了
z z z 。
例 6.17 李林 第十一章 例 9 · p279 李林 第十一章 习题 填空(4) · p280、p283
（1）求曲线
{ z = 2 x 2 + 3 y 2 z = 12 − x 2 − 3 y 2 \begin{cases}z=2x^2+3y^2\\z=12-x^2-3y^2\end{cases} { z = 2 x 2 + 3 y 2 z = 12 − x 2 − 3 y 2 在
x O y xOy x O y 面上的投影柱面方程与投影曲线方程；（2）求曲线
L : { x 2 + y 2 − 2 ( z − x ) = 0 x + y − z = 0 L:\begin{cases}x^2+y^2-2(z-x)=0\\x+y-z=0\end{cases} L : { x 2 + y 2 − 2 ( z − x ) = 0 x + y − z = 0 在
x O y xOy x O y 面上的投影曲线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 两式相等消去 z z z 2 x 2 + 3 y 2 = 12 − x 2 − 3 y 2 2x^2+3y^2=12-x^2-3y^2 2 x 2 + 3 y 2 = 12 − x 2 − 3 y 2 3 x 2 + 6 y 2 = 12 3x^2+6y^2=12 3 x 2 + 6 y 2 = 12 x 2 4 + y 2 2 = 1 \dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1 4 x 2 + 2 y 2 = 1
两个方程都是“z = ⋯ z=\cdots z = ⋯ z z z
② (1) 投影曲线。 { x 2 4 + y 2 2 = 1 z = 0 \begin{cases}\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1\\z=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 4 x 2 + 2 y 2 = 1 z = 0
柱面与 x O y xOy x O y
③ (2) 代入消元。 由第二式 z = x + y z=x+y z = x + y x 2 + y 2 − 2 ( x + y − x ) = 0 x^2+y^2-2(x+y-x)=0 x 2 + y 2 − 2 ( x + y − x ) = 0 x 2 + y 2 = 2 y x^2+y^2=2y x 2 + y 2 = 2 y { x 2 + y 2 = 2 y z = 0 \begin{cases}x^2+y^2=2y\\z=0\end{cases} { x 2 + y 2 = 2 y z = 0
能从一个方程解出 z z z
答案：(1) 投影柱面 x 2 4 + y 2 2 = 1 \frac{x^2}4+\frac{y^2}2=1 4 x 2 + 2 y 2 = 1 x 2 4 + y 2 2 = 1 , z = 0 \frac{x^2}4+\frac{y^2}2=1,\ z=0 4 x 2 + 2 y 2 = 1 , z = 0 x 2 + y 2 = 2 y , z = 0 x^2+y^2=2y,\ z=0 x 2 + y 2 = 2 y , z = 0
例 6.18 2017 数一(19)
设薄片型物体
S S S 是圆锥面
z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z = x 2 + y 2 被柱面
z 2 = 2 x z^2=2x z 2 = 2 x 割下的有限部分，其上任一点的密度为
μ ( x , y , z ) = 9 x 2 + y 2 + z 2 \mu(x,y,z)=9\sqrt{x^2+y^2+z^2} μ ( x , y , z ) = 9 x 2 + y 2 + z 2 。记圆锥面与柱面的交线为
C C C 。（Ⅰ）求
C C C 在
x O y xOy x O y 平面上的投影曲线的方程；（Ⅱ）求
S S S 的质量
M M M 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 消去 z z z C C C { z = x 2 + y 2 z 2 = 2 x \begin{cases}z=\sqrt{x^2+y^2}\\z^2=2x\end{cases} { z = x 2 + y 2 z 2 = 2 x z 2 = x 2 + y 2 z^2=x^2+y^2 z 2 = x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 2 x x^2+y^2=2x x 2 + y 2 = 2 x
两个方程都能写出 z 2 z^2 z 2 z z z
② (Ⅰ) 投影曲线。 { ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 z = 0 \begin{cases}(x-1)^2+y^2=1\\z=0\end{cases} { ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 z = 0 x O y xOy x O y ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 )
配方看出是圆；投影曲线必须带上 z = 0 z=0 z = 0
③ (Ⅱ) 结果。 S S S x O y xOy x O y D D D d S = 2 d x d y \dd S=\sqrt2\dx\dy d S = 2 d x d y μ = 9 2 x 2 + y 2 \mu=9\sqrt2\sqrt{x^2+y^2} μ = 9 2 x 2 + y 2 M = 18 ∬ D x 2 + y 2 d x d y = 18 ∫ − π / 2 π / 2 d θ ∫ 0 2 cos θ r 2 d r = 64 M=18\displaystyle\iint_D\sqrt{x^2+y^2}\dx\dy=18\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\dth\int_0^{2\cos\theta}r^2\,\dd r=64 M = 18 ∬ D x 2 + y 2 d x d y = 18 ∫ − π /2 π /2 d θ ∫ 0 2 c o s θ r 2 d r = 64
（Ⅱ）属于曲面积分，这里只是说明（Ⅰ）的投影在后面有什么用：它就是积分区域的边界。
答案：(Ⅰ) ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 , z = 0 (x-1)^2+y^2=1,\ z=0 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 , z = 0 M = 64 M=64 M = 64
例 6.19 李林 第十一章 习题 填空(8) · p280、p283
求椭圆抛物面
y 2 + z 2 = x y^2+z^2=x y 2 + z 2 = x 与平面
x + 2 y − z = 0 x+2y-z=0 x + 2 y − z = 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 投到 x O y xOy x O y z z z z = x + 2 y z=x+2y z = x + 2 y y 2 + ( x + 2 y ) 2 = x y^2+(x+2y)^2=x y 2 + ( x + 2 y ) 2 = x x 2 + 4 x y + 5 y 2 = x x^2+4xy+5y^2=x x 2 + 4 x y + 5 y 2 = x { x 2 + 4 x y + 5 y 2 = x z = 0 \begin{cases}x^2+4xy+5y^2=x\\z=0\end{cases} { x 2 + 4 x y + 5 y 2 = x z = 0
平面方程最简单，从它解出要消去的变量再代入。
② 投到 x O z xOz x O z y y y y = z − x 2 y=\dfrac{z-x}2 y = 2 z − x ( z − x ) 2 4 + z 2 = x \dfrac{(z-x)^2}4+z^2=x 4 ( z − x ) 2 + z 2 = x x 2 − 2 x z + 5 z 2 = 4 x x^2-2xz+5z^2=4x x 2 − 2 x z + 5 z 2 = 4 x { x 2 − 2 x z + 5 z 2 = 4 x y = 0 \begin{cases}x^2-2xz+5z^2=4x\\y=0\end{cases} { x 2 − 2 x z + 5 z 2 = 4 x y = 0
往 x O z xOz x O z y y y y = 0 y=0 y = 0
③ 投到 y O z yOz y O z x x x x = z − 2 y x=z-2y x = z − 2 y y 2 + z 2 = z − 2 y y^2+z^2=z-2y y 2 + z 2 = z − 2 y { y 2 + z 2 = z − 2 y x = 0 \begin{cases}y^2+z^2=z-2y\\x=0\end{cases} { y 2 + z 2 = z − 2 y x = 0
配方：( y + 1 ) 2 + ( z − 1 2 ) 2 = 5 4 (y+1)^2+(z-\frac12)^2=\frac54 ( y + 1 ) 2 + ( z − 2 1 ) 2 = 4 5 y O z yOz y O z
答案：x O y xOy x O y x 2 + 4 x y + 5 y 2 = x , z = 0 x^2+4xy+5y^2=x,\ z=0 x 2 + 4 x y + 5 y 2 = x , z = 0 x O z xOz x O z x 2 − 2 x z + 5 z 2 = 4 x , y = 0 x^2-2xz+5z^2=4x,\ y=0 x 2 − 2 x z + 5 z 2 = 4 x , y = 0 y O z yOz y O z y 2 + z 2 = z − 2 y , x = 0 y^2+z^2=z-2y,\ x=0 y 2 + z 2 = z − 2 y , x = 0
6.8 小结
题目里的说法 换成什么 例子
同时垂直于两个向量、求面积 叉积；面积 = 叉积的模（三角形取一半） 例 6.2 三个向量共面 混合积（三阶行列式）为 0 例 6.3 求平面：一点 + 两个方向 n \vv n n 例 6.4 过一条（一般式）直线的平面 平面束，最后检查第二个平面本身 例 6.5 一般式直线化对称式 s = n 1 × n 2 \vv s=\vv n_1\times\vv n_2 s = n 1 × n 2 例 6.6 过定点、与已知直线相交 交点设成参数点 Q ( t ) Q(t) Q ( t ) 例 6.7 、例 6.9 夹角、点到直线距离、垂直相交 向量夹角；叉积 ÷ 底；垂足设参数 例 6.10 公垂线、异面直线距离 方向 s 1 × s 2 \vv s_1\times\vv s_2 s 1 × s 2 例 6.11 三个平面的位置关系 法向量管 r ( A ) r(\boldsymbol A) r ( A ) r ( A ˉ ) r(\bar{\boldsymbol A}) r ( A ˉ ) 例 6.8 绕坐标轴旋转（母线在坐标面内） 绕谁谁不变，另一个换成 ± 根号平方和 例 6.12 空间直线绕轴旋转 同一高度上到轴距离不变；绕斜轴用夹角不变 例 6.13 、例 6.14 投影直线、投影曲线 平面束求投影平面；消元 + 补坐标面方程 例 6.15 、例 6.17 、例 6.18
学完了，标记这一部分
第 7 部分
多元函数：极限、偏导数与全微分
从这一部分开始讲多元：函数变成一张曲面，极限要“四面八方”都成立，导数分成对 x x x y y y
考试要求（大纲原文，李林讲义第八章第 1—3 条）
理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
对应李林讲义第八章第一节“多元函数微分学的基本概念”（p183—187）。这一部分的真题几乎都是选择题：判断极限、偏导、可微之间的关系，或者由全微分反求函数。数二、数三考得比数一还多，下面一起收进来。
7.1 二元函数：一张曲面大白话：二元函数就是“输入两个数，输出一个数” ：z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) ( x , y ) (x,y) ( x , y ) z z z ( x , y , f ( x , y ) ) (x,y,f(x,y)) ( x , y , f ( x , y )) 等高线 就是把高度相同的点连起来：f ( x , y ) = c f(x,y)=c f ( x , y ) = c
x y z O 高度 1.9 xOy 面上的等高线把高度 z = c z=c z = c x O y xOy x O y f ( x , y ) = c f(x,y)=c f ( x , y ) = c 二元函数的基本概念
定义域 ：使式子有意义的 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) ≥ 0 \ge0 ≥ 0 > 0 >0 > 0 ≠ 0 \ne0 = 0 图像 ：空间曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 等高线 ：x O y xOy x O y f ( x , y ) = c f(x,y)=c f ( x , y ) = c 有界闭区域上的连续函数 （与闭区间上连续函数一样）：有界；能取到最大值和最小值；能取到最大值与最小值之间的任何值。第 10 部分求闭区域上的最值就靠它保证“最值一定存在”。
方法卡 · 定义域与图形
什么时候用
求定义域、画区域、认曲面（后面二重积分、极值都要先画区域）。
步骤
把每个限制条件写成不等式，一个条件对应平面上的一块区域。
所有条件取交集，注意边界取不取得到（“≥ \ge ≥ > > >
认曲面用第 6 部分的方法：配方、看平方项符号。 最容易错
只写一个条件漏了其他条件；把“对数里
> 0 >0 > 0 ”写成“
≥ 0 \ge0 ≥ 0 ”。
例 7.1 基础
（1）求
z = 4 − x 2 − y 2 z=\sqrt{4-x^2-y^2} z = 4 − x 2 − y 2 的定义域，并说出它的图形；（2）求
z = ln ( y − x 2 ) + 1 − x 2 − y 2 z=\ln(y-x^2)+\sqrt{1-x^2-y^2} z = ln ( y − x 2 ) + 1 − x 2 − y 2 的定义域；（3）说出
z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 的等高线。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 根号下非负。 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 4-x^2-y^2\ge0 4 − x 2 − y 2 ≥ 0 x 2 + y 2 ≤ 4 x^2+y^2\le4 x 2 + y 2 ≤ 4
根号里的式子必须 ≥ 0 \ge0 ≥ 0
② (1) 图形。 z ≥ 0 z\ge0 z ≥ 0 z 2 = 4 − x 2 − y 2 z^2=4-x^2-y^2 z 2 = 4 − x 2 − y 2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x^2+y^2+z^2=4 x 2 + y 2 + z 2 = 4
平方后得到球面方程，再用 z ≥ 0 z\ge0 z ≥ 0
③ (2) 两个条件取交集。 对数：y − x 2 > 0 y-x^2>0 y − x 2 > 0 y > x 2 y>x^2 y > x 2 x 2 + y 2 ≤ 1 x^2+y^2\le1 x 2 + y 2 ≤ 1 y = x 2 y=x^2 y = x 2
两个式子都要有意义，所以取交集；对数要求真数严格大于 0。
④ (3) 等高线。 x 2 + y 2 = c x^2+y^2=c x 2 + y 2 = c c > 0 c>0 c > 0 c \sqrt c c c = 0 c=0 c = 0 c < 0 c<0 c < 0
高度相同的点满足 f ( x , y ) = c f(x,y)=c f ( x , y ) = c c c c
答案：(1) x 2 + y 2 ≤ 4 x^2+y^2\le4 x 2 + y 2 ≤ 4 { ( x , y ) ∣ y > x 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 } \{(x,y)\mid y>x^2,\ x^2+y^2\le1\} {( x , y ) ∣ y > x 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 } x 2 + y 2 = c ( c > 0 ) x^2+y^2=c\ (c>0) x 2 + y 2 = c ( c > 0 )
7.2 二重极限与连续：四面八方都要趋于同一个数大白话：一元函数 x → x 0 x\to x_0 x → x 0 ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) (x,y)\to(x_0,y_0) ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) 必须沿所有路径都趋于同一个数，二重极限才存在 。所以：要证明不存在 ，找两条路径得到不同的值就够了（最常用 y = k x y=kx y = k x 存在 ，就用夹逼——把式子放大成只含 ρ = x 2 + y 2 \rho=\sqrt{x^2+y^2} ρ = x 2 + y 2
x y z O y =x 上：高 1/2x 轴上：高 0y =−x 上：高 −1/2f = x y x 2 + y 2 f=\dfrac{xy}{x^2+y^2} f = x 2 + y 2 x y y = k x y=kx y = k x k 1 + k 2 \dfrac k{1+k^2} 1 + k 2 k y = x y=x y = x 1 2 \frac12 2 1 x x x 二重极限与连续
定义 ：lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = A \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) lim f ( x , y ) = A ( x , y ) (x,y) ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) A A A 不存在 ：两条路径极限不同，或某条路径上极限不存在。常用路径 y = k x y=kx y = k x y = k x 2 y=kx^2 y = k x 2 x = 0 x=0 x = 0 存在 ：夹逼（如 ∣ x y ∣ ≤ 1 2 ( x 2 + y 2 ) |xy|\le\frac12(x^2+y^2) ∣ x y ∣ ≤ 2 1 ( x 2 + y 2 ) ∣ x x 2 + y 2 ∣ ≤ 1 \big|\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\big|\le1 x 2 + y 2 x ≤ 1 x y xy x y 连续 ：lim ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) lim f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) 累次极限 lim y → y 0 lim x → x 0 f \lim\limits_{y\to y_0}\lim\limits_{x\to x_0}f y → y 0 lim x → x 0 lim f x x x y y y
方法卡 · 二重极限
什么时候用
判断二重极限是否存在、求二重极限、判断连续。
步骤
先猜：分子分母“次数”相同（如 x y x 2 + y 2 \frac{xy}{x^2+y^2} x 2 + y 2 x y x 2 y x 2 + y 2 \frac{x^2y}{x^2+y^2} x 2 + y 2 x 2 y
猜不存在：代 y = k x y=kx y = k x y = k x 2 y=kx^2 y = k x 2 k k k
猜存在：放缩成 ρ \rho ρ 最容易错
只验证沿
y = k x y=kx y = k x 极限都相同就断定极限存在（沿抛物线可能不同）；照搬洛必达。
例 7.2 李林 第八章 §1 · p183—184
（1）求
lim x → 0 y → π [ 1 + sin ( x y ) ] y x \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to\pi}}[1+\sin(xy)]^{\frac yx} x → 0 y → π lim [ 1 + sin ( x y ) ] x y ；（2）求
lim x → ∞ y → ∞ x 2 x 4 + y 4 \lim\limits_{\substack{x\to\infty\\y\to\infty}}\dfrac{x^2}{x^4+y^4} x → ∞ y → ∞ lim x 4 + y 4 x 2 ；（3）证明
lim x → 0 y → 0 x y x 2 + y 2 \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{xy}{x^2+y^2} x → 0 y → 0 lim x 2 + y 2 x y 不存在；（4）证明
lim x → 0 y → 0 x y x 2 + y 2 = 0 \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 x → 0 y → 0 lim x 2 + y 2 x y = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 凑成 1 ∞ 1^\infty 1 ∞ [ 1 + sin ( x y ) ] y x = { [ 1 + sin ( x y ) ] 1 sin ( x y ) } y sin ( x y ) x [1+\sin(xy)]^{\frac yx}=\Big\{[1+\sin(xy)]^{\frac1{\sin(xy)}}\Big\}^{\frac{y\sin(xy)}x} [ 1 + sin ( x y ) ] x y = { [ 1 + sin ( x y ) ] s i n ( x y ) 1 } x y s i n ( x y ) x y → 0 xy\to0 x y → 0 → e \to\e → e y sin ( x y ) x = y 2 ⋅ sin ( x y ) x y → π 2 ⋅ 1 \dfrac{y\sin(xy)}x=y^2\cdot\dfrac{\sin(xy)}{xy}\to\pi^2\cdot1 x y sin ( x y ) = y 2 ⋅ x y sin ( x y ) → π 2 ⋅ 1 e π 2 \e^{\pi^2} e π 2
把 x y xy x y u → 0 u\to0 u → 0 ( 1 + sin u ) 1 / sin u → e (1+\sin u)^{1/\sin u}\to\e ( 1 + sin u ) 1/ s i n u → e sin u u → 1 \frac{\sin u}u\to1 u s i n u → 1
② (2) 夹逼。 0 ≤ x 2 x 4 + y 4 ≤ x 2 x 4 = 1 x 2 → 0 0\le\dfrac{x^2}{x^4+y^4}\le\dfrac{x^2}{x^4}=\dfrac1{x^2}\to0 0 ≤ x 4 + y 4 x 2 ≤ x 4 x 2 = x 2 1 → 0
分母去掉 y 4 y^4 y 4
③ (3) 找两条路径。 沿 y = k x y=kx y = k x x ⋅ k x x 2 + k 2 x 2 = k 1 + k 2 \dfrac{x\cdot kx}{x^2+k^2x^2}=\dfrac k{1+k^2} x 2 + k 2 x 2 x ⋅ k x = 1 + k 2 k k k k k = 0 k=0 k = 0 k = 1 k=1 k = 1 1 2 \frac12 2 1
不同路径趋于不同的数，极限就不存在（图 7.2）。
④ (4) 无穷小乘有界。 x y x 2 + y 2 = x ⋅ y x 2 + y 2 \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=x\cdot\dfrac y{\sqrt{x^2+y^2}} x 2 + y 2 x y = x ⋅ x 2 + y 2 y ∣ y x 2 + y 2 ∣ ≤ 1 \Big|\dfrac y{\sqrt{x^2+y^2}}\Big|\le1 x 2 + y 2 y ≤ 1 x → 0 x\to0 x → 0
分子比分母“高一次”，把多出来的 x x x
答案：(1) e π 2 \e^{\pi^2} e π 2 y = k x y=kx y = k x k 1 + k 2 \frac k{1+k^2} 1 + k 2 k k k k x ⋅ y x 2 + y 2 x\cdot\frac y{\sqrt{x^2+y^2}} x ⋅ x 2 + y 2 y
例 7.3 ep 板书 · 多元 4.1 二重极限与累次极限
（1）对
f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 x y ，求两个累次极限
lim y → 0 lim x → 0 f \lim\limits_{y\to0}\lim\limits_{x\to0}f y → 0 lim x → 0 lim f 、
lim x → 0 lim y → 0 f \lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{y\to0}f x → 0 lim y → 0 lim f ，并与二重极限比较；（2）对
g ( x , y ) = ( x + y ) sin 1 x sin 1 y g(x,y)=(x+y)\sin\dfrac1x\sin\dfrac1y g ( x , y ) = ( x + y ) sin x 1 sin y 1 （
x y ≠ 0 xy\ne0 x y = 0 ），讨论二重极限
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) g \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}g ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim g 与累次极限
lim x → 0 lim y → 0 g \lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{y\to0}g x → 0 lim y → 0 lim g 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 累次极限都存在。 固定 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 lim x → 0 x y x 2 + y 2 = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{xy}{x^2+y^2}=0 x → 0 lim x 2 + y 2 x y = 0 y → 0 y\to0 y → 0
先让一个变量走到头，另一个变量此时还是固定的非零数，分子 → 0 \to0 → 0
② (1) 但二重极限不存在。 上一题（3）已证明沿 y = k x y=kx y = k x k 1 + k 2 \frac k{1+k^2} 1 + k 2 k
累次极限只是“先横着走、再竖着走”这一种走法。
③ (2) 二重极限存在。 ∣ g ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ → 0 |g|\le|x|+|y|\to0 ∣ g ∣ ≤ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ → 0
∣ sin ∣ ≤ 1 |\sin|\le1 ∣ sin ∣ ≤ 1 ∣ g ∣ |g| ∣ g ∣ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣
④ (2) 累次极限不存在。 固定 x x x sin 1 x ≠ 0 \sin\frac1x\ne0 sin x 1 = 0 lim y → 0 g = lim y → 0 [ x sin 1 x sin 1 y + y sin 1 x sin 1 y ] \lim\limits_{y\to0}g=\lim\limits_{y\to0}\Big[x\sin\dfrac1x\sin\dfrac1y+y\sin\dfrac1x\sin\dfrac1y\Big] y → 0 lim g = y → 0 lim [ x sin x 1 sin y 1 + y sin x 1 sin y 1 ] → 0 \to0 → 0 sin 1 y \sin\frac1y sin y 1
里层极限都不存在，累次极限自然不存在；这说明二重极限存在也推不出累次极限存在。
答案：(1) 两个累次极限都是 0，二重极限不存在；(2) 二重极限为 0，累次极限不存在。二重极限与累次极限互不推出
7.3 偏导数：只让一个变量动大白话：偏导数就是把另一个变量当成常数，只对一个变量求一元导数 。几何上：用平面 y = y 0 y=y_0 y = y 0 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) f x ( x 0 , y 0 ) 先代后求 （把不求导的那个变量先代成数，变成一元函数再求导，最省事）、先求后代 （公式法求出偏导函数再代点）、用定义 （分段点、带绝对值、公式在该点“代不进去”时）。
x y z O P (x 0 , y 0 ) 切线斜率 = f x ( x 0 , y 0 ) 平面 y =y 0 截出的曲线 偏导数的几何意义：f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) f x ( x 0 , y 0 ) y = y 0 y=y_0 y = y 0 P P P f y f_y f y x = x 0 x=x_0 x = x 0 偏导数
定义 ：f x ( x 0 , y 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x f_x(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} f x ( x 0 , y 0 ) = Δ x → 0 lim Δ x f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) = lim Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y f_y(x_0,y_0)=\lim\limits_{\Delta y\to0}\dfrac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} f y ( x 0 , y 0 ) = Δ y → 0 lim Δ y f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) 先代后求 ：f x ( x 0 , y 0 ) = d d x f ( x , y 0 ) ∣ x = x 0 f_x(x_0,y_0)=\dfrac{\dd}{\dd x}f(x,y_0)\Big|_{x=x_0} f x ( x 0 , y 0 ) = d x d f ( x , y 0 ) x = x 0 记号 ：f x = ∂ f ∂ x = f x ′ = z x f_x=\dfrac{\pd f}{\pd x}=f'_x=z_x f x = ∂ x ∂ f = f x ′ = z x f x x = ∂ 2 f ∂ x 2 f_{xx}=\dfrac{\pd^2f}{\pd x^2} f xx = ∂ x 2 ∂ 2 f f x y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y f_{xy}=\dfrac{\pd^2f}{\pd x\pd y} f x y = ∂ x ∂ y ∂ 2 f x x x y y y 混合偏导相等 ：f x y f_{xy} f x y f y x f_{yx} f y x
方法卡 · 求偏导数
什么时候用
求偏导函数、求某一点的偏导数值、判断偏导数存在。
步骤
求偏导函数：把其他变量当常数，用一元的求导公式。
求某点的值：先代后求——令 y = y 0 y=y_0 y = y 0 f ( x , y 0 ) f(x,y_0) f ( x , y 0 ) x x x
遇到分段点、绝对值、抽象函数，或公式在该点分母为 0：回到定义算差商的极限。 最容易错
把要求导的那个变量也先代成数（结果全变成 0）；分段点直接用公式求导；以为“偏导存在”就意味着连续。
例 7.4 李林 第八章 §2 例 1 · p188
设
z = 1 2 ln ( x 2 + y 2 ) + arctan y x z=\dfrac12\ln(x^2+y^2)+\arctan\dfrac yx z = 2 1 ln ( x 2 + y 2 ) + arctan x y ，求
∂ z ∂ x ∣ ( 1 , 1 ) \dfrac{\pd z}{\pd x}\Big|_{(1,1)} ∂ x ∂ z ( 1 , 1 ) ，
∂ z ∂ y ∣ ( 1 , 1 ) \dfrac{\pd z}{\pd y}\Big|_{(1,1)} ∂ y ∂ z ( 1 , 1 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先求后代：对 x x x ∂ z ∂ x = 1 2 ⋅ 2 x x 2 + y 2 + 1 1 + y 2 x 2 ⋅ ( − y x 2 ) = x − y x 2 + y 2 \dfrac{\pd z}{\pd x}=\dfrac12\cdot\dfrac{2x}{x^2+y^2}+\dfrac1{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\Big(-\dfrac y{x^2}\Big)=\dfrac{x-y}{x^2+y^2} ∂ x ∂ z = 2 1 ⋅ x 2 + y 2 2 x + 1 + x 2 y 2 1 ⋅ ( − x 2 y ) = x 2 + y 2 x − y
y y y arctan y x \arctan\frac yx arctan x y y x \frac yx x y x x x − y x 2 -\frac y{x^2} − x 2 y
② 先求后代：对 y y y ∂ z ∂ y = y x 2 + y 2 + 1 1 + y 2 x 2 ⋅ 1 x = x + y x 2 + y 2 \dfrac{\pd z}{\pd y}=\dfrac y{x^2+y^2}+\dfrac1{1+\frac{y^2}{x^2}}\cdot\dfrac1x=\dfrac{x+y}{x^2+y^2} ∂ y ∂ z = x 2 + y 2 y + 1 + x 2 y 2 1 ⋅ x 1 = x 2 + y 2 x + y
x x x y x \frac yx x y y y y 1 x \frac1x x 1
③ 先代后求验算。 z ( x , 1 ) = 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + arctan 1 x z(x,1)=\dfrac12\ln(x^2+1)+\arctan\dfrac1x z ( x , 1 ) = 2 1 ln ( x 2 + 1 ) + arctan x 1 x x 2 + 1 − 1 x 2 + 1 \dfrac x{x^2+1}-\dfrac1{x^2+1} x 2 + 1 x − x 2 + 1 1 x = 1 x=1 x = 1 z ( 1 , y ) = 1 2 ln ( 1 + y 2 ) + arctan y z(1,y)=\dfrac12\ln(1+y^2)+\arctan y z ( 1 , y ) = 2 1 ln ( 1 + y 2 ) + arctan y y + 1 1 + y 2 \dfrac{y+1}{1+y^2} 1 + y 2 y + 1 y = 1 y=1 y = 1
只求一个点的值时，先代后求更快，而且不容易出错。
答案：z x ( 1 , 1 ) = 0 z_x(1,1)=0 z x ( 1 , 1 ) = 0 z y ( 1 , 1 ) = 1 z_y(1,1)=1 z y ( 1 , 1 ) = 1
例 7.5 李林 第八章 §1 · p184—185 ep 板书 · 先代后求
（1）讨论
f ( x , y ) = e x 2 + y 4 f(x,y)=\e^{\sqrt{x^2+y^4}} f ( x , y ) = e x 2 + y 4 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处的偏导数；（2）设
f ( x , y ) = x + ( y − 1 ) arcsin x y f(x,y)=x+(y-1)\arcsin\sqrt{\dfrac xy} f ( x , y ) = x + ( y − 1 ) arcsin y x ，求
f x ( x , 1 ) f_x(x,1) f x ( x , 1 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 为什么要用定义。 公式 f x = e x 2 + y 4 ⋅ x x 2 + y 4 f_x=\e^{\sqrt{x^2+y^4}}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^4}} f x = e x 2 + y 4 ⋅ x 2 + y 4 x ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
公式算出的是偏导函数在一般点的表达式，在“坏点”不一定适用。
② (1) f x ( 0 , 0 ) f_x(0,0) f x ( 0 , 0 ) f ( Δ x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) Δ x = e ∣ Δ x ∣ − 1 Δ x ∼ ∣ Δ x ∣ Δ x \dfrac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=\dfrac{\e^{|\Delta x|}-1}{\Delta x}\sim\dfrac{|\Delta x|}{\Delta x} Δ x f ( Δ x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) = Δ x e ∣Δ x ∣ − 1 ∼ Δ x ∣Δ x ∣ − 1 -1 − 1 f x ( 0 , 0 ) f_x(0,0) f x ( 0 , 0 )
( Δ x ) 2 = ∣ Δ x ∣ \sqrt{(\Delta x)^2}=|\Delta x| ( Δ x ) 2 = ∣Δ x ∣ e u − 1 ∼ u \e^u-1\sim u e u − 1 ∼ u ∣ Δ x ∣ Δ x \frac{|\Delta x|}{\Delta x} Δ x ∣Δ x ∣
③ (1) f y ( 0 , 0 ) = 0 f_y(0,0)=0 f y ( 0 , 0 ) = 0 f ( 0 , Δ y ) − f ( 0 , 0 ) Δ y = e ( Δ y ) 2 − 1 Δ y ∼ ( Δ y ) 2 Δ y = Δ y → 0 \dfrac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=\dfrac{\e^{(\Delta y)^2}-1}{\Delta y}\sim\dfrac{(\Delta y)^2}{\Delta y}=\Delta y\to0 Δ y f ( 0 , Δ y ) − f ( 0 , 0 ) = Δ y e ( Δ y ) 2 − 1 ∼ Δ y ( Δ y ) 2 = Δ y → 0
( Δ y ) 4 = ( Δ y ) 2 \sqrt{(\Delta y)^4}=(\Delta y)^2 ( Δ y ) 4 = ( Δ y ) 2
④ (2) 先代后求。 令 y = 1 y=1 y = 1 f ( x , 1 ) = x + 0 = x f(x,1)=x+0=x f ( x , 1 ) = x + 0 = x f x ( x , 1 ) = 1 f_x(x,1)=1 f x ( x , 1 ) = 1
要对 x x x y = 1 y=1 y = 1 ( y − 1 ) = 0 (y-1)=0 ( y − 1 ) = 0
答案：(1) f x ( 0 , 0 ) f_x(0,0) f x ( 0 , 0 ) f y ( 0 , 0 ) = 0 f_y(0,0)=0 f y ( 0 , 0 ) = 0 f x ( x , 1 ) = 1 f_x(x,1)=1 f x ( x , 1 ) = 1
例 7.6 2023 数三(1)
已知函数
f ( x , y ) = ln ( y + ∣ x sin y ∣ ) f(x,y)=\ln(y+|x\sin y|) f ( x , y ) = ln ( y + ∣ x sin y ∣ ) ，则（ ）
（A）
∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 1 ) \dfrac{\pd f}{\pd x}\Big|_{(0,1)} ∂ x ∂ f ( 0 , 1 ) 不存在，
∂ f ∂ y ∣ ( 0 , 1 ) \dfrac{\pd f}{\pd y}\Big|_{(0,1)} ∂ y ∂ f ( 0 , 1 ) 存在 （B）
∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 1 ) \dfrac{\pd f}{\pd x}\Big|_{(0,1)} ∂ x ∂ f ( 0 , 1 ) 存在，
∂ f ∂ y ∣ ( 0 , 1 ) \dfrac{\pd f}{\pd y}\Big|_{(0,1)} ∂ y ∂ f ( 0 , 1 ) 不存在
（C）两个都存在 （D）两个都不存在
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 对 x x x y = 1 y=1 y = 1 f ( x , 1 ) = ln ( 1 + ∣ x ∣ sin 1 ) f(x,1)=\ln(1+|x|\sin1) f ( x , 1 ) = ln ( 1 + ∣ x ∣ sin 1 ) ln ( 1 + ∣ x ∣ sin 1 ) x ∼ ∣ x ∣ sin 1 x \dfrac{\ln(1+|x|\sin1)}x\sim\dfrac{|x|\sin1}x x ln ( 1 + ∣ x ∣ sin 1 ) ∼ x ∣ x ∣ sin 1 sin 1 \sin1 sin 1 − sin 1 -\sin1 − sin 1 f x ( 0 , 1 ) f_x(0,1) f x ( 0 , 1 )
x x x sin 1 ≠ 0 \sin1\ne0 sin 1 = 0
② 对 y y y x = 0 x=0 x = 0 f ( 0 , y ) = ln y f(0,y)=\ln y f ( 0 , y ) = ln y f y ( 0 , 1 ) = 1 y ∣ y = 1 = 1 f_y(0,1)=\dfrac1y\Big|_{y=1}=1 f y ( 0 , 1 ) = y 1 y = 1 = 1
x = 0 x=0 x = 0
答案：A
例 7.7 2016 数二(6) 2016 数三(2)
已知函数
f ( x , y ) = e x x − y f(x,y)=\dfrac{\e^x}{x-y} f ( x , y ) = x − y e x ，则（ ）
（A）
f x ′ − f y ′ = 0 f'_x-f'_y=0 f x ′ − f y ′ = 0 （B）
f x ′ + f y ′ = 0 f'_x+f'_y=0 f x ′ + f y ′ = 0 （C）
f x ′ − f y ′ = f f'_x-f'_y=f f x ′ − f y ′ = f （D）
f x ′ + f y ′ = f f'_x+f'_y=f f x ′ + f y ′ = f 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 求两个偏导。 f x ′ = e x x − y − e x ( x − y ) 2 f'_x=\dfrac{\e^x}{x-y}-\dfrac{\e^x}{(x-y)^2} f x ′ = x − y e x − ( x − y ) 2 e x f y ′ = e x ( x − y ) 2 f'_y=\dfrac{\e^x}{(x-y)^2} f y ′ = ( x − y ) 2 e x
对 x x x e x ⋅ ( x − y ) − 1 \e^x\cdot(x-y)^{-1} e x ⋅ ( x − y ) − 1 y y y e x \e^x e x ( x − y ) − 1 (x-y)^{-1} ( x − y ) − 1 y y y ( x − y ) − 2 (x-y)^{-2} ( x − y ) − 2
② 相加。 f x ′ + f y ′ = e x x − y = f f'_x+f'_y=\dfrac{\e^x}{x-y}=f f x ′ + f y ′ = x − y e x = f
两个含 ( x − y ) − 2 (x-y)^{-2} ( x − y ) − 2
答案：D
例 7.8 2017 数二(5) 2012 数二(5)
（1）设
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 具有一阶偏导数，且对任意的
( x , y ) (x,y) ( x , y ) 都有
∂ f ∂ x > 0 \dfrac{\pd f}{\pd x}>0 ∂ x ∂ f > 0 ，
∂ f ∂ y < 0 \dfrac{\pd f}{\pd y}<0 ∂ y ∂ f < 0 ，则（ ）
（A）
f ( 0 , 0 ) > f ( 1 , 1 ) f(0,0)>f(1,1) f ( 0 , 0 ) > f ( 1 , 1 ) （B）
f ( 0 , 0 ) < f ( 1 , 1 ) f(0,0)<f(1,1) f ( 0 , 0 ) < f ( 1 , 1 ) （C）
f ( 0 , 1 ) > f ( 1 , 0 ) f(0,1)>f(1,0) f ( 0 , 1 ) > f ( 1 , 0 ) （D）
f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 0 ) f(0,1)<f(1,0) f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 0 ) （2）（2012 数二(5)）设
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 可微，且对任意
x , y x,y x , y 都有
∂ f ∂ x > 0 \dfrac{\pd f}{\pd x}>0 ∂ x ∂ f > 0 ，
∂ f ∂ y < 0 \dfrac{\pd f}{\pd y}<0 ∂ y ∂ f < 0 ，则使
f ( x 1 , y 1 ) < f ( x 2 , y 2 ) f(x_1,y_1)<f(x_2,y_2) f ( x 1 , y 1 ) < f ( x 2 , y 2 ) 成立的一个充分条件是（ ）（A）
x 1 > x 2 , y 1 < y 2 x_1>x_2,y_1<y_2 x 1 > x 2 , y 1 < y 2 （B）
x 1 > x 2 , y 1 > y 2 x_1>x_2,y_1>y_2 x 1 > x 2 , y 1 > y 2 （C）
x 1 < x 2 , y 1 < y 2 x_1<x_2,y_1<y_2 x 1 < x 2 , y 1 < y 2 （D）
x 1 < x 2 , y 1 > y 2 x_1<x_2,y_1>y_2 x 1 < x 2 , y 1 > y 2 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 翻译成单调性。 f x > 0 f_x>0 f x > 0 y y y f f f x x x f y < 0 f_y<0 f y < 0 x x x f f f y y y
偏导数就是一元导数，一元的“导数正 ⟹ 递增”照样能用。刷题本把这叫“控制变量用单调”。
② (1) 一步一步比。 f ( 0 , 1 ) < f ( 0 , 0 ) f(0,1)<f(0,0) f ( 0 , 1 ) < f ( 0 , 0 ) y y y f f f f ( 0 , 0 ) < f ( 1 , 0 ) f(0,0)<f(1,0) f ( 0 , 0 ) < f ( 1 , 0 ) x x x f f f f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 0 ) f(0,1)<f(1,0) f ( 0 , 1 ) < f ( 1 , 0 )
每一步只让一个变量变，就能用一元单调性。
③ (1) 排除（A）（B）。 f = x − y f=x-y f = x − y f ( 0 , 0 ) = f ( 1 , 1 ) = 0 f(0,0)=f(1,1)=0 f ( 0 , 0 ) = f ( 1 , 1 ) = 0
从 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) x x x f f f y y y f f f
④ (2) 同样的思路。 x 1 < x 2 x_1<x_2 x 1 < x 2 y 1 > y 2 y_1>y_2 y 1 > y 2 f ( x 1 , y 1 ) < f ( x 2 , y 1 ) < f ( x 2 , y 2 ) f(x_1,y_1)<f(x_2,y_1)<f(x_2,y_2) f ( x 1 , y 1 ) < f ( x 2 , y 1 ) < f ( x 2 , y 2 )
先把 x x x x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 f f f y y y y 1 y_1 y 1 y 2 y_2 y 2 f f f
答案：(1) D；(2) D
7.4 全微分与可微：曲面在这一点“像一块平面”大白话：可微就是曲面在这一点附近能用一块平面（切平面）来近似 ：Δ z ≈ A Δ x + B Δ y \Delta z\approx A\Delta x+B\Delta y Δ z ≈ A Δ x + B Δ y ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ∣ x y ∣ \sqrt{|xy|} ∣ x y ∣ 先求两个偏导数，再看“全增量减去线性部分”除以 ρ \rho ρ 。
x y z O 切平面 z =0 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 Δ z = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = ρ 2 \Delta z=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2=\rho^2 Δ z = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = ρ 2 ρ \rho ρ d z = 0 \dd z=0 d z = 0 x y z O 沿 y =x ：z =|x | 切平面 z =0 z = ∣ x y ∣ z=\sqrt{|xy|} z = ∣ x y ∣ y = x y=x y = x Δ z = ∣ Δ x ∣ = ρ 2 \Delta z=|\Delta x|=\frac{\rho}{\sqrt2} Δ z = ∣Δ x ∣ = 2 ρ ρ \rho ρ
全微分
定义 ：Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) f f f d z = A d x + B d y \dd z=A\dd x+B\dd y d z = A d x + B d y 必要条件 ：可微 ⟹ 连续；可微 ⟹ 两个偏导存在，且 A = f x ( x 0 , y 0 ) A=f_x(x_0,y_0) A = f x ( x 0 , y 0 ) B = f y ( x 0 , y 0 ) B=f_y(x_0,y_0) B = f y ( x 0 , y 0 ) 充分条件 ：两个偏导数在该点连续 ⟹ 可微。判定 ：可微 ⟺ lim ρ → 0 Δ z − f x Δ x − f y Δ y ρ = 0 \iff\lim\limits_{\rho\to0}\dfrac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}=0 ⟺ ρ → 0 lim ρ Δ z − f x Δ x − f y Δ y = 0 全微分形式不变性 ：z = f ( u , v ) z=f(u,v) z = f ( u , v ) u , v u,v u , v d z = f u d u + f v d v \dd z=f_u\dd u+f_v\dd v d z = f u d u + f v d v
方法卡 · 判断可微、求全微分
什么时候用
“在某点是否可微”“由某个极限式判断可微或求
d z \dd z d z ”“求
d z \dd z d z ”。
步骤
偏导：用定义（或先代后求）求 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) f x ( x 0 , y 0 ) f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) f y ( x 0 , y 0 )
判定：算 lim Δ z − f x Δ x − f y Δ y ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \lim\dfrac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} lim ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 Δ z − f x Δ x − f y Δ y Δ y = Δ x \Delta y=\Delta x Δ y = Δ x
题目给了“某式 → 0 \to0 → 0 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) A , B A,B A , B
普通初等函数求 d z \dd z d z d z = f x d x + f y d y \dd z=f_x\dd x+f_y\dd y d z = f x d x + f y d y 最容易错
以为两个偏导存在就可微；以为可微就偏导连续（反例见 7.5 节）；判定式只沿坐标轴检验（沿坐标轴时判定式总是 0，要沿
Δ y = Δ x \Delta y=\Delta x Δ y = Δ x 这类斜方向看）。
例 7.9 李林 第八章 §1 例 1、例 2 · p186—187
（1）设
f ( x , y ) = ∣ x y ∣ f(x,y)=\sqrt{|xy|} f ( x , y ) = ∣ x y ∣ ，则
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处（ ）（A）连续，但偏导数不存在 （B）偏导数存在，但不可微 （C）可微 （D）偏导数存在，但不连续
（2）
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处可微的充分条件是（ ）
（A）
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) [ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) ] = 0 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}[f(x,y)-f(0,0)]=0 ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim [ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 )] = 0 （B）
lim x → 0 f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) x = lim y → 0 f ( 0 , y ) − f ( 0 , 0 ) y = 0 \lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}x=\lim\limits_{y\to0}\dfrac{f(0,y)-f(0,0)}y=0 x → 0 lim x f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) = y → 0 lim y f ( 0 , y ) − f ( 0 , 0 ) = 0 （C）
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 = 0 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim x 2 + y 2 f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) = 0 （D）
lim x → 0 [ f x ′ ( x , 0 ) − f x ′ ( 0 , 0 ) ] = 0 \lim\limits_{x\to0}[f'_x(x,0)-f'_x(0,0)]=0 x → 0 lim [ f x ′ ( x , 0 ) − f x ′ ( 0 , 0 )] = 0 ，且
lim y → 0 [ f y ′ ( 0 , y ) − f y ′ ( 0 , 0 ) ] = 0 \lim\limits_{y\to0}[f'_y(0,y)-f'_y(0,0)]=0 y → 0 lim [ f y ′ ( 0 , y ) − f y ′ ( 0 , 0 )] = 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 连续、偏导都有。 ∣ x y ∣ → 0 = f ( 0 , 0 ) \sqrt{|xy|}\to0=f(0,0) ∣ x y ∣ → 0 = f ( 0 , 0 ) f ( Δ x , 0 ) = 0 f(\Delta x,0)=0 f ( Δ x , 0 ) = 0 f x ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=0 f x ( 0 , 0 ) = 0 f y ( 0 , 0 ) = 0 f_y(0,0)=0 f y ( 0 , 0 ) = 0
在两条坐标轴上函数恒为 0，差商恒为 0。
② (1) 不可微。 Δ z − 0 − 0 ρ = ∣ Δ x Δ y ∣ ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \dfrac{\Delta z-0-0}{\rho}=\dfrac{\sqrt{|\Delta x\Delta y|}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} ρ Δ z − 0 − 0 = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 ∣Δ x Δ y ∣ Δ y = Δ x \Delta y=\Delta x Δ y = Δ x 1 2 ≠ 0 \dfrac1{\sqrt2}\ne0 2 1 = 0
判定式的极限要么不存在、要么不为 0，都说明不可微；这里沿对角线已经不是 0。
③ (2) 逐个看。 （A）只是连续；（B）只是两个偏导为 0；（D）只是偏导函数沿坐标轴连续——都不够。反例：f = x y x 2 + y 2 f=\dfrac{xy}{x^2+y^2} f = x 2 + y 2 x y f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0
（D）的反例：在坐标轴上 f x ′ ( x , 0 ) = 0 f'_x(x,0)=0 f x ′ ( x , 0 ) = 0 f y ′ ( 0 , y ) = 0 f'_y(0,y)=0 f y ′ ( 0 , y ) = 0
④ (2)（C）正确。 由（C），令 y = 0 y=0 y = 0 f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) x = f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) ∣ x ∣ ⋅ ∣ x ∣ x → 0 \dfrac{f(x,0)-f(0,0)}x=\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{|x|}\cdot\dfrac{|x|}x\to0 x f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) = ∣ x ∣ f ( x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) ⋅ x ∣ x ∣ → 0 f x ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=0 f x ( 0 , 0 ) = 0 f y ( 0 , 0 ) = 0 f_y(0,0)=0 f y ( 0 , 0 ) = 0 Δ z − 0 ⋅ Δ x − 0 ⋅ Δ y ρ → 0 \dfrac{\Delta z-0\cdot\Delta x-0\cdot\Delta y}{\rho}\to0 ρ Δ z − 0 ⋅ Δ x − 0 ⋅ Δ y → 0
（C）同时给出了偏导数的值和判定式，两步都满足。
答案：(1) B；(2) C
例 7.10 2012 数一(3)
如果函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处连续，那么下列命题正确的是（ ）
（A）若极限
lim x → 0 y → 0 f ( x , y ) ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{f(x,y)}{|x|+|y|} x → 0 y → 0 lim ∣ x ∣ + ∣ y ∣ f ( x , y ) 存在，则
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处可微
（B）若极限
lim x → 0 y → 0 f ( x , y ) x 2 + y 2 \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2} x → 0 y → 0 lim x 2 + y 2 f ( x , y ) 存在，则
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处可微
（C）若
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处可微，则极限
lim x → 0 y → 0 f ( x , y ) ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{f(x,y)}{|x|+|y|} x → 0 y → 0 lim ∣ x ∣ + ∣ y ∣ f ( x , y ) 存在
（D）若
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处可微，则极限
lim x → 0 y → 0 f ( x , y ) x 2 + y 2 \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2} x → 0 y → 0 lim x 2 + y 2 f ( x , y ) 存在
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先得到 f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 （B）中设极限为 L L L f = f x 2 + y 2 ⋅ ( x 2 + y 2 ) → L ⋅ 0 = 0 f=\dfrac f{x^2+y^2}\cdot(x^2+y^2)\to L\cdot0=0 f = x 2 + y 2 f ⋅ ( x 2 + y 2 ) → L ⋅ 0 = 0 f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0
分母趋于 0 而比值有极限，分子必趋于 0；再用连续把极限值换成函数值。
② (B) 满足可微的两步。 f ( x , 0 ) x = f ( x , 0 ) x 2 ⋅ x → L ⋅ 0 = 0 \dfrac{f(x,0)}x=\dfrac{f(x,0)}{x^2}\cdot x\to L\cdot0=0 x f ( x , 0 ) = x 2 f ( x , 0 ) ⋅ x → L ⋅ 0 = 0 f x ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=0 f x ( 0 , 0 ) = 0 f y ( 0 , 0 ) = 0 f_y(0,0)=0 f y ( 0 , 0 ) = 0 f ( x , y ) − 0 ρ = f ρ 2 ⋅ ρ → 0 \dfrac{f(x,y)-0}{\rho}=\dfrac f{\rho^2}\cdot\rho\to0 ρ f ( x , y ) − 0 = ρ 2 f ⋅ ρ → 0
分母 ρ 2 \rho^2 ρ 2 ρ \rho ρ ρ \rho ρ
③ 反例排除其余。 （A）f = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ f=|x|+|y| f = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ f = x f=x f = x x ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \dfrac x{|x|+|y|} ∣ x ∣ + ∣ y ∣ x x x x ± 1 \pm1 ± 1 x x 2 + y 2 \dfrac x{x^2+y^2} x 2 + y 2 x x x x 1 x → ∞ \frac1x\to\infty x 1 → ∞
可微函数的一阶部分可以不为 0，除以一阶或二阶的量就不一定有极限。
答案：B
例 7.11 2020 数一(3)
设函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处可微，
f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 ，
n = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , − 1 ) ∣ ( 0 , 0 ) \vv n=\Big(\dfrac{\pd f}{\pd x},\dfrac{\pd f}{\pd y},-1\Big)\Big|_{(0,0)} n = ( ∂ x ∂ f , ∂ y ∂ f , − 1 ) ( 0 , 0 ) ，非零向量
α \boldsymbol\alpha α 与
n \vv n n 垂直，则（ ）
（A）
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ n ⋅ ( x , y , f ( x , y ) ) ∣ x 2 + y 2 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\vv n\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}} ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim x 2 + y 2 ∣ n ⋅ ( x , y , f ( x , y )) ∣ 存在 （B）
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ n × ( x , y , f ( x , y ) ) ∣ x 2 + y 2 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\vv n\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}} ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim x 2 + y 2 ∣ n × ( x , y , f ( x , y )) ∣ 存在
（C）
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ α ⋅ ( x , y , f ( x , y ) ) ∣ x 2 + y 2 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\boldsymbol\alpha\cdot(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}} ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim x 2 + y 2 ∣ α ⋅ ( x , y , f ( x , y )) ∣ 存在 （D）
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ α × ( x , y , f ( x , y ) ) ∣ x 2 + y 2 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{|\boldsymbol\alpha\times(x,y,f(x,y))|}{\sqrt{x^2+y^2}} ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim x 2 + y 2 ∣ α × ( x , y , f ( x , y )) ∣ 存在
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 把点积展开。 n ⋅ ( x , y , f ) = f x ( 0 , 0 ) x + f y ( 0 , 0 ) y − f ( x , y ) = − [ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) − f x x − f y y ] \vv n\cdot(x,y,f)=f_x(0,0)x+f_y(0,0)y-f(x,y)=-[f(x,y)-f(0,0)-f_x x-f_y y] n ⋅ ( x , y , f ) = f x ( 0 , 0 ) x + f y ( 0 , 0 ) y − f ( x , y ) = − [ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) − f x x − f y y ]
f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0
② 用可微的定义。 可微 ⟹ 括号里的量是 o ( ρ ) o(\rho) o ( ρ ) ρ \rho ρ
（A）其实就是可微定义换了个写法：n \vv n n n ⋅ ( x , y , f ) \vv n\cdot(x,y,f) n ⋅ ( x , y , f )
③ 反例排除（B）。 f = x f=x f = x n = ( 1 , 0 , − 1 ) \vv n=(1,0,-1) n = ( 1 , 0 , − 1 ) ∣ n × ( x , y , x ) ∣ ρ = ∣ ( y , − 2 x , y ) ∣ ρ = 4 x 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 \dfrac{|\vv n\times(x,y,x)|}{\rho}=\dfrac{|(y,-2x,y)|}{\rho}=\sqrt{\dfrac{4x^2+2y^2}{x^2+y^2}} ρ ∣ n × ( x , y , x ) ∣ = ρ ∣ ( y , − 2 x , y ) ∣ = x 2 + y 2 4 x 2 + 2 y 2 x x x y y y 2 \sqrt2 2
叉积的模与方向有关，沿不同方向比值不同。
④ 反例排除（C）（D）。 f = 0 f=0 f = 0 n = ( 0 , 0 , − 1 ) \vv n=(0,0,-1) n = ( 0 , 0 , − 1 ) α = ( 1 , 0 , 0 ) \boldsymbol\alpha=(1,0,0) α = ( 1 , 0 , 0 ) ∣ α ⋅ ( x , y , 0 ) ∣ ρ = ∣ x ∣ ρ \dfrac{|\boldsymbol\alpha\cdot(x,y,0)|}\rho=\dfrac{|x|}\rho ρ ∣ α ⋅ ( x , y , 0 ) ∣ = ρ ∣ x ∣ ∣ α × ( x , y , 0 ) ∣ ρ = ∣ y ∣ ρ \dfrac{|\boldsymbol\alpha\times(x,y,0)|}\rho=\dfrac{|y|}\rho ρ ∣ α × ( x , y , 0 ) ∣ = ρ ∣ y ∣
α \boldsymbol\alpha α ( x , y , f ) (x,y,f) ( x , y , f )
答案：A
例 7.12 2012 数三(11)
设连续函数
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 满足
lim x → 0 y → 1 f ( x , y ) − 2 x + y − 2 x 2 + ( y − 1 ) 2 = 0 \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to1}}\dfrac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}=0 x → 0 y → 1 lim x 2 + ( y − 1 ) 2 f ( x , y ) − 2 x + y − 2 = 0 ，则
d z ∣ ( 0 , 1 ) = \dd z|_{(0,1)}= d z ∣ ( 0 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先求 f ( 0 , 1 ) f(0,1) f ( 0 , 1 ) 分母 → 0 \to0 → 0 → 0 \to0 → 0 f ( 0 , 1 ) − 0 + 1 − 2 = 0 f(0,1)-0+1-2=0 f ( 0 , 1 ) − 0 + 1 − 2 = 0 f ( 0 , 1 ) = 1 f(0,1)=1 f ( 0 , 1 ) = 1
比值极限存在而分母趋于 0，分子也要趋于 0；f f f
② 改写成可微的样子。 分子 = [ f ( x , y ) − 1 ] − 2 x + ( y − 1 ) =[f(x,y)-1]-2x+(y-1) = [ f ( x , y ) − 1 ] − 2 x + ( y − 1 ) f ( x , y ) − f ( 0 , 1 ) = 2 x − ( y − 1 ) + o ( ρ ) f(x,y)-f(0,1)=2x-(y-1)+o(\rho) f ( x , y ) − f ( 0 , 1 ) = 2 x − ( y − 1 ) + o ( ρ ) ρ = x 2 + ( y − 1 ) 2 \rho=\sqrt{x^2+(y-1)^2} ρ = x 2 + ( y − 1 ) 2
这里 Δ x = x \Delta x=x Δ x = x Δ y = y − 1 \Delta y=y-1 Δ y = y − 1 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ )
③ 读出全微分。 A = 2 A=2 A = 2 B = − 1 B=-1 B = − 1 d z ∣ ( 0 , 1 ) = 2 d x − d y \dd z|_{(0,1)}=2\dd x-\dd y d z ∣ ( 0 , 1 ) = 2 d x − d y
能写成“线性部分 + o ( ρ ) o(\rho) o ( ρ )
答案：2 d x − d y 2\dx-\dy 2 d x − d y
例 7.13 2011 数三(10)
设函数
z = ( 1 + x y ) x y z=\Big(1+\dfrac xy\Big)^{\frac xy} z = ( 1 + y x ) y x ，则
d z ∣ ( 1 , 1 ) = \dd z|_{(1,1)}= d z ∣ ( 1 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 看出只依赖 t = x y t=\frac xy t = y x 令 t = x y t=\dfrac xy t = y x z = ( 1 + t ) t = e t ln ( 1 + t ) z=(1+t)^t=\e^{t\ln(1+t)} z = ( 1 + t ) t = e t l n ( 1 + t ) d z d t = ( 1 + t ) t [ ln ( 1 + t ) + t 1 + t ] \dfrac{\dd z}{\dd t}=(1+t)^t\Big[\ln(1+t)+\dfrac t{1+t}\Big] d t d z = ( 1 + t ) t [ ln ( 1 + t ) + 1 + t t ] t = 1 t=1 t = 1 2 ( ln 2 + 1 2 ) = 1 + 2 ln 2 2\Big(\ln2+\dfrac12\Big)=1+2\ln2 2 ( ln 2 + 2 1 ) = 1 + 2 ln 2
幂指函数先写成 e \e e
② 全微分形式不变性。 d z = d z d t d t \dd z=\dfrac{\dd z}{\dd t}\dd t d z = d t d z d t d t = y d x − x d y y 2 \dd t=\dfrac{y\dd x-x\dd y}{y^2} d t = y 2 y d x − x d y ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) d t = d x − d y \dd t=\dd x-\dd y d t = d x − d y
不管 t t t d z = z ′ ( t ) d t \dd z=z'(t)\dd t d z = z ′ ( t ) d t
③ 结果。 d z ∣ ( 1 , 1 ) = ( 1 + 2 ln 2 ) ( d x − d y ) \dd z|_{(1,1)}=(1+2\ln2)(\dd x-\dd y) d z ∣ ( 1 , 1 ) = ( 1 + 2 ln 2 ) ( d x − d y )
由全微分形式不变性 d z = z ′ ( t ) d t \dd z=z'(t)\dd t d z = z ′ ( t ) d t 1 + 2 ln 2 1+2\ln2 1 + 2 ln 2 d x − d y \dd x-\dd y d x − d y
答案：( 1 + 2 ln 2 ) ( d x − d y ) (1+2\ln2)(\dx-\dy) ( 1 + 2 ln 2 ) ( d x − d y )
例 7.14 2024 数二(5)
已知函数
f ( x , y ) = { ( x 2 + y 2 ) sin 1 x y , x y ≠ 0 0 , x y = 0 f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\dfrac1{xy},&xy\ne0\\0,&xy=0\end{cases} f ( x , y ) = ⎩ ⎨ ⎧ ( x 2 + y 2 ) sin x y 1 , 0 , x y = 0 x y = 0 ，则在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处（ ）
（A）
∂ f ∂ x \dfrac{\pd f}{\pd x} ∂ x ∂ f 连续，
f f f 可微 （B）
∂ f ∂ x \dfrac{\pd f}{\pd x} ∂ x ∂ f 连续，
f f f 不可微
（C）
∂ f ∂ x \dfrac{\pd f}{\pd x} ∂ x ∂ f 不连续，
f f f 可微 （D）
∂ f ∂ x \dfrac{\pd f}{\pd x} ∂ x ∂ f 不连续，
f f f 不可微
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 偏导数。 坐标轴上 f = 0 f=0 f = 0 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0
用定义：f ( Δ x , 0 ) = 0 f(\Delta x,0)=0 f ( Δ x , 0 ) = 0
② 可微。 ∣ f − 0 ρ ∣ ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = ρ → 0 \Big|\dfrac{f-0}{\rho}\Big|\le\dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=\rho\to0 ρ f − 0 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = ρ → 0
∣ sin ∣ ≤ 1 |\sin|\le1 ∣ sin ∣ ≤ 1 ρ 2 \rho^2 ρ 2 o ( ρ ) o(\rho) o ( ρ )
③ f x f_x f x x y ≠ 0 xy\ne0 x y = 0 f x = 2 x sin 1 x y − x 2 + y 2 x 2 y cos 1 x y f_x=2x\sin\dfrac1{xy}-\dfrac{x^2+y^2}{x^2y}\cos\dfrac1{xy} f x = 2 x sin x y 1 − x 2 y x 2 + y 2 cos x y 1 y = x y=x y = x − 2 x cos 1 x 2 -\dfrac2x\cos\dfrac1{x^2} − x 2 cos x 2 1 f x f_x f x ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
这正是“可微 ⇏ 偏导连续”的例子：偏导连续只是可微的充分条件。
答案：C
7.5 四个概念的关系大白话：连续、偏导存在、可微、偏导连续，这四个概念的关系是选择题的固定考点。刷题本把它叫“校长模型”，不需要推导，背熟关系图和每个箭头的反例就能拿分 。和一元函数最大的不同：一元里“可导 ⟹ 连续”，二元里偏导存在推不出连续 （偏导只看了两个方向）。
偏导连续 可微 偏导存在 连续 ① ② ③ ④ 互不推出 实线箭头成立，反方向都不成立。① 可微 ⇏ 偏导连续：( x 2 + y 2 ) sin 1 x 2 + y 2 (x^2+y^2)\sin\frac1{x^2+y^2} ( x 2 + y 2 ) sin x 2 + y 2 1 ∣ x y ∣ \sqrt{|xy|} ∣ x y ∣ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣ x y x 2 + y 2 \frac{xy}{x^2+y^2} x 2 + y 2 x y 关系与反例库
偏导连续 ⟹ 可微 ⟹ 连续；可微 ⟹ 偏导存在。
反方向全部不成立；连续与偏导存在之间没有任何推出关系。
反例：∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣ x y x 2 + y 2 \dfrac{xy}{x^2+y^2} x 2 + y 2 x y ∣ x y ∣ \sqrt{|xy|} ∣ x y ∣ x y x 2 + y 2 \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} x 2 + y 2 x y ( x 2 + y 2 ) sin 1 x 2 + y 2 (x^2+y^2)\sin\dfrac1{x^2+y^2} ( x 2 + y 2 ) sin x 2 + y 2 1 f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0
方法卡 · 概念选择题
什么时候用
“下列说法正确的是”“连续/偏导/可微/偏导连续哪个推出哪个”“正确的个数”。
步骤
先对照关系图：箭头方向对的直接判对，反方向的判错。
要举反例时从反例库里拿，补充定义在原点为 0。
具体函数题：按“连续？偏导存在？可微？偏导连续？”四个问题逐个用定义检查。 最容易错
把一元的“可导 ⟹ 连续”搬到二元，以为“偏导存在 ⟹ 连续”；把“可微 ⟹ 偏导连续”当成对的。
例 7.15 2020 数二(5)
关于函数
f ( x , y ) = { x y , x y ≠ 0 x , y = 0 y , x = 0 f(x,y)=\begin{cases}xy,&xy\ne0\\x,&y=0\\y,&x=0\end{cases} f ( x , y ) = ⎩ ⎨ ⎧ x y , x , y , x y = 0 y = 0 x = 0 ，给出以下结论：①
∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 0 ) = 1 \dfrac{\pd f}{\pd x}\Big|_{(0,0)}=1 ∂ x ∂ f ( 0 , 0 ) = 1 ；②
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( 0 , 0 ) = 1 \dfrac{\pd^2f}{\pd x\pd y}\Big|_{(0,0)}=1 ∂ x ∂ y ∂ 2 f ( 0 , 0 ) = 1 ；③
lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) = 0 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0 ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim f ( x , y ) = 0 ；④
lim y → 0 lim x → 0 f ( x , y ) = 0 \lim\limits_{y\to0}\lim\limits_{x\to0}f(x,y)=0 y → 0 lim x → 0 lim f ( x , y ) = 0 。正确的个数是（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
解答先遮住，自己试 5 分钟
① ①对。 f ( x , 0 ) = x f(x,0)=x f ( x , 0 ) = x f x ( 0 , 0 ) = 1 f_x(0,0)=1 f x ( 0 , 0 ) = 1
先代后求：沿 x x x x x x
② ②错。 f x y ( 0 , 0 ) f_{xy}(0,0) f x y ( 0 , 0 ) f x ( 0 , y ) f_x(0,y) f x ( 0 , y ) y ≠ 0 y\ne0 y = 0 f ( Δ x , y ) − f ( 0 , y ) Δ x = Δ x ⋅ y − y Δ x = y − y Δ x \dfrac{f(\Delta x,y)-f(0,y)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta x\cdot y-y}{\Delta x}=y-\dfrac y{\Delta x} Δ x f ( Δ x , y ) − f ( 0 , y ) = Δ x Δ x ⋅ y − y = y − Δ x y f x ( 0 , y ) f_x(0,y) f x ( 0 , y ) f x y ( 0 , 0 ) f_{xy}(0,0) f x y ( 0 , 0 )
二阶混合偏导是对偏导函数 f x ( 0 , y ) f_x(0,y) f x ( 0 , y ) y y y f x f_x f x y y y
③ ③对。 三种情形下 ∣ f ∣ ≤ max ( ∣ x y ∣ , ∣ x ∣ , ∣ y ∣ ) → 0 |f|\le\max(|xy|,|x|,|y|)\to0 ∣ f ∣ ≤ max ( ∣ x y ∣ , ∣ x ∣ , ∣ y ∣ ) → 0
每个分段都是趋于 0 的量，夹逼即可。
④ ④对，结论。 固定 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 x → 0 x\to0 x → 0 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f = x y → 0 f=xy\to0 f = x y → 0 y → 0 y\to0 y → 0
累次极限里层 x → 0 x\to0 x → 0 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 x y xy x y
答案：B
例 7.16 李林 第八章 习题 选择(2)(3) · p206 ep 板书 · 多元 例 18
（1）设
f ( x , y ) = x y x 2 + y 2 f(x,y)=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} f ( x , y ) = x 2 + y 2 x y （
( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) (x,y)\ne(0,0) ( x , y ) = ( 0 , 0 ) ），
f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 ，判断
f f f 在
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处是否连续、偏导是否存在、是否可微；（2）“
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在某点偏导数存在”是“
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在该点连续”的什么条件？（3）考虑二元函数的四条性质：①在
( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) 处连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数存在。用“
P ⇒ Q P\Rightarrow Q P ⇒ Q ”表示由
P P P 可推出
Q Q Q ，则（ ）（A）②⇒③⇒① （B）③⇒②⇒① （C）③⇒④⇒① （D）③⇒①⇒④
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 连续、偏导存在。 7.2 节已证 f → 0 = f ( 0 , 0 ) f\to0=f(0,0) f → 0 = f ( 0 , 0 ) f = 0 f=0 f = 0 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0
连续用“无穷小乘有界”；偏导用定义。
② (1) 不可微。 Δ z − 0 ρ = x y x 2 + y 2 \dfrac{\Delta z-0}{\rho}=\dfrac{xy}{x^2+y^2} ρ Δ z − 0 = x 2 + y 2 x y y = k x y=kx y = k x k 1 + k 2 \dfrac k{1+k^2} 1 + k 2 k
判定式恰好变成了图 7.2 的“旋转楼梯”。
③ (2) 既非充分也非必要。 x y x 2 + y 2 \dfrac{xy}{x^2+y^2} x 2 + y 2 x y ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣
关系图里“连续”和“偏导存在”之间没有箭头。
④ (3) 对照关系图。 ②⇒③⇒① 都是关系图里的实线箭头，（A）对；（B）③⇏②；（C）④⇏①；（D）①⇏④。所以选（A）。
选项是一串推出关系，只要有一步是反方向就错。
答案：(1) 连续、偏导存在（都为 0）、不可微；(2) 既非充分也非必要；(3) A
7.6 由偏导数或全微分反求函数大白话：已知 d f = P d x + Q d y \dd f=P\dd x+Q\dd y d f = P d x + Q d y f f f 偏积分 ——对 x x x y y y y y y φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) f y = Q f_y=Q f y = Q φ \varphi φ y y y φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) x x x φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) 折线法 ——从一个已知点出发先横着走、再竖着走，每段都是一个一元定积分。P d x + Q d y P\dd x+Q\dd y P d x + Q d y d f \dd f d f ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \dfrac{\pd P}{\pd y}=\dfrac{\pd Q}{\pd x} ∂ y ∂ P = ∂ x ∂ Q
x y O 第一段：y =0 不动，加上 ∫P (t , 0)dt 第二段：x 不动， 加上 ∫Q (x , t )dt (x , y ) (x , 0) 折线法：f ( x , y ) = f ( 0 , 0 ) + ∫ 0 x P ( t , 0 ) d t + ∫ 0 y Q ( x , t ) d t f(x,y)=f(0,0)+\displaystyle\int_0^xP(t,0)\dt+\int_0^yQ(x,t)\dt f ( x , y ) = f ( 0 , 0 ) + ∫ 0 x P ( t , 0 ) d t + ∫ 0 y Q ( x , t ) d t y = 0 y=0 y = 0 P = f x P=f_x P = f x x x x Q = f y Q=f_y Q = f y 反求函数的公式
存在条件 ：P , Q P,Q P , Q P d x + Q d y P\dd x+Q\dd y P d x + Q d y ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \dfrac{\pd P}{\pd y}=\dfrac{\pd Q}{\pd x} ∂ y ∂ P = ∂ x ∂ Q f x y f_{xy} f x y 偏积分 ：f = ∫ P d x + φ ( y ) f=\displaystyle\int P\dx+\varphi(y) f = ∫ P d x + φ ( y ) f y = Q f_y=Q f y = Q φ ′ ( y ) \varphi'(y) φ ′ ( y ) 折线法 ：f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) + ∫ x 0 x P ( t , y 0 ) d t + ∫ y 0 y Q ( x , t ) d t f(x,y)=f(x_0,y_0)+\displaystyle\int_{x_0}^xP(t,y_0)\dt+\int_{y_0}^yQ(x,t)\dt f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) + ∫ x 0 x P ( t , y 0 ) d t + ∫ y 0 y Q ( x , t ) d t 两个要背的微分 ：d ( arctan y x ) = x d y − y d x x 2 + y 2 \dd\Big(\arctan\dfrac yx\Big)=\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2} d ( arctan x y ) = x 2 + y 2 x d y − y d x d x 2 + y 2 = x d x + y d y x 2 + y 2 \dd\sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{x\dd x+y\dd y}{\sqrt{x^2+y^2}} d x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x d x + y d y
方法卡 · 反求函数
什么时候用
已知
d f \dd f d f 、已知两个偏导、已知二阶偏导和初值、“全微分方程”。
步骤
先检验 P y = Q x P_y=Q_x P y = Q x F F F d F = ⋯ \dd F=\cdots d F = ⋯
偏积分：对 x x x φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) y y y Q Q Q φ \varphi φ
或者用折线法直接写定积分。
最后用初值定常数。 最容易错
对
x x x 积分后只加常数
C C C ，忘了应加
φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) ；用
arctan y x \arctan\frac yx arctan x y 时两点跨过
y y y 轴（它在
x = 0 x=0 x = 0 处没有定义）。
例 7.17 2017 数二(12) 2017 数三(12)
设函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数，且
d f ( x , y ) = y e y d x + x ( 1 + y ) e y d y \dd f(x,y)=y\e^y\dd x+x(1+y)\e^y\dd y d f ( x , y ) = y e y d x + x ( 1 + y ) e y d y ，
f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 ，则
f ( x , y ) = f(x,y)= f ( x , y ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 偏积分。 f = ∫ y e y d x = x y e y + φ ( y ) f=\displaystyle\int y\e^y\dx=xy\e^y+\varphi(y) f = ∫ y e y d x = x y e y + φ ( y )
对 x x x y e y y\e^y y e y y y y
② 定 φ \varphi φ f y = x ( e y + y e y ) + φ ′ ( y ) = x ( 1 + y ) e y + φ ′ ( y ) f_y=x(\e^y+y\e^y)+\varphi'(y)=x(1+y)\e^y+\varphi'(y) f y = x ( e y + y e y ) + φ ′ ( y ) = x ( 1 + y ) e y + φ ′ ( y ) Q Q Q φ ′ = 0 \varphi'=0 φ ′ = 0 φ = C \varphi=C φ = C f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 C = 0 C=0 C = 0
对 y y y f y f_y f y
③ 折线法验算。 f ( x , y ) = 0 + ∫ 0 x 0 d t + ∫ 0 y x ( 1 + t ) e t d t = x [ t e t ] 0 y = x y e y f(x,y)=0+\displaystyle\int_0^x0\dt+\int_0^yx(1+t)\e^t\dt=x\big[t\e^t\big]_0^y=xy\e^y f ( x , y ) = 0 + ∫ 0 x 0 d t + ∫ 0 y x ( 1 + t ) e t d t = x [ t e t ] 0 y = x y e y
第一段沿 x x x y = 0 y=0 y = 0 P ( t , 0 ) = 0 P(t,0)=0 P ( t , 0 ) = 0 ( t e t ) ′ = ( 1 + t ) e t (t\e^t)'=(1+t)\e^t ( t e t ) ′ = ( 1 + t ) e t
答案：x y e y xy\e^y x y e y
例 7.18 李林 第八章 §2 例 4 · p189
求方程
∂ 2 z ∂ y 2 = 2 \dfrac{\pd^2z}{\pd y^2}=2 ∂ y 2 ∂ 2 z = 2 满足
z ( x , 0 ) = 1 z(x,0)=1 z ( x , 0 ) = 1 ，
z y ′ ( x , 0 ) = x z'_y(x,0)=x z y ′ ( x , 0 ) = x 的解
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 对 y y y ∂ z ∂ y = 2 y + φ ( x ) \dfrac{\pd z}{\pd y}=2y+\varphi(x) ∂ y ∂ z = 2 y + φ ( x ) z y ′ ( x , 0 ) = x z'_y(x,0)=x z y ′ ( x , 0 ) = x φ ( x ) = x \varphi(x)=x φ ( x ) = x ∂ z ∂ y = 2 y + x \dfrac{\pd z}{\pd y}=2y+x ∂ y ∂ z = 2 y + x
对 y y y x x x x x x
② 再积分一次。 z = y 2 + x y + φ 1 ( x ) z=y^2+xy+\varphi_1(x) z = y 2 + x y + φ 1 ( x ) z ( x , 0 ) = 1 z(x,0)=1 z ( x , 0 ) = 1 φ 1 ( x ) = 1 \varphi_1(x)=1 φ 1 ( x ) = 1 z = 1 + x y + y 2 z=1+xy+y^2 z = 1 + x y + y 2
又加一个 x x x
答案：z = 1 + x y + y 2 z=1+xy+y^2 z = 1 + x y + y 2
例 7.19 2023 数三(12)
已知函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 满足
d f ( x , y ) = x d y − y d x x 2 + y 2 \dd f(x,y)=\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2} d f ( x , y ) = x 2 + y 2 x d y − y d x ，
f ( 1 , 1 ) = π 4 f(1,1)=\dfrac\pi4 f ( 1 , 1 ) = 4 π ，则
f ( 3 , 3 ) = f(\sqrt3,3)= f ( 3 , 3 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 认出极角的微分。 在 x > 0 x>0 x > 0 x d y − y d x x 2 + y 2 = x d y − y d x x 2 1 + y 2 x 2 = d ( arctan y x ) \dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2}=\dfrac{\frac{x\dd y-y\dd x}{x^2}}{1+\frac{y^2}{x^2}}=\dd\Big(\arctan\dfrac yx\Big) x 2 + y 2 x d y − y d x = 1 + x 2 y 2 x 2 x d y − y d x = d ( arctan x y )
分子分母同除以 x 2 x^2 x 2 d ( y x ) \dd\big(\frac yx\big) d ( x y ) x > 0 x>0 x > 0
② 定常数、求值。 f = arctan y x + C f=\arctan\dfrac yx+C f = arctan x y + C f ( 1 , 1 ) = π 4 f(1,1)=\dfrac\pi4 f ( 1 , 1 ) = 4 π C = 0 C=0 C = 0 f ( 3 , 3 ) = arctan 3 = π 3 f(\sqrt3,3)=\arctan\sqrt3=\dfrac\pi3 f ( 3 , 3 ) = arctan 3 = 3 π
3 3 = 3 \frac3{\sqrt3}=\sqrt3 3 3 = 3 y = 3 y=3 y = 3 x = 3 x=\sqrt3 x = 3 π 6 \frac\pi6 6 π
答案：π 3 \frac\pi3 3 π
例 7.20 2025 数二(15)
微分方程
( 2 y − 3 x ) d x + ( 2 x − 5 y ) d y = 0 (2y-3x)\dd x+(2x-5y)\dd y=0 ( 2 y − 3 x ) d x + ( 2 x − 5 y ) d y = 0 满足条件
y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1 的解为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 是某个函数的全微分。 P = 2 y − 3 x P=2y-3x P = 2 y − 3 x Q = 2 x − 5 y Q=2x-5y Q = 2 x − 5 y ∂ P ∂ y = 2 = ∂ Q ∂ x \dfrac{\pd P}{\pd y}=2=\dfrac{\pd Q}{\pd x} ∂ y ∂ P = 2 = ∂ x ∂ Q u u u d u = P d x + Q d y \dd u=P\dd x+Q\dd y d u = P d x + Q d y d u = 0 \dd u=0 d u = 0 u = C u=C u = C
全微分为 0 ⟹ 函数是常数（刷题本强调：只有全微分为 0 才行，一个偏导为 0 不够）。
② 求 u u u u = ∫ ( 2 y − 3 x ) d x = 2 x y − 3 2 x 2 + φ ( y ) u=\displaystyle\int(2y-3x)\dx=2xy-\dfrac32x^2+\varphi(y) u = ∫ ( 2 y − 3 x ) d x = 2 x y − 2 3 x 2 + φ ( y ) u y = 2 x + φ ′ ( y ) = 2 x − 5 y u_y=2x+\varphi'(y)=2x-5y u y = 2 x + φ ′ ( y ) = 2 x − 5 y φ = − 5 2 y 2 \varphi=-\dfrac52y^2 φ = − 2 5 y 2
偏积分：对 x x x y y y φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) y y y Q Q Q φ \varphi φ
③ 代初值。 2 x y − 3 2 x 2 − 5 2 y 2 = C 2xy-\dfrac32x^2-\dfrac52y^2=C 2 x y − 2 3 x 2 − 2 5 y 2 = C ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) C = − 2 C=-2 C = − 2 − 2 -2 − 2 3 x 2 − 4 x y + 5 y 2 = 4 3x^2-4xy+5y^2=4 3 x 2 − 4 x y + 5 y 2 = 4
曲线过点 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
答案：3 x 2 − 4 x y + 5 y 2 = 4 3x^2-4xy+5y^2=4 3 x 2 − 4 x y + 5 y 2 = 4
例 7.21 2026 数一(18)
设函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 在区间
( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) 内具有 3 阶连续导数，且存在可微函数
F ( x , y ) F(x,y) F ( x , y ) 使得
d F ( x , y ) = f ( x y ) x 2 y d x + f ′ ′ ( x y ) x y 2 d y ( x y > 0 ) \dd F(x,y)=\dfrac{f(xy)}{x^2y}\dd x+\dfrac{f''(xy)}{xy^2}\dd y\ (xy>0) d F ( x , y ) = x 2 y f ( x y ) d x + x y 2 f ′′ ( x y ) d y ( x y > 0 ) 。（Ⅰ）证明：
f ′ ′ ( u ) u − f ( u ) u = C \dfrac{f''(u)}u-\dfrac{f(u)}u=C u f ′′ ( u ) − u f ( u ) = C ，
C C C 为常数；（Ⅱ）设
f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 ，
f ′ ( 1 ) = − 1 f'(1)=-1 f ′ ( 1 ) = − 1 ，
f ′ ′ ( 1 ) = 0 f''(1)=0 f ′′ ( 1 ) = 0 ，求
f ( u ) f(u) f ( u ) 的表达式。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 条件翻译成 P y = Q x P_y=Q_x P y = Q x F x = P = f ( x y ) x 2 y F_x=P=\dfrac{f(xy)}{x^2y} F x = P = x 2 y f ( x y ) F y = Q = f ′ ′ ( x y ) x y 2 F_y=Q=\dfrac{f''(xy)}{xy^2} F y = Q = x y 2 f ′′ ( x y ) f f f P y P_y P y Q x Q_x Q x F x y = F y x F_{xy}=F_{yx} F x y = F y x P y = Q x P_y=Q_x P y = Q x
混合偏导连续时相等——这是“存在 F F F
② (Ⅰ) 算出来。 P y = x y f ′ ( x y ) − f ( x y ) x 2 y 2 P_y=\dfrac{xyf'(xy)-f(xy)}{x^2y^2} P y = x 2 y 2 x y f ′ ( x y ) − f ( x y ) Q x = x y f ′ ′ ′ ( x y ) − f ′ ′ ( x y ) x 2 y 2 Q_x=\dfrac{xyf'''(xy)-f''(xy)}{x^2y^2} Q x = x 2 y 2 x y f ′′′ ( x y ) − f ′′ ( x y ) u = x y u=xy u = x y u f ′ ′ ′ − f ′ ′ = u f ′ − f uf'''-f''=uf'-f u f ′′′ − f ′′ = u f ′ − f
商的求导法则；f ( x y ) f(xy) f ( x y ) y y y x x x f ′ ′ ( x y ) f''(xy) f ′′ ( x y ) x x x y y y
③ (Ⅰ) 认出是某个式子的导数为 0。 ( f ′ ′ u ) ′ = u f ′ ′ ′ − f ′ ′ u 2 \Big(\dfrac{f''}u\Big)'=\dfrac{uf'''-f''}{u^2} ( u f ′′ ) ′ = u 2 u f ′′′ − f ′′ ( f u ) ′ = u f ′ − f u 2 \Big(\dfrac fu\Big)'=\dfrac{uf'-f}{u^2} ( u f ) ′ = u 2 u f ′ − f ( f ′ ′ u − f u ) ′ = 0 \Big(\dfrac{f''}u-\dfrac fu\Big)'=0 ( u f ′′ − u f ) ′ = 0 f ′ ′ ( u ) u − f ( u ) u = C \dfrac{f''(u)}u-\dfrac{f(u)}u=C u f ′′ ( u ) − u f ( u ) = C
看到 u f ′ − f uf'-f u f ′ − f f u \frac fu u f
④ (Ⅱ) 定 C C C u = 1 u=1 u = 1 C = f ′ ′ ( 1 ) − f ( 1 ) = − 1 C=f''(1)-f(1)=-1 C = f ′′ ( 1 ) − f ( 1 ) = − 1 f ′ ′ − f = − u f''-f=-u f ′′ − f = − u C 1 e u + C 2 e − u C_1\e^u+C_2\e^{-u} C 1 e u + C 2 e − u f ∗ = u f^*=u f ∗ = u f = C 1 e u + C 2 e − u + u f=C_1\e^u+C_2\e^{-u}+u f = C 1 e u + C 2 e − u + u
二阶常系数线性方程（见微分方程笔记）：特征根 ± 1 \pm1 ± 1 f ∗ = u f^*=u f ∗ = u 0 − u = − u 0-u=-u 0 − u = − u
⑤ (Ⅱ) 定 C 1 , C 2 C_1,C_2 C 1 , C 2 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 C 1 e + C 2 e − 1 = 0 C_1\e+C_2\e^{-1}=0 C 1 e + C 2 e − 1 = 0 f ′ ( 1 ) = − 1 f'(1)=-1 f ′ ( 1 ) = − 1 C 1 e − C 2 e − 1 + 1 = − 1 C_1\e-C_2\e^{-1}+1=-1 C 1 e − C 2 e − 1 + 1 = − 1 C 1 = − e − 1 C_1=-\e^{-1} C 1 = − e − 1 C 2 = e C_2=\e C 2 = e f ( u ) = e 1 − u − e u − 1 + u f(u)=\e^{1-u}-\e^{u-1}+u f ( u ) = e 1 − u − e u − 1 + u
两式相加得 2 C 1 e = − 2 2C_1\e=-2 2 C 1 e = − 2 f ′ ′ ( 1 ) = C 1 e + C 2 e − 1 = − 1 + 1 = 0 f''(1)=C_1\e+C_2\e^{-1}=-1+1=0 f ′′ ( 1 ) = C 1 e + C 2 e − 1 = − 1 + 1 = 0
答案：(Ⅰ) 证明题。思路：存在 F F F P y = Q x P_y=Q_x P y = Q x u f ′ ′ ′ − f ′ ′ = u f ′ − f uf'''-f''=uf'-f u f ′′′ − f ′′ = u f ′ − f ( f ′ ′ u − f u ) ′ = 0 \big(\frac{f''}u-\frac fu\big)'=0 ( u f ′′ − u f ) ′ = 0 f ( u ) = e 1 − u − e u − 1 + u f(u)=\e^{1-u}-\e^{u-1}+u f ( u ) = e 1 − u − e u − 1 + u
7.7 小结
题目里的说法 换成什么 例子
二重极限存在吗 不存在：两条路径；存在：夹逼、无穷小乘有界 例 7.2 累次极限与二重极限 互不推出；都存在时相等 例 7.3 某点的偏导数 先代后求；坏点用定义 例 7.4 、例 7.5 、例 7.6 偏导的符号比较函数值 一次只动一个变量，用一元单调性 例 7.8 是否可微 求偏导，再看 Δ z − f x Δ x − f y Δ y ρ → 0 \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho}\to0 ρ Δ z − f x Δ x − f y Δ y → 0 例 7.9 、例 7.10 、例 7.11 由“某式 → 0 \to0 → 0 d z \dd z d z 改写成 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) 例 7.12 可微但偏导不连续 ρ 2 sin \rho^2\sin ρ 2 sin 例 7.14 四个概念谁推出谁 背关系图 + 反例库 例 7.15 、例 7.16 已知 d f \dd f d f f f f 偏积分加 φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) 例 7.17 、例 7.19 “存在 F F F d F = P d x + Q d y \dd F=P\dd x+Q\dd y d F = P d x + Q d y P y = Q x P_y=Q_x P y = Q x 例 7.21 、例 7.20
学完了，标记这一部分
第 8 部分
复合函数与隐函数求导
多元求导的计算主力：复合函数靠树形图，隐函数靠“两边求导”，偏导方程靠换元化成常微分方程。这一部分配了 27 道真题，是多元微分里分数最稳的一块——只要不漏路径、不忘 z z z
考试要求（大纲原文，李林讲义第八章第 3—5 条）
（第 3 条的最后一句，全文见第 7 部分开头）了解全微分形式的不变性。
掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
对应李林讲义第八章第二节“复合函数的偏导数和全微分”（p187—190）、第三节“隐函数微分法”（p190—193）。这是多元微分真题最多的一块：2010—2026 年数一 14 道，数二、数三更多，而且常常是填空题——计算量不大，但一步错就全错。
8.1 链式法则：画树形图大白话：复合函数求偏导，就是沿树形图走路 ：从 z z z x x x f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 位置记号 ：f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′
f 1 ′ f 2 ′ ∂u /∂x ∂v /∂x z u v x y x y ∂z /∂x = 走到 x 的两条红路径：先乘后加 ∂ z ∂ x = f 1 ′ ⋅ ∂ u ∂ x + f 2 ′ ⋅ ∂ v ∂ x \dfrac{\pd z}{\pd x}=f_1'\cdot\dfrac{\pd u}{\pd x}+f_2'\cdot\dfrac{\pd v}{\pd x} ∂ x ∂ z = f 1 ′ ⋅ ∂ x ∂ u + f 2 ′ ⋅ ∂ x ∂ v 链式法则
z = f ( u , v ) z=f(u,v) z = f ( u , v ) u = u ( x , y ) u=u(x,y) u = u ( x , y ) v = v ( x , y ) v=v(x,y) v = v ( x , y ) ∂ z ∂ x = f 1 ′ ∂ u ∂ x + f 2 ′ ∂ v ∂ x \dfrac{\pd z}{\pd x}=f_1'\dfrac{\pd u}{\pd x}+f_2'\dfrac{\pd v}{\pd x} ∂ x ∂ z = f 1 ′ ∂ x ∂ u + f 2 ′ ∂ x ∂ v ∂ z ∂ y = f 1 ′ ∂ u ∂ y + f 2 ′ ∂ v ∂ y \dfrac{\pd z}{\pd y}=f_1'\dfrac{\pd u}{\pd y}+f_2'\dfrac{\pd v}{\pd y} ∂ y ∂ z = f 1 ′ ∂ y ∂ u + f 2 ′ ∂ y ∂ v 只有一个中间变量 z = f ( u ) z=f(u) z = f ( u ) u = u ( x , y ) u=u(x,y) u = u ( x , y ) ∂ z ∂ x = f ′ ( u ) ∂ u ∂ x \dfrac{\pd z}{\pd x}=f'(u)\dfrac{\pd u}{\pd x} ∂ x ∂ z = f ′ ( u ) ∂ x ∂ u f f f f ′ f' f ′
自变量本身也在里面 z = f ( x , u ( x , y ) ) z=f(x,u(x,y)) z = f ( x , u ( x , y )) ∂ z ∂ x = f 1 ′ + f 2 ′ ∂ u ∂ x \dfrac{\pd z}{\pd x}=f_1'+f_2'\dfrac{\pd u}{\pd x} ∂ x ∂ z = f 1 ′ + f 2 ′ ∂ x ∂ u ∂ z ∂ x \dfrac{\pd z}{\pd x} ∂ x ∂ z f 1 ′ f_1' f 1 ′
全微分形式不变性：d z = f 1 ′ d u + f 2 ′ d v \dd z=f_1'\dd u+f_2'\dd v d z = f 1 ′ d u + f 2 ′ d v d u \dd u d u d v \dd v d v
欧拉公式（选学）：z z z k k k z ( t x , t y ) = t k z z(tx,ty)=t^kz z ( t x , t y ) = t k z x z x + y z y = k z xz_x+yz_y=kz x z x + y z y = k z
方法卡 · 复合函数的一阶偏导
什么时候用
抽象复合函数
z = f ( ⋯ ) z=f(\cdots) z = f ( ⋯ ) 的偏导、偏导组合式、某点的全微分。
步骤
画树形图：z z z
对 x x x x x x
题目要一个组合式（如 x z x + y z y xz_x+yz_y x z x + y z y
题目给了“f ( 式子 ) = f(\text{式子})= f ( 式子 ) = x x x f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′ 最容易错
漏掉一条路径（尤其是自变量
x x x 既在第 1 位又藏在第 2 位时）；把一元的
f ′ f' f ′ 写成
f 1 ′ f_1' f 1 ′ ，或把二元的
f 1 ′ f_1' f 1 ′ 写成
f ′ f' f ′ ；位置记号忘了“在哪个点取值”。
例 8.1 2019 数一(9)
设函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 可导，
z = f ( sin y − sin x ) + x y z=f(\sin y-\sin x)+xy z = f ( sin y − sin x ) + x y ，则
1 cos x ⋅ ∂ z ∂ x + 1 cos y ⋅ ∂ z ∂ y = \dfrac1{\cos x}\cdot\dfrac{\pd z}{\pd x}+\dfrac1{\cos y}\cdot\dfrac{\pd z}{\pd y}= cos x 1 ⋅ ∂ x ∂ z + cos y 1 ⋅ ∂ y ∂ z = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两个偏导。 ∂ z ∂ x = f ′ ⋅ ( − cos x ) + y \dfrac{\pd z}{\pd x}=f'\cdot(-\cos x)+y ∂ x ∂ z = f ′ ⋅ ( − cos x ) + y ∂ z ∂ y = f ′ ⋅ cos y + x \dfrac{\pd z}{\pd y}=f'\cdot\cos y+x ∂ y ∂ z = f ′ ⋅ cos y + x
f f f u = sin y − sin x u=\sin y-\sin x u = sin y − sin x u x = − cos x u_x=-\cos x u x = − cos x u y = cos y u_y=\cos y u y = cos y
② 组合。 z x cos x + z y cos y = − f ′ + y cos x + f ′ + x cos y = y cos x + x cos y \dfrac{z_x}{\cos x}+\dfrac{z_y}{\cos y}=-f'+\dfrac y{\cos x}+f'+\dfrac x{\cos y}=\dfrac y{\cos x}+\dfrac x{\cos y} cos x z x + cos y z y = − f ′ + cos x y + f ′ + cos y x = cos x y + cos y x
含 f ′ f' f ′
答案：y cos x + x cos y \frac y{\cos x}+\frac x{\cos y} c o s x y + c o s y x
例 8.2 2022 数一(2)
设
f ( u ) f(u) f ( u ) 可导，
z = x y f ( y x ) z=xyf\Big(\dfrac yx\Big) z = x y f ( x y ) ，若
x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = y 2 ( ln y − ln x ) x\dfrac{\pd z}{\pd x}+y\dfrac{\pd z}{\pd y}=y^2(\ln y-\ln x) x ∂ x ∂ z + y ∂ y ∂ z = y 2 ( ln y − ln x ) ，则（ ）
（A）
f ( 1 ) = 1 2 f(1)=\dfrac12 f ( 1 ) = 2 1 ，
f ′ ( 1 ) = 0 f'(1)=0 f ′ ( 1 ) = 0 （B）
f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 ，
f ′ ( 1 ) = 1 2 f'(1)=\dfrac12 f ′ ( 1 ) = 2 1 （C）
f ( 1 ) = 1 2 f(1)=\dfrac12 f ( 1 ) = 2 1 ，
f ′ ( 1 ) = 1 f'(1)=1 f ′ ( 1 ) = 1 （D）
f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 ，
f ′ ( 1 ) = 1 f'(1)=1 f ′ ( 1 ) = 1 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 算 x z x + y z y xz_x+yz_y x z x + y z y z x = y f − y 2 x f ′ z_x=yf-\dfrac{y^2}xf' z x = y f − x y 2 f ′ z y = x f + y f ′ z_y=xf+yf' z y = x f + y f ′ f , f ′ f,f' f , f ′ y x \frac yx x y x z x + y z y = x y f − y 2 f ′ + x y f + y 2 f ′ = 2 x y f ( y x ) xz_x+yz_y=xyf-y^2f'+xyf+y^2f'=2xyf\Big(\dfrac yx\Big) x z x + y z y = x y f − y 2 f ′ + x y f + y 2 f ′ = 2 x y f ( x y )
y x \frac yx x y x x x − y x 2 -\frac y{x^2} − x 2 y y y y 1 x \frac1x x 1 f ′ f' f ′ z z z 2 z 2z 2 z
② 解出 f f f 2 x y f ( y x ) = y 2 ln y x 2xyf\Big(\dfrac yx\Big)=y^2\ln\dfrac yx 2 x y f ( x y ) = y 2 ln x y u = y x u=\dfrac yx u = x y f ( u ) = u 2 ln u f(u)=\dfrac u2\ln u f ( u ) = 2 u ln u
两边除以 2 x y 2xy 2 x y y 2 x ln y x \frac{y}{2x}\ln\frac yx 2 x y ln x y u u u
③ 代值。 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 f ′ ( u ) = 1 2 ( ln u + 1 ) f'(u)=\dfrac12(\ln u+1) f ′ ( u ) = 2 1 ( ln u + 1 ) f ′ ( 1 ) = 1 2 f'(1)=\dfrac12 f ′ ( 1 ) = 2 1
u 2 ln u \frac u2\ln u 2 u ln u 1 2 ln u + u 2 ⋅ 1 u \frac12\ln u+\frac u2\cdot\frac1u 2 1 ln u + 2 u ⋅ u 1
答案：B
例 8.3 2021 数一(2) 2021 数二(6) 2021 数三(4)
设函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 可微，且
f ( x + 1 , e x ) = x ( x + 1 ) 2 f(x+1,\e^x)=x(x+1)^2 f ( x + 1 , e x ) = x ( x + 1 ) 2 ，
f ( x , x 2 ) = 2 x 2 ln x f(x,x^2)=2x^2\ln x f ( x , x 2 ) = 2 x 2 ln x ，则
d f ( 1 , 1 ) = \dd f(1,1)= d f ( 1 , 1 ) = （ ）
（A）
d x + d y \dd x+\dd y d x + d y （B）
d x − d y \dd x-\dd y d x − d y （C）
d y \dd y d y （D）
− d y -\dd y − d y 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 第一个等式对 x x x x = 0 x=0 x = 0 f 1 ′ ( x + 1 , e x ) + e x f 2 ′ ( x + 1 , e x ) = ( x + 1 ) 2 + 2 x ( x + 1 ) f_1'(x+1,\e^x)+\e^xf_2'(x+1,\e^x)=(x+1)^2+2x(x+1) f 1 ′ ( x + 1 , e x ) + e x f 2 ′ ( x + 1 , e x ) = ( x + 1 ) 2 + 2 x ( x + 1 ) x = 0 x=0 x = 0 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 1 f_1'(1,1)+f_2'(1,1)=1 f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 1
左边是复合函数，两个位置对 x x x e x \e^x e x x = 0 x=0 x = 0 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
② 第二个等式对 x x x x = 1 x=1 x = 1 f 1 ′ ( x , x 2 ) + 2 x f 2 ′ ( x , x 2 ) = 4 x ln x + 2 x f_1'(x,x^2)+2xf_2'(x,x^2)=4x\ln x+2x f 1 ′ ( x , x 2 ) + 2 x f 2 ′ ( x , x 2 ) = 4 x ln x + 2 x x = 1 x=1 x = 1 f 1 ′ ( 1 , 1 ) + 2 f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 2 f_1'(1,1)+2f_2'(1,1)=2 f 1 ′ ( 1 , 1 ) + 2 f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 2
取 x = 1 x=1 x = 1 ( x , x 2 ) (x,x^2) ( x , x 2 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) f 1 ′ ( 1 , 1 ) f_1'(1,1) f 1 ′ ( 1 , 1 ) f 2 ′ ( 1 , 1 ) f_2'(1,1) f 2 ′ ( 1 , 1 )
③ 解方程组。 f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 1 f_2'(1,1)=1 f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 1 f 1 ′ ( 1 , 1 ) = 0 f_1'(1,1)=0 f 1 ′ ( 1 , 1 ) = 0 d f ( 1 , 1 ) = d y \dd f(1,1)=\dd y d f ( 1 , 1 ) = d y
两个方程左边只差一个 f 2 ′ f_2' f 2 ′ f 2 ′ = 1 f_2'=1 f 2 ′ = 1 f 1 ′ = 0 f_1'=0 f 1 ′ = 0
答案：C
例 8.4 2013 数二(5)
设
z = y x f ( x y ) z=\dfrac yxf(xy) z = x y f ( x y ) ，其中函数
f f f 可微，则
x y ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = \dfrac xy\dfrac{\pd z}{\pd x}+\dfrac{\pd z}{\pd y}= y x ∂ x ∂ z + ∂ y ∂ z = （ ）
（A）
2 y f ′ ( x y ) 2yf'(xy) 2 y f ′ ( x y ) （B）
− 2 y f ′ ( x y ) -2yf'(xy) − 2 y f ′ ( x y ) （C）
2 x f ( x y ) \dfrac2xf(xy) x 2 f ( x y ) （D）
− 2 x f ( x y ) -\dfrac2xf(xy) − x 2 f ( x y ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两个偏导。 ∂ z ∂ x = − y x 2 f + y 2 x f ′ \dfrac{\pd z}{\pd x}=-\dfrac y{x^2}f+\dfrac{y^2}xf' ∂ x ∂ z = − x 2 y f + x y 2 f ′ ∂ z ∂ y = 1 x f + y f ′ \dfrac{\pd z}{\pd y}=\dfrac1xf+yf' ∂ y ∂ z = x 1 f + y f ′
乘积法则；f ( x y ) f(xy) f ( x y ) x x x y f ′ yf' y f ′ y y y x f ′ xf' x f ′
② 组合。 x y ∂ z ∂ x = − f x + y f ′ \dfrac xy\dfrac{\pd z}{\pd x}=-\dfrac fx+yf' y x ∂ x ∂ z = − x f + y f ′ ∂ z ∂ y \dfrac{\pd z}{\pd y} ∂ y ∂ z 2 y f ′ ( x y ) 2yf'(xy) 2 y f ′ ( x y )
− f x -\frac fx − x f f x \frac fx x f y f ′ yf' y f ′
答案：A
例 8.5 2015 数二(5)
设函数
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 满足
f ( x + y , y x ) = x 2 − y 2 f\Big(x+y,\dfrac yx\Big)=x^2-y^2 f ( x + y , x y ) = x 2 − y 2 ，则
∂ f ∂ u ∣ u = 1 v = 1 \dfrac{\pd f}{\pd u}\Big|_{\substack{u=1\\v=1}} ∂ u ∂ f u = 1 v = 1 与
∂ f ∂ v ∣ u = 1 v = 1 \dfrac{\pd f}{\pd v}\Big|_{\substack{u=1\\v=1}} ∂ v ∂ f u = 1 v = 1 依次是（ ）
（A）
1 2 , 0 \dfrac12,0 2 1 , 0 （B）
0 , 1 2 0,\dfrac12 0 , 2 1 （C）
− 1 2 , 0 -\dfrac12,0 − 2 1 , 0 （D）
0 , − 1 2 0,-\dfrac12 0 , − 2 1 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先求出 f f f 令 u = x + y u=x+y u = x + y v = y x v=\dfrac yx v = x y x = u 1 + v x=\dfrac u{1+v} x = 1 + v u y = u v 1 + v y=\dfrac{uv}{1+v} y = 1 + v uv f ( u , v ) = x 2 − y 2 = u 2 ( 1 − v 2 ) ( 1 + v ) 2 = u 2 ( 1 − v ) 1 + v f(u,v)=x^2-y^2=\dfrac{u^2(1-v^2)}{(1+v)^2}=\dfrac{u^2(1-v)}{1+v} f ( u , v ) = x 2 − y 2 = ( 1 + v ) 2 u 2 ( 1 − v 2 ) = 1 + v u 2 ( 1 − v )
“f ( 式子 ) = ⋯ f(\text{式子})=\cdots f ( 式子 ) = ⋯ x , y x,y x , y f f f
② 求偏导。 f u = 2 u ( 1 − v ) 1 + v f_u=\dfrac{2u(1-v)}{1+v} f u = 1 + v 2 u ( 1 − v ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) f v = u 2 ⋅ − 2 ( 1 + v ) 2 f_v=u^2\cdot\dfrac{-2}{(1+v)^2} f v = u 2 ⋅ ( 1 + v ) 2 − 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) − 1 2 -\dfrac12 − 2 1
对 v v v u 2 u^2 u 2 1 − v 1 + v \frac{1-v}{1+v} 1 + v 1 − v
答案：D
例 8.6 2020 数二(11) 2020 数三(9)
设
z = arctan [ x y + sin ( x + y ) ] z=\arctan[xy+\sin(x+y)] z = arctan [ x y + sin ( x + y )] ，则
d z ∣ ( 0 , π ) = \dd z|_{(0,\pi)}= d z ∣ ( 0 , π ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 内层在该点的值。 w = x y + sin ( x + y ) w=xy+\sin(x+y) w = x y + sin ( x + y ) ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π ) 0 + sin π = 0 0+\sin\pi=0 0 + sin π = 0 1 1 + w 2 = 1 \dfrac1{1+w^2}=1 1 + w 2 1 = 1
先把最外层导数的“系数”算出来。
② 两个偏导。 z x = y + cos ( x + y ) 1 + w 2 = π − 1 z_x=\dfrac{y+\cos(x+y)}{1+w^2}=\pi-1 z x = 1 + w 2 y + cos ( x + y ) = π − 1 z y = x + cos ( x + y ) 1 + w 2 = − 1 z_y=\dfrac{x+\cos(x+y)}{1+w^2}=-1 z y = 1 + w 2 x + cos ( x + y ) = − 1
在 ( 0 , π ) (0,\pi) ( 0 , π ) cos ( x + y ) = cos π = − 1 \cos(x+y)=\cos\pi=-1 cos ( x + y ) = cos π = − 1 1 1 + w 2 = 1 \frac1{1+w^2}=1 1 + w 2 1 = 1
③ 全微分。 d z ∣ ( 0 , π ) = ( π − 1 ) d x − d y \dd z|_{(0,\pi)}=(\pi-1)\dd x-\dd y d z ∣ ( 0 , π ) = ( π − 1 ) d x − d y
全微分等于两个偏导数分别乘 d x \dd x d x d y \dd y d y
答案：( π − 1 ) d x − d y (\pi-1)\dx-\dy ( π − 1 ) d x − d y
例 8.7 2026 数二(14)
已知
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 可微，且
d f ( 0 , 0 ) = π d x + 3 d y \dd f(0,0)=\pi\dd x+3\dd y d f ( 0 , 0 ) = π d x + 3 d y ，
g ( x ) = f ( ln x , sin π x ) g(x)=f(\ln x,\sin\pi x) g ( x ) = f ( ln x , sin π x ) ，则
g ′ ( 1 ) = g'(1)= g ′ ( 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 读出偏导。 f 1 ′ ( 0 , 0 ) = π f_1'(0,0)=\pi f 1 ′ ( 0 , 0 ) = π f 2 ′ ( 0 , 0 ) = 3 f_2'(0,0)=3 f 2 ′ ( 0 , 0 ) = 3
全微分的两个系数就是两个偏导数。
② 一元复合。 g ′ ( x ) = f 1 ′ ⋅ 1 x + f 2 ′ ⋅ π cos π x g'(x)=f_1'\cdot\dfrac1x+f_2'\cdot\pi\cos\pi x g ′ ( x ) = f 1 ′ ⋅ x 1 + f 2 ′ ⋅ π cos π x x = 1 x=1 x = 1 ( ln 1 , sin π ) = ( 0 , 0 ) (\ln1,\sin\pi)=(0,0) ( ln 1 , sin π ) = ( 0 , 0 ) g ′ ( 1 ) = π ⋅ 1 + 3 ⋅ π ⋅ ( − 1 ) = − 2 π g'(1)=\pi\cdot1+3\cdot\pi\cdot(-1)=-2\pi g ′ ( 1 ) = π ⋅ 1 + 3 ⋅ π ⋅ ( − 1 ) = − 2 π
g g g x x x
答案：− 2 π -2\pi − 2 π
8.2 抽象复合函数的二阶偏导大白话：二阶偏导最容易错的地方只有一个：f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′ f f f f u f_u f u f f f f f f f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f_{12}''=f_{21}'' f 12 ′′ = f 21 ′′
f 11 ″ f 12 ″ ∂u /∂x ∂v /∂x f 1 ′ u v x y x y f 1 ′( u , v ) 与 f 的结构完全相同，照样画树对 f 1 ′ ( u , v ) f_1'(u,v) f 1 ′ ( u , v ) x x x ∂ f 1 ′ ∂ x = f 11 ′ ′ ∂ u ∂ x + f 12 ′ ′ ∂ v ∂ x \dfrac{\pd f_1'}{\pd x}=f_{11}''\dfrac{\pd u}{\pd x}+f_{12}''\dfrac{\pd v}{\pd x} ∂ x ∂ f 1 ′ = f 11 ′′ ∂ x ∂ u + f 12 ′′ ∂ x ∂ v 二阶偏导的展开
z = f ( u , v ) z=f(u,v) z = f ( u , v ) u = u ( x , y ) u=u(x,y) u = u ( x , y ) v = v ( x , y ) v=v(x,y) v = v ( x , y )
∂ 2 z ∂ x 2 = ( f 11 ′ ′ u x + f 12 ′ ′ v x ) u x + f 1 ′ u x x + ( f 21 ′ ′ u x + f 22 ′ ′ v x ) v x + f 2 ′ v x x . \displaystyle \frac{\pd^2z}{\pd x^2}=\big(f_{11}''u_x+f_{12}''v_x\big)u_x+f_1'u_{xx}+\big(f_{21}''u_x+f_{22}''v_x\big)v_x+f_2'v_{xx}. ∂ x 2 ∂ 2 z = ( f 11 ′′ u x + f 12 ′′ v x ) u x + f 1 ′ u xx + ( f 21 ′′ u x + f 22 ′′ v x ) v x + f 2 ′ v xx .
记法：f 1 ′ u x f_1'u_x f 1 ′ u x x x x f 1 ′ f_1' f 1 ′ u x u_x u x f 1 ′ f_1' f 1 ′ u x u_x u x
方法卡 · 二阶偏导
什么时候用
求
z x y z_{xy} z x y 、
z x x z_{xx} z xx ，或某点的二阶导数值；求二阶偏导的组合式。
步骤
先求一阶，写成“f 1 ′ × f_1'\times f 1 ′ × + f 2 ′ × +f_2'\times + f 2 ′ ×
对每个乘积用乘积法则；对 f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′ f 11 ′ ′ , f 12 ′ ′ , f 22 ′ ′ f_{11}'',f_{12}'',f_{22}'' f 11 ′′ , f 12 ′′ , f 22 ′′
有二阶连续偏导就合并 f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f_{12}''=f_{21}'' f 12 ′′ = f 21 ′′
只要某点的值：能先代入的先代入（为 0 的项直接消失），别把整个式子都展开。 最容易错
对
f 1 ′ f_1' f 1 ′ 求导时忘了它还是复合函数（只写
f 11 ′ ′ f_{11}'' f 11 ′′ 漏了
f 12 ′ ′ f_{12}'' f 12 ′′ 那一项）；乘积法则漏掉“对系数求导”那一项；代点时
f i j ′ ′ f_{ij}'' f ij ′′ 的取值点写错。
例 8.8 2011 数一(16) 2011 数二(17)
设函数
z = f ( x y , y g ( x ) ) z=f(xy,yg(x)) z = f ( x y , y g ( x )) ，其中函数
f f f 具有二阶连续偏导数，函数
g ( x ) g(x) g ( x ) 可导，且在
x = 1 x=1 x = 1 处取得极值
g ( 1 ) = 1 g(1)=1 g ( 1 ) = 1 。求
∂ 2 z ∂ x ∂ y ∣ x = 1 y = 1 \dfrac{\pd^2z}{\pd x\pd y}\Big|_{\substack{x=1\\y=1}} ∂ x ∂ y ∂ 2 z x = 1 y = 1 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 ∂ z ∂ x = y f 1 ′ + y g ′ ( x ) f 2 ′ \dfrac{\pd z}{\pd x}=yf_1'+yg'(x)f_2' ∂ x ∂ z = y f 1 ′ + y g ′ ( x ) f 2 ′
第 1 位 x y xy x y x x x y y y y g ( x ) yg(x) y g ( x ) x x x y g ′ ( x ) yg'(x) y g ′ ( x )
② 对 y y y ∂ 2 z ∂ x ∂ y = f 1 ′ + y [ x f 11 ′ ′ + g ( x ) f 12 ′ ′ ] + g ′ ( x ) f 2 ′ + y g ′ ( x ) [ x f 21 ′ ′ + g ( x ) f 22 ′ ′ ] \dfrac{\pd^2z}{\pd x\pd y}=f_1'+y\big[xf_{11}''+g(x)f_{12}''\big]+g'(x)f_2'+yg'(x)\big[xf_{21}''+g(x)f_{22}''\big] ∂ x ∂ y ∂ 2 z = f 1 ′ + y [ x f 11 ′′ + g ( x ) f 12 ′′ ] + g ′ ( x ) f 2 ′ + y g ′ ( x ) [ x f 21 ′′ + g ( x ) f 22 ′′ ]
y f 1 ′ yf_1' y f 1 ′ y y y f 1 ′ f_1' f 1 ′ y y y f 1 ′ f_1' f 1 ′ y y y y y y x x x y y y g ( x ) g(x) g ( x )
③ 代点。 g g g g ′ ( 1 ) = 0 g'(1)=0 g ′ ( 1 ) = 0 g ( 1 ) = 1 g(1)=1 g ( 1 ) = 1 ( x y , y g ( x ) ) = ( 1 , 1 ) (xy,yg(x))=(1,1) ( x y , y g ( x )) = ( 1 , 1 ) ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∣ ( 1 , 1 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 11 ′ ′ ( 1 , 1 ) + f 12 ′ ′ ( 1 , 1 ) \dfrac{\pd^2z}{\pd x\pd y}\Big|_{(1,1)}=f_1'(1,1)+f_{11}''(1,1)+f_{12}''(1,1) ∂ x ∂ y ∂ 2 z ( 1 , 1 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 11 ′′ ( 1 , 1 ) + f 12 ′′ ( 1 , 1 )
可导的极值点处导数为 0，含 g ′ ( 1 ) g'(1) g ′ ( 1 )
答案：f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 11 ′ ′ ( 1 , 1 ) + f 12 ′ ′ ( 1 , 1 ) f_1'(1,1)+f_{11}''(1,1)+f_{12}''(1,1) f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 11 ′′ ( 1 , 1 ) + f 12 ′′ ( 1 , 1 )
例 8.9 2017 数一(15) 2017 数二(16)
设函数
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 具有 2 阶连续偏导数，
y = f ( e x , cos x ) y=f(\e^x,\cos x) y = f ( e x , cos x ) ，求
d y d x ∣ x = 0 \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=0} d x d y x = 0 ，
d 2 y d x 2 ∣ x = 0 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{x=0} d x 2 d 2 y x = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 y ′ = e x f 1 ′ − sin x f 2 ′ y'=\e^xf_1'-\sin x\,f_2' y ′ = e x f 1 ′ − sin x f 2 ′ x = 0 x=0 x = 0 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) y ′ ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) y'(0)=f_1'(1,1) y ′ ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 )
y y y x x x ( e x ) ′ = e x (\e^x)'=\e^x ( e x ) ′ = e x ( cos x ) ′ = − sin x (\cos x)'=-\sin x ( cos x ) ′ = − sin x
② 二阶。 y ′ ′ = e x f 1 ′ + e x ( e x f 11 ′ ′ − sin x f 12 ′ ′ ) − cos x f 2 ′ − sin x ( e x f 21 ′ ′ − sin x f 22 ′ ′ ) y''=\e^xf_1'+\e^x\big(\e^xf_{11}''-\sin x\,f_{12}''\big)-\cos x\,f_2'-\sin x\big(\e^xf_{21}''-\sin x\,f_{22}''\big) y ′′ = e x f 1 ′ + e x ( e x f 11 ′′ − sin x f 12 ′′ ) − cos x f 2 ′ − sin x ( e x f 21 ′′ − sin x f 22 ′′ )
每一项都是乘积：先对系数求导，再对 f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′
③ 代 x = 0 x=0 x = 0 sin 0 = 0 \sin0=0 sin 0 = 0 e 0 = cos 0 = 1 \e^0=\cos0=1 e 0 = cos 0 = 1 y ′ ′ ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 11 ′ ′ ( 1 , 1 ) − f 2 ′ ( 1 , 1 ) y''(0)=f_1'(1,1)+f_{11}''(1,1)-f_2'(1,1) y ′′ ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) + f 11 ′′ ( 1 , 1 ) − f 2 ′ ( 1 , 1 )
含 sin x \sin x sin x
答案：y ′ ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) y'(0)=f_1'(1,1) y ′ ( 0 ) = f 1 ′ ( 1 , 1 ) y ′ ′ ( 0 ) = f 11 ′ ′ ( 1 , 1 ) + f 1 ′ ( 1 , 1 ) − f 2 ′ ( 1 , 1 ) y''(0)=f_{11}''(1,1)+f_1'(1,1)-f_2'(1,1) y ′′ ( 0 ) = f 11 ′′ ( 1 , 1 ) + f 1 ′ ( 1 , 1 ) − f 2 ′ ( 1 , 1 )
例 8.10 2024 数一(12)
设
z = f ( u , v ) z=f(u,v) z = f ( u , v ) 有二阶连续偏导数，
d f ∣ ( 1 , 1 ) = 3 d u + 4 d v \dd f|_{(1,1)}=3\du+4\dv d f ∣ ( 1 , 1 ) = 3 d u + 4 d v ，
y = f ( cos x , 1 + x 2 ) y=f(\cos x,1+x^2) y = f ( cos x , 1 + x 2 ) ，则
d 2 y d x 2 ∣ x = 0 = \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{x=0}= d x 2 d 2 y x = 0 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 y ′ = − sin x f 1 ′ + 2 x f 2 ′ y'=-\sin x\,f_1'+2x\,f_2' y ′ = − sin x f 1 ′ + 2 x f 2 ′
两个位置对 x x x − sin x -\sin x − sin x 2 x 2x 2 x
② 二阶只保留不为 0 的项。 y ′ ′ = − cos x f 1 ′ − sin x ( ⋯ ) + 2 f 2 ′ + 2 x ( ⋯ ) y''=-\cos x\,f_1'-\sin x\,(\cdots)+2f_2'+2x\,(\cdots) y ′′ = − cos x f 1 ′ − sin x ( ⋯ ) + 2 f 2 ′ + 2 x ( ⋯ ) f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′ x x x x = 0 x=0 x = 0 sin x = 2 x = 0 \sin x=2x=0 sin x = 2 x = 0
只求 x = 0 x=0 x = 0
③ 代值。 点为 ( cos 0 , 1 ) = ( 1 , 1 ) (\cos0,1)=(1,1) ( cos 0 , 1 ) = ( 1 , 1 ) y ′ ′ ( 0 ) = − f 1 ′ ( 1 , 1 ) + 2 f 2 ′ ( 1 , 1 ) = − 3 + 8 = 5 y''(0)=-f_1'(1,1)+2f_2'(1,1)=-3+8=5 y ′′ ( 0 ) = − f 1 ′ ( 1 , 1 ) + 2 f 2 ′ ( 1 , 1 ) = − 3 + 8 = 5
全微分的两个系数就是两个偏导数：由 d f ∣ ( 1 , 1 ) = 3 d u + 4 d v \dd f|_{(1,1)}=3\du+4\dv d f ∣ ( 1 , 1 ) = 3 d u + 4 d v f 1 ′ = 3 f_1'=3 f 1 ′ = 3 f 2 ′ = 4 f_2'=4 f 2 ′ = 4
答案：5
例 8.11 2019 数三(16)
设函数
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 具有 2 阶连续偏导数，函数
g ( x , y ) = x y − f ( x + y , x − y ) g(x,y)=xy-f(x+y,x-y) g ( x , y ) = x y − f ( x + y , x − y ) 。求
∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ x ∂ y + ∂ 2 g ∂ y 2 \dfrac{\pd^2g}{\pd x^2}+\dfrac{\pd^2g}{\pd x\pd y}+\dfrac{\pd^2g}{\pd y^2} ∂ x 2 ∂ 2 g + ∂ x ∂ y ∂ 2 g + ∂ y 2 ∂ 2 g 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 g x = y − f 1 ′ − f 2 ′ g_x=y-f_1'-f_2' g x = y − f 1 ′ − f 2 ′ g y = x − f 1 ′ + f 2 ′ g_y=x-f_1'+f_2' g y = x − f 1 ′ + f 2 ′
第 1 位 x + y x+y x + y x , y x,y x , y x − y x-y x − y x x x y y y − 1 -1 − 1
② 三个二阶。 g x x = − f 11 ′ ′ − 2 f 12 ′ ′ − f 22 ′ ′ g_{xx}=-f_{11}''-2f_{12}''-f_{22}'' g xx = − f 11 ′′ − 2 f 12 ′′ − f 22 ′′ g x y = 1 − f 11 ′ ′ + f 22 ′ ′ g_{xy}=1-f_{11}''+f_{22}'' g x y = 1 − f 11 ′′ + f 22 ′′ g y y = − f 11 ′ ′ + 2 f 12 ′ ′ − f 22 ′ ′ g_{yy}=-f_{11}''+2f_{12}''-f_{22}'' g yy = − f 11 ′′ + 2 f 12 ′′ − f 22 ′′
例如 g x y g_{xy} g x y y y y − f 1 ′ -f_1' − f 1 ′ − ( f 11 ′ ′ − f 12 ′ ′ ) -(f_{11}''-f_{12}'') − ( f 11 ′′ − f 12 ′′ ) − f 2 ′ -f_2' − f 2 ′ − ( f 21 ′ ′ − f 22 ′ ′ ) -(f_{21}''-f_{22}'') − ( f 21 ′′ − f 22 ′′ ) f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f_{12}''=f_{21}'' f 12 ′′ = f 21 ′′
③ 相加。 g x x + g x y + g y y = 1 − 3 f 11 ′ ′ − f 22 ′ ′ g_{xx}+g_{xy}+g_{yy}=1-3f_{11}''-f_{22}'' g xx + g x y + g yy = 1 − 3 f 11 ′′ − f 22 ′′
三个二阶偏导相加时 f 12 ′ ′ f_{12}'' f 12 ′′ − 2 + 0 + 2 = 0 -2+0+2=0 − 2 + 0 + 2 = 0
答案：1 − 3 f 11 ′ ′ − f 22 ′ ′ 1-3f_{11}''-f_{22}'' 1 − 3 f 11 ′′ − f 22 ′′
例 8.12 2011 数三(16)
已知函数
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数，
f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2 是
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 的极值，
z = f ( x + y , f ( x , y ) ) z=f(x+y,f(x,y)) z = f ( x + y , f ( x , y )) 。求
∂ 2 z ∂ x ∂ y ∣ ( 1 , 1 ) \dfrac{\pd^2z}{\pd x\pd y}\Big|_{(1,1)} ∂ x ∂ y ∂ 2 z ( 1 , 1 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 z x = f 1 ′ ( x + y , f ( x , y ) ) + f 2 ′ ( x + y , f ( x , y ) ) ⋅ f 1 ′ ( x , y ) z_x=f_1'(x+y,f(x,y))+f_2'(x+y,f(x,y))\cdot f_1'(x,y) z x = f 1 ′ ( x + y , f ( x , y )) + f 2 ′ ( x + y , f ( x , y )) ⋅ f 1 ′ ( x , y )
这里有两个“f f f f f f ( x + y , f ( x , y ) ) (x+y,f(x,y)) ( x + y , f ( x , y )) f f f ( x , y ) (x,y) ( x , y )
② 对 y y y z x y = f 11 ′ ′ + f 12 ′ ′ ⋅ f 2 ′ ( x , y ) + [ f 21 ′ ′ + f 22 ′ ′ ⋅ f 2 ′ ( x , y ) ] f 1 ′ ( x , y ) + f 2 ′ ⋅ f 12 ′ ′ ( x , y ) z_{xy}=f_{11}''+f_{12}''\cdot f_2'(x,y)+\big[f_{21}''+f_{22}''\cdot f_2'(x,y)\big]f_1'(x,y)+f_2'\cdot f_{12}''(x,y) z x y = f 11 ′′ + f 12 ′′ ⋅ f 2 ′ ( x , y ) + [ f 21 ′′ + f 22 ′′ ⋅ f 2 ′ ( x , y ) ] f 1 ′ ( x , y ) + f 2 ′ ⋅ f 12 ′′ ( x , y ) ( x + y , f ( x , y ) ) (x+y,f(x,y)) ( x + y , f ( x , y ))
最后一项是乘积 f 2 ′ ⋅ f 1 ′ ( x , y ) f_2'\cdot f_1'(x,y) f 2 ′ ⋅ f 1 ′ ( x , y ) f 1 ′ ( x , y ) f_1'(x,y) f 1 ′ ( x , y ) y y y
③ 代点。 f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2 f 1 ′ ( 1 , 1 ) = f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 0 f_1'(1,1)=f_2'(1,1)=0 f 1 ′ ( 1 , 1 ) = f 2 ′ ( 1 , 1 ) = 0 ( 2 , 2 ) (2,2) ( 2 , 2 ) z x y ( 1 , 1 ) = f 11 ′ ′ ( 2 , 2 ) + f 2 ′ ( 2 , 2 ) f 12 ′ ′ ( 1 , 1 ) z_{xy}(1,1)=f_{11}''(2,2)+f_2'(2,2)f_{12}''(1,1) z x y ( 1 , 1 ) = f 11 ′′ ( 2 , 2 ) + f 2 ′ ( 2 , 2 ) f 12 ′′ ( 1 , 1 )
可微函数的极值点处两个偏导都是 0（第 10 部分），含 f 1 ′ ( 1 , 1 ) f_1'(1,1) f 1 ′ ( 1 , 1 ) f 2 ′ ( 1 , 1 ) f_2'(1,1) f 2 ′ ( 1 , 1 )
答案：f 11 ′ ′ ( 2 , 2 ) + f 2 ′ ( 2 , 2 ) f 12 ′ ′ ( 1 , 1 ) f_{11}''(2,2)+f_2'(2,2)f_{12}''(1,1) f 11 ′′ ( 2 , 2 ) + f 2 ′ ( 2 , 2 ) f 12 ′′ ( 1 , 1 )
例 8.13 李林 第八章 §2 例 3 · p188—189
设
u = f ( x y , y z ) u=f\Big(\dfrac xy,\dfrac yz\Big) u = f ( y x , z y ) ，
f f f 有二阶连续偏导数，求
d u \dd u d u ，
∂ 2 u ∂ y ∂ z \dfrac{\pd^2u}{\pd y\pd z} ∂ y ∂ z ∂ 2 u 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 三个一阶偏导。 u x = 1 y f 1 ′ u_x=\dfrac1yf_1' u x = y 1 f 1 ′ u y = − x y 2 f 1 ′ + 1 z f 2 ′ u_y=-\dfrac x{y^2}f_1'+\dfrac1zf_2' u y = − y 2 x f 1 ′ + z 1 f 2 ′ u z = − y z 2 f 2 ′ u_z=-\dfrac y{z^2}f_2' u z = − z 2 y f 2 ′
y y y u y u_y u y
② 全微分。 d u = 1 y f 1 ′ d x + ( − x y 2 f 1 ′ + 1 z f 2 ′ ) d y − y z 2 f 2 ′ d z \dd u=\dfrac1yf_1'\dx+\Big(-\dfrac x{y^2}f_1'+\dfrac1zf_2'\Big)\dy-\dfrac y{z^2}f_2'\dz d u = y 1 f 1 ′ d x + ( − y 2 x f 1 ′ + z 1 f 2 ′ ) d y − z 2 y f 2 ′ d z
三元函数的全微分有三项。
③ u y z u_{yz} u yz ∂ 2 u ∂ y ∂ z = − x y 2 f 12 ′ ′ ⋅ ( − y z 2 ) − 1 z 2 f 2 ′ + 1 z f 22 ′ ′ ⋅ ( − y z 2 ) = x y z 2 f 12 ′ ′ − 1 z 2 f 2 ′ − y z 3 f 22 ′ ′ \dfrac{\pd^2u}{\pd y\pd z}=-\dfrac x{y^2}f_{12}''\cdot\Big(-\dfrac y{z^2}\Big)-\dfrac1{z^2}f_2'+\dfrac1zf_{22}''\cdot\Big(-\dfrac y{z^2}\Big)=\dfrac x{yz^2}f_{12}''-\dfrac1{z^2}f_2'-\dfrac y{z^3}f_{22}'' ∂ y ∂ z ∂ 2 u = − y 2 x f 12 ′′ ⋅ ( − z 2 y ) − z 2 1 f 2 ′ + z 1 f 22 ′′ ⋅ ( − z 2 y ) = y z 2 x f 12 ′′ − z 2 1 f 2 ′ − z 3 y f 22 ′′
第 1 位 x y \frac xy y x z z z f 1 ′ f_1' f 1 ′ z z z 1 z f 2 ′ \frac1zf_2' z 1 f 2 ′
答案：d u = 1 y f 1 ′ d x + ( − x y 2 f 1 ′ + 1 z f 2 ′ ) d y − y z 2 f 2 ′ d z \dd u=\frac1yf_1'\dx+\big(-\frac x{y^2}f_1'+\frac1zf_2'\big)\dy-\frac y{z^2}f_2'\dz d u = y 1 f 1 ′ d x + ( − y 2 x f 1 ′ + z 1 f 2 ′ ) d y − z 2 y f 2 ′ d z u y z = x y z 2 f 12 ′ ′ − 1 z 2 f 2 ′ − y z 3 f 22 ′ ′ u_{yz}=\frac x{yz^2}f_{12}''-\frac1{z^2}f_2'-\frac y{z^3}f_{22}'' u yz = y z 2 x f 12 ′′ − z 2 1 f 2 ′ − z 3 y f 22 ′′
8.3 具体函数与变限积分的偏导大白话：具体函数就是一元求导的老本事，只是把另一个变量当常数。变限积分 要特别小心：若积分号里的被积函数也含有要求导的变量，先想办法把它“请出去”（换元或拆开），或者换个求导顺序 ——混合偏导连续时 f x y = f y x f_{xy}=f_{yx} f x y = f y x
t O u =xy F =∫0 u g (t )dt 多出的细条 ≈ g (u )·Δu g (t )=sin t /(1+t ²)F ( x , y ) = ∫ 0 x y g ( t ) d t F(x,y)=\displaystyle\int_0^{xy}g(t)\dt F ( x , y ) = ∫ 0 x y g ( t ) d t g ( x y ) g(xy) g ( x y ) x x x y y y F x = g ( x y ) ⋅ y F_x=g(xy)\cdot y F x = g ( x y ) ⋅ y 变限积分求偏导
∂ ∂ x ∫ 0 φ ( x , y ) g ( t ) d t = g ( φ ( x , y ) ) ⋅ φ x \dfrac{\pd}{\pd x}\displaystyle\int_0^{\varphi(x,y)}g(t)\dt=g(\varphi(x,y))\cdot\varphi_x ∂ x ∂ ∫ 0 φ ( x , y ) g ( t ) d t = g ( φ ( x , y )) ⋅ φ x t t t 被积函数含参数（如 e x t 2 \e^{xt^2} e x t 2 ( x − y − t ) f ( t ) (x-y-t)f(t) ( x − y − t ) f ( t )
f x y f_{xy} f x y f y x f_{yx} f y x
方法卡 · 变限积分的偏导
什么时候用
F = ∫ a φ ( x , y ) g ( t ) d t F=\displaystyle\int_a^{\varphi(x,y)}g(t)\dt F = ∫ a φ ( x , y ) g ( t ) d t 或被积函数含
x , y x,y x , y 的积分，求一阶、二阶偏导。
步骤
看被积函数含不含要求导的变量：不含，直接“上限代入 × 上限的偏导”。
含：优先选另一个变量先求导；或把参数提出积分号。
组合型 φ ( x − y ) \varphi(x-y) φ ( x − y ) s = x − y s=x-y s = x − y G ( s ) G(s) G ( s ) s x = 1 s_x=1 s x = 1 s y = − 1 s_y=-1 s y = − 1 最容易错
被积函数含
x x x 还直接套上限公式；忘了乘上限的偏导。
例 8.14 2011 数一(11)
设函数
F ( x , y ) = ∫ 0 x y sin t 1 + t 2 d t F(x,y)=\displaystyle\int_0^{xy}\dfrac{\sin t}{1+t^2}\dt F ( x , y ) = ∫ 0 x y 1 + t 2 sin t d t ，则
∂ 2 F ∂ x 2 ∣ x = 0 y = 2 = \dfrac{\pd^2F}{\pd x^2}\Big|_{\substack{x=0\\y=2}}= ∂ x 2 ∂ 2 F x = 0 y = 2 = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 F x = sin ( x y ) 1 + x 2 y 2 ⋅ y F_x=\dfrac{\sin(xy)}{1+x^2y^2}\cdot y F x = 1 + x 2 y 2 sin ( x y ) ⋅ y
被积函数只含 t t t x y xy x y x x x y y y
② 二阶。 F x x = y ⋅ y cos ( x y ) ( 1 + x 2 y 2 ) − sin ( x y ) ⋅ 2 x y 2 ( 1 + x 2 y 2 ) 2 F_{xx}=y\cdot\dfrac{y\cos(xy)(1+x^2y^2)-\sin(xy)\cdot2xy^2}{(1+x^2y^2)^2} F xx = y ⋅ ( 1 + x 2 y 2 ) 2 y cos ( x y ) ( 1 + x 2 y 2 ) − sin ( x y ) ⋅ 2 x y 2 ( 0 , 2 ) (0,2) ( 0 , 2 ) 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 0 1 = 4 2\cdot\dfrac{2\cdot1\cdot1-0}{1}=4 2 ⋅ 1 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 0 = 4
商的求导法则；x = 0 x=0 x = 0 sin 0 = 0 \sin0=0 sin 0 = 0
答案：4
例 8.15 2020 数一(12)
设函数
f ( x , y ) = ∫ 0 x y e x t 2 d t f(x,y)=\displaystyle\int_0^{xy}\e^{xt^2}\dt f ( x , y ) = ∫ 0 x y e x t 2 d t ，则
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( 1 , 1 ) = \dfrac{\pd^2f}{\pd x\pd y}\Big|_{(1,1)}= ∂ x ∂ y ∂ 2 f ( 1 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 先对 y y y 被积函数不含 y y y f y = e x ( x y ) 2 ⋅ x = x e x 3 y 2 f_y=\e^{x(xy)^2}\cdot x=x\e^{x^3y^2} f y = e x ( x y ) 2 ⋅ x = x e x 3 y 2
如果先对 x x x e x t 2 \e^{xt^2} e x t 2 x x x y y y
② 再对 x x x f y x = e x 3 y 2 + x ⋅ 3 x 2 y 2 e x 3 y 2 f_{yx}=\e^{x^3y^2}+x\cdot3x^2y^2\e^{x^3y^2} f y x = e x 3 y 2 + x ⋅ 3 x 2 y 2 e x 3 y 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) e + 3 e = 4 e \e+3\e=4\e e + 3 e = 4 e
f f f f x y = f y x f_{xy}=f_{yx} f x y = f y x
答案：4 e 4\e 4 e
例 8.16 2022 数二(4) 2022 数三(3)
设函数
f ( t ) f(t) f ( t ) 连续，令
F ( x , y ) = ∫ 0 x − y ( x − y − t ) f ( t ) d t F(x,y)=\displaystyle\int_0^{x-y}(x-y-t)f(t)\dt F ( x , y ) = ∫ 0 x − y ( x − y − t ) f ( t ) d t ，则（ ）
（A）
∂ F ∂ x = ∂ F ∂ y \dfrac{\pd F}{\pd x}=\dfrac{\pd F}{\pd y} ∂ x ∂ F = ∂ y ∂ F ，
∂ 2 F ∂ x 2 = ∂ 2 F ∂ y 2 \dfrac{\pd^2F}{\pd x^2}=\dfrac{\pd^2F}{\pd y^2} ∂ x 2 ∂ 2 F = ∂ y 2 ∂ 2 F （B）
∂ F ∂ x = ∂ F ∂ y \dfrac{\pd F}{\pd x}=\dfrac{\pd F}{\pd y} ∂ x ∂ F = ∂ y ∂ F ，
∂ 2 F ∂ x 2 = − ∂ 2 F ∂ y 2 \dfrac{\pd^2F}{\pd x^2}=-\dfrac{\pd^2F}{\pd y^2} ∂ x 2 ∂ 2 F = − ∂ y 2 ∂ 2 F （C）
∂ F ∂ x = − ∂ F ∂ y \dfrac{\pd F}{\pd x}=-\dfrac{\pd F}{\pd y} ∂ x ∂ F = − ∂ y ∂ F ，
∂ 2 F ∂ x 2 = ∂ 2 F ∂ y 2 \dfrac{\pd^2F}{\pd x^2}=\dfrac{\pd^2F}{\pd y^2} ∂ x 2 ∂ 2 F = ∂ y 2 ∂ 2 F （D）
∂ F ∂ x = − ∂ F ∂ y \dfrac{\pd F}{\pd x}=-\dfrac{\pd F}{\pd y} ∂ x ∂ F = − ∂ y ∂ F ，
∂ 2 F ∂ x 2 = − ∂ 2 F ∂ y 2 \dfrac{\pd^2F}{\pd x^2}=-\dfrac{\pd^2F}{\pd y^2} ∂ x 2 ∂ 2 F = − ∂ y 2 ∂ 2 F 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 看成一元函数。 F F F s = x − y s=x-y s = x − y G ( s ) = ∫ 0 s ( s − t ) f ( t ) d t = s ∫ 0 s f ( t ) d t − ∫ 0 s t f ( t ) d t G(s)=\displaystyle\int_0^s(s-t)f(t)\dt=s\int_0^sf(t)\dt-\int_0^stf(t)\dt G ( s ) = ∫ 0 s ( s − t ) f ( t ) d t = s ∫ 0 s f ( t ) d t − ∫ 0 s t f ( t ) d t
被积函数里的 s s s
② 求导。 G ′ ( s ) = ∫ 0 s f ( t ) d t + s f ( s ) − s f ( s ) = ∫ 0 s f ( t ) d t G'(s)=\displaystyle\int_0^sf(t)\dt+sf(s)-sf(s)=\int_0^sf(t)\dt G ′ ( s ) = ∫ 0 s f ( t ) d t + s f ( s ) − s f ( s ) = ∫ 0 s f ( t ) d t G ′ ′ ( s ) = f ( s ) G''(s)=f(s) G ′′ ( s ) = f ( s )
乘积法则 + 变上限积分求导。
③ 回到 x , y x,y x , y F x = G ′ ⋅ 1 F_x=G'\cdot1 F x = G ′ ⋅ 1 F y = G ′ ⋅ ( − 1 ) F_y=G'\cdot(-1) F y = G ′ ⋅ ( − 1 ) F x = − F y F_x=-F_y F x = − F y F x x = G ′ ′ F_{xx}=G'' F xx = G ′′ F y y = G ′ ′ ⋅ ( − 1 ) 2 = G ′ ′ F_{yy}=G''\cdot(-1)^2=G'' F yy = G ′′ ⋅ ( − 1 ) 2 = G ′′
s = x − y s=x-y s = x − y x x x y y y − 1 -1 − 1 − 1 -1 − 1 ( − 1 ) 2 = 1 (-1)^2=1 ( − 1 ) 2 = 1
答案：C
例 8.17 李林 第八章 §2 例 2 · p188
设
u ( x , y ) = φ ( x + y ) + φ ( x − y ) + ∫ x − y x + y ψ ( t ) d t u(x,y)=\varphi(x+y)+\varphi(x-y)+\displaystyle\int_{x-y}^{x+y}\psi(t)\dt u ( x , y ) = φ ( x + y ) + φ ( x − y ) + ∫ x − y x + y ψ ( t ) d t ，其中
φ \varphi φ 有二阶导数，
ψ \psi ψ 有一阶导数，证明：
∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ 2 u ∂ y 2 \dfrac{\pd^2u}{\pd x^2}=\dfrac{\pd^2u}{\pd y^2} ∂ x 2 ∂ 2 u = ∂ y 2 ∂ 2 u 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 对 x x x u x = φ ′ ( x + y ) + φ ′ ( x − y ) + ψ ( x + y ) − ψ ( x − y ) u_x=\varphi'(x+y)+\varphi'(x-y)+\psi(x+y)-\psi(x-y) u x = φ ′ ( x + y ) + φ ′ ( x − y ) + ψ ( x + y ) − ψ ( x − y ) u x x = φ ′ ′ ( x + y ) + φ ′ ′ ( x − y ) + ψ ′ ( x + y ) − ψ ′ ( x − y ) u_{xx}=\varphi''(x+y)+\varphi''(x-y)+\psi'(x+y)-\psi'(x-y) u xx = φ ′′ ( x + y ) + φ ′′ ( x − y ) + ψ ′ ( x + y ) − ψ ′ ( x − y )
上下限都含 x x x
② 对 y y y u y = φ ′ ( x + y ) − φ ′ ( x − y ) + ψ ( x + y ) + ψ ( x − y ) u_y=\varphi'(x+y)-\varphi'(x-y)+\psi(x+y)+\psi(x-y) u y = φ ′ ( x + y ) − φ ′ ( x − y ) + ψ ( x + y ) + ψ ( x − y ) u y y = φ ′ ′ ( x + y ) + φ ′ ′ ( x − y ) + ψ ′ ( x + y ) − ψ ′ ( x − y ) u_{yy}=\varphi''(x+y)+\varphi''(x-y)+\psi'(x+y)-\psi'(x-y) u yy = φ ′′ ( x + y ) + φ ′′ ( x − y ) + ψ ′ ( x + y ) − ψ ′ ( x − y )
x − y x-y x − y y y y − 1 -1 − 1
③ 比较。 两式相同，所以 u x x = u y y u_{xx}=u_{yy} u xx = u yy
这是波动方程的达朗贝尔公式，考研只考它的求导技巧。
答案：证明题。思路：两次求导，x − y x-y x − y y y y − 1 -1 − 1 u x x u_{xx} u xx u y y u_{yy} u yy
8.4 隐函数：一个方程大白话：方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) z z z 两边对 x x x z z z x , y x,y x , y ，再解出 z x z_x z x z x = − F x F z z_x=-\dfrac{F_x}{F_z} z x = − F z F x F z ≠ 0 F_z\ne0 F z = 0 F z = 0 F_z=0 F z = 0 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y )
x y O F y ≠0：附近是 y =y (x )F y =0 竖直切线：一个 x 对两个 y x ²+y ²=1一元的情形：x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1 F y ≠ 0 F_y\ne0 F y = 0 y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) − F x F y = − x y -\dfrac{F_x}{F_y}=-\dfrac xy − F y F x = − y x ( ± 1 , 0 ) (\pm1,0) ( ± 1 , 0 ) F y = 0 F_y=0 F y = 0 隐函数求导公式
存在定理 ：F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F(x_0,y_0,z_0)=0 F ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 F F F F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_z(x_0,y_0,z_0)\ne0 F z ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 公式 ：∂ z ∂ x = − F x F z \dfrac{\pd z}{\pd x}=-\dfrac{F_x}{F_z} ∂ x ∂ z = − F z F x ∂ z ∂ y = − F y F z \dfrac{\pd z}{\pd y}=-\dfrac{F_y}{F_z} ∂ y ∂ z = − F z F y F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F ( x , y ) = 0 d y d x = − F x F y \dfrac{\dd y}{\dd x}=-\dfrac{F_x}{F_y} d x d y = − F y F x 三种做法 ：公式法（F x F_x F x z z z x x x z z z d \dd d d z \dd z d z 二阶 ：对“直接求导”得到的式子再求导一次（z z z z x z_x z x
方法卡 · 隐函数的偏导与全微分
什么时候用
“由方程 … 确定
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) ，求
z x z_x z x 、
d z ∣ P \dd z|_{P} d z ∣ P 、
z x x ∣ P z_{xx}|_P z xx ∣ P ”。
步骤
先把点代入方程，求出该点的 z z z
一阶：用公式或两边求导；求某点值时，一边求导一边代点最省事。
二阶：对一阶的等式再求导，再代入点和已算出的一阶值。
组合式：分别求出 z x z_x z x z y z_y z y F ( ⋯ ) F(\cdots) F ( ⋯ ) 最容易错
公式法里求
F x F_x F x 时把
z z z 也对
x x x 求导（公式法中
x , y , z x,y,z x , y , z 地位平等）；直接求导法里又忘了
z z z 是函数；忘了先求出点的
z z z 坐标；公式漏掉负号。
例 8.18 2010 数一(2) 2010 数二(5)
设函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
F ( y x , z x ) = 0 F\Big(\dfrac yx,\dfrac zx\Big)=0 F ( x y , x z ) = 0 确定，其中
F F F 为可微函数，且
F 2 ′ ≠ 0 F_2'\ne0 F 2 ′ = 0 ，则
x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = x\dfrac{\pd z}{\pd x}+y\dfrac{\pd z}{\pd y}= x ∂ x ∂ z + y ∂ y ∂ z = （ ）
（A）
x x x （B）
z z z （C）
− x -x − x （D）
− z -z − z 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 三个偏导（公式法，x , y , z x,y,z x , y , z F x = F 1 ′ ⋅ ( − y x 2 ) + F 2 ′ ⋅ ( − z x 2 ) F_x=F_1'\cdot\Big(-\dfrac y{x^2}\Big)+F_2'\cdot\Big(-\dfrac z{x^2}\Big) F x = F 1 ′ ⋅ ( − x 2 y ) + F 2 ′ ⋅ ( − x 2 z ) F y = 1 x F 1 ′ F_y=\dfrac1xF_1' F y = x 1 F 1 ′ F z = 1 x F 2 ′ F_z=\dfrac1xF_2' F z = x 1 F 2 ′
公式法里对 x x x z z z z x \frac zx x z x x x − z x 2 -\frac z{x^2} − x 2 z
② 代公式。 z x = − F x F z = y F 1 ′ + z F 2 ′ x F 2 ′ z_x=-\dfrac{F_x}{F_z}=\dfrac{yF_1'+zF_2'}{xF_2'} z x = − F z F x = x F 2 ′ y F 1 ′ + z F 2 ′ z y = − F y F z = − F 1 ′ F 2 ′ z_y=-\dfrac{F_y}{F_z}=-\dfrac{F_1'}{F_2'} z y = − F z F y = − F 2 ′ F 1 ′
分子分母同乘 x 2 x^2 x 2
③ 组合。 x z x + y z y = y F 1 ′ + z F 2 ′ − y F 1 ′ F 2 ′ = z xz_x+yz_y=\dfrac{yF_1'+zF_2'-yF_1'}{F_2'}=z x z x + y z y = F 2 ′ y F 1 ′ + z F 2 ′ − y F 1 ′ = z
通分后分子里的两个 y F 1 ′ yF_1' y F 1 ′ z F 2 ′ zF_2' z F 2 ′ F 2 ′ F_2' F 2 ′
答案：B
例 8.19 2015 数一(11)
若函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
e z + x y z + x + cos x = 2 \e^z+xyz+x+\cos x=2 e z + x yz + x + cos x = 2 确定，则
d z ∣ ( 0 , 1 ) = \dd z|_{(0,1)}= d z ∣ ( 0 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 求点的 z z z x = 0 , y = 1 x=0,y=1 x = 0 , y = 1 e z + 0 + 0 + 1 = 2 \e^z+0+0+1=2 e z + 0 + 0 + 1 = 2 z = 0 z=0 z = 0
不先求出 z z z
② 三个偏导。 F = e z + x y z + x + cos x − 2 F=\e^z+xyz+x+\cos x-2 F = e z + x yz + x + cos x − 2 F x = y z + 1 − sin x = 1 F_x=yz+1-\sin x=1 F x = yz + 1 − sin x = 1 F y = x z = 0 F_y=xz=0 F y = x z = 0 F z = e z + x y = 1 F_z=\e^z+xy=1 F z = e z + x y = 1 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 )
公式法：对谁求偏导，就把另外两个当常数。
③ 全微分。 z x = − 1 z_x=-1 z x = − 1 z y = 0 z_y=0 z y = 0 d z ∣ ( 0 , 1 ) = − d x \dd z|_{(0,1)}=-\dd x d z ∣ ( 0 , 1 ) = − d x
隐函数公式 z x = − F x F z = − 1 z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-1 z x = − F z F x = − 1 z y = − F y F z = 0 z_y=-\frac{F_y}{F_z}=0 z y = − F z F y = 0 d x \dd x d x
答案：− d x -\dx − d x
例 8.20 2016 数一(11) 2016 数三(11)
设函数
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 可微，
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
( x + 1 ) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) (x+1)z-y^2=x^2f(x-z,y) ( x + 1 ) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) 确定，则
d z ∣ ( 0 , 1 ) = \dd z|_{(0,1)}= d z ∣ ( 0 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点的 z z z x = 0 , y = 1 x=0,y=1 x = 0 , y = 1 z − 1 = 0 z-1=0 z − 1 = 0 z = 1 z=1 z = 1
右边有 x 2 x^2 x 2 x = 0 x=0 x = 0
② 对 x x x z + ( x + 1 ) z x = 2 x f + x 2 f 1 ′ ⋅ ( 1 − z x ) z+(x+1)z_x=2xf+x^2f_1'\cdot(1-z_x) z + ( x + 1 ) z x = 2 x f + x 2 f 1 ′ ⋅ ( 1 − z x ) x = 0 x=0 x = 0 z = 1 z=1 z = 1 1 + z x = 0 1+z_x=0 1 + z x = 0 z x = − 1 z_x=-1 z x = − 1
右边每一项都带 x x x x 2 x^2 x 2 x = 0 x=0 x = 0 f f f
③ 对 y y y ( x + 1 ) z y − 2 y = x 2 ( ⋯ ) (x+1)z_y-2y=x^2(\cdots) ( x + 1 ) z y − 2 y = x 2 ( ⋯ ) z y − 2 = 0 z_y-2=0 z y − 2 = 0 z y = 2 z_y=2 z y = 2 d z ∣ ( 0 , 1 ) = − d x + 2 d y \dd z|_{(0,1)}=-\dd x+2\dd y d z ∣ ( 0 , 1 ) = − d x + 2 d y
同样，右边带 x 2 x^2 x 2 x = 0 x=0 x = 0
答案：− d x + 2 d y -\dx+2\dy − d x + 2 d y
例 8.21 2026 数一(1) 2026 数二(3) 2026 数三(2)
设函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
x − a z = e y + a z x-az=\e^{y+az} x − a z = e y + a z （
a a a 是非零常数）确定，则（ ）
（A）
∂ z ∂ x − ∂ z ∂ y = 1 a \dfrac{\pd z}{\pd x}-\dfrac{\pd z}{\pd y}=\dfrac1a ∂ x ∂ z − ∂ y ∂ z = a 1 （B）
∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 1 a \dfrac{\pd z}{\pd x}+\dfrac{\pd z}{\pd y}=\dfrac1a ∂ x ∂ z + ∂ y ∂ z = a 1 （C）
∂ z ∂ x − ∂ z ∂ y = − 1 a \dfrac{\pd z}{\pd x}-\dfrac{\pd z}{\pd y}=-\dfrac1a ∂ x ∂ z − ∂ y ∂ z = − a 1 （D）
∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = − 1 a \dfrac{\pd z}{\pd x}+\dfrac{\pd z}{\pd y}=-\dfrac1a ∂ x ∂ z + ∂ y ∂ z = − a 1 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 公式法。 F = x − a z − e y + a z F=x-az-\e^{y+az} F = x − a z − e y + a z F x = 1 F_x=1 F x = 1 F y = − E F_y=-E F y = − E F z = − a − a E F_z=-a-aE F z = − a − a E E = e y + a z E=\e^{y+az} E = e y + a z
把指数整体记成 E E E
② 两个偏导。 z x = 1 a ( 1 + E ) z_x=\dfrac1{a(1+E)} z x = a ( 1 + E ) 1 z y = − E a ( 1 + E ) z_y=-\dfrac E{a(1+E)} z y = − a ( 1 + E ) E
隐函数公式 z x = − F x F z z_x=-\frac{F_x}{F_z} z x = − F z F x z y = − F y F z z_y=-\frac{F_y}{F_z} z y = − F z F y − a ( 1 + E ) -a(1+E) − a ( 1 + E )
③ 组合。 z x − z y = 1 + E a ( 1 + E ) = 1 a z_x-z_y=\dfrac{1+E}{a(1+E)}=\dfrac1a z x − z y = a ( 1 + E ) 1 + E = a 1
相减正好约掉 1 + E 1+E 1 + E 1 − E a ( 1 + E ) \frac{1-E}{a(1+E)} a ( 1 + E ) 1 − E
答案：A
例 8.22 2013 数三(10)
设函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
( z + y ) x = x y (z+y)^x=xy ( z + y ) x = x y 确定，则
∂ z ∂ x ∣ ( 1 , 2 ) = \dfrac{\pd z}{\pd x}\Big|_{(1,2)}= ∂ x ∂ z ( 1 , 2 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点的 z z z x = 1 , y = 2 x=1,y=2 x = 1 , y = 2 z + 2 = 2 z+2=2 z + 2 = 2 z = 0 z=0 z = 0
后面代点时要用到这一点的 z z z
② 取对数再求导。 x ln ( z + y ) = ln x + ln y x\ln(z+y)=\ln x+\ln y x ln ( z + y ) = ln x + ln y x x x ln ( z + y ) + x z x z + y = 1 x \ln(z+y)+\dfrac{x\,z_x}{z+y}=\dfrac1x ln ( z + y ) + z + y x z x = x 1
幂指函数先取对数；z z z x x x ln ( z + y ) \ln(z+y) ln ( z + y ) x x x z x z + y \frac{z_x}{z+y} z + y z x
③ 代点。 ln 2 + z x 2 = 1 \ln2+\dfrac{z_x}2=1 ln 2 + 2 z x = 1 z x = 2 − 2 ln 2 z_x=2-2\ln2 z x = 2 − 2 ln 2
把 x = 1 x=1 x = 1 y = 2 y=2 y = 2 z = 0 z=0 z = 0 z x z_x z x
答案：2 − 2 ln 2 2-2\ln2 2 − 2 ln 2
例 8.23 2023 数二(13)
设函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由
e z + x z = 2 x − y \e^z+xz=2x-y e z + x z = 2 x − y 确定，则
∂ 2 z ∂ x 2 ∣ ( 1 , 1 ) = \dfrac{\pd^2z}{\pd x^2}\Big|_{(1,1)}= ∂ x 2 ∂ 2 z ( 1 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点的 z z z e z + z = 1 \e^z+z=1 e z + z = 1 z = 0 z=0 z = 0
e z + z \e^z+z e z + z z = 0 z=0 z = 0
② 一阶。 对 x x x e z z x + z + x z x = 2 \e^zz_x+z+xz_x=2 e z z x + z + x z x = 2 z x + 0 + z x = 2 z_x+0+z_x=2 z x + 0 + z x = 2 z x = 1 z_x=1 z x = 1
x z xz x z x x x z ( x , y ) z(x,y) z ( x , y ) x x x z + x z x z+xz_x z + x z x
③ 二阶。 再对 x x x e z z x 2 + e z z x x + z x + z x + x z x x = 0 \e^zz_x^2+\e^zz_{xx}+z_x+z_x+xz_{xx}=0 e z z x 2 + e z z xx + z x + z x + x z xx = 0 z = 0 z=0 z = 0 z x = 1 z_x=1 z x = 1 x = 1 x=1 x = 1 1 + z x x + 2 + z x x = 0 1+z_{xx}+2+z_{xx}=0 1 + z xx + 2 + z xx = 0 z x x = − 3 2 z_{xx}=-\dfrac32 z xx = − 2 3
对一阶的等式再求导，e z z x \e^zz_x e z z x x z x xz_x x z x
答案：− 3 2 -\frac32 − 2 3
例 8.24 2025 数二(1)
设函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由
z + ln z − ∫ y x e − t 2 d t = 0 z+\ln z-\displaystyle\int_y^x\e^{-t^2}\dt=0 z + ln z − ∫ y x e − t 2 d t = 0 确定，则
∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = \dfrac{\pd z}{\pd x}+\dfrac{\pd z}{\pd y}= ∂ x ∂ z + ∂ y ∂ z = （ ）
（A）
z z + 1 ( e − x 2 − e − y 2 ) \dfrac z{z+1}(\e^{-x^2}-\e^{-y^2}) z + 1 z ( e − x 2 − e − y 2 ) （B）
z z + 1 ( e − x 2 + e − y 2 ) \dfrac z{z+1}(\e^{-x^2}+\e^{-y^2}) z + 1 z ( e − x 2 + e − y 2 ) （C）
− z z + 1 ( e − x 2 − e − y 2 ) -\dfrac z{z+1}(\e^{-x^2}-\e^{-y^2}) − z + 1 z ( e − x 2 − e − y 2 ) （D）
− z z + 1 ( e − x 2 + e − y 2 ) -\dfrac z{z+1}(\e^{-x^2}+\e^{-y^2}) − z + 1 z ( e − x 2 + e − y 2 ) 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 公式法。 F x = − e − x 2 F_x=-\e^{-x^2} F x = − e − x 2 F y = e − y 2 F_y=\e^{-y^2} F y = e − y 2 F z = 1 + 1 z = z + 1 z F_z=1+\dfrac1z=\dfrac{z+1}z F z = 1 + z 1 = z z + 1
∫ y x \int_y^x ∫ y x x x x e − x 2 \e^{-x^2} e − x 2 y y y − e − y 2 -\e^{-y^2} − e − y 2
② 相加。 z x = z z + 1 e − x 2 z_x=\dfrac z{z+1}\e^{-x^2} z x = z + 1 z e − x 2 z y = − z z + 1 e − y 2 z_y=-\dfrac z{z+1}\e^{-y^2} z y = − z + 1 z e − y 2 z x + z y = z z + 1 ( e − x 2 − e − y 2 ) z_x+z_y=\dfrac z{z+1}(\e^{-x^2}-\e^{-y^2}) z x + z y = z + 1 z ( e − x 2 − e − y 2 )
隐函数公式 z x = − F x F z z_x=-\frac{F_x}{F_z} z x = − F z F x z y = − F y F z z_y=-\frac{F_y}{F_z} z y = − F z F y F z = z + 1 z F_z=\frac{z+1}z F z = z z + 1
答案：A
例 8.25 2024 数三(18)
设函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
z + e x − y ln ( 1 + z 2 ) = 0 z+\e^x-y\ln(1+z^2)=0 z + e x − y ln ( 1 + z 2 ) = 0 确定，求
( ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 ) ∣ ( 0 , 0 ) \Big(\dfrac{\pd^2z}{\pd x^2}+\dfrac{\pd^2z}{\pd y^2}\Big)\Big|_{(0,0)} ( ∂ x 2 ∂ 2 z + ∂ y 2 ∂ 2 z ) ( 0 , 0 ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 点的 z z z z + 1 − 0 = 0 z+1-0=0 z + 1 − 0 = 0 z = − 1 z=-1 z = − 1
在 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) y = 0 y=0 y = 0 ln ( 1 + z 2 ) \ln(1+z^2) ln ( 1 + z 2 ) y y y z + 1 = 0 z+1=0 z + 1 = 0
② 对 x x x z x + e x − y 2 z z x 1 + z 2 = 0 z_x+\e^x-y\dfrac{2zz_x}{1+z^2}=0 z x + e x − y 1 + z 2 2 z z x = 0 z x = − 1 z_x=-1 z x = − 1 x x x y y y y = 0 y=0 y = 0 z x x + e x = 0 z_{xx}+\e^x=0 z xx + e x = 0 z x x ( 0 , 0 ) = − 1 z_{xx}(0,0)=-1 z xx ( 0 , 0 ) = − 1
带因子 y y y x x x y y y y = 0 y=0 y = 0
③ 对 y y y z y − ln ( 1 + z 2 ) − y 2 z z y 1 + z 2 = 0 z_y-\ln(1+z^2)-y\dfrac{2zz_y}{1+z^2}=0 z y − ln ( 1 + z 2 ) − y 1 + z 2 2 z z y = 0 z y = ln 2 z_y=\ln2 z y = ln 2 y y y z y y − 2 z z y 1 + z 2 − 2 z z y 1 + z 2 − y ( ⋯ ) = 0 z_{yy}-\dfrac{2zz_y}{1+z^2}-\dfrac{2zz_y}{1+z^2}-y(\cdots)=0 z yy − 1 + z 2 2 z z y − 1 + z 2 2 z z y − y ( ⋯ ) = 0 z y y = 4 z z y 1 + z 2 = 4 ⋅ ( − 1 ) ln 2 2 = − 2 ln 2 z_{yy}=\dfrac{4zz_y}{1+z^2}=\dfrac{4\cdot(-1)\ln2}{2}=-2\ln2 z yy = 1 + z 2 4 z z y = 2 4 ⋅ ( − 1 ) ln 2 = − 2 ln 2
− y 2 z z y 1 + z 2 -y\frac{2zz_y}{1+z^2} − y 1 + z 2 2 z z y y y y y y y − 2 z z y 1 + z 2 -\frac{2zz_y}{1+z^2} − 1 + z 2 2 z z y y y y
④ 相加。 z x x + z y y = − 1 − 2 ln 2 z_{xx}+z_{yy}=-1-2\ln2 z xx + z yy = − 1 − 2 ln 2
题目要的是两个二阶偏导数之和，把②③的结果相加。
答案：− 1 − 2 ln 2 -1-2\ln2 − 1 − 2 ln 2
例 8.26 李林 第八章 §3 例 1、例 3 · p190—191 ep 板书 · 多元 例 7
（1）设
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由
x z = ln z y \dfrac xz=\ln\dfrac zy z x = ln y z 确定，求
∂ z ∂ x \dfrac{\pd z}{\pd x} ∂ x ∂ z ，
∂ z ∂ y \dfrac{\pd z}{\pd y} ∂ y ∂ z ；（2）设
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由
x 2 + y 2 − z = φ ( x + y + z ) x^2+y^2-z=\varphi(x+y+z) x 2 + y 2 − z = φ ( x + y + z ) 确定，
φ \varphi φ 可导且
φ ′ ≠ − 1 \varphi'\ne-1 φ ′ = − 1 ，求
d z \dd z d z ；（3）三元方程
x y − z ln y + e x z = 1 xy-z\ln y+\e^{xz}=1 x y − z ln y + e x z = 1 在点
( 0 , 1 , 1 ) (0,1,1) ( 0 , 1 , 1 ) 附近能确定哪些有连续偏导的隐函数？
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 公式法。 F = x z − ln z + ln y F=\dfrac xz-\ln z+\ln y F = z x − ln z + ln y F x = 1 z F_x=\dfrac1z F x = z 1 F y = 1 y F_y=\dfrac1y F y = y 1 F z = − x z 2 − 1 z = − x + z z 2 F_z=-\dfrac x{z^2}-\dfrac1z=-\dfrac{x+z}{z^2} F z = − z 2 x − z 1 = − z 2 x + z z x = z x + z z_x=\dfrac z{x+z} z x = x + z z z y = z 2 y ( x + z ) z_y=\dfrac{z^2}{y(x+z)} z y = y ( x + z ) z 2
把 ln z y \ln\frac zy ln y z ln z − ln y \ln z-\ln y ln z − ln y
② (2) 对 x x x 2 x − z x = φ ′ ⋅ ( 1 + z x ) 2x-z_x=\varphi'\cdot(1+z_x) 2 x − z x = φ ′ ⋅ ( 1 + z x ) z x = 2 x − φ ′ 1 + φ ′ z_x=\dfrac{2x-\varphi'}{1+\varphi'} z x = 1 + φ ′ 2 x − φ ′ x , y x,y x , y z y = 2 y − φ ′ 1 + φ ′ z_y=\dfrac{2y-\varphi'}{1+\varphi'} z y = 1 + φ ′ 2 y − φ ′ d z = ( 2 x − φ ′ ) d x + ( 2 y − φ ′ ) d y 1 + φ ′ \dd z=\dfrac{(2x-\varphi')\dx+(2y-\varphi')\dy}{1+\varphi'} d z = 1 + φ ′ ( 2 x − φ ′ ) d x + ( 2 y − φ ′ ) d y
李林和刷题本都提醒：方程关于 x , y x,y x , y x x x y y y
③ (3) 看哪个偏导不为 0。 F = x y − z ln y + e x z − 1 F=xy-z\ln y+\e^{xz}-1 F = x y − z ln y + e x z − 1 ( 0 , 1 , 1 ) (0,1,1) ( 0 , 1 , 1 ) F x = y + z e x z = 2 F_x=y+z\e^{xz}=2 F x = y + z e x z = 2 F y = x − z y = − 1 F_y=x-\dfrac zy=-1 F y = x − y z = − 1 F z = − ln y + x e x z = 0 F_z=-\ln y+x\e^{xz}=0 F z = − ln y + x e x z = 0
存在定理：对哪个变量的偏导不为 0，就能把那个变量解成其余变量的函数。
④ (3) 结论。 F x ≠ 0 F_x\ne0 F x = 0 F y ≠ 0 F_y\ne0 F y = 0 F z = 0 F_z=0 F z = 0 x = x ( y , z ) x=x(y,z) x = x ( y , z ) y = y ( x , z ) y=y(x,z) y = y ( x , z ) z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y )
F z = 0 F_z=0 F z = 0 z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y )
答案：(1) z x = z x + z z_x=\frac z{x+z} z x = x + z z z y = z 2 y ( x + z ) z_y=\frac{z^2}{y(x+z)} z y = y ( x + z ) z 2 d z = ( 2 x − φ ′ ) d x + ( 2 y − φ ′ ) d y 1 + φ ′ \dd z=\frac{(2x-\varphi')\dx+(2y-\varphi')\dy}{1+\varphi'} d z = 1 + φ ′ ( 2 x − φ ′ ) d x + ( 2 y − φ ′ ) d y x = x ( y , z ) x=x(y,z) x = x ( y , z ) y = y ( x , z ) y=y(x,z) y = y ( x , z )
例 8.27 李林 第八章 §3 例 5 · p192—193
设
y = g ( x , z ) y=g(x,z) y = g ( x , z ) ，而
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
f ( x − z , x y ) = 0 f(x-z,xy)=0 f ( x − z , x y ) = 0 确定，其中
f , g f,g f , g 有一阶连续偏导数，求
d y d x \dfrac{\dd y}{\dd x} d x d y 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 理清谁是自变量。 两个方程 y = g ( x , z ) y=g(x,z) y = g ( x , z ) f ( x − z , x y ) = 0 f(x-z,xy)=0 f ( x − z , x y ) = 0 x x x y y y z z z x x x
方程个数等于因变量个数：2 个方程，就有 2 个变量随 x x x x x x
② 两个方程都对 x x x y ′ = g 1 ′ + g 2 ′ z ′ y'=g_1'+g_2'\,z' y ′ = g 1 ′ + g 2 ′ z ′ f 1 ′ ⋅ ( 1 − z ′ ) + f 2 ′ ⋅ ( y + x y ′ ) = 0 \;f_1'\cdot(1-z')+f_2'\cdot(y+xy')=0 f 1 ′ ⋅ ( 1 − z ′ ) + f 2 ′ ⋅ ( y + x y ′ ) = 0
g ( x , z ) g(x,z) g ( x , z ) x x x f f f x − z x-z x − z x x x 1 − z ′ 1-z' 1 − z ′ x y xy x y y + x y ′ y+xy' y + x y ′
③ 消去 z ′ z' z ′ y ′ y' y ′ 由第二式 z ′ = 1 + f 2 ′ ( y + x y ′ ) f 1 ′ z'=1+\dfrac{f_2'(y+xy')}{f_1'} z ′ = 1 + f 1 ′ f 2 ′ ( y + x y ′ ) y ′ = g 1 ′ + g 2 ′ + g 2 ′ f 2 ′ ( y + x y ′ ) f 1 ′ y'=g_1'+g_2'+\dfrac{g_2'f_2'(y+xy')}{f_1'} y ′ = g 1 ′ + g 2 ′ + f 1 ′ g 2 ′ f 2 ′ ( y + x y ′ ) d y d x = f 1 ′ g 1 ′ + g 2 ′ ( f 1 ′ + y f 2 ′ ) f 1 ′ − x f 2 ′ g 2 ′ \dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{f_1'g_1'+g_2'(f_1'+yf_2')}{f_1'-xf_2'g_2'} d x d y = f 1 ′ − x f 2 ′ g 2 ′ f 1 ′ g 1 ′ + g 2 ′ ( f 1 ′ + y f 2 ′ )
对 y ′ y' y ′ z ′ z' z ′ z z z
答案：f 1 ′ g 1 ′ + g 2 ′ ( f 1 ′ + y f 2 ′ ) f 1 ′ − x f 2 ′ g 2 ′ \dfrac{f_1'g_1'+g_2'(f_1'+yf_2')}{f_1'-xf_2'g_2'} f 1 ′ − x f 2 ′ g 2 ′ f 1 ′ g 1 ′ + g 2 ′ ( f 1 ′ + y f 2 ′ )
8.5 方程组确定的隐函数大白话：两个方程、三个变量，就能确定两个一元函数（一条空间曲线）；两个方程、四个变量，就确定两个二元函数。求导的办法只有一个：每个方程两边对自变量求导，得到关于所求导数的线性方程组，解它 。这就是 2×2 的二元一次方程组，消元即可（学了线性代数也可以用克拉默法则）。第 9 部分求“交线的切线”要用到它。
P 切向 交线：x =x (z )，y =y (z ) x +y +z =0x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x^2+y^2+z^2=1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x ≠ y x\ne y x = y x = x ( z ) x=x(z) x = x ( z ) y = y ( z ) y=y(z) y = y ( z ) 方程组求导
{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases} { F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 x = x ( z ) x=x(z) x = x ( z ) y = y ( z ) y=y(z) y = y ( z ) z z z
{ F x d x d z + F y d y d z + F z = 0 G x d x d z + G y d y d z + G z = 0 \displaystyle \begin{cases}F_x\dfrac{\dd x}{\dd z}+F_y\dfrac{\dd y}{\dd z}+F_z=0\\[4pt]G_x\dfrac{\dd x}{\dd z}+G_y\dfrac{\dd y}{\dd z}+G_z=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ F x d z d x + F y d z d y + F z = 0 G x d z d x + G y d z d y + G z = 0
当系数行列式 F x G y − F y G x ≠ 0 F_xG_y-F_yG_x\ne0 F x G y − F y G x = 0 d x d z \dfrac{\dd x}{\dd z} d z d x d y d z \dfrac{\dd y}{\dd z} d z d y
方法卡 · 方程组
什么时候用
“由方程组确定
x = x ( z ) x=x(z) x = x ( z ) ，
y = y ( z ) y=y(z) y = y ( z ) ”“
u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u = f ( x , y , z ) ，其中
y y y 、
z z z 由方程确定，求
d u d x \frac{\dd u}{\dd x} d x d u ”。
步骤
分清谁是自变量、谁是因变量（因变量个数 = 方程个数）。
每个方程对自变量求导，因变量的导数当未知数。
解线性方程组；复合型题目最后代回链式法则。 最容易错
把自变量也当成函数求导；两个未知导数只列了一个方程。
例 8.28 李林 第八章 §3 例 6 · p193
设由方程组
{ x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1 \begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{cases} { x + y + z = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 1 确定
x = x ( z ) x=x(z) x = x ( z ) ，
y = y ( z ) y=y(z) y = y ( z ) ，求
d x d z \dfrac{\dd x}{\dd z} d z d x ，
d y d z \dfrac{\dd y}{\dd z} d z d y 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两个方程对 z z z d x d z + d y d z + 1 = 0 \dfrac{\dd x}{\dd z}+\dfrac{\dd y}{\dd z}+1=0 d z d x + d z d y + 1 = 0 2 x d x d z + 2 y d y d z + 2 z = 0 2x\dfrac{\dd x}{\dd z}+2y\dfrac{\dd y}{\dd z}+2z=0 2 x d z d x + 2 y d z d y + 2 z = 0
z z z x x x y y y z z z
② 消元。 由第一式 d y d z = − 1 − d x d z \dfrac{\dd y}{\dd z}=-1-\dfrac{\dd x}{\dd z} d z d y = − 1 − d z d x ( x − y ) d x d z = y − z (x-y)\dfrac{\dd x}{\dd z}=y-z ( x − y ) d z d x = y − z
第二个方程每项都有因子 2，先约掉；再用第一式把 d y d z \frac{\dd y}{\dd z} d z d y
③ 结果。 x ≠ y x\ne y x = y d x d z = y − z x − y \dfrac{\dd x}{\dd z}=\dfrac{y-z}{x-y} d z d x = x − y y − z d y d z = z − x x − y \dfrac{\dd y}{\dd z}=\dfrac{z-x}{x-y} d z d y = x − y z − x
x = y x=y x = y z z z
答案：d x d z = y − z x − y \frac{\dd x}{\dd z}=\frac{y-z}{x-y} d z d x = x − y y − z d y d z = z − x x − y \frac{\dd y}{\dd z}=\frac{z-x}{x-y} d z d y = x − y z − x
例 8.29 李林 第八章 §3 例 4 · p192
设
u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u = f ( x , y , z ) ，而
φ ( x 2 , e y , z ) = 0 \varphi(x^2,\e^y,z)=0 φ ( x 2 , e y , z ) = 0 ，
y = sin x y=\sin x y = sin x ，其中
f , φ f,\varphi f , φ 有一阶连续偏导数，且
∂ φ ∂ z ≠ 0 \dfrac{\pd\varphi}{\pd z}\ne0 ∂ z ∂ φ = 0 ，求
d u d x \dfrac{\dd u}{\dd x} d x d u 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 理清关系。 只有 x x x y = sin x y=\sin x y = sin x z z z φ = 0 \varphi=0 φ = 0 x x x d u d x = f x + f y d y d x + f z d z d x \dfrac{\dd u}{\dd x}=f_x+f_y\dfrac{\dd y}{\dd x}+f_z\dfrac{\dd z}{\dd x} d x d u = f x + f y d x d y + f z d x d z d y d x = cos x \dfrac{\dd y}{\dd x}=\cos x d x d y = cos x
树形图：u → x , y , z u\to x,y,z u → x , y , z y , z y,z y , z x x x
② 求 d z d x \frac{\dd z}{\dd x} d x d z φ = 0 \varphi=0 φ = 0 x x x φ 1 ′ ⋅ 2 x + φ 2 ′ ⋅ e y cos x + φ 3 ′ d z d x = 0 \varphi_1'\cdot2x+\varphi_2'\cdot\e^y\cos x+\varphi_3'\dfrac{\dd z}{\dd x}=0 φ 1 ′ ⋅ 2 x + φ 2 ′ ⋅ e y cos x + φ 3 ′ d x d z = 0 d z d x = − 2 x φ 1 ′ + e sin x cos x φ 2 ′ φ 3 ′ \dfrac{\dd z}{\dd x}=-\dfrac{2x\varphi_1'+\e^{\sin x}\cos x\,\varphi_2'}{\varphi_3'} d x d z = − φ 3 ′ 2 x φ 1 ′ + e s i n x cos x φ 2 ′
第 2 位 e y \e^y e y x x x y ′ = cos x y'=\cos x y ′ = cos x
③ 代回。 d u d x = f x + cos x f y − f z φ 3 ′ ( 2 x φ 1 ′ + e sin x cos x φ 2 ′ ) \dfrac{\dd u}{\dd x}=f_x+\cos x\,f_y-\dfrac{f_z}{\varphi_3'}\big(2x\varphi_1'+\e^{\sin x}\cos x\,\varphi_2'\big) d x d u = f x + cos x f y − φ 3 ′ f z ( 2 x φ 1 ′ + e s i n x cos x φ 2 ′ )
把两个导数代入第一步的链式法则。
答案：d u d x = f x + cos x f y − f z φ 3 ′ ( 2 x φ 1 ′ + e sin x cos x φ 2 ′ ) \frac{\dd u}{\dd x}=f_x+\cos x\,f_y-\frac{f_z}{\varphi_3'}\big(2x\varphi_1'+\e^{\sin x}\cos x\,\varphi_2'\big) d x d u = f x + cos x f y − φ 3 ′ f z ( 2 x φ 1 ′ + e s i n x cos x φ 2 ′ )
例 8.30 李林 第八章 §3 例 7 · p193
设
u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u = f ( x , y , z ) 有连续一阶偏导数，且
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) ，
z = z ( x ) z=z(x) z = z ( x ) 分别由
e x y − x y = 2 \e^{xy}-xy=2 e x y − x y = 2 和
e x = ∫ 0 x − z sin t t d t \e^x=\displaystyle\int_0^{x-z}\frac{\sin t}t\dt e x = ∫ 0 x − z t sin t d t 所确定，求
d u d x \dfrac{\dd u}{\dd x} d x d u 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 链式法则。 d u d x = f x ′ + f y ′ d y d x + f z ′ d z d x \dfrac{\dd u}{\dd x}=f_x'+f_y'\dfrac{\dd y}{\dd x}+f_z'\dfrac{\dd z}{\dd x} d x d u = f x ′ + f y ′ d x d y + f z ′ d x d z
u u u x , y , z x,y,z x , y , z x x x y y y z z z x x x
② 求 y ′ y' y ′ 对 e x y − x y = 2 \e^{xy}-xy=2 e x y − x y = 2 e x y ( y + x y ′ ) − ( y + x y ′ ) = 0 \e^{xy}(y+xy')-(y+xy')=0 e x y ( y + x y ′ ) − ( y + x y ′ ) = 0 ( e x y − 1 ) ( y + x y ′ ) = 0 (\e^{xy}-1)(y+xy')=0 ( e x y − 1 ) ( y + x y ′ ) = 0 x y ≠ 0 xy\ne0 x y = 0 e x y ≠ 1 \e^{xy}\ne1 e x y = 1 y + x y ′ = 0 y+xy'=0 y + x y ′ = 0 y ′ = − y x y'=-\dfrac yx y ′ = − x y
把 x y xy x y w w w e w − w = 2 \e^w-w=2 e w − w = 2 w = 0 w=0 w = 0 e x y − 1 \e^{xy}-1 e x y − 1 x y xy x y y = C x y=\frac Cx y = x C
③ 求 z ′ z' z ′ 对 e x = ∫ 0 x − z sin t t d t \e^x=\displaystyle\int_0^{x-z}\frac{\sin t}t\dt e x = ∫ 0 x − z t sin t d t e x = sin ( x − z ) x − z ( 1 − z ′ ) \e^x=\dfrac{\sin(x-z)}{x-z}(1-z') e x = x − z sin ( x − z ) ( 1 − z ′ ) z ′ = 1 − e x ( x − z ) sin ( x − z ) z'=1-\dfrac{\e^x(x-z)}{\sin(x-z)} z ′ = 1 − sin ( x − z ) e x ( x − z )
变上限积分求导：被积函数在上限处的值，乘上上限 x − z x-z x − z x x x 1 − z ′ 1-z' 1 − z ′
④ 代回。 d u d x = f x ′ − y x f y ′ + [ 1 − e x ( x − z ) sin ( x − z ) ] f z ′ \dfrac{\dd u}{\dd x}=f_x'-\dfrac yxf_y'+\Big[1-\dfrac{\e^x(x-z)}{\sin(x-z)}\Big]f_z' d x d u = f x ′ − x y f y ′ + [ 1 − sin ( x − z ) e x ( x − z ) ] f z ′
两个方程各管一个函数，分别求出导数后代入①即可；不必联立。
答案：f x ′ − y x f y ′ + [ 1 − e x ( x − z ) sin ( x − z ) ] f z ′ f_x'-\dfrac yxf_y'+\Big[1-\dfrac{\e^x(x-z)}{\sin(x-z)}\Big]f_z' f x ′ − x y f y ′ + [ 1 − sin ( x − z ) e x ( x − z ) ] f z ′
8.6 变量代换与偏导方程大白话：题目给出偏导数满足的一个等式（偏导方程），有两种考法。一是换元化简 ：设新变量 u = x + a y u=x+ay u = x + a y v = x + b y v=x+by v = x + b y z z z u , v u,v u , v z x , z x x , … z_x,z_{xx},\ldots z x , z xx , … z u , z v , … z_u,z_v,\ldots z u , z v , … a , b a,b a , b 二是 z = f ( 某个组合 ) z=f(\text{某个组合}) z = f ( 某个组合 ) ：f f f z x , z x x , … z_x,z_{xx},\ldots z x , z xx , … f ( u ) f(u) f ( u ) 常微分方程 ，再用微分方程的方法解（刷题本：“变量代换化为一元函数的微分方程”）。
x y O u =x −2y =常数v =x +3y =常数李林例题的换元 u = x − 2 y u=x-2y u = x − 2 y v = x + 3 y v=x+3y v = x + 3 y 6 z x x + z x y − z y y = 0 6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=0 6 z xx + z x y − z yy = 0 z u v = 0 z_{uv}=0 z uv = 0 换元的计算框架
u = x + a y u=x+ay u = x + a y v = x + b y v=x+by v = x + b y z = z ( u , v ) z=z(u,v) z = z ( u , v )
z x = z u + z v , \displaystyle z_x=z_u+z_v, z x = z u + z v , z y = a z u + b z v , \displaystyle z_y=az_u+bz_v, z y = a z u + b z v , z x x = z u u + 2 z u v + z v v , \displaystyle z_{xx}=z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv}, z xx = z uu + 2 z uv + z vv , z x y = a z u u + ( a + b ) z u v + b z v v , \displaystyle z_{xy}=az_{uu}+(a+b)z_{uv}+bz_{vv}, z x y = a z uu + ( a + b ) z uv + b z vv , z y y = a 2 z u u + 2 a b z u v + b 2 z v v . \displaystyle z_{yy}=a^2z_{uu}+2abz_{uv}+b^2z_{vv}. z yy = a 2 z uu + 2 ab z uv + b 2 z vv .
z = f ( u ) z=f(u) z = f ( u ) u = u ( x , y ) u=u(x,y) u = u ( x , y ) z x = f ′ u x z_x=f'u_x z x = f ′ u x z x x = f ′ ′ u x 2 + f ′ u x x z_{xx}=f''u_x^2+f'u_{xx} z xx = f ′′ u x 2 + f ′ u xx
方法卡 · 偏导方程
什么时候用
“在变换 … 下化为 …，求
a , b a,b a , b ”“
z = f ( 组合 ) z=f(\text{组合}) z = f ( 组合 ) 满足 …，求
f f f ”。
步骤
换元型：套上面的框架，代入原方程，按 z u u , z u v , z v v z_{uu},z_{uv},z_{vv} z uu , z uv , z vv
z = f ( u ) z=f(u) z = f ( u ) x , y x,y x , y u u u f f f 解常微分方程，用题目给的条件定常数。 最容易错
换元后要保留的项（如
z u v z_{uv} z uv ）系数为 0 的解没有排除；代入后还剩
x , y x,y x , y 没有凑成
u u u ；二阶常系数方程的特解形式设错。
例 8.31 2014 数一(17) 2014 数二(18)
设函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 具有二阶连续导数，
z = f ( e x cos y ) z=f(\e^x\cos y) z = f ( e x cos y ) 满足
∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = ( 4 z + e x cos y ) e 2 x \dfrac{\pd^2z}{\pd x^2}+\dfrac{\pd^2z}{\pd y^2}=(4z+\e^x\cos y)\e^{2x} ∂ x 2 ∂ 2 z + ∂ y 2 ∂ 2 z = ( 4 z + e x cos y ) e 2 x 。若
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ，
f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 ，求
f ( u ) f(u) f ( u ) 的表达式。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 二阶偏导。 u = e x cos y u=\e^x\cos y u = e x cos y z x = f ′ e x cos y z_x=f'\e^x\cos y z x = f ′ e x cos y z x x = f ′ ′ e 2 x cos 2 y + f ′ e x cos y z_{xx}=f''\e^{2x}\cos^2y+f'\e^x\cos y z xx = f ′′ e 2 x cos 2 y + f ′ e x cos y z y = − f ′ e x sin y z_y=-f'\e^x\sin y z y = − f ′ e x sin y z y y = f ′ ′ e 2 x sin 2 y − f ′ e x cos y z_{yy}=f''\e^{2x}\sin^2y-f'\e^x\cos y z yy = f ′′ e 2 x sin 2 y − f ′ e x cos y
f f f u u u f ′ f' f ′ f ′ ′ f'' f ′′ z x x = f ′ ′ u x 2 + f ′ u x x z_{xx}=f''u_x^2+f'u_{xx} z xx = f ′′ u x 2 + f ′ u xx
② 化成常微分方程。 z x x + z y y = f ′ ′ ( u ) e 2 x z_{xx}+z_{yy}=f''(u)\e^{2x} z xx + z yy = f ′′ ( u ) e 2 x f ′ ′ ( u ) e 2 x = ( 4 f ( u ) + u ) e 2 x f''(u)\e^{2x}=(4f(u)+u)\e^{2x} f ′′ ( u ) e 2 x = ( 4 f ( u ) + u ) e 2 x f ′ ′ − 4 f = u f''-4f=u f ′′ − 4 f = u
cos 2 y + sin 2 y = 1 \cos^2y+\sin^2y=1 cos 2 y + sin 2 y = 1 f ′ f' f ′ e x cos y \e^x\cos y e x cos y u u u
③ 解方程。 特征根 ± 2 \pm2 ± 2 C 1 e 2 u + C 2 e − 2 u C_1\e^{2u}+C_2\e^{-2u} C 1 e 2 u + C 2 e − 2 u f ∗ = A u + B f^*=Au+B f ∗ = A u + B − 4 A u − 4 B = u -4Au-4B=u − 4 A u − 4 B = u A = − 1 4 A=-\dfrac14 A = − 4 1 B = 0 B=0 B = 0 f = C 1 e 2 u + C 2 e − 2 u − u 4 f=C_1\e^{2u}+C_2\e^{-2u}-\dfrac u4 f = C 1 e 2 u + C 2 e − 2 u − 4 u
二阶常系数线性方程，右边是一次多项式、0 不是特征根，特解设一次多项式（见微分方程笔记）。
④ 定常数。 f ( 0 ) = C 1 + C 2 = 0 f(0)=C_1+C_2=0 f ( 0 ) = C 1 + C 2 = 0 f ′ ( 0 ) = 2 C 1 − 2 C 2 − 1 4 = 0 f'(0)=2C_1-2C_2-\dfrac14=0 f ′ ( 0 ) = 2 C 1 − 2 C 2 − 4 1 = 0 C 1 = 1 16 C_1=\dfrac1{16} C 1 = 16 1 C 2 = − 1 16 C_2=-\dfrac1{16} C 2 = − 16 1 f ( u ) = e 2 u − e − 2 u 16 − u 4 f(u)=\dfrac{\e^{2u}-\e^{-2u}}{16}-\dfrac u4 f ( u ) = 16 e 2 u − e − 2 u − 4 u
通解里有两个任意常数，正好用 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
答案：f ( u ) = e 2 u − e − 2 u 16 − u 4 f(u)=\frac{\e^{2u}-\e^{-2u}}{16}-\frac u4 f ( u ) = 16 e 2 u − e − 2 u − 4 u
例 8.32 2025 数一(18)
已知函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 在区间
( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) 内具有二阶导数，记
g ( x , y ) = f ( x y ) g(x,y)=f\Big(\dfrac xy\Big) g ( x , y ) = f ( y x ) ，若
g ( x , y ) g(x,y) g ( x , y ) 满足
x 2 ∂ 2 g ∂ x 2 + x y ∂ 2 g ∂ x ∂ y + y 2 ∂ 2 g ∂ y 2 = 1 x^2\dfrac{\pd^2g}{\pd x^2}+xy\dfrac{\pd^2g}{\pd x\pd y}+y^2\dfrac{\pd^2g}{\pd y^2}=1 x 2 ∂ x 2 ∂ 2 g + x y ∂ x ∂ y ∂ 2 g + y 2 ∂ y 2 ∂ 2 g = 1 ，且
g ( x , x ) = 1 g(x,x)=1 g ( x , x ) = 1 ，
∂ g ∂ x ∣ ( x , x ) = 2 x \dfrac{\pd g}{\pd x}\Big|_{(x,x)}=\dfrac2x ∂ x ∂ g ( x , x ) = x 2 ，求
f ( u ) f(u) f ( u ) 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 所需偏导（u = x y u=\frac xy u = y x g x = 1 y f ′ g_x=\dfrac1yf' g x = y 1 f ′ g x x = 1 y 2 f ′ ′ g_{xx}=\dfrac1{y^2}f'' g xx = y 2 1 f ′′ g x y = − 1 y 2 f ′ − x y 3 f ′ ′ g_{xy}=-\dfrac1{y^2}f'-\dfrac x{y^3}f'' g x y = − y 2 1 f ′ − y 3 x f ′′ g y = − x y 2 f ′ g_y=-\dfrac x{y^2}f' g y = − y 2 x f ′ g y y = 2 x y 3 f ′ + x 2 y 4 f ′ ′ g_{yy}=\dfrac{2x}{y^3}f'+\dfrac{x^2}{y^4}f'' g yy = y 3 2 x f ′ + y 4 x 2 f ′′
u x = 1 y u_x=\frac1y u x = y 1 u y = − x y 2 u_y=-\frac x{y^2} u y = − y 2 x
② 代入凑成 u u u x 2 g x x = u 2 f ′ ′ x^2g_{xx}=u^2f'' x 2 g xx = u 2 f ′′ x y g x y = − u f ′ − u 2 f ′ ′ xyg_{xy}=-uf'-u^2f'' x y g x y = − u f ′ − u 2 f ′′ y 2 g y y = 2 u f ′ + u 2 f ′ ′ y^2g_{yy}=2uf'+u^2f'' y 2 g yy = 2 u f ′ + u 2 f ′′ u 2 f ′ ′ + u f ′ = 1 u^2f''+uf'=1 u 2 f ′′ + u f ′ = 1
x y = u \frac xy=u y x = u x 2 y 2 = u 2 \frac{x^2}{y^2}=u^2 y 2 x 2 = u 2 x , y x,y x , y u u u
③ 解方程。 u 2 f ′ ′ + u f ′ = u ( u f ′ ) ′ u^2f''+uf'=u(uf')' u 2 f ′′ + u f ′ = u ( u f ′ ) ′ ( u f ′ ) ′ = 1 u (uf')'=\dfrac1u ( u f ′ ) ′ = u 1 u f ′ = ln u + C 1 uf'=\ln u+C_1 u f ′ = ln u + C 1 f = 1 2 ln 2 u + C 1 ln u + C 2 f=\dfrac12\ln^2u+C_1\ln u+C_2 f = 2 1 ln 2 u + C 1 ln u + C 2
看出 ( u f ′ ) ′ = u f ′ ′ + f ′ (uf')'=uf''+f' ( u f ′ ) ′ = u f ′′ + f ′ u u u
④ 定常数。 g ( x , x ) = f ( 1 ) = C 2 = 1 g(x,x)=f(1)=C_2=1 g ( x , x ) = f ( 1 ) = C 2 = 1 g x ( x , x ) = 1 x f ′ ( 1 ) = 2 x g_x(x,x)=\dfrac1xf'(1)=\dfrac2x g x ( x , x ) = x 1 f ′ ( 1 ) = x 2 f ′ ( 1 ) = C 1 = 2 f'(1)=C_1=2 f ′ ( 1 ) = C 1 = 2 f ( u ) = 1 2 ln 2 u + 2 ln u + 1 f(u)=\dfrac12\ln^2u+2\ln u+1 f ( u ) = 2 1 ln 2 u + 2 ln u + 1
在 ( x , x ) (x,x) ( x , x ) u = x x = 1 u=\frac xx=1 u = x x = 1 u = 1 u=1 u = 1 f ′ ( u ) = ln u + C 1 u f'(u)=\frac{\ln u+C_1}u f ′ ( u ) = u l n u + C 1
答案：f ( u ) = 1 2 ln 2 u + 2 ln u + 1 f(u)=\frac12\ln^2u+2\ln u+1 f ( u ) = 2 1 ln 2 u + 2 ln u + 1
例 8.33 李林 第八章 §2 例 5、例 6 · p189—190
（1）设变换
{ u = x − 2 y v = x + a y \begin{cases}u=x-2y\\v=x+ay\end{cases} { u = x − 2 y v = x + a y 可把方程
6 ∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ x ∂ y − ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 6\dfrac{\pd^2z}{\pd x^2}+\dfrac{\pd^2z}{\pd x\pd y}-\dfrac{\pd^2z}{\pd y^2}=0 6 ∂ x 2 ∂ 2 z + ∂ x ∂ y ∂ 2 z − ∂ y 2 ∂ 2 z = 0 化简为
∂ 2 z ∂ u ∂ v = 0 \dfrac{\pd^2z}{\pd u\pd v}=0 ∂ u ∂ v ∂ 2 z = 0 ，且
z z z 二阶偏导连续，求常数
a a a ；（2）利用变换
ξ = x + y \xi=x+y ξ = x + y ，
η = x − y \eta=x-y η = x − y ，解方程
∂ z ∂ x = ∂ z ∂ y \dfrac{\pd z}{\pd x}=\dfrac{\pd z}{\pd y} ∂ x ∂ z = ∂ y ∂ z 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 套框架（a → − 2 a\to-2 a → − 2 b → a b\to a b → a z x x = z u u + 2 z u v + z v v z_{xx}=z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv} z xx = z uu + 2 z uv + z vv z x y = − 2 z u u + ( a − 2 ) z u v + a z v v z_{xy}=-2z_{uu}+(a-2)z_{uv}+az_{vv} z x y = − 2 z uu + ( a − 2 ) z uv + a z vv z y y = 4 z u u − 4 a z u v + a 2 z v v z_{yy}=4z_{uu}-4az_{uv}+a^2z_{vv} z yy = 4 z uu − 4 a z uv + a 2 z vv
这里第一个新变量的 y y y − 2 -2 − 2 a a a
② (1) 代入合并。 6 z x x + z x y − z y y = ( 10 + 5 a ) z u v + ( 6 + a − a 2 ) z v v 6z_{xx}+z_{xy}-z_{yy}=(10+5a)z_{uv}+(6+a-a^2)z_{vv} 6 z xx + z x y − z yy = ( 10 + 5 a ) z uv + ( 6 + a − a 2 ) z vv z u u z_{uu} z uu 6 − 2 − 4 = 0 6-2-4=0 6 − 2 − 4 = 0
把三个二阶偏导按 6、1、− 1 -1 − 1 z u u z_{uu} z uu z u v z_{uv} z uv z v v z_{vv} z vv
③ (1) 定 a a a 要 6 + a − a 2 = 0 6+a-a^2=0 6 + a − a 2 = 0 10 + 5 a ≠ 0 10+5a\ne0 10 + 5 a = 0 a = 3 a=3 a = 3 a = − 2 a=-2 a = − 2 a = − 2 a=-2 a = − 2 z u v z_{uv} z uv a = 3 a=3 a = 3
化简后必须还剩 z u v z_{uv} z uv 0 = 0 0=0 0 = 0
④ (2) 一阶换元。 z x = z ξ + z η z_x=z_\xi+z_\eta z x = z ξ + z η z y = z ξ − z η z_y=z_\xi-z_\eta z y = z ξ − z η z x = z y z_x=z_y z x = z y z η = 0 z_\eta=0 z η = 0 z = φ ( ξ ) = φ ( x + y ) z=\varphi(\xi)=\varphi(x+y) z = φ ( ξ ) = φ ( x + y ) φ \varphi φ
z η = 0 z_\eta=0 z η = 0 z z z η \eta η ξ \xi ξ
答案：(1) a = 3 a=3 a = 3 z = φ ( x + y ) z=\varphi(x+y) z = φ ( x + y ) φ \varphi φ
例 8.34 2010 数二(19)
设函数
u = f ( x , y ) u=f(x,y) u = f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数，且满足等式
4 ∂ 2 u ∂ x 2 + 12 ∂ 2 u ∂ x ∂ y + 5 ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 4\dfrac{\pd^2u}{\pd x^2}+12\dfrac{\pd^2u}{\pd x\pd y}+5\dfrac{\pd^2u}{\pd y^2}=0 4 ∂ x 2 ∂ 2 u + 12 ∂ x ∂ y ∂ 2 u + 5 ∂ y 2 ∂ 2 u = 0 。确定
a , b a,b a , b 的值，使等式在变换
ξ = x + a y \xi=x+ay ξ = x + a y ，
η = x + b y \eta=x+by η = x + b y 下简化为
∂ 2 u ∂ ξ ∂ η = 0 \dfrac{\pd^2u}{\pd\xi\pd\eta}=0 ∂ ξ ∂ η ∂ 2 u = 0 。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 套框架。 4 u x x + 12 u x y + 5 u y y = ( 5 a 2 + 12 a + 4 ) u ξ ξ + [ 8 + 12 ( a + b ) + 10 a b ] u ξ η + ( 5 b 2 + 12 b + 4 ) u η η 4u_{xx}+12u_{xy}+5u_{yy}=(5a^2+12a+4)u_{\xi\xi}+[8+12(a+b)+10ab]u_{\xi\eta}+(5b^2+12b+4)u_{\eta\eta} 4 u xx + 12 u x y + 5 u yy = ( 5 a 2 + 12 a + 4 ) u ξξ + [ 8 + 12 ( a + b ) + 10 ab ] u ξ η + ( 5 b 2 + 12 b + 4 ) u ηη
把框架里的三个二阶偏导乘上 4、12、5 相加。
② 两个平方项系数为 0。 5 λ 2 + 12 λ + 4 = 0 5\lambda^2+12\lambda+4=0 5 λ 2 + 12 λ + 4 = 0 λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2 − 2 5 -\dfrac25 − 5 2 a , b a,b a , b { − 2 , − 2 5 } \big\{-2,-\frac25\big\} { − 2 , − 5 2 }
a a a b b b
③ 中间项系数不为 0。 a = b a=b a = b a = b = − 2 a=b=-2 a = b = − 2 8 − 48 + 40 = 0 8-48+40=0 8 − 48 + 40 = 0 a = − 2 a=-2 a = − 2 b = − 2 5 b=-\dfrac25 b = − 5 2 8 + 12 ⋅ ( − 12 5 ) + 10 ⋅ 4 5 = − 64 5 ≠ 0 8+12\cdot\big(-\frac{12}5\big)+10\cdot\frac45=-\dfrac{64}5\ne0 8 + 12 ⋅ ( − 5 12 ) + 10 ⋅ 5 4 = − 5 64 = 0
所以 a , b a,b a , b
答案：a = − 2 , b = − 2 5 a=-2,\ b=-\frac25 a = − 2 , b = − 5 2 a = − 2 5 , b = − 2 a=-\frac25,\ b=-2 a = − 5 2 , b = − 2
例 8.35 2024 数二(20)
设
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 具有二阶连续偏导，
g ( x , y ) = f ( 2 x + y , 3 x − y ) g(x,y)=f(2x+y,3x-y) g ( x , y ) = f ( 2 x + y , 3 x − y ) ，且满足
∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ x ∂ y − 6 ∂ 2 g ∂ y 2 = 1 \dfrac{\pd^2g}{\pd x^2}+\dfrac{\pd^2g}{\pd x\pd y}-6\dfrac{\pd^2g}{\pd y^2}=1 ∂ x 2 ∂ 2 g + ∂ x ∂ y ∂ 2 g − 6 ∂ y 2 ∂ 2 g = 1 。（Ⅰ）求
∂ 2 f ∂ u ∂ v \dfrac{\pd^2f}{\pd u\pd v} ∂ u ∂ v ∂ 2 f ；（Ⅱ）若
∂ f ( u , 0 ) ∂ u = u e − u \dfrac{\pd f(u,0)}{\pd u}=u\e^{-u} ∂ u ∂ f ( u , 0 ) = u e − u ，且
f ( 0 , v ) = 1 50 v 2 − 1 f(0,v)=\dfrac1{50}v^2-1 f ( 0 , v ) = 50 1 v 2 − 1 ，求
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 的表达式。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 二阶偏导。 g x = 2 f 1 ′ + 3 f 2 ′ g_x=2f_1'+3f_2' g x = 2 f 1 ′ + 3 f 2 ′ g y = f 1 ′ − f 2 ′ g_y=f_1'-f_2' g y = f 1 ′ − f 2 ′ g x x = 4 f 11 ′ ′ + 12 f 12 ′ ′ + 9 f 22 ′ ′ g_{xx}=4f_{11}''+12f_{12}''+9f_{22}'' g xx = 4 f 11 ′′ + 12 f 12 ′′ + 9 f 22 ′′ g x y = 2 f 11 ′ ′ + f 12 ′ ′ − 3 f 22 ′ ′ g_{xy}=2f_{11}''+f_{12}''-3f_{22}'' g x y = 2 f 11 ′′ + f 12 ′′ − 3 f 22 ′′ g y y = f 11 ′ ′ − 2 f 12 ′ ′ + f 22 ′ ′ g_{yy}=f_{11}''-2f_{12}''+f_{22}'' g yy = f 11 ′′ − 2 f 12 ′′ + f 22 ′′
第 1 位 2 x + y 2x+y 2 x + y 3 x − y 3x-y 3 x − y f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f_{12}''=f_{21}'' f 12 ′′ = f 21 ′′
② (Ⅰ) 代入。 g x x + g x y − 6 g y y = ( 4 + 2 − 6 ) f 11 ′ ′ + ( 12 + 1 + 12 ) f 12 ′ ′ + ( 9 − 3 − 6 ) f 22 ′ ′ = 25 f 12 ′ ′ = 1 g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}=(4+2-6)f_{11}''+(12+1+12)f_{12}''+(9-3-6)f_{22}''=25f_{12}''=1 g xx + g x y − 6 g yy = ( 4 + 2 − 6 ) f 11 ′′ + ( 12 + 1 + 12 ) f 12 ′′ + ( 9 − 3 − 6 ) f 22 ′′ = 25 f 12 ′′ = 1 ∂ 2 f ∂ u ∂ v = 1 25 \dfrac{\pd^2f}{\pd u\pd v}=\dfrac1{25} ∂ u ∂ v ∂ 2 f = 25 1
f 11 ′ ′ f_{11}'' f 11 ′′ f 22 ′ ′ f_{22}'' f 22 ′′
③ (Ⅱ) 对 v v v f u = v 25 + φ ( u ) f_u=\dfrac v{25}+\varphi(u) f u = 25 v + φ ( u ) f u ( u , 0 ) = u e − u f_u(u,0)=u\e^{-u} f u ( u , 0 ) = u e − u φ ( u ) = u e − u \varphi(u)=u\e^{-u} φ ( u ) = u e − u
偏积分：对 v v v u u u
④ (Ⅱ) 对 u u u f = u v 25 − ( u + 1 ) e − u + ψ ( v ) f=\dfrac{uv}{25}-(u+1)\e^{-u}+\psi(v) f = 25 uv − ( u + 1 ) e − u + ψ ( v ) f ( 0 , v ) = − 1 + ψ ( v ) = v 2 50 − 1 f(0,v)=-1+\psi(v)=\dfrac{v^2}{50}-1 f ( 0 , v ) = − 1 + ψ ( v ) = 50 v 2 − 1 ψ = v 2 50 \psi=\dfrac{v^2}{50} ψ = 50 v 2 f ( u , v ) = u v 25 + v 2 50 − ( u + 1 ) e − u f(u,v)=\dfrac{uv}{25}+\dfrac{v^2}{50}-(u+1)\e^{-u} f ( u , v ) = 25 uv + 50 v 2 − ( u + 1 ) e − u
对 u u u v v v ∫ u e − u d u \int u\e^{-u}\du ∫ u e − u d u − ( u + 1 ) e − u -(u+1)\e^{-u} − ( u + 1 ) e − u ψ ( v ) \psi(v) ψ ( v )
答案：(Ⅰ) 1 25 \frac1{25} 25 1 f ( u , v ) = u v 25 + v 2 50 − ( u + 1 ) e − u f(u,v)=\frac{uv}{25}+\frac{v^2}{50}-(u+1)\e^{-u} f ( u , v ) = 25 uv + 50 v 2 − ( u + 1 ) e − u
8.7 小结学完了，标记这一部分
第 9 部分
方向导数、梯度与几何应用（仅数学一）
把第 6 部分的“向量 + 平面 + 直线”和第 7、8 部分的“偏导数”接起来：方向导数是梯度在方向上的投影，切平面的法向量是梯度，交线的切向量是两个梯度的叉积。只考数一，题目都是基础题，公式准就能拿满分。
考试要求（大纲原文，李林讲义第八章第 7、8 条，仅数学一要求）
理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法。
了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
对应李林讲义第八章第五节“方向导数与梯度”（p197—202）、第六节“多元函数微分学的几何应用”（p202—206）。这一部分只考数一，2010—2026 年共 9 道：方向导数、梯度各 2 道，切平面 5 道（其中 2010 年是大题第一问）。题目都不难，关键是公式记准、方向记得单位化。第 6 部分的平面、直线方程在这里直接用上。
9.1 方向导数：往任意方向走的变化率大白话：偏导数只回答“往正东、正北走，函数变化多快”。方向导数回答“往任意一个方向 l \vv l l ：沿 l \vv l l ∂ f ∂ l = f x cos α + f y cos β \dfrac{\pd f}{\pd l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta ∂ l ∂ f = f x cos α + f y cos β 方向一定要先化成单位向量 ，否则算出来的数会被放大。
x y z O P 0 方向 l 切线斜率 = ∂f /∂l 沿方向 l \vv l l P P P ∂ f ∂ l \dfrac{\pd f}{\pd l} ∂ l ∂ f l \vv l l x x x y y y 方向导数
定义 ：∂ f ∂ l ∣ P 0 = lim t → 0 + Δ f t \dfrac{\pd f}{\pd l}\Big|_{P_0}=\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{\Delta f}{t} ∂ l ∂ f P 0 = t → 0 + lim t Δ f Δ f = f ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta f=f(x_0+t\cos\alpha,\ y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0) Δ f = f ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β ) − f ( x 0 , y 0 ) t > 0 t>0 t > 0 计算 ：f f f P 0 P_0 P 0 ∂ f ∂ l = f x cos α + f y cos β \dfrac{\pd f}{\pd l}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta ∂ l ∂ f = f x cos α + f y cos β ∂ u ∂ l = u x cos α + u y cos β + u z cos γ \dfrac{\pd u}{\pd l}=u_x\cos\alpha+u_y\cos\beta+u_z\cos\gamma ∂ l ∂ u = u x cos α + u y cos β + u z cos γ ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) ( cos α , cos β , cos γ ) l \vv l l 与偏导的区别 ：沿 x x x x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x 2 + y 2
方法卡 · 求方向导数
什么时候用
“求
f f f 在点
P P P 沿方向
l \vv l l （或从
P P P 指向
Q Q Q 、沿某曲线的法线）的方向导数”。
步骤
把方向写成向量，除以模得单位向量 ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) ( cos α , cos β , cos γ )
求各偏导在该点的值。
对应相乘再相加（就是梯度与单位向量的点积）。
函数在该点不可微（如带根号、绝对值的原点）：回到定义算单侧极限。 最容易错
方向没有单位化（2017、2025 真题的方向向量模都是 3）；“从
P P P 到
Q Q Q ”的方向写成
Q Q Q 的坐标而不是
P Q → \overrightarrow{PQ} PQ ；不可微时硬套公式。
例 9.1 2017 数一(3)
函数
f ( x , y , z ) = x 2 y + z 2 f(x,y,z)=x^2y+z^2 f ( x , y , z ) = x 2 y + z 2 在点
( 1 , 2 , 0 ) (1,2,0) ( 1 , 2 , 0 ) 处沿向量
n = ( 1 , 2 , 2 ) \vv n=(1,2,2) n = ( 1 , 2 , 2 ) 的方向导数为（ ）
（A）12 （B）6 （C）4 （D）2
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 偏导（梯度）。 f x = 2 x y = 4 f_x=2xy=4 f x = 2 x y = 4 f y = x 2 = 1 f_y=x^2=1 f y = x 2 = 1 f z = 2 z = 0 f_z=2z=0 f z = 2 z = 0 ( 1 , 2 , 0 ) (1,2,0) ( 1 , 2 , 0 )
三个偏导逐个求，再代点。
② 单位化方向。 ∣ n ∣ = 3 |\vv n|=3 ∣ n ∣ = 3 n ∘ = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 ) \vv n^\circ=\Big(\dfrac13,\dfrac23,\dfrac23\Big) n ∘ = ( 3 1 , 3 2 , 3 2 )
公式里要的是方向余弦，必须除以模。
③ 点积。 ∂ f ∂ n = 4 ⋅ 1 3 + 1 ⋅ 2 3 + 0 = 2 \dfrac{\pd f}{\pd n}=4\cdot\dfrac13+1\cdot\dfrac23+0=2 ∂ n ∂ f = 4 ⋅ 3 1 + 1 ⋅ 3 2 + 0 = 2
不单位化会得到 6，正好是选项（B）——出题人设的陷阱。
答案：D
例 9.2 2025 数一(13)
已知函数
U ( x , y , z ) = x y 2 z 3 U(x,y,z)=xy^2z^3 U ( x , y , z ) = x y 2 z 3 ，向量
n = ( 2 , 2 , − 1 ) \vv n=(2,2,-1) n = ( 2 , 2 , − 1 ) ，则
∂ U ∂ n ∣ ( 1 , 1 , 1 ) = \dfrac{\pd U}{\pd\vv n}\Big|_{(1,1,1)}= ∂ n ∂ U ( 1 , 1 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 偏导。 U x = y 2 z 3 = 1 U_x=y^2z^3=1 U x = y 2 z 3 = 1 U y = 2 x y z 3 = 2 U_y=2xyz^3=2 U y = 2 x y z 3 = 2 U z = 3 x y 2 z 2 = 3 U_z=3xy^2z^2=3 U z = 3 x y 2 z 2 = 3
在 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 )
② 单位化并点积。 n ∘ = 1 3 ( 2 , 2 , − 1 ) \vv n^\circ=\dfrac13(2,2,-1) n ∘ = 3 1 ( 2 , 2 , − 1 ) ∂ U ∂ n = 2 + 4 − 3 3 = 1 \dfrac{\pd U}{\pd n}=\dfrac{2+4-3}3=1 ∂ n ∂ U = 3 2 + 4 − 3 = 1
方向向量的模是 4 + 4 + 1 = 3 \sqrt{4+4+1}=3 4 + 4 + 1 = 3
答案：1
例 9.3 李林 第八章 §5 · p197—198
（1）求
z = x y 2 + y e 2 x z=xy^2+y\e^{2x} z = x y 2 + y e 2 x 在
P 0 ( 0 , 1 ) P_0(0,1) P 0 ( 0 , 1 ) 处沿从
P 0 ( 0 , 1 ) P_0(0,1) P 0 ( 0 , 1 ) 到
P ( − 1 , 2 ) P(-1,2) P ( − 1 , 2 ) 的方向导数；（2）求
z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 在
( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) 处沿
x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1 的外法线方向的方向导数；（3）说明
f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} f ( x , y ) = x 2 + y 2 在原点沿任何方向的方向导数都存在，但偏导数不存在。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 方向与偏导。 P 0 P → = ( − 1 , 1 ) \overrightarrow{P_0P}=(-1,1) P 0 P = ( − 1 , 1 ) ( − 1 2 , 1 2 ) \Big(-\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\Big) ( − 2 1 , 2 1 ) z x = y 2 + 2 y e 2 x = 3 z_x=y^2+2y\e^{2x}=3 z x = y 2 + 2 y e 2 x = 3 z y = 2 x y + e 2 x = 1 z_y=2xy+\e^{2x}=1 z y = 2 x y + e 2 x = 1 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
方向是“终点减起点”：( − 1 , 2 ) − ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 1 ) (-1,2)-(0,1)=(-1,1) ( − 1 , 2 ) − ( 0 , 1 ) = ( − 1 , 1 ) 2 \sqrt2 2
② (1) 结果。 ∂ z ∂ l = 3 ⋅ ( − 1 2 ) + 1 ⋅ 1 2 = − 2 \dfrac{\pd z}{\pd l}=3\cdot\Big(-\dfrac1{\sqrt2}\Big)+1\cdot\dfrac1{\sqrt2}=-\sqrt2 ∂ l ∂ z = 3 ⋅ ( − 2 1 ) + 1 ⋅ 2 1 = − 2
负值说明沿这个方向函数在减小。
③ (2) 外法线就是梯度方向。 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1 z z z grad z ( 1 , 0 ) = ( 2 , 0 ) \text{grad}\,z(1,0)=(2,0) grad z ( 1 , 0 ) = ( 2 , 0 )
9.2 节：梯度垂直于等高线、指向增大的一侧，沿梯度方向的方向导数就是梯度的模。
④ (3) 用定义。 沿单位向量 ( cos α , cos β ) (\cos\alpha,\cos\beta) ( cos α , cos β ) f ( t cos α , t cos β ) − 0 t = t t = 1 \dfrac{f(t\cos\alpha,t\cos\beta)-0}{t}=\dfrac{t}{t}=1 t f ( t cos α , t cos β ) − 0 = t t = 1 t > 0 t>0 t > 0 f ( Δ x , 0 ) Δ x = ∣ Δ x ∣ Δ x \dfrac{f(\Delta x,0)}{\Delta x}=\dfrac{|\Delta x|}{\Delta x} Δ x f ( Δ x , 0 ) = Δ x ∣Δ x ∣ f x ( 0 , 0 ) f_x(0,0) f x ( 0 , 0 ) f y f_y f y
方向导数只算 t → 0 + t\to0^+ t → 0 +
答案：(1) − 2 -\sqrt2 − 2 ± 1 \pm1 ± 1
例 9.4 李林 第八章 §5 例 3 · p199—200
设
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 有一阶连续偏导数，且
f x ′ ( x , y ) > 0 f_x'(x,y)>0 f x ′ ( x , y ) > 0 ，
f y ′ ( x , y ) > 0 f_y'(x,y)>0 f y ′ ( x , y ) > 0 ，则以下结论中错误的是（ ）
（A）
f ( 1 , 1 ) > f ( 0 , 0 ) f(1,1)>f(0,0) f ( 1 , 1 ) > f ( 0 , 0 ) （B）
f ( 0 , 0 ) f(0,0) f ( 0 , 0 ) 是
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 的一个极小值
（C）
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 没有极值 （D）方向导数
∂ f ∂ l > 0 \dfrac{\pd f}{\pd\vv l}>0 ∂ l ∂ f > 0 ，其中
l = i + 2 j \vv l=\vv i+2\vv j l = i + 2 j 解答先遮住，自己试 5 分钟
① （A）分两步走。 f ( 1 , 1 ) − f ( 0 , 0 ) = [ f ( 1 , 1 ) − f ( 0 , 1 ) ] + [ f ( 0 , 1 ) − f ( 0 , 0 ) ] > 0 f(1,1)-f(0,0)=[f(1,1)-f(0,1)]+[f(0,1)-f(0,0)]>0 f ( 1 , 1 ) − f ( 0 , 0 ) = [ f ( 1 , 1 ) − f ( 0 , 1 )] + [ f ( 0 , 1 ) − f ( 0 , 0 )] > 0
先固定 y = 1 y=1 y = 1 x x x f f f x x x x = 0 x=0 x = 0 y y y f f f y y y
② （B）（C）极值的必要条件。 偏导数存在的极值点必须满足 f x ′ = f y ′ = 0 f_x'=f_y'=0 f x ′ = f y ′ = 0 f f f
多元函数的费马引理（10.1 节）：可偏导的极值点一定是驻点。
③ （D）方向导数。 l \vv l l ( 1 5 , 2 5 ) \Big(\dfrac1{\sqrt5},\dfrac2{\sqrt5}\Big) ( 5 1 , 5 2 ) ∂ f ∂ l = f x ′ + 2 f y ′ 5 > 0 \dfrac{\pd f}{\pd\vv l}=\dfrac{f_x'+2f_y'}{\sqrt5}>0 ∂ l ∂ f = 5 f x ′ + 2 f y ′ > 0
方向导数等于梯度与单位方向向量的点积；两个方向余弦为正、两个偏导为正，和当然为正。
④ 结论。 错误的是（B），所以选（B）。
题目问的是“错误的”，四个选项里只有（B）不成立。
答案：B
9.2 梯度：上坡最陡的方向大白话：把两个偏导数拼成一个向量，就是梯度 grad f = ( f x , f y ) \text{grad}\,f=(f_x,f_y) grad f = ( f x , f y ) ∂ f ∂ l = grad f ⋅ l ∘ = ∣ grad f ∣ cos θ \dfrac{\pd f}{\pd l}=\text{grad}\,f\cdot\vv l^\circ=|\text{grad}\,f|\cos\theta ∂ l ∂ f = grad f ⋅ l ∘ = ∣ grad f ∣ cos θ 沿梯度方向，方向导数最大，最大值就是梯度的模 ；沿反方向最小（是负的模）；垂直于梯度的方向上变化率为 0——那正是等高线的方向，所以梯度垂直于等高线 。站在山坡上，梯度就是最陡的上坡方向。
x y O (0, 1)：grad = (0, 4) x ²+2y ²=2f = x 2 + 2 y 2 f=x^2+2y^2 f = x 2 + 2 y 2 f f f ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) grad f = ( 0 , 4 ) \text{grad}\,f=(0,4) grad f = ( 0 , 4 ) 梯度
grad f = ( f x , f y ) \text{grad}\,f=(f_x,f_y) grad f = ( f x , f y ) grad u = ( u x , u y , u z ) \text{grad}\,u=(u_x,u_y,u_z) grad u = ( u x , u y , u z ) ∂ f ∂ l = grad f ⋅ l ∘ = ∣ grad f ∣ cos θ \dfrac{\pd f}{\pd l}=\text{grad}\,f\cdot\vv l^\circ=|\text{grad}\,f|\cos\theta ∂ l ∂ f = grad f ⋅ l ∘ = ∣ grad f ∣ cos θ θ \theta θ l \vv l l 最大方向导数 = ∣ grad f ∣ =|\text{grad}\,f| = ∣ grad f ∣ = − ∣ grad f ∣ =-|\text{grad}\,f| = − ∣ grad f ∣
梯度垂直于过该点的等高线（三元：垂直于等值面），所以曲面 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 grad F \text{grad}\,F grad F
方法卡 · 梯度与最大方向导数
什么时候用
“求梯度”“最大方向导数及其方向”“已知两个方向导数反求梯度”“沿哪个方向函数不变”。
步骤
求偏导、代点得梯度向量。
最大方向导数 = 梯度的模；最小 = 负的模；变化率为 0 的方向与梯度垂直。
已知两个方向的方向导数：设梯度 ( a , b ) (a,b) ( a , b )
“在一条曲线上找最大方向导数最大的点”：梯度的模是目标函数，曲线是约束，用拉格朗日（第 10 部分，2015 数一(17)）。 最容易错
把梯度（向量）当成最大方向导数（数）；最小方向导数写成 0（应是
− ∣ grad f ∣ -|\text{grad}\,f| − ∣ grad f ∣ ）。
例 9.5 2012 数一(11)
grad ( x y + z y ) ∣ ( 2 , 1 , 1 ) = \text{grad}\Big(xy+\dfrac zy\Big)\Big|_{(2,1,1)}= grad ( x y + y z ) ( 2 , 1 , 1 ) = ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 三个偏导。 u x = y u_x=y u x = y u y = x − z y 2 u_y=x-\dfrac z{y^2} u y = x − y 2 z u z = 1 y u_z=\dfrac1y u z = y 1
对 y y y z y = z y − 1 \frac zy=zy^{-1} y z = z y − 1 − z y − 2 -zy^{-2} − z y − 2
② 代点。 在 ( 2 , 1 , 1 ) (2,1,1) ( 2 , 1 , 1 ) ( 1 , 2 − 1 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 ) (1,\ 2-1,\ 1)=(1,1,1) ( 1 , 2 − 1 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 )
梯度是向量，写成 ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) i + j + k \vv i+\vv j+\vv k i + j + k
答案：( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 )
例 9.6 2022 数一(11)
函数
f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 f(x,y)=x^2+2y^2 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 在点
( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 处的最大方向导数为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 梯度。 grad f = ( 2 x , 4 y ) = ( 0 , 4 ) \text{grad}\,f=(2x,4y)=(0,4) grad f = ( 2 x , 4 y ) = ( 0 , 4 )
梯度就是两个偏导数组成的向量，把点 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 2 x , 4 y ) (2x,4y) ( 2 x , 4 y )
② 模。 最大方向导数 = ∣ grad f ∣ = 4 =|\text{grad}\,f|=4 = ∣ grad f ∣ = 4 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
沿梯度方向 cos θ = 1 \cos\theta=1 cos θ = 1
答案：4
例 9.7 李林 第八章 §5 例 1、例 4 · p199—200
（1）求
u = 3 x 2 + 2 y 2 − z 2 u=3x^2+2y^2-z^2 u = 3 x 2 + 2 y 2 − z 2 在点
P ( 1 , 2 , − 1 ) P(1,2,-1) P ( 1 , 2 , − 1 ) 处沿什么方向的方向导数取得最大值、最小值，并求出它们；（2）求
u = x 2 − x y + y 2 u=x^2-xy+y^2 u = x 2 − x y + y 2 在点
M ( − 1 , 1 ) M(-1,1) M ( − 1 , 1 ) 沿
n = 1 5 ( 2 , 1 ) \vv n=\dfrac1{\sqrt5}(2,1) n = 5 1 ( 2 , 1 ) 的方向导数，并指出
u u u 在该点沿哪个方向增加最快、最大方向导数是多少、沿哪个方向减少最快、沿哪个方向
u u u 的变化率为 0。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 梯度。 grad u = ( 6 x , 4 y , − 2 z ) = ( 6 , 8 , 2 ) \text{grad}\,u=(6x,4y,-2z)=(6,8,2) grad u = ( 6 x , 4 y , − 2 z ) = ( 6 , 8 , 2 )
三个偏导数 6 x 6x 6 x 4 y 4y 4 y − 2 z -2z − 2 z ( 1 , 2 , − 1 ) (1,2,-1) ( 1 , 2 , − 1 )
② (1) 最大、最小。 沿 ( 6 , 8 , 2 ) (6,8,2) ( 6 , 8 , 2 ) 36 + 64 + 4 = 2 26 \sqrt{36+64+4}=2\sqrt{26} 36 + 64 + 4 = 2 26 − ( 6 , 8 , 2 ) -(6,8,2) − ( 6 , 8 , 2 ) − 2 26 -2\sqrt{26} − 2 26
最小值是负的模，不是 0。
③ (2) 方向导数。 grad u ( M ) = ( 2 x − y , − x + 2 y ) = ( − 3 , 3 ) \text{grad}\,u(M)=(2x-y,\,-x+2y)=(-3,3) grad u ( M ) = ( 2 x − y , − x + 2 y ) = ( − 3 , 3 ) ∂ u ∂ n = ( − 3 , 3 ) ⋅ ( 2 , 1 ) 5 = − 3 5 \dfrac{\pd u}{\pd n}=(-3,3)\cdot\dfrac{(2,1)}{\sqrt5}=-\dfrac3{\sqrt5} ∂ n ∂ u = ( − 3 , 3 ) ⋅ 5 ( 2 , 1 ) = − 5 3
n \vv n n 4 + 1 5 = 1 \frac{4+1}5=1 5 4 + 1 = 1
④ (2) 最快增加、减少和不变。 沿 ( − 3 , 3 ) (-3,3) ( − 3 , 3 ) 3 2 3\sqrt2 3 2 ( 3 , − 3 ) (3,-3) ( 3 , − 3 ) l = ( cos θ , sin θ ) \vv l=(\cos\theta,\sin\theta) l = ( cos θ , sin θ ) − 3 cos θ + 3 sin θ = 3 2 sin ( θ − π 4 ) = 0 -3\cos\theta+3\sin\theta=3\sqrt2\sin\big(\theta-\frac\pi4\big)=0 − 3 cos θ + 3 sin θ = 3 2 sin ( θ − 4 π ) = 0 θ = π 4 \theta=\dfrac\pi4 θ = 4 π 5 π 4 \dfrac{5\pi}4 4 5 π
变化率为 0 的方向与梯度 ( − 3 , 3 ) (-3,3) ( − 3 , 3 ) ± ( 1 , 1 ) \pm(1,1) ± ( 1 , 1 )
答案：(1) 沿 ( 6 , 8 , 2 ) (6,8,2) ( 6 , 8 , 2 ) 2 26 2\sqrt{26} 2 26 − ( 6 , 8 , 2 ) -(6,8,2) − ( 6 , 8 , 2 ) − 2 26 -2\sqrt{26} − 2 26 − 3 5 -\frac3{\sqrt5} − 5 3 ( − 3 , 3 ) (-3,3) ( − 3 , 3 ) 3 2 3\sqrt2 3 2 ( 3 , − 3 ) (3,-3) ( 3 , − 3 ) θ = π 4 \theta=\frac\pi4 θ = 4 π 5 π 4 \frac{5\pi}4 4 5 π
例 9.8 李林 第八章 §5 例 5、例 8 · p200—202
（1）设可微函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
P 0 P_0 P 0 沿
l 1 = ( − 3 , 4 ) \vv l_1=(-3,4) l 1 = ( − 3 , 4 ) 、
l 2 = ( 3 , 4 ) \vv l_2=(3,4) l 2 = ( 3 , 4 ) 的方向导数分别为 1 和
− 1 5 -\dfrac15 − 5 1 ，求
f f f 在
P 0 P_0 P 0 处的最大方向导数及取得最大方向导数的一个方向；（2）求常数
a , b , c a,b,c a , b , c ，使
f ( x , y , z ) = a x y 2 + b y z + c x 3 z 2 f(x,y,z)=axy^2+byz+cx^3z^2 f ( x , y , z ) = a x y 2 + b yz + c x 3 z 2 在点
( 1 , 2 , − 1 ) (1,2,-1) ( 1 , 2 , − 1 ) 处沿
z z z 轴正向的方向导数有最大值 64。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 设梯度解方程。 设 grad f ( P 0 ) = ( a , b ) \text{grad}\,f(P_0)=(a,b) grad f ( P 0 ) = ( a , b ) − 3 5 a + 4 5 b = 1 -\dfrac35a+\dfrac45b=1 − 5 3 a + 5 4 b = 1 3 5 a + 4 5 b = − 1 5 \dfrac35a+\dfrac45b=-\dfrac15 5 3 a + 5 4 b = − 5 1 b = 1 2 b=\dfrac12 b = 2 1 a = − 1 a=-1 a = − 1
方向导数 = 梯度与单位向量的点积；∣ l 1 ∣ = ∣ l 2 ∣ = 5 |\vv l_1|=|\vv l_2|=5 ∣ l 1 ∣ = ∣ l 2 ∣ = 5
② (1) 最大值。 最大方向导数 = 1 + 1 4 = 5 2 =\sqrt{1+\frac14}=\dfrac{\sqrt5}2 = 1 + 4 1 = 2 5 ( − 1 , 1 2 ) \Big(-1,\dfrac12\Big) ( − 1 , 2 1 )
最大方向导数等于梯度的模，取得最大值的方向就是梯度本身的方向。
③ (2) 最大值在 z z z ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) grad f = ( a y 2 + 3 c x 2 z 2 , 2 a x y + b z , b y + 2 c x 3 z ) = ( 4 a + 3 c , 4 a − b , 2 b − 2 c ) \text{grad}\,f=(ay^2+3cx^2z^2,\ 2axy+bz,\ by+2cx^3z)=(4a+3c,\ 4a-b,\ 2b-2c) grad f = ( a y 2 + 3 c x 2 z 2 , 2 a x y + b z , b y + 2 c x 3 z ) = ( 4 a + 3 c , 4 a − b , 2 b − 2 c ) 4 a + 3 c = 0 4a+3c=0 4 a + 3 c = 0 4 a − b = 0 4a-b=0 4 a − b = 0 2 b − 2 c = 64 2b-2c=64 2 b − 2 c = 64
最大方向导数在梯度方向取得，所以梯度与 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 )
④ (2) 解出。 b = 4 a b=4a b = 4 a c = − 4 3 a c=-\dfrac43a c = − 3 4 a 8 a + 8 3 a = 64 8a+\dfrac83a=64 8 a + 3 8 a = 64 a = 6 a=6 a = 6 b = 24 b=24 b = 24 c = − 8 c=-8 c = − 8
前两个方程把 b b b c c c a a a 2 b − 2 c = 64 2b-2c=64 2 b − 2 c = 64 a a a
答案：(1) 最大方向导数 5 2 \frac{\sqrt5}2 2 5 ( − 1 , 1 2 ) \big(-1,\frac12\big) ( − 1 , 2 1 ) a = 6 , b = 24 , c = − 8 a=6,\ b=24,\ c=-8 a = 6 , b = 24 , c = − 8
9.3 曲面的切平面与法线大白话：曲面 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 F F F 法向量就是 n = ( F x , F y , F z ) \vv n=(F_x,F_y,F_z) n = ( F x , F y , F z ) 。有了法向量和切点，切平面、法线就是第 6 部分的点法式平面、点向式直线。曲面写成 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) F = f ( x , y ) − z F=f(x,y)-z F = f ( x , y ) − z ( f x , f y , − 1 ) (f_x,f_y,-1) ( f x , f y , − 1 )
x y z O (1,0,0) (0,1,0) 切点 (1,1,2) 2x +2y −z =2 z =02018 数一(2)：同一条直线上的平面束里，恰好两个与抛物面相切。切平面 z = 2 a x + 2 b y − ( a 2 + b 2 ) z=2ax+2by-(a^2+b^2) z = 2 a x + 2 b y − ( a 2 + b 2 ) a = b = 0 a=b=0 a = b = 0 a = b = 1 a=b=1 a = b = 1 x y z O C ：切平面竖直的点2010 数一(19)：法向量 ( 2 x , 2 y − z , 2 z − y ) (2x,2y-z,2z-y) ( 2 x , 2 y − z , 2 z − y ) z z z y = 2 z y=2z y = 2 z x 2 + 3 z 2 = 1 x^2+3z^2=1 x 2 + 3 z 2 = 1
切平面与法线
F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F ( x , y , z ) = 0 P 0 P_0 P 0 n = ( F x , F y , F z ) ∣ P 0 \vv n=(F_x,F_y,F_z)\big|_{P_0} n = ( F x , F y , F z ) P 0 F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) + F z ( z − z 0 ) = 0 F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0 F x ( x − x 0 ) + F y ( y − y 0 ) + F z ( z − z 0 ) = 0 x − x 0 F x = y − y 0 F y = z − z 0 F z \dfrac{x-x_0}{F_x}=\dfrac{y-y_0}{F_y}=\dfrac{z-z_0}{F_z} F x x − x 0 = F y y − y 0 = F z z − z 0 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) n = ( f x , f y , − 1 ) \vv n=(f_x,f_y,-1) n = ( f x , f y , − 1 ) z − z 0 = f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0) z − z 0 = f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) Δ z ≈ d z \Delta z\approx\dd z Δ z ≈ d z 切平面与 x O y xOy x O y F z = 0 F_z=0 F z = 0 F x = F y = 0 F_x=F_y=0 F x = F y = 0
方法卡 · 切平面
什么时候用
“求切平面/法线方程”“过某直线（某些点）且与曲面相切的平面”“切平面满足某条件的点”。
步骤
把曲面写成 F = 0 F=0 F = 0 n \vv n n
点法式写切平面；点向式写法线。
切点未知：设切点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) 最容易错
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 的法向量第三个分量漏写
− 1 -1 − 1 ；切点未知时忘了“切点在曲面上”这个方程。
例 9.9 2013 数一(2)
曲面
x 2 + cos ( x y ) + y z + x = 0 x^2+\cos(xy)+yz+x=0 x 2 + cos ( x y ) + yz + x = 0 在点
( 0 , 1 , − 1 ) (0,1,-1) ( 0 , 1 , − 1 ) 处的切平面方程为（ ）
（A）
x − y + z = − 2 x-y+z=-2 x − y + z = − 2 （B）
x + y + z = 0 x+y+z=0 x + y + z = 0 （C）
x − 2 y + z = − 3 x-2y+z=-3 x − 2 y + z = − 3 （D）
x − y − z = 0 x-y-z=0 x − y − z = 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 法向量。 F x = 2 x − y sin ( x y ) + 1 = 1 F_x=2x-y\sin(xy)+1=1 F x = 2 x − y sin ( x y ) + 1 = 1 F y = − x sin ( x y ) + z = − 1 F_y=-x\sin(xy)+z=-1 F y = − x sin ( x y ) + z = − 1 F z = y = 1 F_z=y=1 F z = y = 1 ( 0 , 1 , − 1 ) (0,1,-1) ( 0 , 1 , − 1 )
cos ( x y ) \cos(xy) cos ( x y ) x x x − y sin ( x y ) -y\sin(xy) − y sin ( x y ) y y y − x sin ( x y ) -x\sin(xy) − x sin ( x y )
② 点法式。 ( x − 0 ) − ( y − 1 ) + ( z + 1 ) = 0 (x-0)-(y-1)+(z+1)=0 ( x − 0 ) − ( y − 1 ) + ( z + 1 ) = 0 x − y + z = − 2 x-y+z=-2 x − y + z = − 2
点法式就是“法向量 · (动点 − 定点) = 0”；最后把切点 ( 0 , 1 , − 1 ) (0,1,-1) ( 0 , 1 , − 1 ) 0 − 1 − 1 = − 2 0-1-1=-2 0 − 1 − 1 = − 2
答案：A
例 9.10 2014 数一(9) 李林 第八章 §6 例 3 · p205
曲面
z = x 2 ( 1 − sin y ) + y 2 ( 1 − sin x ) z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x) z = x 2 ( 1 − sin y ) + y 2 ( 1 − sin x ) 在点
( 1 , 0 , 1 ) (1,0,1) ( 1 , 0 , 1 ) 处的切平面方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 两个偏导。 z x = 2 x ( 1 − sin y ) − y 2 cos x = 2 z_x=2x(1-\sin y)-y^2\cos x=2 z x = 2 x ( 1 − sin y ) − y 2 cos x = 2 z y = − x 2 cos y + 2 y ( 1 − sin x ) = − 1 z_y=-x^2\cos y+2y(1-\sin x)=-1 z y = − x 2 cos y + 2 y ( 1 − sin x ) = − 1 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 )
代入 y = 0 y=0 y = 0 sin y = 0 \sin y=0 sin y = 0 y 2 = 0 y^2=0 y 2 = 0
② 切平面。 n = ( 2 , − 1 , − 1 ) \vv n=(2,-1,-1) n = ( 2 , − 1 , − 1 ) 2 ( x − 1 ) − y − ( z − 1 ) = 0 2(x-1)-y-(z-1)=0 2 ( x − 1 ) − y − ( z − 1 ) = 0 2 x − y − z − 1 = 0 2x-y-z-1=0 2 x − y − z − 1 = 0
曲面写成 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) ( f x , f y , − 1 ) (f_x,f_y,-1) ( f x , f y , − 1 )
答案：2 x − y − z = 1 2x-y-z=1 2 x − y − z = 1
例 9.11 2023 数一(12)
曲面
z = x + 2 y + ln ( 1 + x 2 + y 2 ) z=x+2y+\ln(1+x^2+y^2) z = x + 2 y + ln ( 1 + x 2 + y 2 ) 在点
( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) ( 0 , 0 , 0 ) 处的切平面方程为 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 偏导。 z x = 1 + 2 x 1 + x 2 + y 2 = 1 z_x=1+\dfrac{2x}{1+x^2+y^2}=1 z x = 1 + 1 + x 2 + y 2 2 x = 1 z y = 2 + 2 y 1 + x 2 + y 2 = 2 z_y=2+\dfrac{2y}{1+x^2+y^2}=2 z y = 2 + 1 + x 2 + y 2 2 y = 2
对数项的导数在原点为 0。
② 切平面。 z = x + 2 y z=x+2y z = x + 2 y x + 2 y − z = 0 x+2y-z=0 x + 2 y − z = 0
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) z − z 0 = f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 ) z-z_0=f_x(x-x_0)+f_y(y-y_0) z − z 0 = f x ( x − x 0 ) + f y ( y − y 0 )
答案：x + 2 y − z = 0 x+2y-z=0 x + 2 y − z = 0
例 9.12 2018 数一(2)
过点
( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) ，
( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) ，且与曲面
z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 相切的平面为（ ）
（A）
z = 0 z=0 z = 0 与
x + y − z = 1 x+y-z=1 x + y − z = 1 （B）
z = 0 z=0 z = 0 与
2 x + 2 y − z = 2 2x+2y-z=2 2 x + 2 y − z = 2 （C）
x = y x=y x = y 与
x + y − z = 1 x+y-z=1 x + y − z = 1 （D）
x = y x=y x = y 与
2 x + 2 y − z = 2 2x+2y-z=2 2 x + 2 y − z = 2 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 设切点写切平面。 切点 ( a , b , a 2 + b 2 ) (a,b,a^2+b^2) ( a , b , a 2 + b 2 ) n = ( 2 a , 2 b , − 1 ) \vv n=(2a,2b,-1) n = ( 2 a , 2 b , − 1 ) z = 2 a x + 2 b y − ( a 2 + b 2 ) z=2ax+2by-(a^2+b^2) z = 2 a x + 2 b y − ( a 2 + b 2 )
切点不知道，就设成 ( a , b , a 2 + b 2 ) (a,b,a^2+b^2) ( a , b , a 2 + b 2 )
② 过两个已知点。 代 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) 2 a = a 2 + b 2 2a=a^2+b^2 2 a = a 2 + b 2 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) 2 b = a 2 + b 2 2b=a^2+b^2 2 b = a 2 + b 2 a = b a=b a = b 2 a = 2 a 2 2a=2a^2 2 a = 2 a 2 a = 0 a=0 a = 0
两个方程右边相同，相减得 2 a = 2 b 2a=2b 2 a = 2 b a = b a=b a = b
③ 两个平面。 a = b = 0 a=b=0 a = b = 0 z = 0 z=0 z = 0 a = b = 1 a=b=1 a = b = 1 z = 2 x + 2 y − 2 z=2x+2y-2 z = 2 x + 2 y − 2 2 x + 2 y − z = 2 2x+2y-z=2 2 x + 2 y − z = 2
x = y x=y x = y ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 )
答案：B
例 9.13 2010 数一(19)
设
P P P 为椭球面
S : x 2 + y 2 + z 2 − y z = 1 S:x^2+y^2+z^2-yz=1 S : x 2 + y 2 + z 2 − yz = 1 上的动点，若
S S S 在点
P P P 处的切平面与
x O y xOy x O y 面垂直，求点
P P P 的轨迹
C C C ，并计算曲面积分
I = ∬ Σ ( x + 3 ) ∣ y − 2 z ∣ 4 + y 2 + z 2 − 4 y z d S I=\displaystyle\iint_\Sigma\dfrac{(x+\sqrt3)|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\dd S I = ∬ Σ 4 + y 2 + z 2 − 4 yz ( x + 3 ) ∣ y − 2 z ∣ d S ，其中
Σ \Sigma Σ 是椭球面
S S S 位于曲线
C C C 上方的部分。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 法向量。 F = x 2 + y 2 + z 2 − y z − 1 F=x^2+y^2+z^2-yz-1 F = x 2 + y 2 + z 2 − yz − 1 n = ( 2 x , 2 y − z , 2 z − y ) \vv n=(2x,\ 2y-z,\ 2z-y) n = ( 2 x , 2 y − z , 2 z − y )
曲面的法向量就是 F F F
② 切平面垂直于 x O y xOy x O y 两平面垂直 ⟺ 法向量垂直：n ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = 2 z − y = 0 \vv n\cdot(0,0,1)=2z-y=0 n ⋅ ( 0 , 0 , 1 ) = 2 z − y = 0 y = 2 z y=2z y = 2 z
x O y xOy x O y ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) ( 0 , 0 , 1 ) n \vv n n
③ 代回曲面。 x 2 + 4 z 2 + z 2 − 2 z 2 = 1 x^2+4z^2+z^2-2z^2=1 x 2 + 4 z 2 + z 2 − 2 z 2 = 1 x 2 + 3 z 2 = 1 x^2+3z^2=1 x 2 + 3 z 2 = 1 C : { x 2 + 3 z 2 = 1 y = 2 z C:\begin{cases}x^2+3z^2=1\\y=2z\end{cases} C : { x 2 + 3 z 2 = 1 y = 2 z
P P P y = 2 z y=2z y = 2 z
④ 积分部分（曲面积分，这里只写结果）。 把 Σ \Sigma Σ x O y xOy x O y D : x 2 + 3 4 y 2 ≤ 1 D:x^2+\frac34y^2\le1 D : x 2 + 4 3 y 2 ≤ 1 I = ∬ D ( x + 3 ) d x d y = 3 ⋅ 面积 ( D ) = 3 ⋅ 2 π 3 = 2 π I=\displaystyle\iint_D(x+\sqrt3)\dx\dy=\sqrt3\cdot\text{面积}(D)=\sqrt3\cdot\frac{2\pi}{\sqrt3}=2\pi I = ∬ D ( x + 3 ) d x d y = 3 ⋅ 面积 ( D ) = 3 ⋅ 3 2 π = 2 π
投影：把 z = y 2 z=\frac y2 z = 2 y x 2 + 3 z 2 = 1 x^2+3z^2=1 x 2 + 3 z 2 = 1 z z z d S = ∣ n ∣ ∣ F z ∣ d x d y = 4 x 2 + ( 2 y − z ) 2 + ( 2 z − y ) 2 ∣ 2 z − y ∣ d x d y \dd S=\frac{|\vv n|}{|F_z|}\dx\dy=\frac{\sqrt{4x^2+(2y-z)^2+(2z-y)^2}}{|2z-y|}\dx\dy d S = ∣ F z ∣ ∣ n ∣ d x d y = ∣2 z − y ∣ 4 x 2 + ( 2 y − z ) 2 + ( 2 z − y ) 2 d x d y S S S 4 + y 2 + z 2 − 4 y z 4+y^2+z^2-4yz 4 + y 2 + z 2 − 4 yz x x x y y y D D D
答案：轨迹 C : x 2 + 3 z 2 = 1 , y = 2 z C:\ x^2+3z^2=1,\ y=2z C : x 2 + 3 z 2 = 1 , y = 2 z I = 2 π I=2\pi I = 2 π
例 9.14 李林 第八章 §6 例 4、例 5 · p205—206
（1）设直线
L : { x + y + b = 0 x + a y − z − 3 = 0 L:\begin{cases}x+y+b=0\\x+ay-z-3=0\end{cases} L : { x + y + b = 0 x + a y − z − 3 = 0 在平面
π \pi π 上，而平面
π \pi π 与曲面
z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 相切于点
( 1 , − 2 , 5 ) (1,-2,5) ( 1 , − 2 , 5 ) ，求
a , b a,b a , b ；（2）设椭球面
x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 x^2+2y^2+3z^2=21 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 21 上点
P P P 处的切平面
π \pi π 过直线
L : x − 6 2 = y − 3 1 = 2 z − 1 − 2 L:\dfrac{x-6}2=\dfrac{y-3}1=\dfrac{2z-1}{-2} L : 2 x − 6 = 1 y − 3 = − 2 2 z − 1 ，求点
P P P 的坐标和切平面
π \pi π 的方程。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 切平面。 n = ( 2 x , 2 y , − 1 ) = ( 2 , − 4 , − 1 ) \vv n=(2x,2y,-1)=(2,-4,-1) n = ( 2 x , 2 y , − 1 ) = ( 2 , − 4 , − 1 ) π : 2 ( x − 1 ) − 4 ( y + 2 ) − ( z − 5 ) = 0 \pi:2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0 π : 2 ( x − 1 ) − 4 ( y + 2 ) − ( z − 5 ) = 0 2 x − 4 y − z − 5 = 0 2x-4y-z-5=0 2 x − 4 y − z − 5 = 0
曲面 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) ( f x , f y , − 1 ) = ( 2 x , 2 y , − 1 ) (f_x,f_y,-1)=(2x,2y,-1) ( f x , f y , − 1 ) = ( 2 x , 2 y , − 1 )
② (1) 直线在平面上。 由 L L L y = − ( x + b ) y=-(x+b) y = − ( x + b ) z = x − a ( x + b ) − 3 z=x-a(x+b)-3 z = x − a ( x + b ) − 3 π \pi π 2 x + 4 ( x + b ) − x + a ( x + b ) + 3 − 5 = 0 2x+4(x+b)-x+a(x+b)+3-5=0 2 x + 4 ( x + b ) − x + a ( x + b ) + 3 − 5 = 0 x x x 5 + a = 0 5+a=0 5 + a = 0 4 b + a b − 2 = 0 4b+ab-2=0 4 b + ab − 2 = 0 a = − 5 a=-5 a = − 5 b = − 2 b=-2 b = − 2
直线上每一点都在平面上，关于 x x x
③ (2) 设切点写切平面。 P ( x 0 , y 0 , z 0 ) P(x_0,y_0,z_0) P ( x 0 , y 0 , z 0 ) n = ( 2 x 0 , 4 y 0 , 6 z 0 ) \vv n=(2x_0,4y_0,6z_0) n = ( 2 x 0 , 4 y 0 , 6 z 0 ) x 0 x + 2 y 0 y + 3 z 0 z = 21 x_0x+2y_0y+3z_0z=21 x 0 x + 2 y 0 y + 3 z 0 z = 21 P P P
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y 0 ( y − y 0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0 2x_0(x-x_0)+4y_0(y-y_0)+6z_0(z-z_0)=0 2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y 0 ( y − y 0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0 x 0 2 + 2 y 0 2 + 3 z 0 2 = 21 x_0^2+2y_0^2+3z_0^2=21 x 0 2 + 2 y 0 2 + 3 z 0 2 = 21
④ (2) 过直线。 L L L ( 6 + 2 t , 3 + t , 1 2 − t ) (6+2t,\ 3+t,\ \frac12-t) ( 6 + 2 t , 3 + t , 2 1 − t ) x 0 ( 6 + 2 t ) + 2 y 0 ( 3 + t ) + 3 z 0 ( 1 2 − t ) = 21 x_0(6+2t)+2y_0(3+t)+3z_0\big(\frac12-t\big)=21 x 0 ( 6 + 2 t ) + 2 y 0 ( 3 + t ) + 3 z 0 ( 2 1 − t ) = 21 t t t 2 x 0 + 2 y 0 − 3 z 0 = 0 2x_0+2y_0-3z_0=0 2 x 0 + 2 y 0 − 3 z 0 = 0 6 x 0 + 6 y 0 + 3 2 z 0 = 21 6x_0+6y_0+\frac32z_0=21 6 x 0 + 6 y 0 + 2 3 z 0 = 21
L L L t t t 2 z − 1 = − 2 t 2z-1=-2t 2 z − 1 = − 2 t
⑤ (2) 解出切点。 由第一式 x 0 + y 0 = 3 2 z 0 x_0+y_0=\frac32z_0 x 0 + y 0 = 2 3 z 0 9 z 0 + 3 2 z 0 = 21 9z_0+\frac32z_0=21 9 z 0 + 2 3 z 0 = 21 z 0 = 2 z_0=2 z 0 = 2 x 0 + y 0 = 3 x_0+y_0=3 x 0 + y 0 = 3 x 0 2 + 2 ( 3 − x 0 ) 2 + 12 = 21 x_0^2+2(3-x_0)^2+12=21 x 0 2 + 2 ( 3 − x 0 ) 2 + 12 = 21 x 0 = 3 x_0=3 x 0 = 3 P ( 3 , 0 , 2 ) P(3,0,2) P ( 3 , 0 , 2 ) π : x + 2 z = 7 \pi:x+2z=7 π : x + 2 z = 7 P ( 1 , 2 , 2 ) P(1,2,2) P ( 1 , 2 , 2 ) π : x + 4 y + 6 z = 21 \pi:x+4y+6z=21 π : x + 4 y + 6 z = 21
三个方程三个未知数；二次方程 3 x 0 2 − 12 x 0 + 9 = 0 3x_0^2-12x_0+9=0 3 x 0 2 − 12 x 0 + 9 = 0
答案：(1) a = − 5 a=-5 a = − 5 b = − 2 b=-2 b = − 2 P ( 3 , 0 , 2 ) P(3,0,2) P ( 3 , 0 , 2 ) x + 2 z − 7 = 0 x+2z-7=0 x + 2 z − 7 = 0 P ( 1 , 2 , 2 ) P(1,2,2) P ( 1 , 2 , 2 ) x + 4 y + 6 z − 21 = 0 x+4y+6z-21=0 x + 4 y + 6 z − 21 = 0
9.4 空间曲线的切线与法平面大白话：曲线写成参数式 ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) \big(x(t),y(t),z(t)\big) ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) 切向量就是三个坐标对 t t t T = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \vv T=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)) T = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 )) 切向量 = 两个法向量的叉积 （第 6 部分“一般式直线化对称式”的套路）；也可以像 8.5 节那样对方程组求导。法平面就是过切点、以切向量为法向量的平面。
x y z O 切向量 T 法平面 P 0 切向量是曲线在该点的“速度方向”；法平面垂直于它。 切线与法平面
参数式 x = x ( t ) x=x(t) x = x ( t ) y = y ( t ) y=y(t) y = y ( t ) z = z ( t ) z=z(t) z = z ( t ) T = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 ) ) \vv T=(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)) T = ( x ′ ( t 0 ) , y ′ ( t 0 ) , z ′ ( t 0 )) x − x 0 x ′ ( t 0 ) = y − y 0 y ′ ( t 0 ) = z − z 0 z ′ ( t 0 ) \dfrac{x-x_0}{x'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{y'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{z'(t_0)} x ′ ( t 0 ) x − x 0 = y ′ ( t 0 ) y − y 0 = z ′ ( t 0 ) z − z 0 x ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0 x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0 x ′ ( t 0 ) ( x − x 0 ) + y ′ ( t 0 ) ( y − y 0 ) + z ′ ( t 0 ) ( z − z 0 ) = 0 交线式 F = 0 F=0 F = 0 G = 0 G=0 G = 0 T = grad F × grad G \vv T=\text{grad}\,F\times\text{grad}\,G T = grad F × grad G x x x ( 1 , d y d x , d z d x ) \big(1,\frac{\dd y}{\dd x},\frac{\dd z}{\dd x}\big) ( 1 , d x d y , d x d z )
方法卡 · 切线与法平面
什么时候用
“求曲线在某点（或某参数处）的切线和法平面”“切线平行于某平面的点”。
步骤
参数式：求导代 t 0 t_0 t 0 T \vv T T
交线式：两个梯度叉积（或对方程组求导）。
切线平行于平面 ⟺ T ⋅ n = 0 \vv T\cdot\vv n=0 T ⋅ n = 0 T ∥ n \vv T\parallel\vv n T ∥ n 最容易错
只求了切向量忘了求切点坐标；交线式把两个法向量相加而不是叉乘。
例 9.15 李林 第八章 §6 例 1、例 2 · p204—205 李林 第十一章 习题 选择(4) · p280—281
（1）求曲线
x = t − sin t x=t-\sin t x = t − sin t ，
y = 1 − cos t y=1-\cos t y = 1 − cos t ，
z = 4 sin t 2 z=4\sin\dfrac t2 z = 4 sin 2 t 在
t = π 2 t=\dfrac\pi2 t = 2 π 处的切线方程和法平面方程；（2）求曲线
L : { x 2 + y 2 + z 2 = 6 x 3 + y + z 2 = 0 L:\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6\\x^3+y+z^2=0\end{cases} L : { x 2 + y 2 + z 2 = 6 x 3 + y + z 2 = 0 在点
P 0 ( 1 , − 2 , 1 ) P_0(1,-2,1) P 0 ( 1 , − 2 , 1 ) 处的切线与法平面方程；（3）在曲线
x = t x=t x = t ，
y = − t 2 y=-t^2 y = − t 2 ，
z = t 3 z=t^3 z = t 3 的所有切线中，与平面
x + 2 y + z = 4 x+2y+z=4 x + 2 y + z = 4 平行的切线有几条？
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 切向量与切点。 T = ( 1 − cos t , sin t , 2 cos t 2 ) ∣ t = π 2 = ( 1 , 1 , 2 ) \vv T=\Big(1-\cos t,\ \sin t,\ 2\cos\dfrac t2\Big)\Big|_{t=\frac\pi2}=(1,1,\sqrt2) T = ( 1 − cos t , sin t , 2 cos 2 t ) t = 2 π = ( 1 , 1 , 2 ) ( π 2 − 1 , 1 , 2 2 ) \Big(\dfrac\pi2-1,\ 1,\ 2\sqrt2\Big) ( 2 π − 1 , 1 , 2 2 )
三个坐标分别对 t t t cos π 4 = 2 2 \cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2 cos 4 π = 2 2 4 sin π 4 = 2 2 4\sin\frac\pi4=2\sqrt2 4 sin 4 π = 2 2
② (1) 方程。 切线 x − π 2 + 1 1 = y − 1 1 = z − 2 2 2 \dfrac{x-\frac\pi2+1}1=\dfrac{y-1}1=\dfrac{z-2\sqrt2}{\sqrt2} 1 x − 2 π + 1 = 1 y − 1 = 2 z − 2 2 ( x − π 2 + 1 ) + ( y − 1 ) + 2 ( z − 2 2 ) = 0 \Big(x-\dfrac\pi2+1\Big)+(y-1)+\sqrt2(z-2\sqrt2)=0 ( x − 2 π + 1 ) + ( y − 1 ) + 2 ( z − 2 2 ) = 0 x + y + 2 z = π 2 + 4 x+y+\sqrt2z=\dfrac\pi2+4 x + y + 2 z = 2 π + 4
切线用点向式（过切点、方向为切向量），法平面用点法式（过切点、法向量为切向量）。
③ (2) 两个梯度叉积。 grad F = ( 2 x , 2 y , 2 z ) = ( 2 , − 4 , 2 ) \text{grad}\,F=(2x,2y,2z)=(2,-4,2) grad F = ( 2 x , 2 y , 2 z ) = ( 2 , − 4 , 2 ) grad G = ( 3 x 2 , 1 , 2 z ) = ( 3 , 1 , 2 ) \text{grad}\,G=(3x^2,1,2z)=(3,1,2) grad G = ( 3 x 2 , 1 , 2 z ) = ( 3 , 1 , 2 ) T = ( 1 , − 2 , 1 ) × ( 3 , 1 , 2 ) = ( − 5 , 1 , 7 ) \vv T=(1,-2,1)\times(3,1,2)=(-5,1,7) T = ( 1 , − 2 , 1 ) × ( 3 , 1 , 2 ) = ( − 5 , 1 , 7 )
先把第一个法向量除以 2 简化；叉积第 2 个分量 − ( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ) = 1 -(1\cdot2-1\cdot3)=1 − ( 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 3 ) = 1
④ (2) 方程。 切线 x − 1 − 5 = y + 2 1 = z − 1 7 \dfrac{x-1}{-5}=\dfrac{y+2}1=\dfrac{z-1}7 − 5 x − 1 = 1 y + 2 = 7 z − 1 − 5 ( x − 1 ) + ( y + 2 ) + 7 ( z − 1 ) = 0 -5(x-1)+(y+2)+7(z-1)=0 − 5 ( x − 1 ) + ( y + 2 ) + 7 ( z − 1 ) = 0 5 x − y − 7 z = 0 5x-y-7z=0 5 x − y − 7 z = 0
李林用“对方程组求 x x x ( 1 , − 1 5 , − 7 5 ) \big(1,-\frac15,-\frac75\big) ( 1 , − 5 1 , − 5 7 ) ( − 5 , 1 , 7 ) (-5,1,7) ( − 5 , 1 , 7 )
⑤ (3) 平行 ⟺ 点积为 0。 T = ( 1 , − 2 t , 3 t 2 ) \vv T=(1,-2t,3t^2) T = ( 1 , − 2 t , 3 t 2 ) T ⋅ ( 1 , 2 , 1 ) = 1 − 4 t + 3 t 2 = 0 \vv T\cdot(1,2,1)=1-4t+3t^2=0 T ⋅ ( 1 , 2 , 1 ) = 1 − 4 t + 3 t 2 = 0 t = 1 t=1 t = 1 1 3 \dfrac13 3 1
切线与平面平行，切向量垂直于平面的法向量；两个不同的 t t t
答案：(1) 切线 x − π 2 + 1 1 = y − 1 1 = z − 2 2 2 \frac{x-\frac\pi2+1}1=\frac{y-1}1=\frac{z-2\sqrt2}{\sqrt2} 1 x − 2 π + 1 = 1 y − 1 = 2 z − 2 2 x + y + 2 z = π 2 + 4 x+y+\sqrt2z=\frac\pi2+4 x + y + 2 z = 2 π + 4 x − 1 − 5 = y + 2 1 = z − 1 7 \frac{x-1}{-5}=\frac{y+2}1=\frac{z-1}7 − 5 x − 1 = 1 y + 2 = 7 z − 1 5 x − y − 7 z = 0 5x-y-7z=0 5 x − y − 7 z = 0
9.5 小结
题目里的说法 换成什么 例子
沿某向量的方向导数 梯度 · 单位向量（先单位化） 例 9.1 、例 9.2 从 P P P Q Q Q P Q → \overrightarrow{PQ} PQ 例 9.3 梯度、最大方向导数 梯度向量；最大值 = 模，最小值 = −模 例 9.5 、例 9.6 、例 9.7 已知方向导数反求 设梯度 ( a , b ) (a,b) ( a , b ) 例 9.8 曲面切平面 n = ( F x , F y , F z ) \vv n=(F_x,F_y,F_z) n = ( F x , F y , F z ) ( f x , f y , − 1 ) (f_x,f_y,-1) ( f x , f y , − 1 ) 例 9.9 、例 9.10 、例 9.11 过已知点/直线的切平面 设切点，列“过点”+“在曲面上” 例 9.12 、例 9.14 切平面满足某条件的点的轨迹 法向量满足的条件 + 曲面方程联立 例 9.13 空间曲线的切线、法平面 参数式求导；交线式梯度叉积 例 9.15
学完了，标记这一部分
第 10 部分
多元函数的极值与最值
多元微分学的收官：把一元的“找候选点再判别”搬到两个变量上，判别工具换成 A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2
考试要求（大纲原文，李林讲义第八章第 6、9 条）
理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
（仅数学一要求）了解二元函数的二阶泰勒公式。
对应李林讲义第八章第四节“极值与最值”（p193—197）。这是多元微分学的大题主战场：2010—2026 年数一在这里出了 11 道（其中 5 道是直接求极值的解答题），数二、数三也年年考。套路固定：求驻点 → 用 A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2
10.1 无条件极值：驻点 + A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2 大白话：和一元函数一样，先找候选点，再判别 。候选点是驻点（f x = f y = 0 f_x=f_y=0 f x = f y = 0 A = f x x A=f_{xx} A = f xx B = f x y B=f_{xy} B = f x y C = f y y C=f_{yy} C = f yy A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 A < 0 A<0 A < 0 A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0
x y z O 极小值点 A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 x y z O 鞍点：不是极值 A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 x x x y y y
极值的判别
必要条件 ：f f f P 0 P_0 P 0 f x ( P 0 ) = f y ( P 0 ) = 0 f_x(P_0)=f_y(P_0)=0 f x ( P 0 ) = f y ( P 0 ) = 0 充分条件 ：P 0 P_0 P 0 A = f x x ( P 0 ) A=f_{xx}(P_0) A = f xx ( P 0 ) B = f x y ( P 0 ) B=f_{xy}(P_0) B = f x y ( P 0 ) C = f y y ( P 0 ) C=f_{yy}(P_0) C = f yy ( P 0 ) A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 A < 0 A<0 A < 0 A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 为什么（数一“了解”二阶泰勒公式） ：在驻点处 f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 , y 0 ) ≈ 1 2 ( A h 2 + 2 B h k + C k 2 ) f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)\approx\dfrac12(Ah^2+2Bhk+Ck^2) f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 , y 0 ) ≈ 2 1 ( A h 2 + 2 B hk + C k 2 ) A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 ( h , k ) ≠ ( 0 , 0 ) (h,k)\ne(0,0) ( h , k ) = ( 0 , 0 ) A A A A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 偏导不存在的点也可能是极值点（如 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣
方法卡 · 求二元函数的极值
什么时候用
“求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 的极值”“
( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) ( x 0 , y 0 ) 是不是极值点”“取极值的充分条件是”。
步骤
解 f x = 0 f_x=0 f x = 0 f y = 0 f_y=0 f y = 0
求 A , B , C A,B,C A , B , C A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2
A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 f − f ( P 0 ) f-f(P_0) f − f ( P 0 ) 写结论：极大值、极小值写函数值，点写清楚；不是极值的点也要交代。 最容易错
解方程组漏根（如
x 3 = … x^3=\dots x 3 = … 忘了
x = 0 x=0 x = 0 ）；把
A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 的点写成极值；隐函数的极值忘了先求出点的
z z z 坐标。
例 10.1 2012 数一(16) 2012 数二(16)
求函数
f ( x , y ) = x e − x 2 + y 2 2 f(x,y)=x\e^{-\frac{x^2+y^2}2} f ( x , y ) = x e − 2 x 2 + y 2 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f x = ( 1 − x 2 ) e − x 2 + y 2 2 = 0 f_x=(1-x^2)\e^{-\frac{x^2+y^2}2}=0 f x = ( 1 − x 2 ) e − 2 x 2 + y 2 = 0 f y = − x y e − x 2 + y 2 2 = 0 f_y=-xy\e^{-\frac{x^2+y^2}2}=0 f y = − x y e − 2 x 2 + y 2 = 0 x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1 y = 0 y=0 y = 0 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 )
指数恒为正，只看前面的因子；x = ± 1 ≠ 0 x=\pm1\ne0 x = ± 1 = 0 x y = 0 xy=0 x y = 0 y = 0 y=0 y = 0
② 二阶偏导。 A = f x x = ( x 3 − 3 x ) e ⋯ A=f_{xx}=(x^3-3x)\e^{\cdots} A = f xx = ( x 3 − 3 x ) e ⋯ B = f x y = ( x 2 − 1 ) y e ⋯ B=f_{xy}=(x^2-1)y\e^{\cdots} B = f x y = ( x 2 − 1 ) y e ⋯ C = f y y = x ( y 2 − 1 ) e ⋯ C=f_{yy}=x(y^2-1)\e^{\cdots} C = f yy = x ( y 2 − 1 ) e ⋯
对 f x = ( 1 − x 2 ) e ⋯ f_x=(1-x^2)\e^{\cdots} f x = ( 1 − x 2 ) e ⋯ x x x − x -x − x
③ 判别。 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) A = − 2 e − 1 2 A=-2\e^{-\frac12} A = − 2 e − 2 1 B = 0 B=0 B = 0 C = − e − 1 2 C=-\e^{-\frac12} C = − e − 2 1 A C − B 2 = 2 e − 1 > 0 AC-B^2=2\e^{-1}>0 A C − B 2 = 2 e − 1 > 0 A < 0 A<0 A < 0 f ( 1 , 0 ) = e − 1 2 f(1,0)=\e^{-\frac12} f ( 1 , 0 ) = e − 2 1 ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) A = 2 e − 1 2 A=2\e^{-\frac12} A = 2 e − 2 1 C = e − 1 2 C=\e^{-\frac12} C = e − 2 1 A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 f ( − 1 , 0 ) = − e − 1 2 f(-1,0)=-\e^{-\frac12} f ( − 1 , 0 ) = − e − 2 1
f f f x x x
答案：极大值 f ( 1 , 0 ) = e − 1 2 f(1,0)=\e^{-\frac12} f ( 1 , 0 ) = e − 2 1 f ( − 1 , 0 ) = − e − 1 2 f(-1,0)=-\e^{-\frac12} f ( − 1 , 0 ) = − e − 2 1
例 10.2 2013 数一(17)
求函数
f ( x , y ) = ( y + x 3 3 ) e x + y f(x,y)=\Big(y+\dfrac{x^3}3\Big)\e^{x+y} f ( x , y ) = ( y + 3 x 3 ) e x + y 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f x = ( x 2 + y + x 3 3 ) e x + y = 0 f_x=\Big(x^2+y+\dfrac{x^3}3\Big)\e^{x+y}=0 f x = ( x 2 + y + 3 x 3 ) e x + y = 0 f y = ( 1 + y + x 3 3 ) e x + y = 0 f_y=\Big(1+y+\dfrac{x^3}3\Big)\e^{x+y}=0 f y = ( 1 + y + 3 x 3 ) e x + y = 0 x 2 = 1 x^2=1 x 2 = 1 x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1 ( 1 , − 4 3 ) (1,-\frac43) ( 1 , − 3 4 ) ( − 1 , − 2 3 ) (-1,-\frac23) ( − 1 , − 3 2 )
两个括号只差 x 2 x^2 x 2
② 二阶偏导（记 w = y + x 3 3 w=y+\frac{x^3}3 w = y + 3 x 3 A = ( 2 x + 2 x 2 + w ) e x + y A=(2x+2x^2+w)\e^{x+y} A = ( 2 x + 2 x 2 + w ) e x + y B = ( 1 + x 2 + w ) e x + y B=(1+x^2+w)\e^{x+y} B = ( 1 + x 2 + w ) e x + y C = ( 2 + w ) e x + y C=(2+w)\e^{x+y} C = ( 2 + w ) e x + y w = − 1 w=-1 w = − 1
每次求导都是“括号的导数 + 括号本身”再乘指数。
③ ( 1 , − 4 3 ) (1,-\frac43) ( 1 , − 3 4 ) A = 3 e − 1 3 A=3\e^{-\frac13} A = 3 e − 3 1 B = e − 1 3 B=\e^{-\frac13} B = e − 3 1 C = e − 1 3 C=\e^{-\frac13} C = e − 3 1 A C − B 2 = 2 e − 2 3 > 0 AC-B^2=2\e^{-\frac23}>0 A C − B 2 = 2 e − 3 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 f ( 1 , − 4 3 ) = − e − 1 3 f\big(1,-\frac43\big)=-\e^{-\frac13} f ( 1 , − 3 4 ) = − e − 3 1
把 w = − 1 w=-1 w = − 1 x + y = 1 − 4 3 = − 1 3 x+y=1-\frac43=-\frac13 x + y = 1 − 3 4 = − 3 1 f = w e x + y f=w\e^{x+y} f = w e x + y − e − 1 3 -\e^{-\frac13} − e − 3 1
④ ( − 1 , − 2 3 ) (-1,-\frac23) ( − 1 , − 3 2 ) A = − e − 5 3 A=-\e^{-\frac53} A = − e − 3 5 B = e − 5 3 B=\e^{-\frac53} B = e − 3 5 C = e − 5 3 C=\e^{-\frac53} C = e − 3 5 A C − B 2 = − 2 e − 10 3 < 0 AC-B^2=-2\e^{-\frac{10}3}<0 A C − B 2 = − 2 e − 3 10 < 0
代入 x = − 1 x=-1 x = − 1 w = − 1 w=-1 w = − 1 A A A − 2 + 2 − 1 = − 1 -2+2-1=-1 − 2 + 2 − 1 = − 1 B B B C C C A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0
答案：极小值 f ( 1 , − 4 3 ) = − e − 1 3 f\big(1,-\frac43\big)=-\e^{-\frac13} f ( 1 , − 3 4 ) = − e − 3 1 ( − 1 , − 2 3 ) (-1,-\frac23) ( − 1 , − 3 2 )
例 10.3 2020 数一(15) 2020 数二(17) 2020 数三(16)
求函数
f ( x , y ) = x 3 + 8 y 3 − x y f(x,y)=x^3+8y^3-xy f ( x , y ) = x 3 + 8 y 3 − x y 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f x = 3 x 2 − y = 0 f_x=3x^2-y=0 f x = 3 x 2 − y = 0 f y = 24 y 2 − x = 0 f_y=24y^2-x=0 f y = 24 y 2 − x = 0 y = 3 x 2 y=3x^2 y = 3 x 2 216 x 4 = x 216x^4=x 216 x 4 = x x = 0 x=0 x = 0 x = 1 6 x=\dfrac16 x = 6 1 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 6 , 1 12 ) \big(\frac16,\frac1{12}\big) ( 6 1 , 12 1 )
216 x 4 = x 216x^4=x 216 x 4 = x x x x x ( 216 x 3 − 1 ) = 0 x(216x^3-1)=0 x ( 216 x 3 − 1 ) = 0 x = 0 x=0 x = 0
② 判别。 A = 6 x A=6x A = 6 x B = − 1 B=-1 B = − 1 C = 48 y C=48y C = 48 y ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) A C − B 2 = − 1 < 0 AC-B^2=-1<0 A C − B 2 = − 1 < 0 ( 1 6 , 1 12 ) \big(\frac16,\frac1{12}\big) ( 6 1 , 12 1 ) A = 1 A=1 A = 1 C = 4 C=4 C = 4 A C − B 2 = 3 > 0 AC-B^2=3>0 A C − B 2 = 3 > 0 A > 0 A>0 A > 0
A = 6 x A=6x A = 6 x C = 48 y C=48y C = 48 y B = − 1 B=-1 B = − 1
③ 极小值。 f ( 1 6 , 1 12 ) = 1 216 + 8 1728 − 1 72 = − 1 216 f\big(\frac16,\frac1{12}\big)=\dfrac1{216}+\dfrac8{1728}-\dfrac1{72}=-\dfrac1{216} f ( 6 1 , 12 1 ) = 216 1 + 1728 8 − 72 1 = − 216 1
三项通分到分母 216：8 1728 = 1 216 \frac8{1728}=\frac1{216} 1728 8 = 216 1 1 72 = 3 216 \frac1{72}=\frac3{216} 72 1 = 216 3 − 1 216 -\frac1{216} − 216 1
答案：极小值 f ( 1 6 , 1 12 ) = − 1 216 f\big(\frac16,\frac1{12}\big)=-\frac1{216} f ( 6 1 , 12 1 ) = − 216 1
例 10.4 2023 数一(18)
求函数
f ( x , y ) = ( y − x 2 ) ( y − x 3 ) f(x,y)=(y-x^2)(y-x^3) f ( x , y ) = ( y − x 2 ) ( y − x 3 ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 展开后求驻点。 f = y 2 − ( x 2 + x 3 ) y + x 5 f=y^2-(x^2+x^3)y+x^5 f = y 2 − ( x 2 + x 3 ) y + x 5 f x = − ( 2 x + 3 x 2 ) y + 5 x 4 f_x=-(2x+3x^2)y+5x^4 f x = − ( 2 x + 3 x 2 ) y + 5 x 4 f y = 2 y − x 2 − x 3 f_y=2y-x^2-x^3 f y = 2 y − x 2 − x 3 f y = 0 f_y=0 f y = 0 y = x 2 + x 3 2 y=\dfrac{x^2+x^3}2 y = 2 x 2 + x 3 f x = 0 f_x=0 f x = 0 − x 3 2 ( 3 x − 2 ) ( x − 1 ) = 0 -\dfrac{x^3}2(3x-2)(x-1)=0 − 2 x 3 ( 3 x − 2 ) ( x − 1 ) = 0 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 2 3 , 10 27 ) \big(\frac23,\frac{10}{27}\big) ( 3 2 , 27 10 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
先展开成 y y y x 3 x^3 x 3 3 x 2 − 5 x + 2 = ( 3 x − 2 ) ( x − 1 ) 3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1) 3 x 2 − 5 x + 2 = ( 3 x − 2 ) ( x − 1 )
② 二阶偏导与 ( 2 3 , 10 27 ) \big(\frac23,\frac{10}{27}\big) ( 3 2 , 27 10 ) A = − ( 2 + 6 x ) y + 20 x 3 A=-(2+6x)y+20x^3 A = − ( 2 + 6 x ) y + 20 x 3 B = − ( 2 x + 3 x 2 ) B=-(2x+3x^2) B = − ( 2 x + 3 x 2 ) C = 2 C=2 C = 2 x = 2 3 x=\frac23 x = 3 2 y = 10 27 y=\frac{10}{27} y = 27 10 A = − 60 27 + 160 27 = 100 27 A=-\dfrac{60}{27}+\dfrac{160}{27}=\dfrac{100}{27} A = − 27 60 + 27 160 = 27 100 B = − 8 3 B=-\dfrac83 B = − 3 8 A C − B 2 = 200 27 − 64 9 = 8 27 > 0 AC-B^2=\dfrac{200}{27}-\dfrac{64}9=\dfrac8{27}>0 A C − B 2 = 27 200 − 9 64 = 27 8 > 0 A > 0 A>0 A > 0
把 x = 2 3 x=\frac23 x = 3 2 y = 10 27 y=\frac{10}{27} y = 27 10 2 + 6 x = 6 2+6x=6 2 + 6 x = 6 20 x 3 = 160 27 20x^3=\frac{160}{27} 20 x 3 = 27 160 2 x + 3 x 2 = 8 3 2x+3x^2=\frac83 2 x + 3 x 2 = 3 8 64 9 \frac{64}9 9 64 192 27 \frac{192}{27} 27 192 200 27 \frac{200}{27} 27 200
③ ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) A = 12 A=12 A = 12 B = − 5 B=-5 B = − 5 C = 2 C=2 C = 2 A C − B 2 = − 1 < 0 AC-B^2=-1<0 A C − B 2 = − 1 < 0 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) A = B = 0 A=B=0 A = B = 0 C = 2 C=2 C = 2 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 y = x 2 y=x^2 y = x 2 y = x 3 y=x^3 y = x 3 f < 0 f<0 f < 0 y y y f = y 2 > 0 f=y^2>0 f = y 2 > 0
判别法失效时用定义：原点任意小的邻域里既有比 0 大的值、又有比 0 小的值。
④ 结论。 极小值 f ( 2 3 , 10 27 ) = ( 10 27 − 12 27 ) ( 10 27 − 8 27 ) = − 4 729 f\big(\frac23,\frac{10}{27}\big)=\Big(\dfrac{10}{27}-\dfrac{12}{27}\Big)\Big(\dfrac{10}{27}-\dfrac8{27}\Big)=-\dfrac4{729} f ( 3 2 , 27 10 ) = ( 27 10 − 27 12 ) ( 27 10 − 27 8 ) = − 729 4
三个驻点里只有 ( 2 3 , 10 27 ) \big(\frac23,\frac{10}{27}\big) ( 3 2 , 27 10 )
答案：极小值 f ( 2 3 , 10 27 ) = − 4 729 f\big(\frac23,\frac{10}{27}\big)=-\frac4{729} f ( 3 2 , 27 10 ) = − 729 4 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
x y O 极小值点 (2/3, 10/27) (1, 1)：鞍点 原点：两侧 f 异号 y =x ²y =x ³f <0f >02023 数一(18)：两条曲线把平面分成几块，f f f
例 10.5 2026 数一(17) 2026 数二(19) 2026 数三(19)
求函数
f ( x , y ) = ( 2 x 2 − y 2 ) e x f(x,y)=(2x^2-y^2)\e^x f ( x , y ) = ( 2 x 2 − y 2 ) e x 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f x = ( 2 x 2 + 4 x − y 2 ) e x = 0 f_x=(2x^2+4x-y^2)\e^x=0 f x = ( 2 x 2 + 4 x − y 2 ) e x = 0 f y = − 2 y e x = 0 f_y=-2y\e^x=0 f y = − 2 y e x = 0 y = 0 y=0 y = 0 2 x 2 + 4 x = 0 2x^2+4x=0 2 x 2 + 4 x = 0 x = 0 x=0 x = 0 − 2 -2 − 2
先由简单的 f y = 0 f_y=0 f y = 0 y = 0 y=0 y = 0
② 二阶偏导。 A = ( 2 x 2 + 8 x + 4 − y 2 ) e x A=(2x^2+8x+4-y^2)\e^x A = ( 2 x 2 + 8 x + 4 − y 2 ) e x B = − 2 y e x B=-2y\e^x B = − 2 y e x C = − 2 e x C=-2\e^x C = − 2 e x
f x f_x f x x x x 4 x + 4 4x+4 4 x + 4
③ 判别。 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) A = 4 A=4 A = 4 B = 0 B=0 B = 0 C = − 2 C=-2 C = − 2 A C − B 2 = − 8 < 0 AC-B^2=-8<0 A C − B 2 = − 8 < 0 ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) A = − 4 e − 2 A=-4\e^{-2} A = − 4 e − 2 C = − 2 e − 2 C=-2\e^{-2} C = − 2 e − 2 A C − B 2 = 8 e − 4 > 0 AC-B^2=8\e^{-4}>0 A C − B 2 = 8 e − 4 > 0 A < 0 A<0 A < 0 f ( − 2 , 0 ) = 8 e − 2 f(-2,0)=8\e^{-2} f ( − 2 , 0 ) = 8 e − 2
在 ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) A A A 2 ⋅ 4 − 16 + 4 = − 4 2\cdot4-16+4=-4 2 ⋅ 4 − 16 + 4 = − 4 e − 2 \e^{-2} e − 2 A A A A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2
答案：极大值 f ( − 2 , 0 ) = 8 e − 2 f(-2,0)=8\e^{-2} f ( − 2 , 0 ) = 8 e − 2 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
例 10.6 2011 数一(3)
设函数
f ( x ) f(x) f ( x ) 具有二阶连续导数，且
f ( x ) > 0 f(x)>0 f ( x ) > 0 ，
f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 ，则函数
z = f ( x ) ln f ( y ) z=f(x)\ln f(y) z = f ( x ) ln f ( y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是（ ）
（A）
f ( 0 ) > 1 f(0)>1 f ( 0 ) > 1 ，
f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0 （B）
f ( 0 ) > 1 f(0)>1 f ( 0 ) > 1 ，
f ′ ′ ( 0 ) < 0 f''(0)<0 f ′′ ( 0 ) < 0 （C）
f ( 0 ) < 1 f(0)<1 f ( 0 ) < 1 ，
f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0 （D）
f ( 0 ) < 1 f(0)<1 f ( 0 ) < 1 ，
f ′ ′ ( 0 ) < 0 f''(0)<0 f ′′ ( 0 ) < 0 解答先遮住，自己试 5 分钟
① 原点是驻点。 z x = f ′ ( x ) ln f ( y ) z_x=f'(x)\ln f(y) z x = f ′ ( x ) ln f ( y ) z y = f ( x ) f ′ ( y ) f ( y ) z_y=f(x)\dfrac{f'(y)}{f(y)} z y = f ( x ) f ( y ) f ′ ( y ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
两个一阶偏导在原点都等于 0，原点是驻点，这样才可以用 A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2
② A , B , C A,B,C A , B , C A = f ′ ′ ( 0 ) ln f ( 0 ) A=f''(0)\ln f(0) A = f ′′ ( 0 ) ln f ( 0 ) B = f ′ ( 0 ) f ′ ( 0 ) f ( 0 ) = 0 B=\dfrac{f'(0)f'(0)}{f(0)}=0 B = f ( 0 ) f ′ ( 0 ) f ′ ( 0 ) = 0 C = f ( 0 ) ⋅ f ′ ′ ( 0 ) f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) 2 f ( 0 ) 2 = f ′ ′ ( 0 ) C=f(0)\cdot\dfrac{f''(0)f(0)-f'(0)^2}{f(0)^2}=f''(0) C = f ( 0 ) ⋅ f ( 0 ) 2 f ′′ ( 0 ) f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) 2 = f ′′ ( 0 )
C C C ln f ( y ) \ln f(y) ln f ( y ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
③ 极小值的条件。 A C − B 2 = [ f ′ ′ ( 0 ) ] 2 ln f ( 0 ) > 0 AC-B^2=[f''(0)]^2\ln f(0)>0 A C − B 2 = [ f ′′ ( 0 ) ] 2 ln f ( 0 ) > 0 A = f ′ ′ ( 0 ) ln f ( 0 ) > 0 A=f''(0)\ln f(0)>0 A = f ′′ ( 0 ) ln f ( 0 ) > 0 ln f ( 0 ) > 0 \ln f(0)>0 ln f ( 0 ) > 0 f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0 f ( 0 ) > 1 f(0)>1 f ( 0 ) > 1 f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0
要 A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 [ f ′ ′ ( 0 ) ] 2 [f''(0)]^2 [ f ′′ ( 0 ) ] 2 ln f ( 0 ) > 0 \ln f(0)>0 ln f ( 0 ) > 0 f ( 0 ) > 1 f(0)>1 f ( 0 ) > 1 A > 0 A>0 A > 0 f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0
答案：A
例 10.7 2016 数二(17) 李林 第八章 §4 例 4 · p195—196
已知函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
( x 2 + y 2 ) z + ln z + 2 ( x + y + 1 ) = 0 (x^2+y^2)z+\ln z+2(x+y+1)=0 ( x 2 + y 2 ) z + ln z + 2 ( x + y + 1 ) = 0 确定，求
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶。 两边对 x x x y y y 2 x z + ( x 2 + y 2 ) z x + z x z + 2 = 0 2xz+(x^2+y^2)z_x+\dfrac{z_x}z+2=0 2 x z + ( x 2 + y 2 ) z x + z z x + 2 = 0 2 y z + ( x 2 + y 2 ) z y + z y z + 2 = 0 2yz+(x^2+y^2)z_y+\dfrac{z_y}z+2=0 2 yz + ( x 2 + y 2 ) z y + z z y + 2 = 0
F z = x 2 + y 2 + 1 z > 0 F_z=x^2+y^2+\frac1z>0 F z = x 2 + y 2 + z 1 > 0 z z z
② 驻点。 令 z x = z y = 0 z_x=z_y=0 z x = z y = 0 x z = − 1 xz=-1 x z = − 1 y z = − 1 yz=-1 yz = − 1 x = y = − 1 z x=y=-\dfrac1z x = y = − z 1 2 z + ln z − 4 z + 2 = 0 \dfrac2z+\ln z-\dfrac4z+2=0 z 2 + ln z − z 4 + 2 = 0 ln z − 2 z + 2 = 0 \ln z-\dfrac2z+2=0 ln z − z 2 + 2 = 0 z = 1 z=1 z = 1 x = y = − 1 x=y=-1 x = y = − 1
ln z − 2 z + 2 \ln z-\frac2z+2 ln z − z 2 + 2 z = 1 z=1 z = 1
③ 二阶。 对一阶式再求导，代入 x = y = − 1 x=y=-1 x = y = − 1 z = 1 z=1 z = 1 z x = z y = 0 z_x=z_y=0 z x = z y = 0 2 z + 3 z x x = 0 2z+3z_{xx}=0 2 z + 3 z xx = 0 3 z x y = 0 3z_{xy}=0 3 z x y = 0 2 z + 3 z y y = 0 2z+3z_{yy}=0 2 z + 3 z yy = 0 A = − 2 3 A=-\dfrac23 A = − 3 2 B = 0 B=0 B = 0 C = − 2 3 C=-\dfrac23 C = − 3 2
例如对 x x x 2 z + 4 x z x + ( x 2 + y 2 ) z x x − z x 2 z 2 + z x x z = 0 2z+4xz_x+(x^2+y^2)z_{xx}-\frac{z_x^2}{z^2}+\frac{z_{xx}}z=0 2 z + 4 x z x + ( x 2 + y 2 ) z xx − z 2 z x 2 + z z xx = 0 z x z_x z x x 2 + y 2 + 1 z = 3 x^2+y^2+\frac1z=3 x 2 + y 2 + z 1 = 3
④ 结论。 A C − B 2 = 4 9 > 0 AC-B^2=\dfrac49>0 A C − B 2 = 9 4 > 0 A < 0 A<0 A < 0 z ( − 1 , − 1 ) = 1 z(-1,-1)=1 z ( − 1 , − 1 ) = 1
隐函数的极值值就是该点的 z z z
答案：极大值 z ( − 1 , − 1 ) = 1 z(-1,-1)=1 z ( − 1 , − 1 ) = 1
例 10.8 2015 数二(17)
已知函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 满足
f x y ′ ′ ( x , y ) = 2 ( y + 1 ) e x f''_{xy}(x,y)=2(y+1)\e^x f x y ′′ ( x , y ) = 2 ( y + 1 ) e x ，
f x ′ ( x , 0 ) = ( x + 1 ) e x f'_x(x,0)=(x+1)\e^x f x ′ ( x , 0 ) = ( x + 1 ) e x ，
f ( 0 , y ) = y 2 + 2 y f(0,y)=y^2+2y f ( 0 , y ) = y 2 + 2 y ，求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 反求 f x f_x f x 对 y y y f x = ( y + 1 ) 2 e x + φ ( x ) f_x=(y+1)^2\e^x+\varphi(x) f x = ( y + 1 ) 2 e x + φ ( x ) f x ( x , 0 ) = e x + φ ( x ) = ( x + 1 ) e x f_x(x,0)=\e^x+\varphi(x)=(x+1)\e^x f x ( x , 0 ) = e x + φ ( x ) = ( x + 1 ) e x φ ( x ) = x e x \varphi(x)=x\e^x φ ( x ) = x e x
7.6 节的偏积分：对 y y y φ ( x ) \varphi(x) φ ( x )
② 反求 f f f 对 x x x f = ( y + 1 ) 2 e x + ( x − 1 ) e x + ψ ( y ) f=(y+1)^2\e^x+(x-1)\e^x+\psi(y) f = ( y + 1 ) 2 e x + ( x − 1 ) e x + ψ ( y ) f ( 0 , y ) = ( y + 1 ) 2 − 1 + ψ ( y ) = y 2 + 2 y f(0,y)=(y+1)^2-1+\psi(y)=y^2+2y f ( 0 , y ) = ( y + 1 ) 2 − 1 + ψ ( y ) = y 2 + 2 y ψ = 0 \psi=0 ψ = 0 f = e x [ ( y + 1 ) 2 + x − 1 ] f=\e^x\big[(y+1)^2+x-1\big] f = e x [ ( y + 1 ) 2 + x − 1 ]
对 x x x y y y ∫ x e x d x = ( x − 1 ) e x \int x\e^x\dx=(x-1)\e^x ∫ x e x d x = ( x − 1 ) e x y y y ψ ( y ) \psi(y) ψ ( y ) f ( 0 , y ) f(0,y) f ( 0 , y )
③ 驻点与判别。 f x = e x [ ( y + 1 ) 2 + x ] = 0 f_x=\e^x\big[(y+1)^2+x\big]=0 f x = e x [ ( y + 1 ) 2 + x ] = 0 f y = 2 ( y + 1 ) e x = 0 f_y=2(y+1)\e^x=0 f y = 2 ( y + 1 ) e x = 0 ( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 ) A = e x [ ( y + 1 ) 2 + x + 1 ] = 1 A=\e^x[(y+1)^2+x+1]=1 A = e x [( y + 1 ) 2 + x + 1 ] = 1 B = 2 ( y + 1 ) e x = 0 B=2(y+1)\e^x=0 B = 2 ( y + 1 ) e x = 0 C = 2 e x = 2 C=2\e^x=2 C = 2 e x = 2 A C − B 2 = 2 > 0 AC-B^2=2>0 A C − B 2 = 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0
f y = 0 f_y=0 f y = 0 y = − 1 y=-1 y = − 1 f x = 0 f_x=0 f x = 0 x = 0 x=0 x = 0
④ 结论。 极小值 f ( 0 , − 1 ) = − 1 f(0,-1)=-1 f ( 0 , − 1 ) = − 1
把 x = 0 x=0 x = 0 y = − 1 y=-1 y = − 1 f = e x [ ( y + 1 ) 2 + x − 1 ] f=\e^x[(y+1)^2+x-1] f = e x [( y + 1 ) 2 + x − 1 ] − 1 -1 − 1 − 1 -1 − 1
答案：极小值 f ( 0 , − 1 ) = − 1 f(0,-1)=-1 f ( 0 , − 1 ) = − 1
例 10.9 2014 数二(6)
设函数
u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) 在有界闭区域
D D D 上连续，在
D D D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
∂ 2 u ∂ x ∂ y ≠ 0 \dfrac{\pd^2u}{\pd x\pd y}\ne0 ∂ x ∂ y ∂ 2 u = 0 及
∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \dfrac{\pd^2u}{\pd x^2}+\dfrac{\pd^2u}{\pd y^2}=0 ∂ x 2 ∂ 2 u + ∂ y 2 ∂ 2 u = 0 ，则（ ）
（A）
u u u 的最大值和最小值都在
D D D 的边界上取得 （B）都在
D D D 的内部取得
（C）最大值在内部取得，最小值在边界上取得 （D）最小值在内部取得，最大值在边界上取得
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 最值一定存在。 u u u
7.1 节：有界闭区域上连续函数的最值定理。
② 内部没有极值点。 若内部某点取最值，它是极值点，也是驻点。该点 C = − A C=-A C = − A B ≠ 0 B\ne0 B = 0 A C − B 2 = − A 2 − B 2 < 0 AC-B^2=-A^2-B^2<0 A C − B 2 = − A 2 − B 2 < 0
u x x + u y y = 0 u_{xx}+u_{yy}=0 u xx + u yy = 0 C = − A C=-A C = − A B ≠ 0 B\ne0 B = 0 A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2
③ 结论。 最大值、最小值都只能在边界上取得。所以选（A）。
最值一定存在；内部的点都不是极值点，也就不可能是最值点，所以最大值、最小值只能在边界上。
答案：A
例 10.10 李林 第八章 §4 例 1、例 3 · p195
（1）设
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 的某个邻域内连续，且
lim x → 0 y → 0 f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) x 2 + 1 − x sin y − cos 2 y = A < 0 \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\dfrac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+1-x\sin y-\cos^2y}=A<0 x → 0 y → 0 lim x 2 + 1 − x sin y − cos 2 y f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) = A < 0 ，讨论
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处是否取得极值；（2）求
f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y f(x,y)=x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y 的极值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 分母的符号。 x 2 + 1 − x sin y − cos 2 y = x 2 − x sin y + sin 2 y = ( x − 1 2 sin y ) 2 + 3 4 sin 2 y ≥ 0 x^2+1-x\sin y-\cos^2y=x^2-x\sin y+\sin^2y=\Big(x-\dfrac12\sin y\Big)^2+\dfrac34\sin^2y\ge0 x 2 + 1 − x sin y − cos 2 y = x 2 − x sin y + sin 2 y = ( x − 2 1 sin y ) 2 + 4 3 sin 2 y ≥ 0 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) > 0 >0 > 0
先用 1 − cos 2 y = sin 2 y 1-\cos^2y=\sin^2y 1 − cos 2 y = sin 2 y x x x
② (1) 保号性。 极限 A < 0 A<0 A < 0 < 0 <0 < 0 f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) < 0 f(x,y)-f(0,0)<0 f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) < 0 f ( 0 , 0 ) f(0,0) f ( 0 , 0 )
抽象函数判极值只能用定义（ep 板书）。
③ (2) 驻点。 f x = 4 x 3 − 4 x + 4 y = 0 f_x=4x^3-4x+4y=0 f x = 4 x 3 − 4 x + 4 y = 0 f y = 4 y 3 − 4 y + 4 x = 0 f_y=4y^3-4y+4x=0 f y = 4 y 3 − 4 y + 4 x = 0 x 3 + y 3 = 0 x^3+y^3=0 x 3 + y 3 = 0 y = − x y=-x y = − x x 3 − 2 x = 0 x^3-2x=0 x 3 − 2 x = 0 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 2 , − 2 ) (\sqrt2,-\sqrt2) ( 2 , − 2 ) ( − 2 , 2 ) (-\sqrt2,\sqrt2) ( − 2 , 2 )
刷题本“对称性”：两个方程互换 x , y x,y x , y
④ (2) 判别。 A = 12 x 2 − 4 A=12x^2-4 A = 12 x 2 − 4 B = 4 B=4 B = 4 C = 12 y 2 − 4 C=12y^2-4 C = 12 y 2 − 4 ( ± 2 , ∓ 2 ) (\pm\sqrt2,\mp\sqrt2) ( ± 2 , ∓ 2 ) A = C = 20 A=C=20 A = C = 20 A C − B 2 = 384 > 0 AC-B^2=384>0 A C − B 2 = 384 > 0 − 8 -8 − 8 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) A = C = − 4 A=C=-4 A = C = − 4 B = 4 B=4 B = 4 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 y = x y=x y = x f = 2 x 4 ≥ 0 f=2x^4\ge0 f = 2 x 4 ≥ 0 y = − x y=-x y = − x f = 2 x 4 − 8 x 2 < 0 f=2x^4-8x^2<0 f = 2 x 4 − 8 x 2 < 0 x x x ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
f ( 2 , − 2 ) = 4 + 4 − 4 − 4 − 8 = − 8 f(\sqrt2,-\sqrt2)=4+4-4-4-8=-8 f ( 2 , − 2 ) = 4 + 4 − 4 − 4 − 8 = − 8
答案：(1) f ( 0 , 0 ) f(0,0) f ( 0 , 0 ) f ( 2 , − 2 ) = f ( − 2 , 2 ) = − 8 f(\sqrt2,-\sqrt2)=f(-\sqrt2,\sqrt2)=-8 f ( 2 , − 2 ) = f ( − 2 , 2 ) = − 8 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
10.2 条件极值：拉格朗日乘数法大白话：在一条约束曲线 g ( x , y ) = 0 g(x,y)=0 g ( x , y ) = 0 f f f f f f 曲线与 f f f ，两者的法向量（梯度）平行，grad f = − λ grad g \text{grad}\,f=-\lambda\,\text{grad}\,g grad f = − λ grad g L = f + λ g L=f+\lambda g L = f + λ g
x y O 最远 (1,1)：√2 最近 (1,0)：1 (0,1) 两个梯度同向 x ³−xy +y ³=1最远点 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) x 2 + y 2 = 2 x^2+y^2=2 x 2 + y 2 = 2 d 2 d^2 d 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 拉格朗日乘数法
求 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) g ( x , y ) = 0 g(x,y)=0 g ( x , y ) = 0 L = f + λ g L=f+\lambda g L = f + λ g { L x = f x + λ g x = 0 L y = f y + λ g y = 0 L λ = g = 0 \begin{cases}L_x=f_x+\lambda g_x=0\\L_y=f_y+\lambda g_y=0\\L_\lambda=g=0\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ L x = f x + λ g x = 0 L y = f y + λ g y = 0 L λ = g = 0
三元两约束：L = f + λ g + μ h L=f+\lambda g+\mu h L = f + λ g + μ h
求最值：比较所有可能点（及约束曲线的端点）的函数值，最大的是最大值、最小的是最小值；不需要二阶判别。
技巧（刷题本“拉式有技巧”）：前两个方程消去 λ \lambda λ x , y x,y x , y x = y x=y x = y
方法卡 · 条件最值
什么时候用
“在曲线/曲面上找离某点最远最近的点”“在约束下求最大最小值”“最大方向导数在曲线上的最大值”。
步骤
写目标函数（距离用平方、方向导数用梯度模的平方）和约束。
能代入消元就代入（变一元）；否则写 L L L
从 L x = 0 L_x=0 L x = 0 L y = 0 L_y=0 L y = 0 λ \lambda λ x , y x,y x , y
把所有解（含约束曲线的端点）代入目标函数比较。 最容易错
消去
λ \lambda λ 时两边同除以可能为 0 的式子而丢解（如
( x − y ) ( 2 + λ ) = 0 (x-y)(2+\lambda)=0 ( x − y ) ( 2 + λ ) = 0 要分两种情况）；约束曲线有端点时忘了端点。
例 10.11 2015 数一(17) 李林 第八章 §5 例 9 · p202
已知函数
f ( x , y ) = x + y + x y f(x,y)=x+y+xy f ( x , y ) = x + y + x y ，曲线
C : x 2 + y 2 + x y = 3 C:x^2+y^2+xy=3 C : x 2 + y 2 + x y = 3 ，求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在曲线
C C C 上的最大方向导数。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 目标函数。 grad f = ( 1 + y , 1 + x ) \text{grad}\,f=(1+y,1+x) grad f = ( 1 + y , 1 + x ) ( 1 + y ) 2 + ( 1 + x ) 2 \sqrt{(1+y)^2+(1+x)^2} ( 1 + y ) 2 + ( 1 + x ) 2 C C C g = ( 1 + x ) 2 + ( 1 + y ) 2 g=(1+x)^2+(1+y)^2 g = ( 1 + x ) 2 + ( 1 + y ) 2 C C C
9.2 节：最大方向导数 = 梯度的模；平方后没有根号，更好算。
② 拉格朗日方程。 L = ( 1 + x ) 2 + ( 1 + y ) 2 + λ ( x 2 + y 2 + x y − 3 ) L=(1+x)^2+(1+y)^2+\lambda(x^2+y^2+xy-3) L = ( 1 + x ) 2 + ( 1 + y ) 2 + λ ( x 2 + y 2 + x y − 3 ) 2 ( 1 + x ) + λ ( 2 x + y ) = 0 2(1+x)+\lambda(2x+y)=0 2 ( 1 + x ) + λ ( 2 x + y ) = 0 2 ( 1 + y ) + λ ( 2 y + x ) = 0 2(1+y)+\lambda(2y+x)=0 2 ( 1 + y ) + λ ( 2 y + x ) = 0 ( x − y ) ( 2 + λ ) = 0 (x-y)(2+\lambda)=0 ( x − y ) ( 2 + λ ) = 0
两个方程相减后，把 x − y x-y x − y
③ 分两种情况。 x = y x=y x = y 3 x 2 = 3 3x^2=3 3 x 2 = 3 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( − 1 , − 1 ) (-1,-1) ( − 1 , − 1 ) λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2 x + y = 1 x+y=1 x + y = 1 x 2 − x − 2 = 0 x^2-x-2=0 x 2 − x − 2 = 0 ( 2 , − 1 ) (2,-1) ( 2 , − 1 ) ( − 1 , 2 ) (-1,2) ( − 1 , 2 )
由 λ = − 2 \lambda=-2 λ = − 2 x + y = 1 x+y=1 x + y = 1 y = 1 − x y=1-x y = 1 − x x x x x 2 − x − 2 = 0 x^2-x-2=0 x 2 − x − 2 = 0
④ 比较。 g ( 1 , 1 ) = 8 g(1,1)=8 g ( 1 , 1 ) = 8 g ( − 1 , − 1 ) = 0 g(-1,-1)=0 g ( − 1 , − 1 ) = 0 g ( 2 , − 1 ) = g ( − 1 , 2 ) = 9 g(2,-1)=g(-1,2)=9 g ( 2 , − 1 ) = g ( − 1 , 2 ) = 9 9 = 3 \sqrt9=3 9 = 3
曲线 C C C
答案：3
例 10.12 2021 数一(19)
已知曲线
C : { x 2 + 2 y 2 − z = 6 4 x + 2 y + z = 30 C:\begin{cases}x^2+2y^2-z=6\\4x+2y+z=30\end{cases} C : { x 2 + 2 y 2 − z = 6 4 x + 2 y + z = 30 ，求
C C C 上的点到
x O y xOy x O y 坐标面距离的最大值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 消去 z z z 两式相加：x 2 + 4 x + 2 y 2 + 2 y = 36 x^2+4x+2y^2+2y=36 x 2 + 4 x + 2 y 2 + 2 y = 36 C C C x O y xOy x O y ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ z = 30 − 4 x − 2 y z=30-4x-2y z = 30 − 4 x − 2 y
第 6 部分的投影方法；把三元两约束化成二元一约束。
② 拉格朗日。 求 4 x + 2 y 4x+2y 4 x + 2 y L = 4 x + 2 y + λ ( x 2 + 4 x + 2 y 2 + 2 y − 36 ) L=4x+2y+\lambda(x^2+4x+2y^2+2y-36) L = 4 x + 2 y + λ ( x 2 + 4 x + 2 y 2 + 2 y − 36 ) 4 + λ ( 2 x + 4 ) = 0 4+\lambda(2x+4)=0 4 + λ ( 2 x + 4 ) = 0 2 + λ ( 4 y + 2 ) = 0 2+\lambda(4y+2)=0 2 + λ ( 4 y + 2 ) = 0 2 x + 4 4 y + 2 = 2 \dfrac{2x+4}{4y+2}=2 4 y + 2 2 x + 4 = 2 x = 4 y x=4y x = 4 y
λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ = 0 4 = 0 4=0 4 = 0 λ \lambda λ
③ 代回约束。 16 y 2 + 16 y + 2 y 2 + 2 y = 36 16y^2+16y+2y^2+2y=36 16 y 2 + 16 y + 2 y 2 + 2 y = 36 y 2 + y − 2 = 0 y^2+y-2=0 y 2 + y − 2 = 0 y = 1 y=1 y = 1 − 2 -2 − 2 ( 4 , 1 ) (4,1) ( 4 , 1 ) z = 12 z=12 z = 12 ( − 8 , − 2 ) (-8,-2) ( − 8 , − 2 ) z = 66 z=66 z = 66
椭圆上线性函数的最大、最小各一个。
④ 结论。 两点的 z z z ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣
距离是 ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣
答案：66
例 10.13 2013 数二(19)
求曲线
x 3 − x y + y 3 = 1 ( x ≥ 0 , y ≥ 0 ) x^3-xy+y^3=1\ (x\ge0,\ y\ge0) x 3 − x y + y 3 = 1 ( x ≥ 0 , y ≥ 0 ) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 目标与约束。 目标 d 2 = x 2 + y 2 d^2=x^2+y^2 d 2 = x 2 + y 2 g = x 3 − x y + y 3 − 1 = 0 g=x^3-xy+y^3-1=0 g = x 3 − x y + y 3 − 1 = 0 L = x 2 + y 2 + λ g L=x^2+y^2+\lambda g L = x 2 + y 2 + λ g 2 x + λ ( 3 x 2 − y ) = 0 2x+\lambda(3x^2-y)=0 2 x + λ ( 3 x 2 − y ) = 0 2 y + λ ( 3 y 2 − x ) = 0 2y+\lambda(3y^2-x)=0 2 y + λ ( 3 y 2 − x ) = 0
用距离的平方，避免根号。
② 解方程组。 两式相减：( x − y ) [ 2 + λ ( 3 x + 3 y + 1 ) ] = 0 (x-y)\big[2+\lambda(3x+3y+1)\big]=0 ( x − y ) [ 2 + λ ( 3 x + 3 y + 1 ) ] = 0 x = y x=y x = y 2 x 3 − x 2 = 1 2x^3-x^2=1 2 x 3 − x 2 = 1 ( x − 1 ) ( 2 x 2 + x + 1 ) = 0 (x-1)(2x^2+x+1)=0 ( x − 1 ) ( 2 x 2 + x + 1 ) = 0 x = 1 x=1 x = 1 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) x ≠ y x\ne y x = y λ = − 2 3 x + 3 y + 1 \lambda=-\dfrac2{3x+3y+1} λ = − 3 x + 3 y + 1 2 3 x y + x + y = 0 3xy+x+y=0 3 x y + x + y = 0 x , y ≥ 0 x,y\ge0 x , y ≥ 0 x = y = 0 x=y=0 x = y = 0
两式相减后因式分解：3 x 2 − 3 y 2 + x − y = ( x − y ) ( 3 x + 3 y + 1 ) 3x^2-3y^2+x-y=(x-y)(3x+3y+1) 3 x 2 − 3 y 2 + x − y = ( x − y ) ( 3 x + 3 y + 1 ) x = y x=y x = y
③ 端点。 曲线在第一象限的两个端点是 ( 1 , 0 ) (1,0) ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 )
条件 x ≥ 0 , y ≥ 0 x\ge0,y\ge0 x ≥ 0 , y ≥ 0
④ 比较。 d ( 1 , 1 ) = 2 d(1,1)=\sqrt2 d ( 1 , 1 ) = 2 d ( 1 , 0 ) = d ( 0 , 1 ) = 1 d(1,0)=d(0,1)=1 d ( 1 , 0 ) = d ( 0 , 1 ) = 1 2 \sqrt2 2
图 10.3：圆 x 2 + y 2 = 2 x^2+y^2=2 x 2 + y 2 = 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
答案：最长距离 2 \sqrt2 2
例 10.14 2010 数三(17)
求函数
u = x y + 2 y z u=xy+2yz u = x y + 2 yz 在约束条件
x 2 + y 2 + z 2 = 10 x^2+y^2+z^2=10 x 2 + y 2 + z 2 = 10 下的最大值和最小值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 拉格朗日方程。 L = x y + 2 y z + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 10 ) L=xy+2yz+\lambda(x^2+y^2+z^2-10) L = x y + 2 yz + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 10 ) y + 2 λ x = 0 y+2\lambda x=0 y + 2 λ x = 0 x + 2 z + 2 λ y = 0 x+2z+2\lambda y=0 x + 2 z + 2 λ y = 0 2 y + 2 λ z = 0 2y+2\lambda z=0 2 y + 2 λ z = 0
三个变量、一个约束：拉格朗日函数对 x , y , z x,y,z x , y , z
② 消元。 若 y = 0 y=0 y = 0 λ x = λ z = 0 \lambda x=\lambda z=0 λ x = λ z = 0 λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ = 0 x = y = z = 0 x=y=z=0 x = y = z = 0 λ = 0 \lambda=0 λ = 0 x = − 2 z x=-2z x = − 2 z u = 0 u=0 u = 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ = 0 x = − y 2 λ x=-\dfrac y{2\lambda} x = − 2 λ y z = − y λ z=-\dfrac y\lambda z = − λ y z = 2 x z=2x z = 2 x 5 x = − 2 λ y 5x=-2\lambda y 5 x = − 2 λ y y = − 2 λ x y=-2\lambda x y = − 2 λ x 4 λ 2 = 5 4\lambda^2=5 4 λ 2 = 5
由第一、三式看出 x : z = 1 : 2 x:z=1:2 x : z = 1 : 2
③ 求值。 y = − 2 λ x y=-2\lambda x y = − 2 λ x u = y ( x + 2 z ) = 5 x y = − 10 λ x 2 u=y(x+2z)=5xy=-10\lambda x^2 u = y ( x + 2 z ) = 5 x y = − 10 λ x 2 x 2 + 4 λ 2 x 2 + 4 x 2 = 10 x^2+4\lambda^2x^2+4x^2=10 x 2 + 4 λ 2 x 2 + 4 x 2 = 10 x 2 = 1 x^2=1 x 2 = 1 λ = − 5 2 \lambda=-\frac{\sqrt5}2 λ = − 2 5 u = 5 5 u=5\sqrt5 u = 5 5 λ = 5 2 \lambda=\frac{\sqrt5}2 λ = 2 5 u = − 5 5 u=-5\sqrt5 u = − 5 5
把 y = − 2 λ x y=-2\lambda x y = − 2 λ x z = 2 x z=2x z = 2 x 4 λ 2 = 5 4\lambda^2=5 4 λ 2 = 5 x 2 ( 1 + 5 + 4 ) = 10 x^2(1+5+4)=10 x 2 ( 1 + 5 + 4 ) = 10 x 2 = 1 x^2=1 x 2 = 1
④ 比较。 候选值 5 5 5\sqrt5 5 5 − 5 5 -5\sqrt5 − 5 5 5 5 5\sqrt5 5 5 − 5 5 -5\sqrt5 − 5 5
球面是有界闭集，最值存在，比较即可。
答案：最大值 5 5 5\sqrt5 5 5 − 5 5 -5\sqrt5 − 5 5
10.3 有界闭区域上的最值大白话：有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值（7.1 节）。它们要么在区域内部 （那一定是驻点或偏导不存在的点），要么在边界 上。所以只要把两类候选点都找出来比较大小就行，不需要用 A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2 （孝哥一页纸：“区域内用普通极值，无需二阶导判别，比较大小”）。边界上的最值用条件极值，或者把边界方程代进去变成一元函数。
x y O 17/27 最小 3 21 最大 21 最大 77/27 77/27 3/4 D x +y =32024 数一(18) 的候选点和函数值：内部驻点 17 27 \frac{17}{27} 27 17 77 27 \frac{77}{27} 27 77 3 4 \frac34 4 3 闭区域最值的步骤
内部：解 f x = f y = 0 f_x=f_y=0 f x = f y = 0
边界：每段边界代入（或参数化、或拉格朗日），求这段上的最值点，别忘了各段的端点（区域的顶点）。
比较所有候选点的函数值。
“f ( x , y ) ≤ k g ( x , y ) f(x,y)\le k\,g(x,y) f ( x , y ) ≤ k g ( x , y ) f g \frac fg g f ≤ k \le k ≤ k
方法卡 · 闭区域最值
什么时候用
“求
f f f 在
D D D 上的最大值和最小值”“不等式在某区域恒成立求参数”。
步骤
画出区域，分清内部和各段边界。
内部驻点；边界上代入化为一元函数求最值（含端点）。
列表比较。 最容易错
漏掉边界的端点（顶点）；把区域外的驻点也拿来比较；对内部驻点还去做
A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2 判别，浪费时间。
例 10.15 2024 数一(18)
设
f ( x , y ) = x 3 + y 3 − ( x + y ) 2 + 3 f(x,y)=x^3+y^3-(x+y)^2+3 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − ( x + y ) 2 + 3 ，曲面
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在
( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) 处的切平面为
T T T ，
T T T 与三个坐标面所围有界区域在
x O y xOy x O y 面的投影为
D D D 。（Ⅰ）求
T T T 的方程；（Ⅱ）求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在
D D D 上的最大值和最小值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 切平面。 f ( 1 , 1 ) = 1 f(1,1)=1 f ( 1 , 1 ) = 1 f x = 3 x 2 − 2 ( x + y ) = − 1 f_x=3x^2-2(x+y)=-1 f x = 3 x 2 − 2 ( x + y ) = − 1 f y = 3 y 2 − 2 ( x + y ) = − 1 f_y=3y^2-2(x+y)=-1 f y = 3 y 2 − 2 ( x + y ) = − 1 T : z − 1 = − ( x − 1 ) − ( y − 1 ) T:z-1=-(x-1)-(y-1) T : z − 1 = − ( x − 1 ) − ( y − 1 ) x + y + z = 3 x+y+z=3 x + y + z = 3
9.3 节：z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y )
② (Ⅱ) 区域与内部驻点。 T T T D : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 3 D:x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le3 D : x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 3 3 x 2 = 2 ( x + y ) = 3 y 2 3x^2=2(x+y)=3y^2 3 x 2 = 2 ( x + y ) = 3 y 2 x = y x=y x = y 3 x 2 = 4 x 3x^2=4x 3 x 2 = 4 x ( 4 3 , 4 3 ) \big(\frac43,\frac43\big) ( 3 4 , 3 4 ) f = 17 27 f=\dfrac{17}{27} f = 27 17
x , y ≥ 0 x,y\ge0 x , y ≥ 0 x 2 = y 2 x^2=y^2 x 2 = y 2 x = y x=y x = y x = 0 x=0 x = 0
③ (Ⅱ) 三条边。 x = 0 x=0 x = 0 f = y 3 − y 2 + 3 f=y^3-y^2+3 f = y 3 − y 2 + 3 y ∈ [ 0 , 3 ] y\in[0,3] y ∈ [ 0 , 3 ] y = 2 3 y=\frac23 y = 3 2 77 27 \frac{77}{27} 27 77 f ( 0 , 0 ) = 3 f(0,0)=3 f ( 0 , 0 ) = 3 f ( 0 , 3 ) = 21 f(0,3)=21 f ( 0 , 3 ) = 21 y = 0 y=0 y = 0 x + y = 3 x+y=3 x + y = 3 f = x 3 + ( 3 − x ) 3 − 6 f=x^3+(3-x)^3-6 f = x 3 + ( 3 − x ) 3 − 6 x = 3 2 x=\frac32 x = 2 3 3 4 \frac34 4 3
每段边界代入后是一元函数，求驻点和端点。
④ (Ⅱ) 比较。 候选值 17 27 \frac{17}{27} 27 17 77 27 \frac{77}{27} 27 77 3 4 \frac34 4 3 21 = f ( 3 , 0 ) = f ( 0 , 3 ) 21=f(3,0)=f(0,3) 21 = f ( 3 , 0 ) = f ( 0 , 3 ) 17 27 = f ( 4 3 , 4 3 ) \frac{17}{27}=f\big(\frac43,\frac43\big) 27 17 = f ( 3 4 , 3 4 )
比较所有候选值：最小的 17 27 ≈ 0.63 \frac{17}{27}\approx0.63 27 17 ≈ 0.63 3 4 \frac34 4 3
答案：(Ⅰ) x + y + z = 3 x+y+z=3 x + y + z = 3 17 27 \frac{17}{27} 27 17
例 10.16 2022 数一(13)
当
x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 ，
y ≥ 0 y\ge0 y ≥ 0 时，
x 2 + y 2 ≤ k e x + y x^2+y^2\le k\e^{x+y} x 2 + y 2 ≤ k e x + y 恒成立，则
k k k 的取值范围是 ______。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 化成最值。 等价于 k ≥ g ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) e − ( x + y ) k\ge g(x,y)=(x^2+y^2)\e^{-(x+y)} k ≥ g ( x , y ) = ( x 2 + y 2 ) e − ( x + y )
分离参数：e x + y > 0 \e^{x+y}>0 e x + y > 0
② 内部驻点。 g x = ( 2 x − x 2 − y 2 ) e − ( x + y ) = 0 g_x=(2x-x^2-y^2)\e^{-(x+y)}=0 g x = ( 2 x − x 2 − y 2 ) e − ( x + y ) = 0 g y = ( 2 y − x 2 − y 2 ) e − ( x + y ) = 0 g_y=(2y-x^2-y^2)\e^{-(x+y)}=0 g y = ( 2 y − x 2 − y 2 ) e − ( x + y ) = 0 x = y x=y x = y 2 x = 2 x 2 2x=2x^2 2 x = 2 x 2 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) g = 2 e − 2 g=2\e^{-2} g = 2 e − 2
两个方程只差 2 x 2x 2 x 2 y 2y 2 y x = y x=y x = y x x x
③ 边界与无穷远。 y = 0 y=0 y = 0 x 2 e − x x^2\e^{-x} x 2 e − x x = 2 x=2 x = 2 4 e − 2 4\e^{-2} 4 e − 2 x = 0 x=0 x = 0 x + y → + ∞ x+y\to+\infty x + y → + ∞ g → 0 g\to0 g → 0
区域无界，要看远处的趋势：多项式比不过指数。
④ 结论。 最大值 4 e − 2 4\e^{-2} 4 e − 2 k ≥ 4 e − 2 k\ge4\e^{-2} k ≥ 4 e − 2
边界上的最大值 4 e − 2 4\e^{-2} 4 e − 2 2 e − 2 2\e^{-2} 2 e − 2 4 e − 2 4\e^{-2} 4 e − 2 k k k
答案：k ≥ 4 e − 2 k\ge4\e^{-2} k ≥ 4 e − 2
例 10.17 李林 第八章 §4 例 5、例 6 · p196—197
（1）求
f ( x , y ) = 3 x 2 + 3 y 2 − x 3 f(x,y)=3x^2+3y^2-x^3 f ( x , y ) = 3 x 2 + 3 y 2 − x 3 在闭区域
D : x 2 + y 2 ≤ 16 D:x^2+y^2\le16 D : x 2 + y 2 ≤ 16 上的最大值和最小值；（2）已知
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 的全微分
d z = 2 x d x − 2 y d y \dd z=2x\dx-2y\dy d z = 2 x d x − 2 y d y ，且
f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2 ，求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 在
D : x 2 + y 2 4 ≤ 1 D:x^2+\dfrac{y^2}4\le1 D : x 2 + 4 y 2 ≤ 1 上的最大值和最小值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 内部。 f x = 6 x − 3 x 2 = 0 f_x=6x-3x^2=0 f x = 6 x − 3 x 2 = 0 f y = 6 y = 0 f_y=6y=0 f y = 6 y = 0 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 2 , 0 ) (2,0) ( 2 , 0 ) f = 0 f=0 f = 0 4 4 4
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 2 , 0 ) (2,0) ( 2 , 0 ) x 2 + y 2 < 16 x^2+y^2<16 x 2 + y 2 < 16
② (1) 边界。 y 2 = 16 − x 2 y^2=16-x^2 y 2 = 16 − x 2 f = 48 − x 3 f=48-x^3 f = 48 − x 3 x ∈ [ − 4 , 4 ] x\in[-4,4] x ∈ [ − 4 , 4 ] f ( − 4 , 0 ) = 112 f(-4,0)=112 f ( − 4 , 0 ) = 112 f ( 4 , 0 ) = − 16 f(4,0)=-16 f ( 4 , 0 ) = − 16
代入后是单调函数，最值在端点。
③ (1) 比较。 最大值 112，最小值 − 16 -16 − 16
内部的 0 和 4 都在两者之间。
④ (2) 先求 f f f f = x 2 − y 2 + C f=x^2-y^2+C f = x 2 − y 2 + C f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2 C = 2 C=2 C = 2 f = x 2 − y 2 + 2 f=x^2-y^2+2 f = x 2 − y 2 + 2
已知全微分反求函数（7.6 节）：由 f x = 2 x f_x=2x f x = 2 x f y = − 2 y f_y=-2y f y = − 2 y f = x 2 − y 2 + C f=x^2-y^2+C f = x 2 − y 2 + C f ( 1 , 1 ) = 2 f(1,1)=2 f ( 1 , 1 ) = 2
⑤ (2) 内部与边界。 内部驻点 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) f = 2 f=2 f = 2 y 2 = 4 − 4 x 2 y^2=4-4x^2 y 2 = 4 − 4 x 2 f = 5 x 2 − 2 f=5x^2-2 f = 5 x 2 − 2 x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x ∈ [ − 1 , 1 ] x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1 − 2 -2 − 2 x = 0 x=0 x = 0 y = ± 2 y=\pm2 y = ± 2 − 2 -2 − 2
代入后是关于 x 2 x^2 x 2
答案：(1) 最大值 f ( − 4 , 0 ) = 112 f(-4,0)=112 f ( − 4 , 0 ) = 112 f ( 4 , 0 ) = − 16 f(4,0)=-16 f ( 4 , 0 ) = − 16 f ( ± 1 , 0 ) = 3 f(\pm1,0)=3 f ( ± 1 , 0 ) = 3 f ( 0 , ± 2 ) = − 2 f(0,\pm2)=-2 f ( 0 , ± 2 ) = − 2
10.4 应用题大白话：应用题的数学部分就是 10.2 节的条件最值，难点在把文字翻译成目标函数和约束 ：设几个变量、写出要最大（小）的量、写出变量之间必须满足的关系。实际问题里最值一定存在，拉格朗日方程只有一个解时，它就是所求的最值点（李林讲义的说明）。
周长 2πr 周长 8r 周长 6√3 r 最优分法：三个图形的内切圆一样大（红虚线） 2018 数一(16) 的最优分法：三段铁丝围成的圆、正方形、正三角形有同样大的内切圆，每个图形的面积都等于“内切圆半径 × 周长 ÷ 2”。 应用题的翻译
设变量：通常设“分配出去的量”（长度、产量）。
目标函数：面积、成本、利润、距离的平方……
约束：总量固定（x + y + z = 2 x+y+z=2 x + y + z = 2
检验：变量的实际范围（长度为正、产量非负）；唯一驻点即为所求。
方法卡 · 应用型最值
什么时候用
“如何分配使面积和最小”“产量各为多少时成本最小”。
步骤
设变量，写目标函数与约束。
拉格朗日（或代入消元）求驻点。
说明最值存在，写出最值和对应的分配方案。 最容易错
面积公式写错（正三角形面积
3 4 a 2 \frac{\sqrt3}4a^2 4 3 a 2 ，周长
z z z 时边长
z 3 \frac z3 3 z ）；只求出驻点、忘了算最值本身。
例 10.18 2018 数一(16) 2018 数二(19) 2018 数三(17)
将长为 2 m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① 目标与约束。 三段长 x , y , z x,y,z x , y , z x + y + z = 2 x+y+z=2 x + y + z = 2 S = x 2 4 π + y 2 16 + 3 36 z 2 S=\dfrac{x^2}{4\pi}+\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{\sqrt3}{36}z^2 S = 4 π x 2 + 16 y 2 + 36 3 z 2
圆：半径 x 2 π \frac x{2\pi} 2 π x y 4 \frac y4 4 y z 3 \frac z3 3 z 3 4 ⋅ z 2 9 \frac{\sqrt3}4\cdot\frac{z^2}9 4 3 ⋅ 9 z 2
② 拉格朗日。 L = S + λ ( x + y + z − 2 ) L=S+\lambda(x+y+z-2) L = S + λ ( x + y + z − 2 ) x 2 π = y 8 = 3 z 18 = − λ \dfrac x{2\pi}=\dfrac y8=\dfrac{\sqrt3z}{18}=-\lambda 2 π x = 8 y = 18 3 z = − λ k k k x = 2 π k x=2\pi k x = 2 πk y = 8 k y=8k y = 8 k z = 6 3 k z=6\sqrt3k z = 6 3 k k = 1 π + 4 + 3 3 k=\dfrac1{\pi+4+3\sqrt3} k = π + 4 + 3 3 1
三个偏导都等于 − λ -\lambda − λ
③ 最小值。 S = π k 2 + 4 k 2 + 3 3 k 2 = ( π + 4 + 3 3 ) k 2 = 1 π + 4 + 3 3 S=\pi k^2+4k^2+3\sqrt3k^2=(\pi+4+3\sqrt3)k^2=\dfrac1{\pi+4+3\sqrt3} S = π k 2 + 4 k 2 + 3 3 k 2 = ( π + 4 + 3 3 ) k 2 = π + 4 + 3 3 1
把 x = 2 π k x=2\pi k x = 2 πk x 2 4 π = π k 2 \frac{x^2}{4\pi}=\pi k^2 4 π x 2 = π k 2 y 2 16 = 4 k 2 \frac{y^2}{16}=4k^2 16 y 2 = 4 k 2 3 z 2 36 = 3 3 k 2 \frac{\sqrt3z^2}{36}=3\sqrt3k^2 36 3 z 2 = 3 3 k 2 k k k
④ 为什么是最小值。 由柯西不等式 ( x + y + z ) 2 ≤ ( x 2 4 π + y 2 16 + 3 z 2 36 ) ( 4 π + 16 + 12 3 ) (x+y+z)^2\le\Big(\dfrac{x^2}{4\pi}+\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{\sqrt3z^2}{36}\Big)(4\pi+16+12\sqrt3) ( x + y + z ) 2 ≤ ( 4 π x 2 + 16 y 2 + 36 3 z 2 ) ( 4 π + 16 + 12 3 ) S ≥ 4 4 π + 16 + 12 3 = 1 π + 4 + 3 3 S\ge\dfrac4{4\pi+16+12\sqrt3}=\dfrac1{\pi+4+3\sqrt3} S ≥ 4 π + 16 + 12 3 4 = π + 4 + 3 3 1 1 π + 4 + 3 3 \dfrac1{\pi+4+3\sqrt3} π + 4 + 3 3 1
高中学过的柯西不等式（二维推广到三维）一步给出下界，比讨论边界简单。
答案：存在，最小值为 1 π + 4 + 3 3 \frac1{\pi+4+3\sqrt3} π + 4 + 3 3 1
例 10.19 2012 数三(17)
某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为 10000（万元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为
x x x （件）和
y y y （件），且这两种产品的边际成本分别为
20 + x 2 20+\dfrac x2 20 + 2 x （万元/件）与
6 + y 6+y 6 + y （万元/件）。（Ⅰ）求生产甲、乙两种产品的总成本函数
C ( x , y ) C(x,y) C ( x , y ) （万元）；（Ⅱ）当总产量为 50 件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小总成本；（Ⅲ）求总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。
解答先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) 由偏导反求。 C x = 20 + x 2 C_x=20+\dfrac x2 C x = 20 + 2 x C y = 6 + y C_y=6+y C y = 6 + y C ( 0 , 0 ) = 10000 C(0,0)=10000 C ( 0 , 0 ) = 10000 C ( x , y ) = 10000 + 20 x + x 2 4 + 6 y + y 2 2 C(x,y)=10000+20x+\dfrac{x^2}4+6y+\dfrac{y^2}2 C ( x , y ) = 10000 + 20 x + 4 x 2 + 6 y + 2 y 2
边际成本就是偏导数；固定成本是 C ( 0 , 0 ) C(0,0) C ( 0 , 0 )
② (Ⅱ) 代入消元。 y = 50 − x y=50-x y = 50 − x C = 11550 − 36 x + 3 4 x 2 C=11550-36x+\dfrac34x^2 C = 11550 − 36 x + 4 3 x 2 C ′ = − 36 + 3 2 x = 0 C'=-36+\dfrac32x=0 C ′ = − 36 + 2 3 x = 0 x = 24 x=24 x = 24 y = 26 y=26 y = 26
约束是一次式，直接代入变成一元二次函数。
③ (Ⅱ) 最小成本。 C ( 24 , 26 ) = 11550 − 864 + 432 = 11118 C(24,26)=11550-864+432=11118 C ( 24 , 26 ) = 11550 − 864 + 432 = 11118
开口向上的抛物线，驻点就是最小值点。
④ (Ⅲ) 边际成本。 C x ( 24 , 26 ) = 20 + 12 = 32 C_x(24,26)=20+12=32 C x ( 24 , 26 ) = 20 + 12 = 32
边际 = 偏导数 = 多生产一件带来的成本增量（近似）。
答案：(Ⅰ) C = 10000 + 20 x + x 2 4 + 6 y + y 2 2 C=10000+20x+\frac{x^2}4+6y+\frac{y^2}2 C = 10000 + 20 x + 4 x 2 + 6 y + 2 y 2
10.5 小结
题目里的说法 换成什么 例子
求 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 驻点 → A , B , C A,B,C A , B , C A C − B 2 AC-B^2 A C − B 2 例 10.1 、例 10.2 、例 10.3 、例 10.5 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 回到定义：取路径看符号；保号性 例 10.4 、例 10.10 取极值的充分条件（选择题） 求 A , B , C A,B,C A , B , C A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 例 10.6 隐函数 z ( x , y ) z(x,y) z ( x , y ) z x = z y = 0 z_x=z_y=0 z x = z y = 0 例 10.7 先反求 f f f 偏积分 + 初始条件 例 10.8 最值位置的选择题 内部驻点处 A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 例 10.9 约束下的最值、最远最近点 拉格朗日；消 λ \lambda λ 例 10.11 、例 10.13 、例 10.14 空间曲线上的最值 先消元化成平面问题 例 10.12 闭区域上的最值 内部驻点 + 各段边界 + 顶点，比较 例 10.15 、例 10.17 不等式恒成立求参数 分离参数，求最值 例 10.16 应用题 设变量、写目标与约束；唯一驻点即最值 例 10.18 、例 10.19
学完了，标记这一部分
第 11 部分
二级结论与反例库
把前面推出过的现成结果集中起来：一元 15 条、空间解析几何 8 条、多元 13 条二级结论，外加 12 个常用反例。每一条都标出在哪道例题里用过。选择、填空直接用，解答题要写推导。
二级结论怎么用 “二级结论”是从基本公式推出来、做题时可以直接用的现成结果。选择题、填空题可以直接用；解答题要把推导写出来 （推导一般两三行，就在对应的例题里）。表里每一条都用程序单独核对过（页尾“核对方法”），最后一列点进去就是用到它的例题。
11.1 一元微分的二级结论
结论 什么时候用 例子
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) lim f ( □ ) □ = f ′ ( 0 ) \lim\dfrac{f(\square)}{\square}=f'(0) lim □ f ( □ ) = f ′ ( 0 ) □ → 0 \square\to0 □ → 0 □ ≠ 0 \square\ne0 □ = 0 抽象函数的极限里藏着导数定义 例 1.5 f f f x 0 x_0 x 0 α → 0 \alpha\to0 α → 0 α ≠ 0 \alpha\ne0 α = 0 f ( x 0 + α ) − f ( x 0 ) α → f ′ ( x 0 ) \dfrac{f(x_0+\alpha)-f(x_0)}{\alpha}\to f'(x_0) α f ( x 0 + α ) − f ( x 0 ) → f ′ ( x 0 ) 两个不同位置的函数值同时出现：先由连续求出 f ( x 0 ) f(x_0) f ( x 0 ) 例 1.12 、例 1.8 φ \varphi φ φ ( x ) ∣ x − a ∣ \varphi(x)|x-a| φ ( x ) ∣ x − a ∣ a a a ⟺ φ ( a ) = 0 \iff\varphi(a)=0 ⟺ φ ( a ) = 0 带绝对值的函数数不可导点 例 1.18 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；可导周期函数的导数周期不变（刷题本“奇导偶偶导奇”） 求高阶导数在特殊点的值 例 3.9 ( sin x ) ( n ) = sin ( x + n π 2 ) (\sin x)^{(n)}=\sin\big(x+\frac{n\pi}2\big) ( sin x ) ( n ) = sin ( x + 2 nπ ) ( 1 a x + b ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! a n ( a x + b ) n + 1 \big(\frac1{ax+b}\big)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!\,a^n}{(ax+b)^{n+1}} ( a x + b 1 ) ( n ) = ( a x + b ) n + 1 ( − 1 ) n n ! a n [ ln ( 1 + x ) ] ( n ) = ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! ( 1 + x ) n [\ln(1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n} [ ln ( 1 + x ) ] ( n ) = ( 1 + x ) n ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )! 直接写 n n n 例 3.1 、例 3.2 f ( n ) ( x 0 ) = n ! × [ ( x − x 0 ) n f^{(n)}(x_0)=n!\times\big[(x-x_0)^n f ( n ) ( x 0 ) = n ! × [ ( x − x 0 ) n ] \big] ] 乘积、复合函数在一点的高阶导数 例 3.5 、例 3.6 参数方程：d 2 y d x 2 = x ′ y ′ ′ − x ′ ′ y ′ x ′ 3 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{x'y''-x''y'}{x'^3} d x 2 d 2 y = x ′3 x ′ y ′′ − x ′′ y ′ 参数方程二阶导数 例 2.19 反函数：d 2 x d y 2 = − y ′ ′ ( y ′ ) 3 \dfrac{\dd^2x}{\dd y^2}=-\dfrac{y''}{(y')^3} d y 2 d 2 x = − ( y ′ ) 3 y ′′ 反函数的二阶导数 例 2.17 重根规则：f = ( x − a ) k g ( x ) f=(x-a)^kg(x) f = ( x − a ) k g ( x ) g ( a ) ≠ 0 g(a)\ne0 g ( a ) = 0 k k k a a a k ≥ 3 k\ge3 k ≥ 3 ( a , 0 ) (a,0) ( a , 0 ) 多项式乘积找极值点、拐点 例 5.5 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = 0 f ′ ′ ′ ( x 0 ) ≠ 0 f'''(x_0)\ne0 f ′′′ ( x 0 ) = 0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (x_0,f(x_0)) ( x 0 , f ( x 0 )) 二阶导数为 0、不好看符号时 例 5.10 同一侧（x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ 数渐近线条数，两侧分开算 例 5.26 曲率 K = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}} K = ( 1 + y ′2 ) 3/2 ∣ y ′′ ∣ K = ∣ x ′ y ′ ′ − x ′ ′ y ′ ∣ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 K=\dfrac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}} K = ( x ′2 + y ′2 ) 3/2 ∣ x ′ y ′′ − x ′′ y ′ ∣ 曲率、曲率半径 R = 1 K R=\frac1K R = K 1 例 5.29 f ′ > f f'>f f ′ > f ( e − x f ) ′ = e − x ( f ′ − f ) > 0 \big(\e^{-x}f\big)'=\e^{-x}(f'-f)>0 ( e − x f ) ′ = e − x ( f ′ − f ) > 0 e − x f ( x ) \e^{-x}f(x) e − x f ( x ) 比较 f f f 例 4.24 x > 0 x>0 x > 0 ln x + 1 x ≥ 1 \ln x+\dfrac1x\ge1 ln x + x 1 ≥ 1 ln ( 1 + t ) ≥ t 1 + t \ln(1+t)\ge\dfrac t{1+t} ln ( 1 + t ) ≥ 1 + t t t > − 1 t>-1 t > − 1 ln ( 1 + t ) ≤ t \ln(1+t)\le t ln ( 1 + t ) ≤ t 对数的放缩；由最小值得到不等式 例 4.15 0 < a < b 0<a<b 0 < a < b ln b − ln a b − a < 1 a b \dfrac{\ln b-\ln a}{b-a}<\dfrac1{\sqrt{ab}} b − a ln b − ln a < ab 1 两个数的对数差 例 4.23
11.2 空间解析几何的二级结论
结论 什么时候用 例子
点到平面：d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d = A 2 + B 2 + C 2 ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ 距离、相切、平面束定参数 例 6.5 点到直线：d = ∣ M 1 M 0 → × s ∣ ∣ s ∣ d=\dfrac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times\vv s|}{|\vv s|} d = ∣ s ∣ ∣ M 1 M 0 × s ∣ 不用求垂足 例 6.10 异面直线：d = ∣ [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] ∣ ∣ s 1 × s 2 ∣ d=\dfrac{|[\overrightarrow{M_1M_2}\,\vv s_1\,\vv s_2]|}{|\vv s_1\times\vv s_2|} d = ∣ s 1 × s 2 ∣ ∣ [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] ∣ 异面直线距离 例 6.11 两直线共面（相交或平行） ⟺ [ M 1 M 2 → s 1 s 2 ] = 0 \iff[\overrightarrow{M_1M_2}\,\vv s_1\,\vv s_2]=0 ⟺ [ M 1 M 2 s 1 s 2 ] = 0 判断相交，线性代数结合题 例 6.9 三个平面：r ( A ) = r ( A ˉ ) = 3 r(\boldsymbol A)=r(\bar{\boldsymbol A})=3 r ( A ) = r ( A ˉ ) = 3 = 2 =2 = 2 r ( A ) = 2 r(\boldsymbol A)=2 r ( A ) = 2 r ( A ˉ ) = 3 r(\bar{\boldsymbol A})=3 r ( A ˉ ) = 3 平面位置与方程组 例 6.8 旋转曲面：绕谁谁不变，另一个换成 ± \pm ± 坐标面内曲线绕坐标轴 例 6.12 直线绕轴旋转：与轴相交 ⟹ 圆锥面；异面 ⟹ 单叶双曲面；平行 ⟹ 圆柱面 先判断形状，写方程后检验 例 6.13 、例 6.14 投影曲线：消去不在坐标面里的变量，再补上坐标面方程 投影区域、积分区域 例 6.18
11.3 多元微分的二级结论
结论 什么时候用 例子
f f f lim f ( x , y ) x 2 + y 2 \lim\dfrac{f(x,y)}{x^2+y^2} lim x 2 + y 2 f ( x , y ) f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0 d f = 0 \dd f=0 d f = 0 由极限式判断可微 例 7.10 可微 ⟺ ∣ n ⋅ ( Δ x , Δ y , Δ z ) ∣ ρ → 0 \iff\dfrac{|\vv n\cdot(\Delta x,\Delta y,\Delta z)|}{\rho}\to0 ⟺ ρ ∣ n ⋅ ( Δ x , Δ y , Δ z ) ∣ → 0 n = ( f x , f y , − 1 ) \vv n=(f_x,f_y,-1) n = ( f x , f y , − 1 ) 向量形式的可微定义 例 7.11 欧拉公式：z ( t x , t y ) = t k z z(tx,ty)=t^kz z ( t x , t y ) = t k z x z x + y z y = k z xz_x+yz_y=kz x z x + y z y = k z f ( y x ) f\big(\frac yx\big) f ( x y ) 例 8.2 、例 8.18 d arctan y x = x d y − y d x x 2 + y 2 \dd\arctan\dfrac yx=\dfrac{x\dd y-y\dd x}{x^2+y^2} d arctan x y = x 2 + y 2 x d y − y d x d x 2 + y 2 = x d x + y d y x 2 + y 2 \dd\sqrt{x^2+y^2}=\dfrac{x\dd x+y\dd y}{\sqrt{x^2+y^2}} d x 2 + y 2 = x 2 + y 2 x d x + y d y 由全微分反求函数 例 7.19 z x = z y ⟺ z = φ ( x + y ) z_x=z_y\iff z=\varphi(x+y) z x = z y ⟺ z = φ ( x + y ) u = φ ( x + y ) + φ ( x − y ) u=\varphi(x+y)+\varphi(x-y) u = φ ( x + y ) + φ ( x − y ) u x x = u y y u_{xx}=u_{yy} u xx = u yy 偏导方程、变量代换 例 8.33 、例 8.17 f 1 ′ f_1' f 1 ′ f 2 ′ f_2' f 2 ′ f f f f 12 ′ ′ = f 21 ′ ′ f_{12}''=f_{21}'' f 12 ′′ = f 21 ′′ 抽象复合函数的二阶偏导 例 8.11 z x = − F x F z z_x=-\dfrac{F_x}{F_z} z x = − F z F x 隐函数求导、存在性 例 8.26 ∂ f ∂ l = grad f ⋅ l ∘ \dfrac{\pd f}{\pd l}=\text{grad}\,f\cdot\vv l^\circ ∂ l ∂ f = grad f ⋅ l ∘ ∣ grad f ∣ |\text{grad}\,f| ∣ grad f ∣ − ∣ grad f ∣ -|\text{grad}\,f| − ∣ grad f ∣ 方向导数、最大方向导数 例 9.7 曲面 F = 0 F=0 F = 0 ( F x , F y , F z ) (F_x,F_y,F_z) ( F x , F y , F z ) z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) ( f x , f y , − 1 ) (f_x,f_y,-1) ( f x , f y , − 1 ) 切平面、法线 例 9.10 交线 F = G = 0 F=G=0 F = G = 0 = grad F × grad G =\text{grad}\,F\times\text{grad}\,G = grad F × grad G 空间曲线的切线 例 9.15 f = g ( x ) h ( y ) f=g(x)h(y) f = g ( x ) h ( y ) g ′ ( 0 ) = h ′ ( 0 ) = 0 g'(0)=h'(0)=0 g ′ ( 0 ) = h ′ ( 0 ) = 0 A = g ′ ′ ( 0 ) h ( 0 ) A=g''(0)h(0) A = g ′′ ( 0 ) h ( 0 ) B = 0 B=0 B = 0 C = g ( 0 ) h ′ ′ ( 0 ) C=g(0)h''(0) C = g ( 0 ) h ′′ ( 0 ) “取极值的充分条件”选择题 例 10.6 驻点处 u x x + u y y = 0 u_{xx}+u_{yy}=0 u xx + u yy = 0 u x y ≠ 0 u_{xy}\ne0 u x y = 0 A C − B 2 < 0 AC-B^2<0 A C − B 2 < 0 最值位置的选择题 例 10.9 a x + b y ax+by a x + b y x 2 p 2 + y 2 q 2 = 1 \frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1 p 2 x 2 + q 2 y 2 = 1 a 2 p 2 + b 2 q 2 \sqrt{a^2p^2+b^2q^2} a 2 p 2 + b 2 q 2 检验拉格朗日的结果 例 10.12
11.4 反例库约定 下表的函数在原点无定义时，一律补充定义函数值为 0。
反例 说明什么 例子
∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ 连续推不出可导 例 1.15 x α cos 1 x β x^\alpha\cos\frac1{x^\beta} x α cos x β 1 x 2 sin 1 x x^2\sin\frac1x x 2 sin x 1 可导推不出导函数连续 例 1.16 x 3 x^3 x 3 x 4 x^4 x 4 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0 f ′ ′ ( 0 ) = 0 f''(0)=0 f ′′ ( 0 ) = 0 例 5.3 x 2 ( 2 + sin 1 x ) x^2\big(2+\sin\frac1x\big) x 2 ( 2 + sin x 1 ) 极小值点两侧不一定单调 例 5.2 x + x 3 sin 1 x 2 x+x^3\sin\frac1{x^2} x + x 3 sin x 2 1 一点处 f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 例 4.3 ∣ x ∣ + ∣ y ∣ |x|+|y| ∣ x ∣ + ∣ y ∣ 连续推不出偏导存在 例 7.16 x y x 2 + y 2 \dfrac{xy}{x^2+y^2} x 2 + y 2 x y 偏导存在推不出连续；累次极限存在推不出二重极限存在 例 7.3 、例 7.16 ( x + y ) sin 1 x sin 1 y (x+y)\sin\frac1x\sin\frac1y ( x + y ) sin x 1 sin y 1 二重极限存在推不出累次极限存在 例 7.3 ∣ x y ∣ \sqrt{|xy|} ∣ x y ∣ x y x 2 + y 2 \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} x 2 + y 2 x y 连续且偏导存在，推不出可微 例 7.9 、例 7.16 ( x 2 + y 2 ) sin 1 x y (x^2+y^2)\sin\dfrac1{xy} ( x 2 + y 2 ) sin x y 1 可微推不出偏导连续 例 7.14 x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x 2 + y 2 各方向的方向导数都存在，推不出偏导存在 例 9.3 ( y − x 2 ) ( y − x 3 ) (y-x^2)(y-x^3) ( y − x 2 ) ( y − x 3 ) x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 例 10.4 、例 10.10
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第 12 部分
易错清单
把前面每一节“最容易错”的地方汇总成一张清单：47 条，每条给出正确做法和可以回看的例题。考前过一遍。
12.1 一元函数求导时
容易这样错 正确的做法 看这道例题
对称差商（x 0 x_0 x 0 h h h f f f x 0 x_0 x 0 可导要单侧差商 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ 例 1.11 只知道 f ′ ′ ( x 0 ) f''(x_0) f ′′ ( x 0 ) f f f 洛必达只用一次，剩下的 f ′ ( x ) − f ′ ( x 0 ) x − x 0 \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0} x − x 0 f ′ ( x ) − f ′ ( x 0 ) 例 1.13 分段点只写“左右导数相等”一个方程 先保证连续，再令左右导数相等，两个方程 例 1.2 看到绝对值就说不可导 φ ( x ) ∣ x − a ∣ \varphi(x)|x-a| φ ( x ) ∣ x − a ∣ a a a ⟺ φ ( a ) = 0 \iff\varphi(a)=0 ⟺ φ ( a ) = 0 cos ∣ x ∣ = cos x \cos|x|=\cos x cos ∣ x ∣ = cos x 例 1.15 相关变化率先把数值代进去再求导 先对 t t t 例 1.23 链式法则漏乘最里层的导数 从外到内一层一层乘，每层都乘 例 2.3 隐函数里 y 3 y^3 y 3 3 y 2 3y^2 3 y 2 y y y x x x ( y 3 ) ′ = 3 y 2 y ′ (y^3)'=3y^2y' ( y 3 ) ′ = 3 y 2 y ′ ( x y ) ′ = y + x y ′ (xy)'=y+xy' ( x y ) ′ = y + x y ′ 例 2.13 参数方程二阶导数忘了再除以 x ′ ( t ) x'(t) x ′ ( t ) d 2 y d x 2 = d d t ( d y d x ) x ′ ( t ) \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}=\dfrac{\frac{\dd}{\dd t}\big(\frac{\dd y}{\dd x}\big)}{x'(t)} d x 2 d 2 y = x ′ ( t ) d t d ( d x d y ) 例 2.19 ( x x ) ′ (x^x)' ( x x ) ′ 取对数或写成 e x ln x \e^{x\ln x} e x l n x 例 2.31 分段点直接把导函数的值当导数 分段点用定义；参数方程带绝对值时分段写 例 2.33 泰勒系数法下标平移错、忘了乘 n ! n! n ! f ( n ) ( 0 ) = n ! × x n f^{(n)}(0)=n!\times x^n f ( n ) ( 0 ) = n ! × x n x 2 ln ( 1 + x ) x^2\ln(1+x) x 2 ln ( 1 + x ) x n x^n x n x n − 2 x^{n-2} x n − 2 例 3.5 莱布尼茨公式漏系数 C n k C_n^k C n k 写全 ∑ C n k u ( n − k ) v ( k ) \sum C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} ∑ C n k u ( n − k ) v ( k ) 例 3.3
12.2 一元函数的单调、极值、凹凸时
容易这样错 正确的做法 看这道例题
找极值只解 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 候选点 = 驻点 + 不可导点 例 4.4 只写“极值点 x = 1 x=1 x = 1 问极值就写出函数值 例 4.6 f ′ ′ ( x 0 ) = 0 f''(x_0)=0 f ′′ ( x 0 ) = 0 改用第一充分条件（看 f ′ f' f ′ 例 4.11 闭区间最值漏了端点和不可导点 驻点、不可导点、端点一起比较 例 4.13 零点个数只看极值，忘了两端的极限 每个单调区间看两端的值或极限 例 4.18 作差证不等式只证了导数为正 还要端点值 F ( a ) = 0 F(a)=0 F ( a ) = 0 ≥ 0 \ge0 ≥ 0 例 4.22 把“凹”和“递增”混在一起；f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 本笔记与考研一致：f ′ ′ > 0 f''>0 f ′′ > 0 例 5.1 只解 f ′ ′ = 0 f''=0 f ′′ = 0 检查两侧是否变号；二重零点不变号 例 5.7 看 f ′ f' f ′ f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 f ′ f' f ′ f f f f ′ f' f ′ 例 5.13 看图题把与 x x x 相切（不变号）的点排除，间断点另看 例 5.11 可去间断点也当成竖直渐近线 竖直渐近线要求极限为 ∞ \infty ∞ 例 5.15 曲率公式分母写成平方 分母是 ( 1 + y ′ 2 ) 3 / 2 (1+y'^2)^{3/2} ( 1 + y ′2 ) 3/2 例 5.30
12.3 空间解析几何
容易这样错 正确的做法 看这道例题
叉积第 2 个分量忘了变号 盖住第 2 列算出后变号；最后用点积为 0 检验 例 6.2 “同时垂直的单位向量”只写一个 有 ± \pm ± 例 6.2 平面束漏解 单独检查第二个平面本身 例 6.5 一般式化对称式时取的点只满足一个方程 给一个变量赋值后解两个方程 例 6.6 两直线夹角算出钝角 分子加绝对值，夹角取 [ 0 , π 2 ] [0,\frac\pi2] [ 0 , 2 π ] 例 6.10 空间直线绕轴旋转时硬套口诀 写参数式，用“同一高度上到轴距离不变” 例 6.12 、例 6.13 投影曲线只写 H ( x , y ) = 0 H(x,y)=0 H ( x , y ) = 0 那是柱面，要补上 z = 0 z=0 z = 0 例 6.18 “两两相交”当成有公共点 三条交线可以互相平行而没有公共点 例 6.8
12.4 多元函数微分学
容易这样错 正确的做法 看这道例题
沿所有 y = k x y=kx y = k x 存在要用夹逼证；不存在才用路径 例 7.2 “先代后求”时把要求导的变量也代掉 只代不求导的那个变量 例 7.5 偏导存在就以为连续、可微 对照四概念关系图和反例库 例 7.16 判断可微只沿坐标轴检验 判定式要沿 Δ y = Δ x \Delta y=\Delta x Δ y = Δ x 例 7.9 对 x x x C C C 加 y y y φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) f y f_y f y 例 7.17 复合函数漏掉一条路径 画树形图，一个变量出现在几个位置就有几条路径 例 8.13 对 f 1 ′ f_1' f 1 ′ 再走一次树：f 11 ′ ′ u x + f 12 ′ ′ v x f_{11}''u_x+f_{12}''v_x f 11 ′′ u x + f 12 ′′ v x 例 8.8 公式法求 F x F_x F x z z z x x x 公式法中 x , y , z x,y,z x , y , z z z z 例 8.18 、例 8.20 隐函数忘了先求出点的 z z z 先把点代入方程解出 z z z 例 8.19 方向导数的方向没有单位化 除以模再点积 例 9.1 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) − 1 -1 − 1 n = ( f x , f y , − 1 ) \vv n=(f_x,f_y,-1) n = ( f x , f y , − 1 ) 例 9.10 解驻点方程组漏根 因式分解，x = 0 x=0 x = 0 例 10.3 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 A C − B 2 = 0 回到定义，取两条路径比较符号 例 10.4 拉格朗日消 λ \lambda λ 提公因式，分情况讨论 例 10.11 约束曲线有端点、闭区域有顶点，却只比较驻点 端点、顶点都要算函数值 例 10.13 、例 10.15
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第 13 部分
真题索引
全部真题的索引：数一 65 道按年份排，数二、数三 133 道补充题，另有按小节的对照表和大纲逐条覆盖表。点任何一道都能跳到正文里的完整解答。
13.1 数一真题：按年份2010—2026 年数一卷子里，Maki《真题分类精解》归在导数与微分、导数的应用、多元函数微分学各讲下的题，加上其他讲次里第一问考空间解析几何或切平面的 6 道、第十三讲里用麦克劳林系数求高阶导数的 1 道，共 65 道、412 分，全部在正文里做成了例题。点年份跳到例题，最后一列是所在小节。
真题 考点与答案 小节
2010(2) 选择 4 分 F ( y x , z x ) = 0 F\big(\frac yx,\frac zx\big)=0 F ( x y , x z ) = 0 x z x + y z y xz_x+yz_y x z x + y z y 答案：B：z z z 8.4 2010(19) 解答 10 分 椭球面上切平面与 x O y xOy x O y 答案：x 2 + 3 z 2 = 1 , y = 2 z x^2+3z^2=1,\ y=2z x 2 + 3 z 2 = 1 , y = 2 z 9.3 2011(1) 选择 4 分 y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 3 ) 3 ( x − 4 ) 4 y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4 y = ( x − 1 ) ( x − 2 ) 2 ( x − 3 ) 3 ( x − 4 ) 4 答案：C：( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) 5.2 2011(3) 选择 4 分 z = f ( x ) ln f ( y ) z=f(x)\ln f(y) z = f ( x ) ln f ( y ) 答案：A 10.1 2011(11) 填空 4 分 F = ∫ 0 x y sin t 1 + t 2 d t F=\int_0^{xy}\frac{\sin t}{1+t^2}\dt F = ∫ 0 x y 1 + t 2 s i n t d t F x x ( 0 , 2 ) F_{xx}(0,2) F xx ( 0 , 2 ) 答案：4 8.3 2011(16) 解答 10 分 z = f ( x y , y g ( x ) ) z=f(xy,yg(x)) z = f ( x y , y g ( x )) g g g g ( 1 ) = 1 g(1)=1 g ( 1 ) = 1 z x y ( 1 , 1 ) z_{xy}(1,1) z x y ( 1 , 1 ) 答案：f 1 ′ + f 11 ′ ′ + f 12 ′ ′ f_1'+f_{11}''+f_{12}'' f 1 ′ + f 11 ′′ + f 12 ′′ ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 8.2 2012(1) 选择 4 分 y = x 2 + x x 2 − 1 y=\frac{x^2+x}{x^2-1} y = x 2 − 1 x 2 + x 答案：C：2 条 5.4 2012(2) 选择 4 分 ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) ⋯ ( e n x − n ) (\e^x-1)(\e^{2x}-2)\cdots(\e^{nx}-n) ( e x − 1 ) ( e 2 x − 2 ) ⋯ ( e n x − n ) 答案：A：( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! (-1)^{n-1}(n-1)! ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 )! 1.3 2012(3) 选择 4 分 由 lim f ( x , y ) ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \lim\frac{f(x,y)}{|x|+|y|} lim ∣ x ∣ + ∣ y ∣ f ( x , y ) lim f ( x , y ) x 2 + y 2 \lim\frac{f(x,y)}{x^2+y^2} lim x 2 + y 2 f ( x , y ) 答案：B 7.4 2012(11) 填空 4 分 grad ( x y + z y ) ∣ ( 2 , 1 , 1 ) \grad\big(xy+\frac zy\big)\big|_{(2,1,1)} grad ( x y + y z ) ( 2 , 1 , 1 ) 答案：( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) 9.2 2012(16) 解答 10 分 f = x e − x 2 + y 2 2 f=x\e^{-\frac{x^2+y^2}2} f = x e − 2 x 2 + y 2 答案：极大值 e − 1 / 2 \e^{-1/2} e − 1/2 − e − 1 / 2 -\e^{-1/2} − e − 1/2 10.1 2013(2) 选择 4 分 x 2 + cos ( x y ) + y z + x = 0 x^2+\cos(xy)+yz+x=0 x 2 + cos ( x y ) + yz + x = 0 ( 0 , 1 , − 1 ) (0,1,-1) ( 0 , 1 , − 1 ) 答案：A：x − y + z = − 2 x-y+z=-2 x − y + z = − 2 9.3 2013(9) 填空 4 分 y − x = e x ( 1 − y ) y-x=\e^{x(1-y)} y − x = e x ( 1 − y ) y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) lim n [ f ( 1 n ) − 1 ] \lim n[f(\frac1n)-1] lim n [ f ( n 1 ) − 1 ] 答案：1 2.3 2013(11) 填空 4 分 x = sin t x=\sin t x = sin t y = t sin t + cos t y=t\sin t+\cos t y = t sin t + cos t d 2 y d x 2 ∣ t = π / 4 \frac{\dd^2y}{\dd x^2}\big|_{t=\pi/4} d x 2 d 2 y t = π /4 答案：2 \sqrt2 2 2.5 2013(17) 解答 10 分 f = ( y + x 3 3 ) e x + y f=\big(y+\frac{x^3}3\big)\e^{x+y} f = ( y + 3 x 3 ) e x + y 答案：极小值 f ( 1 , − 4 3 ) = − e − 1 / 3 f(1,-\frac43)=-\e^{-1/3} f ( 1 , − 3 4 ) = − e − 1/3 10.1 2013(19) 解答 10 分 直线 A B AB A B z z z 答案：x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 x^2+y^2=2z^2-2z+1 x 2 + y 2 = 2 z 2 − 2 z + 1 ( 0 , 0 , 7 5 ) (0,0,\frac75) ( 0 , 0 , 5 7 ) 6.6 2014(1) 选择 4 分 y = x + sin 1 x y=x+\sin\frac1x y = x + sin x 1 答案：C 5.4 2014(2) 选择 4 分 f ′ ′ ≥ 0 f''\ge0 f ′′ ≥ 0 f f f g g g 答案：D 5.1 2014(9) 填空 4 分 z = x 2 ( 1 − sin y ) + y 2 ( 1 − sin x ) z=x^2(1-\sin y)+y^2(1-\sin x) z = x 2 ( 1 − sin y ) + y 2 ( 1 − sin x ) ( 1 , 0 , 1 ) (1,0,1) ( 1 , 0 , 1 ) 答案：2 x − y − z = 1 2x-y-z=1 2 x − y − z = 1 9.3 2014(16) 解答 10 分 y 3 + x y 2 + x 2 y + 6 = 0 y^3+xy^2+x^2y+6=0 y 3 + x y 2 + x 2 y + 6 = 0 f ( x ) f(x) f ( x ) 答案：极小值 f ( 1 ) = − 2 f(1)=-2 f ( 1 ) = − 2 4.2 2014(17) 解答 10 分 z = f ( e x cos y ) z=f(\e^x\cos y) z = f ( e x cos y ) z x x + z y y = ( 4 z + e x cos y ) e 2 x z_{xx}+z_{yy}=(4z+\e^x\cos y)\e^{2x} z xx + z yy = ( 4 z + e x cos y ) e 2 x f f f 答案：f ( u ) = e 2 u − e − 2 u 16 − u 4 f(u)=\frac{\e^{2u}-\e^{-2u}}{16}-\frac u4 f ( u ) = 16 e 2 u − e − 2 u − 4 u 8.6 2015(1) 选择 4 分 由 f ′ ′ f'' f ′′ 答案：C：2 个 5.3 2015(11) 填空 4 分 e z + x y z + x + cos x = 2 \e^z+xyz+x+\cos x=2 e z + x yz + x + cos x = 2 d z ∣ ( 0 , 1 ) \dd z|_{(0,1)} d z ∣ ( 0 , 1 ) 答案：− d x -\dx − d x 8.4 2015(17) 解答 10 分 x + y + x y x+y+xy x + y + x y x 2 + y 2 + x y = 3 x^2+y^2+xy=3 x 2 + y 2 + x y = 3 答案：3 10.2 2015(18) 解答 10 分 用导数定义证明乘积的求导法则，写出 n n n 答案：证明题；f ′ = ∑ i = 1 n u 1 ⋯ u i ′ ⋯ u n f'=\sum_{i=1}^nu_1\cdots u_i'\cdots u_n f ′ = ∑ i = 1 n u 1 ⋯ u i ′ ⋯ u n 2.1 2016(11) 填空 4 分 ( x + 1 ) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) (x+1)z-y^2=x^2f(x-z,y) ( x + 1 ) z − y 2 = x 2 f ( x − z , y ) d z ∣ ( 0 , 1 ) \dd z|_{(0,1)} d z ∣ ( 0 , 1 ) 答案：− d x + 2 d y -\dx+2\dy − d x + 2 d y 8.4 2017(2) 选择 4 分 f ( x ) f ′ ( x ) > 0 f(x)f'(x)>0 f ( x ) f ′ ( x ) > 0 f ( ± 1 ) f(\pm1) f ( ± 1 ) 答案：C 4.1 2017(3) 选择 4 分 x 2 y + z 2 x^2y+z^2 x 2 y + z 2 ( 1 , 2 , 0 ) (1,2,0) ( 1 , 2 , 0 ) ( 1 , 2 , 2 ) (1,2,2) ( 1 , 2 , 2 ) 答案：D：2 9.1 2017(9) 填空 4 分 f ( x ) = 1 1 + x 2 f(x)=\frac1{1+x^2} f ( x ) = 1 + x 2 1 f ( 3 ) ( 0 ) f^{(3)}(0) f ( 3 ) ( 0 ) 答案：0 3.3 2017(15) 解答 10 分 y = f ( e x , cos x ) y=f(\e^x,\cos x) y = f ( e x , cos x ) y ′ ( 0 ) y'(0) y ′ ( 0 ) y ′ ′ ( 0 ) y''(0) y ′′ ( 0 ) 答案：f 1 ′ ( 1 , 1 ) f_1'(1,1) f 1 ′ ( 1 , 1 ) f 11 ′ ′ ( 1 , 1 ) + f 1 ′ ( 1 , 1 ) − f 2 ′ ( 1 , 1 ) f_{11}''(1,1)+f_1'(1,1)-f_2'(1,1) f 11 ′′ ( 1 , 1 ) + f 1 ′ ( 1 , 1 ) − f 2 ′ ( 1 , 1 ) 8.2 2017(17) 解答 10 分 x 3 + y 3 − 3 x + 3 y − 2 = 0 x^3+y^3-3x+3y-2=0 x 3 + y 3 − 3 x + 3 y − 2 = 0 y ( x ) y(x) y ( x ) 答案：极大值 y ( 1 ) = 1 y(1)=1 y ( 1 ) = 1 y ( − 1 ) = 0 y(-1)=0 y ( − 1 ) = 0 4.2 2017(19) 解答 10 分 锥面与柱面交线在 x O y xOy x O y 答案：( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 , z = 0 (x-1)^2+y^2=1,\ z=0 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 , z = 0 M = 64 M=64 M = 64 6.7 2018(1) 选择 4 分 ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ |x|\sin|x| ∣ x ∣ sin ∣ x ∣ cos ∣ x ∣ \cos\sqrt{|x|} cos ∣ x ∣ 答案：D 1.4 2018(2) 选择 4 分 过 ( 1 , 0 , 0 ) (1,0,0) ( 1 , 0 , 0 ) ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) ( 0 , 1 , 0 ) z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z = x 2 + y 2 答案：B 9.3 2018(16) 解答 10 分 2 m 铁丝围圆、正方形、正三角形，面积和的最小值答案：1 π + 4 + 3 3 \frac1{\pi+4+3\sqrt3} π + 4 + 3 3 1 10.4 2019(2) 选择 4 分 f = x ∣ x ∣ ( x ≤ 0 ) f=x|x|\ (x\le0) f = x ∣ x ∣ ( x ≤ 0 ) x ln x ( x > 0 ) x\ln x\ (x>0) x ln x ( x > 0 ) 答案：B 4.2 2019(6) 选择 4 分 三个平面两两相交、交线平行，求 r ( A ) r(\boldsymbol A) r ( A ) r ( A ˉ ) r(\bar{\boldsymbol A}) r ( A ˉ ) 答案：A 6.5 2019(9) 填空 4 分 z = f ( sin y − sin x ) + x y z=f(\sin y-\sin x)+xy z = f ( sin y − sin x ) + x y z x cos x + z y cos y \frac{z_x}{\cos x}+\frac{z_y}{\cos y} c o s x z x + c o s y z y 答案：y cos x + x cos y \frac y{\cos x}+\frac x{\cos y} c o s x y + c o s y x 8.1 2020(2) 选择 4 分 lim f ( x ) ∣ x ∣ \lim\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}} lim ∣ x ∣ f ( x ) lim f ( x ) x 2 \lim\frac{f(x)}{x^2} lim x 2 f ( x ) 答案：C 1.3 2020(3) 选择 4 分 可微与 ∣ n ⋅ ( x , y , f ) ∣ x 2 + y 2 \frac{|\vv n\cdot(x,y,f)|}{\sqrt{x^2+y^2}} x 2 + y 2 ∣ n ⋅ ( x , y , f ) ∣ 答案：A 7.4 2020(6) 选择 4 分 两直线相交，判断 α 1 , α 2 , α 3 \boldsymbol\alpha_1,\boldsymbol\alpha_2,\boldsymbol\alpha_3 α 1 , α 2 , α 3 答案：C 6.5 2020(10) 填空 4 分 x = t 2 + 1 x=\sqrt{t^2+1} x = t 2 + 1 y = ln ( t + t 2 + 1 ) y=\ln(t+\sqrt{t^2+1}) y = ln ( t + t 2 + 1 ) d 2 y d x 2 ∣ t = 1 \frac{\dd^2y}{\dd x^2}\big|_{t=1} d x 2 d 2 y t = 1 答案：− 2 -\sqrt2 − 2 2.5 2020(12) 填空 4 分 f = ∫ 0 x y e x t 2 d t f=\int_0^{xy}\e^{xt^2}\dt f = ∫ 0 x y e x t 2 d t f x y ( 1 , 1 ) f_{xy}(1,1) f x y ( 1 , 1 ) 答案：4 e 4\e 4 e 8.3 2020(15) 解答 10 分 f = x 3 + 8 y 3 − x y f=x^3+8y^3-xy f = x 3 + 8 y 3 − x y 答案：极小值 f ( 1 6 , 1 12 ) = − 1 216 f(\frac16,\frac1{12})=-\frac1{216} f ( 6 1 , 12 1 ) = − 216 1 10.1 2021(2) 选择 5 分 f ( x + 1 , e x ) = x ( x + 1 ) 2 f(x+1,\e^x)=x(x+1)^2 f ( x + 1 , e x ) = x ( x + 1 ) 2 f ( x , x 2 ) = 2 x 2 ln x f(x,x^2)=2x^2\ln x f ( x , x 2 ) = 2 x 2 ln x d f ( 1 , 1 ) \dd f(1,1) d f ( 1 , 1 ) 答案：C： d y \dy d y 8.1 2021(12) 填空 5 分 x = 2 e t + t + 1 x=2\e^t+t+1 x = 2 e t + t + 1 y = 4 ( t − 1 ) e t + t 2 y=4(t-1)\e^t+t^2 y = 4 ( t − 1 ) e t + t 2 d 2 y d x 2 ∣ t = 0 \frac{\dd^2y}{\dd x^2}\big|_{t=0} d x 2 d 2 y t = 0 答案：2 3 \frac23 3 2 2.5 2021(19) 解答 12 分 曲线 x 2 + 2 y 2 − z = 6 x^2+2y^2-z=6 x 2 + 2 y 2 − z = 6 4 x + 2 y + z = 30 4x+2y+z=30 4 x + 2 y + z = 30 x O y xOy x O y 答案：66 10.2 2022(2) 选择 5 分 z = x y f ( y x ) z=xyf\big(\frac yx\big) z = x y f ( x y ) x z x + y z y = y 2 ( ln y − ln x ) xz_x+yz_y=y^2(\ln y-\ln x) x z x + y z y = y 2 ( ln y − ln x ) 答案：B 8.1 2022(11) 填空 5 分 x 2 + 2 y 2 x^2+2y^2 x 2 + 2 y 2 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 答案：4 9.2 2022(13) 填空 5 分 x , y ≥ 0 x,y\ge0 x , y ≥ 0 x 2 + y 2 ≤ k e x + y x^2+y^2\le k\e^{x+y} x 2 + y 2 ≤ k e x + y 答案：k ≥ 4 e − 2 k\ge4\e^{-2} k ≥ 4 e − 2 10.3 2023(1) 选择 5 分 y = x ln ( e + 1 x − 1 ) y=x\ln\big(\e+\frac1{x-1}\big) y = x ln ( e + x − 1 1 ) 答案：B：y = x + 1 e y=x+\frac1{\e} y = x + e 1 5.4 2023(3) 选择 5 分 x = 2 t + ∣ t ∣ x=2t+|t| x = 2 t + ∣ t ∣ y = ∣ t ∣ sin t y=|t|\sin t y = ∣ t ∣ sin t f f f 答案：C 2.7 2023(12) 填空 5 分 z = x + 2 y + ln ( 1 + x 2 + y 2 ) z=x+2y+\ln(1+x^2+y^2) z = x + 2 y + ln ( 1 + x 2 + y 2 ) 答案：x + 2 y − z = 0 x+2y-z=0 x + 2 y − z = 0 9.3 2023(18) 解答 12 分 f = ( y − x 2 ) ( y − x 3 ) f=(y-x^2)(y-x^3) f = ( y − x 2 ) ( y − x 3 ) 答案：极小值 f ( 2 3 , 10 27 ) = − 4 729 f(\frac23,\frac{10}{27})=-\frac4{729} f ( 3 2 , 27 10 ) = − 729 4 10.1 2024(4) 选择 5 分 lim f ( x ) x \lim\frac{f(x)}x lim x f ( x ) lim f ′ ( x ) \lim f'(x) lim f ′ ( x ) f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) 答案：B 1.3 2024(12) 填空 5 分 d f ∣ ( 1 , 1 ) = 3 d u + 4 d v \dd f|_{(1,1)}=3\du+4\dv d f ∣ ( 1 , 1 ) = 3 d u + 4 d v y = f ( cos x , 1 + x 2 ) y=f(\cos x,1+x^2) y = f ( cos x , 1 + x 2 ) y ′ ′ ( 0 ) y''(0) y ′′ ( 0 ) 答案：5 8.2 2024(18) 解答 12 分 f = x 3 + y 3 − ( x + y ) 2 + 3 f=x^3+y^3-(x+y)^2+3 f = x 3 + y 3 − ( x + y ) 2 + 3 答案：x + y + z = 3 x+y+z=3 x + y + z = 3 17 27 \frac{17}{27} 27 17 10.3 2025(13) 填空 5 分 U = x y 2 z 3 U=xy^2z^3 U = x y 2 z 3 ( 2 , 2 , − 1 ) (2,2,-1) ( 2 , 2 , − 1 ) ( 1 , 1 , 1 ) (1,1,1) ( 1 , 1 , 1 ) 答案：1 9.1 2025(18) 解答 12 分 g = f ( x y ) g=f\big(\frac xy\big) g = f ( y x ) x 2 g x x + x y g x y + y 2 g y y = 1 x^2g_{xx}+xyg_{xy}+y^2g_{yy}=1 x 2 g xx + x y g x y + y 2 g yy = 1 f f f 答案：f ( u ) = 1 2 ln 2 u + 2 ln u + 1 f(u)=\frac12\ln^2u+2\ln u+1 f ( u ) = 2 1 ln 2 u + 2 ln u + 1 8.6 2025(20) 解答 12 分 z z z x = y = z x=y=z x = y = z 答案：x y + y z + z x = 0 xy+yz+zx=0 x y + yz + z x = 0 6.6 2026(1) 选择 5 分 x − a z = e y + a z x-az=\e^{y+az} x − a z = e y + a z z ( x , y ) z(x,y) z ( x , y ) 答案：A：z x − z y = 1 a z_x-z_y=\frac1a z x − z y = a 1 8.4 2026(3) 选择 5 分 单调、极值、凹与“割线斜率单调”的关系答案：C 5.1 2026(13) 填空 5 分 x = 2 sin 2 t x=2\sin^2t x = 2 sin 2 t y = t + cos t y=t+\cos t y = t + cos t d 2 y d x 2 ∣ t = π / 4 \frac{\dd^2y}{\dd x^2}\big|_{t=\pi/4} d x 2 d 2 y t = π /4 答案：− 2 8 -\frac{\sqrt2}8 − 8 2 2.5 2026(17) 解答 10 分 f = ( 2 x 2 − y 2 ) e x f=(2x^2-y^2)\e^x f = ( 2 x 2 − y 2 ) e x 答案：极大值 f ( − 2 , 0 ) = 8 e − 2 f(-2,0)=8\e^{-2} f ( − 2 , 0 ) = 8 e − 2 10.1 2026(18) 解答 12 分 存在 F F F d F = f ( x y ) x 2 y d x + f ′ ′ ( x y ) x y 2 d y \dd F=\frac{f(xy)}{x^2y}\dx+\frac{f''(xy)}{xy^2}\dy d F = x 2 y f ( x y ) d x + x y 2 f ′′ ( x y ) d y f f f 答案：f ( u ) = e 1 − u − e u − 1 + u f(u)=\e^{1-u}-\e^{u-1}+u f ( u ) = e 1 − u − e u − 1 + u 7.6
13.2 按小节：每一节练哪些真题复习某一节时，把这一行的真题全部重做一遍。
13.3 数二、数三补充真题数一考得少、但大纲要求会的题型（相关变化率、曲率、隐函数二阶偏导、偏导方程、应用题），用数二、数三的真题补齐，共 133 道（同一道题同时出现在数二、数三卷上的分别计数）。难度和数一相当，做法完全通用。
13.4 真题是怎么核对的核对方法
题号 ：按 Maki《考研数学真题分类精解》（2026 版）书末“年份索引”逐题查对。数一 2010—2026 年归在第八讲（导数与微分）、第九讲（求导技术）、第十四讲（导数的应用）、第二十九至三十二讲（多元函数的极限与偏导、复合与隐函数求导、方向导数与几何应用、多元极值）下的题共 58 道；另从第三十四、三十六、四十六、四十七讲收了 6 道第一问考空间解析几何或切平面的题（2013(19)、2017(19)、2025(20)、2020(6)、2019(6)、2010(19)）；再从第十三讲（泰勒展开）收了用麦克劳林系数求 f ( 3 ) ( 0 ) f^{(3)}(0) f ( 3 ) ( 0 ) 题面 ：对照书中题目页逐字核对。答案 ：书里文字层抽出来的答案常被截断（例如 2023 数三(12) 抽出来是“π”，原书是 π 3 \frac\pi3 3 π 分值 ：按卷面结构计算：2010—2020 年选择、填空每题 4 分，第 15—19 题各 10 分，第 20—23 题各 11 分；2021 年起选择、填空每题 5 分，第 17 题 10 分，第 18—22 题各 12 分。只考第一问的大题，分值按整题计。 13.5 考点覆盖：大纲逐条对照把李林讲义第二章（导数与微分）、第四章（导数的应用）、第十一章（空间解析几何）、第八章（多元函数微分学）的考试要求（大纲原文，见各部分开头的方框）拆成 38 个考点。“二·1”指第二章第 1 条，“八·7”指第八章第 7 条。每个考点列出在哪一节讲、有几道例题、其中几道是真题，以及数一考过哪几道。这张表是程序从正文里数出来的：每个考点都至少有一道例题，否则页面生成时会报错。
“数一：—”的考点，数一 2010—2026 年没有专门考它的题：有的是每道题都要顺带用（求导法则、单调性），有的是数一至今没单独考（如相关变化率、曲率），这些都用数二、数三的真题或李林的例题补上了。中值定理、洛必达法则、泰勒公式属于同一章的其他考点，分别在《中值定理》《极限》两份笔记里。
13.6 小结：真题怎么刷
阶段 做什么 从哪里开始
第一遍（跟着学习计划） 每天只做计划里列的真题，遮住解答先做 5 分钟 0.4 节 第二遍（按小节） 13.2 表里一行一行过，做错的标 △ / ✗ 13.2 节 第三遍（按年份） 13.1 表从 2026 往回做，模拟考场限时 13.1 节 考前 只看 △ / ✗ 的题和第 11、12 部分 11.1 节
学完了，标记这一部分
第 14 部分
综合练习
综合练习：正文没用过的数二、数三真题，加上李林讲义第二、四、八、十一章剩下的例题和章末习题。每题都给了分步提示和“为什么”，答案都经程序核对。
怎么做这些练习 练习按部分排序：数二、数三的真题（正文没有当例题讲的那些），加上李林讲义第二、四、八、十一章剩下的例题和章末习题。先遮住“答案与提示”自己做，再对照；每一步都写了“为什么”。一元微分部分：14.4 节是李林第二、四章的章末习题；更多的一元真题就是 13.2 表里第 1—5 部分，按表重做即可。
14.1 空间解析几何与几何应用
练习 1 李林 第十一章 习题 解答(3) · p281、p284
求过点
P ( 2 , 0 , − 3 ) P(2,0,-3) P ( 2 , 0 , − 3 ) 且与直线
L : { x − 2 y + 4 z − 7 = 0 3 x + 5 y − 2 z + 1 = 0 L:\begin{cases}x-2y+4z-7=0\\3x+5y-2z+1=0\end{cases} L : { x − 2 y + 4 z − 7 = 0 3 x + 5 y − 2 z + 1 = 0 垂直的平面方程。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 直线的方向。 s = ( 1 , − 2 , 4 ) × ( 3 , 5 , − 2 ) = ( ( − 2 ) ( − 2 ) − 4 ⋅ 5 , − ( 1 ⋅ ( − 2 ) − 4 ⋅ 3 ) , 1 ⋅ 5 − ( − 2 ) ⋅ 3 ) = ( − 16 , 14 , 11 ) \vv s=(1,-2,4)\times(3,5,-2)=((-2)(-2)-4\cdot5,\ -(1\cdot(-2)-4\cdot3),\ 1\cdot5-(-2)\cdot3)=(-16,14,11) s = ( 1 , − 2 , 4 ) × ( 3 , 5 , − 2 ) = (( − 2 ) ( − 2 ) − 4 ⋅ 5 , − ( 1 ⋅ ( − 2 ) − 4 ⋅ 3 ) , 1 ⋅ 5 − ( − 2 ) ⋅ 3 ) = ( − 16 , 14 , 11 )
一般式直线的方向是两个法向量的叉积（6.4 节）。
② 点法式。 平面垂直于 L L L s \vv s s − 16 ( x − 2 ) + 14 y + 11 ( z + 3 ) = 0 -16(x-2)+14y+11(z+3)=0 − 16 ( x − 2 ) + 14 y + 11 ( z + 3 ) = 0 16 x − 14 y − 11 z − 65 = 0 16x-14y-11z-65=0 16 x − 14 y − 11 z − 65 = 0
线面垂直 ⟺ 方向向量与法向量平行。
答案：16 x − 14 y − 11 z − 65 = 0 16x-14y-11z-65=0 16 x − 14 y − 11 z − 65 = 0
练习 2 李林 第八章 §5 例 2 · p199
函数
u = x 2 + y 2 + z 2 u=\sqrt{x^2+y^2+z^2} u = x 2 + y 2 + z 2 在点
P ( 2 , 2 , 1 ) P(2,2,1) P ( 2 , 2 , 1 ) 处的梯度为 ______，沿
l = i − 2 j + 2 k \vv l=\vv i-2\vv j+2\vv k l = i − 2 j + 2 k 的方向导数为 ______。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 梯度。 u x = x u u_x=\dfrac xu u x = u x u y = y u u_y=\dfrac yu u y = u y u z = z u u_z=\dfrac zu u z = u z u ( P ) = 3 u(P)=3 u ( P ) = 3 grad u = ( 2 3 , 2 3 , 1 3 ) \text{grad}\,u=\Big(\dfrac23,\dfrac23,\dfrac13\Big) grad u = ( 3 2 , 3 2 , 3 1 )
P P P u = 4 + 4 + 1 = 3 u=\sqrt{4+4+1}=3 u = 4 + 4 + 1 = 3 u u u
② 方向导数。 l ∘ = 1 3 ( 1 , − 2 , 2 ) \vv l^\circ=\dfrac13(1,-2,2) l ∘ = 3 1 ( 1 , − 2 , 2 ) ∂ u ∂ l = 2 − 4 + 2 9 = 0 \dfrac{\pd u}{\pd l}=\dfrac{2-4+2}9=0 ∂ l ∂ u = 9 2 − 4 + 2 = 0
梯度与 l \vv l l u u u
答案：( 2 3 , 2 3 , 1 3 ) \big(\frac23,\frac23,\frac13\big) ( 3 2 , 3 2 , 3 1 )
练习 3 李林 第八章 §5 例 6、例 7 · p200—201
（1）求
u = 4 x 2 + y 2 + z 2 − 6 u=4x^2+y^2+z^2-6 u = 4 x 2 + y 2 + z 2 − 6 沿曲面
S : 4 x 2 + y 2 + z 2 = 6 S:4x^2+y^2+z^2=6 S : 4 x 2 + y 2 + z 2 = 6 上点
M ( 1 , 1 , 1 ) M(1,1,1) M ( 1 , 1 , 1 ) 处外法线方向
n \vv n n 的方向导数；（2）在椭球面
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 2x^2+2y^2+z^2=1 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1 上求一点，使
f = x 2 + y 2 + z 2 f=x^2+y^2+z^2 f = x 2 + y 2 + z 2 在该点沿
l = ( 1 , − 1 , 0 ) \vv l=(1,-1,0) l = ( 1 , − 1 , 0 ) 的方向导数最大。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 外法线就是梯度方向。 S S S u = 0 u=0 u = 0 u u u grad u ( M ) = ( 8 , 2 , 2 ) \text{grad}\,u(M)=(8,2,2) grad u ( M ) = ( 8 , 2 , 2 ) 72 = 6 2 \sqrt{72}=6\sqrt2 72 = 6 2
9.2 节：沿梯度方向的方向导数最大，等于梯度的模。
② (2) 写出目标函数。 ∂ f ∂ l = ( 2 x , 2 y , 2 z ) ⋅ ( 1 , − 1 , 0 ) 2 = 2 ( x − y ) \dfrac{\pd f}{\pd l}=(2x,2y,2z)\cdot\dfrac{(1,-1,0)}{\sqrt2}=\sqrt2(x-y) ∂ l ∂ f = ( 2 x , 2 y , 2 z ) ⋅ 2 ( 1 , − 1 , 0 ) = 2 ( x − y )
方向导数是点的函数，问题变成条件最值。
③ (2) 拉格朗日。 L = 2 ( x − y ) + λ ( 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 − 1 ) L=\sqrt2(x-y)+\lambda(2x^2+2y^2+z^2-1) L = 2 ( x − y ) + λ ( 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 − 1 ) 2 + 4 λ x = 0 \sqrt2+4\lambda x=0 2 + 4 λ x = 0 − 2 + 4 λ y = 0 -\sqrt2+4\lambda y=0 − 2 + 4 λ y = 0 2 λ z = 0 2\lambda z=0 2 λ z = 0 y = − x y=-x y = − x z = 0 z=0 z = 0 4 x 2 = 1 4x^2=1 4 x 2 = 1 x = ± 1 2 x=\pm\dfrac12 x = ± 2 1 ( 1 2 , − 1 2 , 0 ) \big(\frac12,-\frac12,0\big) ( 2 1 , − 2 1 , 0 ) 2 \sqrt2 2 − 2 -\sqrt2 − 2
前两个方程相加得 λ ( x + y ) = 0 \lambda(x+y)=0 λ ( x + y ) = 0 λ ≠ 0 \lambda\ne0 λ = 0 2 = 0 \sqrt2=0 2 = 0 y = − x y=-x y = − x
答案：(1) 6 2 6\sqrt2 6 2 ( 1 2 , − 1 2 , 0 ) \big(\frac12,-\frac12,0\big) ( 2 1 , − 2 1 , 0 )
14.2 偏导数、复合函数与隐函数
练习 4 2012 数二(11)
（2012 数二(11)）设
z = f ( ln x + 1 y ) z=f\Big(\ln x+\dfrac1y\Big) z = f ( ln x + y 1 ) ，其中函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 可微，则
x ∂ z ∂ x + y 2 ∂ z ∂ y = x\dfrac{\pd z}{\pd x}+y^2\dfrac{\pd z}{\pd y}= x ∂ x ∂ z + y 2 ∂ y ∂ z = ______。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 偏导。 z x = f ′ ⋅ 1 x z_x=f'\cdot\dfrac1x z x = f ′ ⋅ x 1 z y = f ′ ⋅ ( − 1 y 2 ) z_y=f'\cdot\Big(-\dfrac1{y^2}\Big) z y = f ′ ⋅ ( − y 2 1 )
一个中间变量，链式法则各乘一次。
② 组合。 x z x + y 2 z y = f ′ − f ′ = 0 xz_x+y^2z_y=f'-f'=0 x z x + y 2 z y = f ′ − f ′ = 0
乘上的系数恰好消掉 1 x \frac1x x 1 1 y 2 \frac1{y^2} y 2 1
答案：0
练习 5 2019 数二(11)
（2019 数二(11)）设函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 可导，
z = y f ( y 2 x ) z=yf\Big(\dfrac{y^2}x\Big) z = y f ( x y 2 ) ，则
2 x ∂ z ∂ x + y ∂ z ∂ y = 2x\dfrac{\pd z}{\pd x}+y\dfrac{\pd z}{\pd y}= 2 x ∂ x ∂ z + y ∂ y ∂ z = ______。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 偏导。 z x = − y 3 x 2 f ′ z_x=-\dfrac{y^3}{x^2}f' z x = − x 2 y 3 f ′ z y = f + 2 y 2 x f ′ z_y=f+\dfrac{2y^2}xf' z y = f + x 2 y 2 f ′
y 2 x \frac{y^2}x x y 2 x x x − y 2 x 2 -\frac{y^2}{x^2} − x 2 y 2 y y y 2 y x \frac{2y}x x 2 y z y z_y z y
② 组合。 2 x z x + y z y = − 2 y 3 x f ′ + y f + 2 y 3 x f ′ = y f ( y 2 x ) 2xz_x+yz_y=-\dfrac{2y^3}xf'+yf+\dfrac{2y^3}xf'=yf\Big(\dfrac{y^2}x\Big) 2 x z x + y z y = − x 2 y 3 f ′ + y f + x 2 y 3 f ′ = y f ( x y 2 )
2 x 2x 2 x z x z_x z x y y y z y z_y z y f ′ f' f ′ y f yf y f
答案：y f ( y 2 x ) yf\big(\frac{y^2}x\big) y f ( x y 2 )
练习 6 2014 数二(11) 2015 数二(13) 2018 数二(13) 2021 数二(13)
求下列隐函数在指定点的偏导数或全微分：（1）（2014 数二(11)）
e 2 y z + x + y 2 + z = 7 4 \e^{2yz}+x+y^2+z=\dfrac74 e 2 yz + x + y 2 + z = 4 7 ，求
d z ∣ ( 1 2 , 1 2 ) \dd z\big|_{(\frac12,\frac12)} d z ( 2 1 , 2 1 ) ；（2）（2015 数二(13)）
e x + 2 y + 3 z + x y z = 1 \e^{x+2y+3z}+xyz=1 e x + 2 y + 3 z + x yz = 1 ，求
d z ∣ ( 0 , 0 ) \dd z|_{(0,0)} d z ∣ ( 0 , 0 ) ；（3）（2018 数二(13)）
ln z + e z − 1 = x y \ln z+\e^{z-1}=xy ln z + e z − 1 = x y ，求
∂ z ∂ x ∣ ( 2 , 1 2 ) \dfrac{\pd z}{\pd x}\Big|_{(2,\frac12)} ∂ x ∂ z ( 2 , 2 1 ) ；（4）（2021 数二(13)）
( x + 1 ) z + y ln z − arctan ( 2 x y ) = 1 (x+1)z+y\ln z-\arctan(2xy)=1 ( x + 1 ) z + y ln z − arctan ( 2 x y ) = 1 ，求
∂ z ∂ x ∣ ( 0 , 2 ) \dfrac{\pd z}{\pd x}\Big|_{(0,2)} ∂ x ∂ z ( 0 , 2 ) 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 共同的第一步：求点的 z z z (1) e z + z = 1 \e^z+z=1 e z + z = 1 z = 0 z=0 z = 0 e 3 z = 1 \e^{3z}=1 e 3 z = 1 z = 0 z=0 z = 0 ln z + e z − 1 = 1 \ln z+\e^{z-1}=1 ln z + e z − 1 = 1 z = 1 z=1 z = 1 z + 2 ln z = 1 z+2\ln z=1 z + 2 ln z = 1 z = 1 z=1 z = 1
每个方程左边关于 z z z
② (1)(2) 公式法。 (1) F x = 1 F_x=1 F x = 1 F y = 2 z e 2 y z + 2 y = 1 F_y=2z\e^{2yz}+2y=1 F y = 2 z e 2 yz + 2 y = 1 F z = 2 y e 2 y z + 1 = 2 F_z=2y\e^{2yz}+1=2 F z = 2 y e 2 yz + 1 = 2 d z = − 1 2 d x − 1 2 d y \dd z=-\dfrac12\dx-\dfrac12\dy d z = − 2 1 d x − 2 1 d y F x = 1 F_x=1 F x = 1 F y = 2 F_y=2 F y = 2 F z = 3 F_z=3 F z = 3 d z = − 1 3 d x − 2 3 d y \dd z=-\dfrac13\dx-\dfrac23\dy d z = − 3 1 d x − 3 2 d y
隐函数公式 z x = − F x F z z_x=-\frac{F_x}{F_z} z x = − F z F x z y = − F y F z z_y=-\frac{F_y}{F_z} z y = − F z F y z z z
③ (3)(4) 公式法。 (3) F x = − y = − 1 2 F_x=-y=-\frac12 F x = − y = − 2 1 F z = 1 z + e z − 1 = 2 F_z=\frac1z+\e^{z-1}=2 F z = z 1 + e z − 1 = 2 z x = 1 4 z_x=\dfrac14 z x = 4 1 F x = z − 2 y 1 + 4 x 2 y 2 = 1 − 4 = − 3 F_x=z-\dfrac{2y}{1+4x^2y^2}=1-4=-3 F x = z − 1 + 4 x 2 y 2 2 y = 1 − 4 = − 3 F z = x + 1 + y z = 3 F_z=x+1+\dfrac yz=3 F z = x + 1 + z y = 3 z x = 1 z_x=1 z x = 1
公式法要除以 F z F_z F z
答案：(1) − 1 2 d x − 1 2 d y -\frac12\dx-\frac12\dy − 2 1 d x − 2 1 d y − 1 3 d x − 2 3 d y -\frac13\dx-\frac23\dy − 3 1 d x − 3 2 d y 1 4 \frac14 4 1
练习 7 2025 数三(14)
（2025 数三(14)）已知函数
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由
z + ln z − ∫ y x x e − t 2 d t = 1 z+\ln z-\displaystyle\int_y^xx\e^{-t^2}\dt=1 z + ln z − ∫ y x x e − t 2 d t = 1 确定，则
∂ 2 z ∂ x 2 ∣ ( 1 , 1 ) = \dfrac{\pd^2z}{\pd x^2}\Big|_{(1,1)}= ∂ x 2 ∂ 2 z ( 1 , 1 ) = ______。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 点与一阶。 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) z + ln z = 1 z+\ln z=1 z + ln z = 1 z = 1 z=1 z = 1 x x x z x ( 1 + 1 z ) = ∫ y x e − t 2 d t + x e − x 2 z_x\Big(1+\dfrac1z\Big)=\displaystyle\int_y^x\e^{-t^2}\dt+x\e^{-x^2} z x ( 1 + z 1 ) = ∫ y x e − t 2 d t + x e − x 2 2 z x = e − 1 2z_x=\e^{-1} 2 z x = e − 1 z x = 1 2 e z_x=\dfrac1{2\e} z x = 2 e 1
x ∫ y x x\int_y^x x ∫ y x ∫ y x \int_y^x ∫ y x x x x
② 二阶。 再对 x x x z x x ( 1 + 1 z ) − z x 2 z 2 = 2 e − x 2 − 2 x 2 e − x 2 z_{xx}\Big(1+\dfrac1z\Big)-\dfrac{z_x^2}{z^2}=2\e^{-x^2}-2x^2\e^{-x^2} z xx ( 1 + z 1 ) − z 2 z x 2 = 2 e − x 2 − 2 x 2 e − x 2 2 z x x − 1 4 e 2 = 0 2z_{xx}-\dfrac1{4\e^2}=0 2 z xx − 4 e 2 1 = 0 z x x = 1 8 e 2 z_{xx}=\dfrac1{8\e^2} z xx = 8 e 2 1
右边 2 e − x 2 − 2 x 2 e − x 2 2\e^{-x^2}-2x^2\e^{-x^2} 2 e − x 2 − 2 x 2 e − x 2 x = 1 x=1 x = 1 z x x z_{xx} z xx z x z_x z x
答案：1 8 e 2 \frac1{8\e^2} 8 e 2 1
练习 8 李林 第八章 §3 例 2 · p191
设
z = z ( x , y ) z=z(x,y) z = z ( x , y ) 由方程
F ( 1 x − 1 y − 1 z ) = 1 z F\Big(\dfrac1x-\dfrac1y-\dfrac1z\Big)=\dfrac1z F ( x 1 − y 1 − z 1 ) = z 1 确定，其中
F F F 可导，且
F ′ ≠ − 1 F'\ne-1 F ′ = − 1 ，证明：
x 2 ∂ z ∂ x + y 2 ∂ z ∂ y = 0 x^2\dfrac{\pd z}{\pd x}+y^2\dfrac{\pd z}{\pd y}=0 x 2 ∂ x ∂ z + y 2 ∂ y ∂ z = 0 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 公式法。 G = F ( w ) − 1 z G=F(w)-\dfrac1z G = F ( w ) − z 1 w = 1 x − 1 y − 1 z w=\frac1x-\frac1y-\frac1z w = x 1 − y 1 − z 1 G x = − F ′ x 2 G_x=-\dfrac{F'}{x^2} G x = − x 2 F ′ G y = F ′ y 2 G_y=\dfrac{F'}{y^2} G y = y 2 F ′ G z = F ′ + 1 z 2 G_z=\dfrac{F'+1}{z^2} G z = z 2 F ′ + 1
1 z \frac1z z 1 z z z − 1 z 2 -\frac1{z^2} − z 2 1
② 组合。 z x = z 2 F ′ x 2 ( F ′ + 1 ) z_x=\dfrac{z^2F'}{x^2(F'+1)} z x = x 2 ( F ′ + 1 ) z 2 F ′ z y = − z 2 F ′ y 2 ( F ′ + 1 ) z_y=-\dfrac{z^2F'}{y^2(F'+1)} z y = − y 2 ( F ′ + 1 ) z 2 F ′ x 2 z x + y 2 z y = 0 x^2z_x+y^2z_y=0 x 2 z x + y 2 z y = 0
z x z_x z x x 2 x^2 x 2 z y z_y z y y 2 y^2 y 2
答案：证明题。思路：公式法求出 z x = z 2 F ′ x 2 ( F ′ + 1 ) z_x=\frac{z^2F'}{x^2(F'+1)} z x = x 2 ( F ′ + 1 ) z 2 F ′ z y = − z 2 F ′ y 2 ( F ′ + 1 ) z_y=-\frac{z^2F'}{y^2(F'+1)} z y = − y 2 ( F ′ + 1 ) z 2 F ′ x 2 x^2 x 2 y 2 y^2 y 2
练习 9 李林 第八章 习题 选择(1) · p206 李林 第八章 §2 例 7 · p190
（1）设
f ( x + y , x − y ) = x 2 − y 2 f(x+y,x-y)=x^2-y^2 f ( x + y , x − y ) = x 2 − y 2 ，求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) ；（2）设
f ( t ) f(t) f ( t ) 有一阶连续导数，
f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 ，
z = x f ( y x ) + y f ( y x ) z=xf\Big(\dfrac yx\Big)+yf\Big(\dfrac yx\Big) z = x f ( x y ) + y f ( x y ) 满足
∂ z ∂ x = y x \dfrac{\pd z}{\pd x}=\dfrac yx ∂ x ∂ z = x y （
x > 0 , y > 0 x>0,y>0 x > 0 , y > 0 ），求
z z z 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 换元。 u = x + y u=x+y u = x + y v = x − y v=x-y v = x − y x 2 − y 2 = u v x^2-y^2=uv x 2 − y 2 = uv f ( u , v ) = u v f(u,v)=uv f ( u , v ) = uv f ( x , y ) = x y f(x,y)=xy f ( x , y ) = x y
平方差公式 x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) x^2-y^2=(x+y)(x-y) x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) u u u v v v
② (2) 化成常微分方程。 令 t = y x t=\frac yx t = x y z x = f − t f ′ − t 2 f ′ = t z_x=f-tf'-t^2f'=t z x = f − t f ′ − t 2 f ′ = t f ′ − 1 t + t 2 f = − 1 1 + t f'-\dfrac1{t+t^2}f=-\dfrac1{1+t} f ′ − t + t 2 1 f = − 1 + t 1
z = ( x + y ) f ( t ) z=(x+y)f(t) z = ( x + y ) f ( t ) x x x f + ( x + y ) f ′ ⋅ ( − y x 2 ) f+(x+y)f'\cdot\big(-\frac y{x^2}\big) f + ( x + y ) f ′ ⋅ ( − x 2 y ) t t t
③ (2) 解一阶线性方程。 积分因子 t + 1 t \dfrac{t+1}t t t + 1 ( t + 1 t f ) ′ = − 1 t \Big(\dfrac{t+1}tf\Big)'=-\dfrac1t ( t t + 1 f ) ′ = − t 1 t + 1 t f = − ln t + C \dfrac{t+1}tf=-\ln t+C t t + 1 f = − ln t + C f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 C = 2 C=2 C = 2 f = t t + 1 ( 2 − ln t ) f=\dfrac t{t+1}(2-\ln t) f = t + 1 t ( 2 − ln t ) z = ( x + y ) f ( y x ) = y ( 2 − ln y x ) z=(x+y)f\Big(\dfrac yx\Big)=y\Big(2-\ln\dfrac yx\Big) z = ( x + y ) f ( x y ) = y ( 2 − ln x y )
一阶线性方程乘上积分因子 t + 1 t \frac{t+1}t t t + 1 ( x + y ) ⋅ y / x y / x + 1 (x+y)\cdot\frac{y/x}{y/x+1} ( x + y ) ⋅ y / x + 1 y / x y y y
答案：(1) f ( x , y ) = x y f(x,y)=xy f ( x , y ) = x y z = 2 y − y ln y x z=2y-y\ln\frac yx z = 2 y − y ln x y
练习 10 2019 数二(20)
（2019 数二(20)）已知函数
u ( x , y ) u(x,y) u ( x , y ) 满足
2 ∂ 2 u ∂ x 2 − 2 ∂ 2 u ∂ y 2 + 3 ∂ u ∂ x + 3 ∂ u ∂ y = 0 2\dfrac{\pd^2u}{\pd x^2}-2\dfrac{\pd^2u}{\pd y^2}+3\dfrac{\pd u}{\pd x}+3\dfrac{\pd u}{\pd y}=0 2 ∂ x 2 ∂ 2 u − 2 ∂ y 2 ∂ 2 u + 3 ∂ x ∂ u + 3 ∂ y ∂ u = 0 ，求
a , b a,b a , b 的值，使得在变换
u ( x , y ) = v ( x , y ) e a x + b y u(x,y)=v(x,y)\e^{ax+by} u ( x , y ) = v ( x , y ) e a x + b y 下，上述等式可化为
v ( x , y ) v(x,y) v ( x , y ) 不含一阶偏导数的等式。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 求导（记 E = e a x + b y E=\e^{ax+by} E = e a x + b y u x = ( v x + a v ) E u_x=(v_x+av)E u x = ( v x + a v ) E u x x = ( v x x + 2 a v x + a 2 v ) E u_{xx}=(v_{xx}+2av_x+a^2v)E u xx = ( v xx + 2 a v x + a 2 v ) E u y = ( v y + b v ) E u_y=(v_y+bv)E u y = ( v y + b v ) E u y y = ( v y y + 2 b v y + b 2 v ) E u_{yy}=(v_{yy}+2bv_y+b^2v)E u yy = ( v yy + 2 b v y + b 2 v ) E
乘积求导，每次都多出一个 a a a b b b
② 代入并看一阶项。 除以 E E E 2 v x x − 2 v y y + ( 4 a + 3 ) v x + ( 3 − 4 b ) v y + ( 2 a 2 − 2 b 2 + 3 a + 3 b ) v = 0 2v_{xx}-2v_{yy}+(4a+3)v_x+(3-4b)v_y+(2a^2-2b^2+3a+3b)v=0 2 v xx − 2 v yy + ( 4 a + 3 ) v x + ( 3 − 4 b ) v y + ( 2 a 2 − 2 b 2 + 3 a + 3 b ) v = 0
把 v x v_x v x v y v_y v y
③ 令一阶项系数为 0。 4 a + 3 = 0 4a+3=0 4 a + 3 = 0 3 − 4 b = 0 3-4b=0 3 − 4 b = 0 a = − 3 4 a=-\dfrac34 a = − 4 3 b = 3 4 b=\dfrac34 b = 4 3
题目只要求不含一阶偏导，v v v
答案：a = − 3 4 a=-\frac34 a = − 4 3 b = 3 4 b=\frac34 b = 4 3
练习 11 2014 数三(17)
（2014 数三(17)）设函数
f ( u ) f(u) f ( u ) 具有连续导数，且
z = f ( e x cos y ) z=f(\e^x\cos y) z = f ( e x cos y ) 满足
cos y ∂ z ∂ x − sin y ∂ z ∂ y = ( 4 z + e x cos y ) e x \cos y\dfrac{\pd z}{\pd x}-\sin y\dfrac{\pd z}{\pd y}=(4z+\e^x\cos y)\e^x cos y ∂ x ∂ z − sin y ∂ y ∂ z = ( 4 z + e x cos y ) e x 。若
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ，求
f ( u ) f(u) f ( u ) 的表达式。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 化成常微分方程。 z x = f ′ e x cos y z_x=f'\e^x\cos y z x = f ′ e x cos y z y = − f ′ e x sin y z_y=-f'\e^x\sin y z y = − f ′ e x sin y = f ′ e x ( cos 2 y + sin 2 y ) = f ′ e x =f'\e^x(\cos^2y+\sin^2y)=f'\e^x = f ′ e x ( cos 2 y + sin 2 y ) = f ′ e x f ′ ( u ) = 4 f ( u ) + u f'(u)=4f(u)+u f ′ ( u ) = 4 f ( u ) + u
和 2014 数一(17) 同一个函数，这里是一阶的版本。
② 解一阶线性方程。 ( e − 4 u f ) ′ = u e − 4 u (\e^{-4u}f)'=u\e^{-4u} ( e − 4 u f ) ′ = u e − 4 u e − 4 u f = − u 4 e − 4 u − 1 16 e − 4 u + C \e^{-4u}f=-\dfrac u4\e^{-4u}-\dfrac1{16}\e^{-4u}+C e − 4 u f = − 4 u e − 4 u − 16 1 e − 4 u + C f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 C = 1 16 C=\dfrac1{16} C = 16 1 f ( u ) = e 4 u − 1 16 − u 4 f(u)=\dfrac{\e^{4u}-1}{16}-\dfrac u4 f ( u ) = 16 e 4 u − 1 − 4 u
积分因子 e − 4 u \e^{-4u} e − 4 u ∫ u e − 4 u d u \int u\e^{-4u}\du ∫ u e − 4 u d u
答案：f ( u ) = e 4 u − 1 16 − u 4 f(u)=\frac{\e^{4u}-1}{16}-\frac u4 f ( u ) = 16 e 4 u − 1 − 4 u
14.3 极值与最值
练习 12 2011 数二(5) 2017 数三(2) 2024 数二(12)
（1）（2011 数二(5)）设
f ( x ) f(x) f ( x ) ，
g ( x ) g(x) g ( x ) 均有二阶连续导数，满足
f ( 0 ) > 0 f(0)>0 f ( 0 ) > 0 ，
g ( 0 ) < 0 g(0)<0 g ( 0 ) < 0 ，且
f ′ ( 0 ) = g ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=g'(0)=0 f ′ ( 0 ) = g ′ ( 0 ) = 0 ，则
z = f ( x ) g ( y ) z=f(x)g(y) z = f ( x ) g ( y ) 在点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A）
f ′ ′ ( 0 ) < 0 f''(0)<0 f ′′ ( 0 ) < 0 ，
g ′ ′ ( 0 ) > 0 g''(0)>0 g ′′ ( 0 ) > 0 （B）
f ′ ′ ( 0 ) < 0 f''(0)<0 f ′′ ( 0 ) < 0 ，
g ′ ′ ( 0 ) < 0 g''(0)<0 g ′′ ( 0 ) < 0 （C）
f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0 ，
g ′ ′ ( 0 ) > 0 g''(0)>0 g ′′ ( 0 ) > 0 （D）
f ′ ′ ( 0 ) > 0 f''(0)>0 f ′′ ( 0 ) > 0 ，
g ′ ′ ( 0 ) < 0 g''(0)<0 g ′′ ( 0 ) < 0 （2）（2017 数三(2)）二元函数
z = x y ( 3 − x − y ) z=xy(3-x-y) z = x y ( 3 − x − y ) 的极值点是（ ）（A）
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) （B）
( 0 , 3 ) (0,3) ( 0 , 3 ) （C）
( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) （D）
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) （3）（2024 数二(12)）函数
f ( x , y ) = 2 x 3 − 9 x 2 − 6 y 4 + 12 x + 24 y f(x,y)=2x^3-9x^2-6y^4+12x+24y f ( x , y ) = 2 x 3 − 9 x 2 − 6 y 4 + 12 x + 24 y 的极值点为 ______。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) A , B , C A,B,C A , B , C A = f ′ ′ ( 0 ) g ( 0 ) A=f''(0)g(0) A = f ′′ ( 0 ) g ( 0 ) B = f ′ ( 0 ) g ′ ( 0 ) = 0 B=f'(0)g'(0)=0 B = f ′ ( 0 ) g ′ ( 0 ) = 0 C = f ( 0 ) g ′ ′ ( 0 ) C=f(0)g''(0) C = f ( 0 ) g ′′ ( 0 ) A > 0 A>0 A > 0 C > 0 C>0 C > 0 f ′ ′ ( 0 ) < 0 f''(0)<0 f ′′ ( 0 ) < 0 g ( 0 ) < 0 g(0)<0 g ( 0 ) < 0 g ′ ′ ( 0 ) > 0 g''(0)>0 g ′′ ( 0 ) > 0 f ( 0 ) > 0 f(0)>0 f ( 0 ) > 0
11.3 节的结论：乘积型函数在原点的 A , B , C A,B,C A , B , C
② (2) 驻点逐个判。 驻点 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 0 , 3 ) (0,3) ( 0 , 3 ) ( 3 , 0 ) (3,0) ( 3 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) A C − B 2 = − 9 < 0 AC-B^2=-9<0 A C − B 2 = − 9 < 0 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) A = C = − 2 A=C=-2 A = C = − 2 B = − 1 B=-1 B = − 1 A C − B 2 = 3 > 0 AC-B^2=3>0 A C − B 2 = 3 > 0
z x = y ( 3 − 2 x − y ) z_x=y(3-2x-y) z x = y ( 3 − 2 x − y ) z y = x ( 3 − x − 2 y ) z_y=x(3-x-2y) z y = x ( 3 − x − 2 y )
③ (3) 驻点与判别。 f x = 6 ( x − 1 ) ( x − 2 ) f_x=6(x-1)(x-2) f x = 6 ( x − 1 ) ( x − 2 ) f y = 24 ( 1 − y 3 ) f_y=24(1-y^3) f y = 24 ( 1 − y 3 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) A = − 6 A=-6 A = − 6 C = − 72 C=-72 C = − 72 A C > 0 AC>0 A C > 0 A < 0 A<0 A < 0 23 23 23 ( 2 , 1 ) (2,1) ( 2 , 1 ) A = 6 A=6 A = 6 C = − 72 C=-72 C = − 72 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
由 f x f_x f x f y f_y f y A = 12 x − 18 A=12x-18 A = 12 x − 18 B = 0 B=0 B = 0 C = − 72 y 2 C=-72y^2 C = − 72 y 2
答案：(1) A；(2) D；(3) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
练习 13 2021 数三(18)
（2021 数三(18)）求函数
f ( x , y ) = 2 ln ∣ x ∣ + ( x − 1 ) 2 + y 2 2 x 2 f(x,y)=2\ln|x|+\dfrac{(x-1)^2+y^2}{2x^2} f ( x , y ) = 2 ln ∣ x ∣ + 2 x 2 ( x − 1 ) 2 + y 2 的极值。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f y = y x 2 = 0 f_y=\dfrac y{x^2}=0 f y = x 2 y = 0 y = 0 y=0 y = 0 f x = 2 x + x − 1 x 2 − ( x − 1 ) 2 + y 2 x 3 f_x=\dfrac2x+\dfrac{x-1}{x^2}-\dfrac{(x-1)^2+y^2}{x^3} f x = x 2 + x 2 x − 1 − x 3 ( x − 1 ) 2 + y 2 y = 0 y=0 y = 0 ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) x 3 = 0 \dfrac{(2x-1)(x+1)}{x^3}=0 x 3 ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 x = 1 2 x=\dfrac12 x = 2 1 − 1 -1 − 1
把三项通分到分母 x 3 x^3 x 3 2 x 2 + x − 1 = ( 2 x − 1 ) ( x + 1 ) 2x^2+x-1=(2x-1)(x+1) 2 x 2 + x − 1 = ( 2 x − 1 ) ( x + 1 )
② 判别。 ( 1 2 , 0 ) \big(\frac12,0\big) ( 2 1 , 0 ) A = 24 A=24 A = 24 B = 0 B=0 B = 0 C = 4 C=4 C = 4 f = 1 2 − 2 ln 2 f=\dfrac12-2\ln2 f = 2 1 − 2 ln 2 ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) A = 3 A=3 A = 3 B = 0 B=0 B = 0 C = 1 C=1 C = 1 f = 2 f=2 f = 2
y = 0 y=0 y = 0 f x = 2 x 2 + x − 1 x 3 f_x=\frac{2x^2+x-1}{x^3} f x = x 3 2 x 2 + x − 1 x x x A = 4 x + 1 x 3 A=\frac{4x+1}{x^3} A = x 3 4 x + 1 x = 1 2 x=\frac12 x = 2 1 x = − 1 x=-1 x = − 1 B = − 2 y x 3 = 0 B=-\frac{2y}{x^3}=0 B = − x 3 2 y = 0 C = 1 x 2 C=\frac1{x^2} C = x 2 1
答案：极小值 f ( 1 2 , 0 ) = 1 2 − 2 ln 2 f\big(\frac12,0\big)=\frac12-2\ln2 f ( 2 1 , 0 ) = 2 1 − 2 ln 2 f ( − 1 , 0 ) = 2 f(-1,0)=2 f ( − 1 , 0 ) = 2
练习 14 2023 数二(18)
（2023 数二(18)）求函数
f ( x , y ) = x e cos y + x 2 2 f(x,y)=x\e^{\cos y}+\dfrac{x^2}2 f ( x , y ) = x e c o s y + 2 x 2 的极值。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 驻点。 f x = e cos y + x = 0 f_x=\e^{\cos y}+x=0 f x = e c o s y + x = 0 f y = − x sin y e cos y = 0 f_y=-x\sin y\,\e^{\cos y}=0 f y = − x sin y e c o s y = 0 x = − e cos y ≠ 0 x=-\e^{\cos y}\ne0 x = − e c o s y = 0 sin y = 0 \sin y=0 sin y = 0 y = k π y=k\pi y = kπ k k k x = − e x=-\e x = − e k k k x = − e − 1 x=-\e^{-1} x = − e − 1
第二式三个因子里只有 sin y \sin y sin y
② 判别。 A = 1 A=1 A = 1 B = − sin y e cos y = 0 B=-\sin y\,\e^{\cos y}=0 B = − sin y e c o s y = 0 C = − x cos y e cos y C=-x\cos y\,\e^{\cos y} C = − x cos y e c o s y sin y = 0 \sin y=0 sin y = 0 ( − e , 2 k π ) (-\e,2k\pi) ( − e , 2 kπ ) C = e 2 > 0 C=\e^2>0 C = e 2 > 0 − e 2 2 -\dfrac{\e^2}2 − 2 e 2 ( − e − 1 , ( 2 k + 1 ) π ) (-\e^{-1},(2k+1)\pi) ( − e − 1 , ( 2 k + 1 ) π ) C = − e − 2 < 0 C=-\e^{-2}<0 C = − e − 2 < 0
C C C f y f_y f y y y y sin y = 0 \sin y=0 sin y = 0
答案：极小值 f ( − e , 2 k π ) = − e 2 2 f(-\e,2k\pi)=-\frac{\e^2}2 f ( − e , 2 kπ ) = − 2 e 2 k k k
练习 15 2025 数二(19)
（2025 数二(19)）设函数
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 可微且满足
d f ( x , y ) = − 2 x e − y d x + e − y ( x 2 − y − 1 ) d y \dd f(x,y)=-2x\e^{-y}\dd x+\e^{-y}(x^2-y-1)\dd y d f ( x , y ) = − 2 x e − y d x + e − y ( x 2 − y − 1 ) d y ，
f ( 0 , 0 ) = 2 f(0,0)=2 f ( 0 , 0 ) = 2 ，求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) ，并求
f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 的极值。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 反求 f f f f = − x 2 e − y + φ ( y ) f=-x^2\e^{-y}+\varphi(y) f = − x 2 e − y + φ ( y ) f y = x 2 e − y + φ ′ ( y ) = e − y ( x 2 − y − 1 ) f_y=x^2\e^{-y}+\varphi'(y)=\e^{-y}(x^2-y-1) f y = x 2 e − y + φ ′ ( y ) = e − y ( x 2 − y − 1 ) φ ′ = − ( y + 1 ) e − y \varphi'=-(y+1)\e^{-y} φ ′ = − ( y + 1 ) e − y φ = ( y + 2 ) e − y + C \varphi=(y+2)\e^{-y}+C φ = ( y + 2 ) e − y + C f ( 0 , 0 ) = 2 f(0,0)=2 f ( 0 , 0 ) = 2 C = 0 C=0 C = 0 f = ( y + 2 − x 2 ) e − y f=(y+2-x^2)\e^{-y} f = ( y + 2 − x 2 ) e − y
用 7.6 节的偏积分：对 x x x φ ( y ) \varphi(y) φ ( y ) f y f_y f y φ \varphi φ [ ( y + 2 ) e − y ] ′ = − ( y + 1 ) e − y [(y+2)\e^{-y}]'=-(y+1)\e^{-y} [( y + 2 ) e − y ] ′ = − ( y + 1 ) e − y
② 极值。 f x = − 2 x e − y = 0 f_x=-2x\e^{-y}=0 f x = − 2 x e − y = 0 f y = e − y ( x 2 − y − 1 ) = 0 f_y=\e^{-y}(x^2-y-1)=0 f y = e − y ( x 2 − y − 1 ) = 0 ( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 ) A = − 2 e A=-2\e A = − 2 e B = 0 B=0 B = 0 C = − e C=-\e C = − e A C − B 2 = 2 e 2 > 0 AC-B^2=2\e^2>0 A C − B 2 = 2 e 2 > 0 A < 0 A<0 A < 0 f ( 0 , − 1 ) = e f(0,-1)=\e f ( 0 , − 1 ) = e
C C C f y f_y f y y y y e − y ( y − x 2 ) \e^{-y}(y-x^2) e − y ( y − x 2 ) ( 0 , − 1 ) (0,-1) ( 0 , − 1 ) − e -\e − e
答案：f = ( y + 2 − x 2 ) e − y f=(y+2-x^2)\e^{-y} f = ( y + 2 − x 2 ) e − y f ( 0 , − 1 ) = e f(0,-1)=\e f ( 0 , − 1 ) = e
练习 16 2022 数二(20)
（2022 数二(20)）已知可微函数
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 满足
∂ f ∂ u − ∂ f ∂ v = 2 ( u − v ) e − ( u + v ) \dfrac{\pd f}{\pd u}-\dfrac{\pd f}{\pd v}=2(u-v)\e^{-(u+v)} ∂ u ∂ f − ∂ v ∂ f = 2 ( u − v ) e − ( u + v ) ，且
f ( u , 0 ) = u 2 e − u f(u,0)=u^2\e^{-u} f ( u , 0 ) = u 2 e − u 。（Ⅰ）记
g ( x , y ) = f ( x , y − x ) g(x,y)=f(x,y-x) g ( x , y ) = f ( x , y − x ) ，求
∂ g ∂ x \dfrac{\pd g}{\pd x} ∂ x ∂ g ；（Ⅱ）求
f ( u , v ) f(u,v) f ( u , v ) 的表达式和极值。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (Ⅰ) g x = f u ⋅ 1 + f v ⋅ ( − 1 ) = 2 ( x − ( y − x ) ) e − y = 2 ( 2 x − y ) e − y g_x=f_u\cdot1+f_v\cdot(-1)=2\big(x-(y-x)\big)\e^{-y}=2(2x-y)\e^{-y} g x = f u ⋅ 1 + f v ⋅ ( − 1 ) = 2 ( x − ( y − x ) ) e − y = 2 ( 2 x − y ) e − y
g = f ( u , v ) g=f(u,v) g = f ( u , v ) u = x u=x u = x v = y − x v=y-x v = y − x x x x u x = 1 u_x=1 u x = 1 v x = − 1 v_x=-1 v x = − 1 u + v = y u+v=y u + v = y
② (Ⅱ) 反求。 g = ( 2 x 2 − 2 x y ) e − y + φ ( y ) g=(2x^2-2xy)\e^{-y}+\varphi(y) g = ( 2 x 2 − 2 x y ) e − y + φ ( y ) f ( u , v ) = g ( u , u + v ) = − 2 u v e − ( u + v ) + φ ( u + v ) f(u,v)=g(u,u+v)=-2uv\,\e^{-(u+v)}+\varphi(u+v) f ( u , v ) = g ( u , u + v ) = − 2 uv e − ( u + v ) + φ ( u + v ) f ( u , 0 ) = φ ( u ) = u 2 e − u f(u,0)=\varphi(u)=u^2\e^{-u} f ( u , 0 ) = φ ( u ) = u 2 e − u f ( u , v ) = ( u 2 + v 2 ) e − ( u + v ) f(u,v)=(u^2+v^2)\e^{-(u+v)} f ( u , v ) = ( u 2 + v 2 ) e − ( u + v )
把 x = u x=u x = u y = u + v y=u+v y = u + v g g g f f f − 2 u v + ( u + v ) 2 = u 2 + v 2 -2uv+(u+v)^2=u^2+v^2 − 2 uv + ( u + v ) 2 = u 2 + v 2
③ (Ⅱ) 极值。 驻点 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) A = C = 2 A=C=2 A = C = 2 B = 0 B=0 B = 0 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) A = C = 0 A=C=0 A = C = 0 B = − 2 e − 2 B=-2\e^{-2} B = − 2 e − 2
f u = ( 2 u − u 2 − v 2 ) e − ( u + v ) f_u=(2u-u^2-v^2)\e^{-(u+v)} f u = ( 2 u − u 2 − v 2 ) e − ( u + v ) f v f_v f v u = v u=v u = v
答案：(Ⅰ) 2 ( 2 x − y ) e − y 2(2x-y)\e^{-y} 2 ( 2 x − y ) e − y f = ( u 2 + v 2 ) e − ( u + v ) f=(u^2+v^2)\e^{-(u+v)} f = ( u 2 + v 2 ) e − ( u + v ) f ( 0 , 0 ) = 0 f(0,0)=0 f ( 0 , 0 ) = 0
练习 17 李林 第八章 §4 例 2 · p195 李林 第八章 习题 选择(4) · p206
（1）求
f ( x , y ) = x 2 ( 2 + y 2 ) + y ln y f(x,y)=x^2(2+y^2)+y\ln y f ( x , y ) = x 2 ( 2 + y 2 ) + y ln y 的极值；（2）设
z = f ( x , y ) z=f(x,y) z = f ( x , y ) 的全微分
d z = x d x + y d y \dd z=x\dx+y\dy d z = x d x + y d y ，判断点
( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 是否为
f f f 的极值点。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 驻点。 f x = 2 x ( 2 + y 2 ) = 0 f_x=2x(2+y^2)=0 f x = 2 x ( 2 + y 2 ) = 0 x = 0 x=0 x = 0 f y = 2 x 2 y + ln y + 1 = 0 f_y=2x^2y+\ln y+1=0 f y = 2 x 2 y + ln y + 1 = 0 y = 1 e y=\dfrac1\e y = e 1
2 + y 2 2+y^2 2 + y 2 f x = 0 f_x=0 f x = 0 x = 0 x=0 x = 0 f y = 0 f_y=0 f y = 0 y y y
② (1) 判别。 A = 2 ( 2 + y 2 ) = 2 ( 2 + 1 e 2 ) A=2(2+y^2)=2\Big(2+\dfrac1{\e^2}\Big) A = 2 ( 2 + y 2 ) = 2 ( 2 + e 2 1 ) B = 4 x y = 0 B=4xy=0 B = 4 x y = 0 C = 2 x 2 + 1 y = e C=2x^2+\dfrac1y=\e C = 2 x 2 + y 1 = e A C − B 2 > 0 AC-B^2>0 A C − B 2 > 0 A > 0 A>0 A > 0 f ( 0 , 1 e ) = − 1 e f\Big(0,\dfrac1\e\Big)=-\dfrac1\e f ( 0 , e 1 ) = − e 1
极小值要写函数值：代入 x = 0 x=0 x = 0 y = 1 e y=\frac1\e y = e 1 y ln y = 1 e ⋅ ( − 1 ) = − 1 e y\ln y=\frac1\e\cdot(-1)=-\frac1\e y ln y = e 1 ⋅ ( − 1 ) = − e 1
③ (2) z = x 2 + y 2 2 + C z=\dfrac{x^2+y^2}2+C z = 2 x 2 + y 2 + C ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) z ≥ z ( 0 , 0 ) z\ge z(0,0) z ≥ z ( 0 , 0 )
由全微分反求函数（7.6 节），再用定义。
答案：(1) 极小值 f ( 0 , 1 e ) = − 1 e f\big(0,\frac1\e\big)=-\frac1\e f ( 0 , e 1 ) = − e 1
14.4 一元微分：李林第二、四章习题李林讲义第二章（p56—57）、第四章（p106）的章末习题里，正文还没讲过的都在这里。其余几道和正文例题相同，不再重复：第二章选择 (2) 见例 1.15 ，选择 (6) 见例 1.16 ，填空 (4) 见例 3.1 ，填空 (5) 见例 1.7 ，填空 (6) 见例 2.29 ，填空 (7) 见例 2.25 ，解答 (1)(Ⅴ) 见例 2.30 ；第四章选择 (2) 见例 5.12 ，选择 (3) 见例 5.15 。
练习 18 李林 第二章 习题 选择 (1)(3)(4)(5)(7) · p56—57
（1）设
f ( x ) f(x) f ( x ) 可导，
F ( x ) = f ( x ) ( 1 + ∣ sin x ∣ ) F(x)=f(x)(1+|\sin x|) F ( x ) = f ( x ) ( 1 + ∣ sin x ∣ ) ，则
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 是
F ( x ) F(x) F ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件（D）既非充分也非必要条件
（2）设
f ( x ) f(x) f ( x ) 对任意
x x x 满足
f ( 1 + x ) = 2 f ( x ) f(1+x)=2f(x) f ( 1 + x ) = 2 f ( x ) ，且
f ′ ( 0 ) = 3 f'(0)=3 f ′ ( 0 ) = 3 ，则（ ）（A）
f ′ ( 1 ) = 1 f'(1)=1 f ′ ( 1 ) = 1 （B）
f ′ ( 1 ) = 2 f'(1)=2 f ′ ( 1 ) = 2 （C）
f ′ ( 1 ) = 6 f'(1)=6 f ′ ( 1 ) = 6 （D）
f ′ ( 1 ) f'(1) f ′ ( 1 ) 不存在
（3）设曲线
y = k x 2 y=kx^2 y = k x 2 与
y = ln x y=\ln x y = ln x 相切，则
k = k= k = （ ）（A）
1 2 \frac12 2 1 （B）
1 2 e \frac1{2\e} 2 e 1 （C）
e \e e （D）
e \sqrt\e e （4）设
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x 0 x_0 x 0 的某邻域内有定义，则
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x 0 x_0 x 0 处可导的一个充分必要条件是（ ）（A）
lim h → + ∞ h [ f ( x 0 + 1 h ) − f ( x 0 ) ] \lim\limits_{h\to+\infty}h\big[f\big(x_0+\frac1h\big)-f(x_0)\big] h → + ∞ lim h [ f ( x 0 + h 1 ) − f ( x 0 ) ] 存在（B）
lim h → 0 f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h \lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0)-f(x_0-h)}h h → 0 lim h f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) 存在（C）
lim h → − ∞ h [ f ( x 0 + 1 h ) − f ( x 0 ) ] \lim\limits_{h\to-\infty}h\big[f\big(x_0+\frac1h\big)-f(x_0)\big] h → − ∞ lim h [ f ( x 0 + h 1 ) − f ( x 0 ) ] 存在（D）
lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 2 h \lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} h → 0 lim 2 h f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 存在
（5）设
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ，则
f ( x ) f(x) f ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处可导的充分必要条件为（ ）（A）
lim h → 0 1 h 2 f ( 1 − cos h ) \lim\limits_{h\to0}\frac1{h^2}f(1-\cos h) h → 0 lim h 2 1 f ( 1 − cos h ) 存在（B）
lim h → 0 1 h f ( 1 − e h ) \lim\limits_{h\to0}\frac1hf(1-\e^h) h → 0 lim h 1 f ( 1 − e h ) 存在（C）
lim h → 0 1 h 2 f ( h − sin h ) \lim\limits_{h\to0}\frac1{h^2}f(h-\sin h) h → 0 lim h 2 1 f ( h − sin h ) 存在（D）
lim h → 0 1 h [ f ( 2 h ) − f ( h ) ] \lim\limits_{h\to0}\frac1h[f(2h)-f(h)] h → 0 lim h 1 [ f ( 2 h ) − f ( h )] 存在
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) F = f + f ∣ sin x ∣ F=f+f|\sin x| F = f + f ∣ sin x ∣ ∣ sin x ∣ |\sin x| ∣ sin x ∣ F F F ⟺ f ( 0 ) = 0 \iff f(0)=0 ⟺ f ( 0 ) = 0
和李林第二章例 15 完全同型：可导的部分不影响结论，只看“可导 × 尖角”那一项。
② (2) 只知道 f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) f ′ ( 1 ) = lim h → 0 f ( 1 + h ) − f ( 1 ) h = lim 2 f ( h ) − 2 f ( 0 ) h = 2 f ′ ( 0 ) = 6 f'(1)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}h=\lim\dfrac{2f(h)-2f(0)}h=2f'(0)=6 f ′ ( 1 ) = h → 0 lim h f ( 1 + h ) − f ( 1 ) = lim h 2 f ( h ) − 2 f ( 0 ) = 2 f ′ ( 0 ) = 6
题设 f ( 1 + x ) = 2 f ( x ) f(1+x)=2f(x) f ( 1 + x ) = 2 f ( x ) x = h x=h x = h x = 0 x=0 x = 0
③ (3) 相切：k x 2 = ln x kx^2=\ln x k x 2 = ln x 2 k x = 1 x 2kx=\dfrac1x 2 k x = x 1 k x 2 = 1 2 kx^2=\frac12 k x 2 = 2 1 ln x = 1 2 \ln x=\frac12 ln x = 2 1 x = e x=\sqrt\e x = e k = 1 2 e k=\dfrac1{2\e} k = 2 e 1
两曲线相切 = 切点处函数值相等、导数也相等，两个方程定出切点和 k k k
④ (4) （A）中 1 h → 0 + \frac1h\to0^+ h 1 → 0 + ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ t = − h t=-h t = − h
导数定义要求增量从两侧趋于 0；只用一侧，或用对称差商，都可能漏掉尖角。
⑤ (5) （B）：f ( 1 − e h ) h = f ( 1 − e h ) − f ( 0 ) 1 − e h ⋅ 1 − e h h \dfrac{f(1-\e^h)}h=\dfrac{f(1-\e^h)-f(0)}{1-\e^h}\cdot\dfrac{1-\e^h}h h f ( 1 − e h ) = 1 − e h f ( 1 − e h ) − f ( 0 ) ⋅ h 1 − e h 1 − e h ∼ − h 1-\e^h\sim-h 1 − e h ∼ − h → − 1 \to-1 → − 1 ⟺ \iff ⟺ f = ∣ x ∣ f=|x| f = ∣ x ∣ f ( x ) = 1 ( x ≠ 0 ) f(x)=1\ (x\ne0) f ( x ) = 1 ( x = 0 ) f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f f f
判断“充要”要两个方向都成立；（A）的 1 − cos h ≥ 0 1-\cos h\ge0 1 − cos h ≥ 0 h − sin h ∼ h 3 6 h-\sin h\sim\frac{h^3}6 h − sin h ∼ 6 h 3 f ( 0 ) f(0) f ( 0 )
答案：(1) A；(2) C；(3) B；(4) B；(5) B
练习 19 李林 第二章 习题 填空 (1)(2)(3) · p57
（1）若
f ( x ) = x n f(x)=x^n f ( x ) = x n 过点
( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 的切线与
x x x 轴的交点为
( ξ n , 0 ) (\xi_n,0) ( ξ n , 0 ) ，则
lim n → ∞ f ( ξ n ) = \lim\limits_{n\to\infty}f(\xi_n)= n → ∞ lim f ( ξ n ) = ______；（2）设
f ( x ) = x 3 + x 2 ∣ x ∣ f(x)=x^3+x^2|x| f ( x ) = x 3 + x 2 ∣ x ∣ ，则使
f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) 存在的最高阶数
n = n= n = ______；（3）设
f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − 100 ) f(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-100) f ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − 100 ) ，则
f ′ ( 2 ) = f'(2)= f ′ ( 2 ) = ______。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 切线 y = 1 + n ( x − 1 ) y=1+n(x-1) y = 1 + n ( x − 1 ) y = 0 y=0 y = 0 ξ n = 1 − 1 n \xi_n=1-\dfrac1n ξ n = 1 − n 1 f ( ξ n ) = ( 1 − 1 n ) n → e − 1 f(\xi_n)=\Big(1-\dfrac1n\Big)^n\to\e^{-1} f ( ξ n ) = ( 1 − n 1 ) n → e − 1
x n x^n x n n n n ( 1 − 1 n ) n \big(1-\frac1n\big)^n ( 1 − n 1 ) n ( 1 + 1 m ) m → e \big(1+\frac1m\big)^m\to\e ( 1 + m 1 ) m → e m = − n m=-n m = − n
② (2) x 2 ∣ x ∣ = ∣ x ∣ 3 x^2|x|=|x|^3 x 2 ∣ x ∣ = ∣ x ∣ 3 k = 2 k=2 k = 2 x 3 x^3 x 3 n = 2 n=2 n = 2
结论 3：( x − x 0 ) k ∣ x − x 0 ∣ (x-x_0)^k|x-x_0| ( x − x 0 ) k ∣ x − x 0 ∣ x 0 x_0 x 0 k k k
③ (3) 用定义：f ′ ( 2 ) = lim x → 2 f ( x ) − 0 x − 2 = ∏ k ≠ 2 ( 2 − k ) = 1 ⋅ ( − 1 ) ( − 2 ) ⋯ ( − 98 ) = 98 ! f'(2)=\lim\limits_{x\to2}\dfrac{f(x)-0}{x-2}=\prod\limits_{k\ne2}(2-k)=1\cdot(-1)(-2)\cdots(-98)=98! f ′ ( 2 ) = x → 2 lim x − 2 f ( x ) − 0 = k = 2 ∏ ( 2 − k ) = 1 ⋅ ( − 1 ) ( − 2 ) ⋯ ( − 98 ) = 98 !
把为 0 的因子 x − 2 x-2 x − 2 x = 2 x=2 x = 2
答案：(1) e − 1 \e^{-1} e − 1 98 ! 98! 98 !
练习 20 李林 第二章 习题 解答 (1) · p57
（1）
y = e x sin x 1 + x 2 y=\dfrac{\e^x\sin x}{\sqrt{1+x^2}} y = 1 + x 2 e x sin x ，求
y ′ y' y ′ ；（2）
y = ( 1 + x 2 ) x y=(1+x^2)^{\sqrt x} y = ( 1 + x 2 ) x （
x > 0 x>0 x > 0 ），求
y ′ y' y ′ ；（3）设
y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) 由方程
e y + x y = e \e^y+xy=\e e y + x y = e 确定，求
d 2 y d x 2 ∣ x = 0 \dfrac{\dd^2y}{\dd x^2}\Big|_{x=0} d x 2 d 2 y x = 0 ；（4）设
x = y y x=y^y x = y y ，求
d y \dd y d y ；（5）设
y = f ( 3 x − 2 3 x + 2 ) y=f\Big(\dfrac{3x-2}{3x+2}\Big) y = f ( 3 x + 2 3 x − 2 ) ，且
f ′ ( x ) = arcsin x 2 f'(x)=\arcsin x^2 f ′ ( x ) = arcsin x 2 ，求
d y d x ∣ x = 0 \dfrac{\dd y}{\dd x}\Big|_{x=0} d x d y x = 0 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 对数求导。 ln ∣ y ∣ = x + ln ∣ sin x ∣ − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) \ln|y|=x+\ln|\sin x|-\dfrac12\ln(1+x^2) ln ∣ y ∣ = x + ln ∣ sin x ∣ − 2 1 ln ( 1 + x 2 ) y ′ = y ( 1 + cot x − x 1 + x 2 ) = e x 1 + x 2 ( sin x + cos x − x sin x 1 + x 2 ) y'=y\Big(1+\cot x-\dfrac x{1+x^2}\Big)=\dfrac{\e^x}{\sqrt{1+x^2}}\Big(\sin x+\cos x-\dfrac{x\sin x}{1+x^2}\Big) y ′ = y ( 1 + cot x − 1 + x 2 x ) = 1 + x 2 e x ( sin x + cos x − 1 + x 2 x sin x )
乘、除、开方混在一起，取对数把它们变成加减（2.6 节）；最后乘回 y y y sin x \sin x sin x cot x \cot x cot x cos x \cos x cos x
② (2) 幂指函数。 y = e x ln ( 1 + x 2 ) y=\e^{\sqrt x\ln(1+x^2)} y = e x l n ( 1 + x 2 ) y ′ = ( 1 + x 2 ) x [ ln ( 1 + x 2 ) 2 x + 2 x x 1 + x 2 ] y'=(1+x^2)^{\sqrt x}\Big[\dfrac{\ln(1+x^2)}{2\sqrt x}+\dfrac{2x\sqrt x}{1+x^2}\Big] y ′ = ( 1 + x 2 ) x [ 2 x ln ( 1 + x 2 ) + 1 + x 2 2 x x ]
先写成 e 的幂，指数 x ln ( 1 + x 2 ) \sqrt x\ln(1+x^2) x ln ( 1 + x 2 )
③ (3) 隐函数二阶。 x = 0 x=0 x = 0 e y = e \e^y=\e e y = e y = 1 y=1 y = 1 e y y ′ + y + x y ′ = 0 \e^yy'+y+xy'=0 e y y ′ + y + x y ′ = 0 y ′ ( 0 ) = − 1 e y'(0)=-\dfrac1\e y ′ ( 0 ) = − e 1 e y ( y ′ ) 2 + e y y ′ ′ + 2 y ′ + x y ′ ′ = 0 \e^y(y')^2+\e^yy''+2y'+xy''=0 e y ( y ′ ) 2 + e y y ′′ + 2 y ′ + x y ′′ = 0 1 e + e y ′ ′ − 2 e = 0 \dfrac1\e+\e y''-\dfrac2\e=0 e 1 + e y ′′ − e 2 = 0 y ′ ′ ( 0 ) = 1 e 2 y''(0)=\dfrac1{\e^2} y ′′ ( 0 ) = e 2 1
先代点求出 y y y y ′ y' y ′ x y xy x y 2 y ′ + x y ′ ′ 2y'+xy'' 2 y ′ + x y ′′
④ (4) 取对数后微分。 ln x = y ln y \ln x=y\ln y ln x = y ln y d x x = ( ln y + 1 ) d y \dfrac{\dd x}x=(\ln y+1)\dd y x d x = ( ln y + 1 ) d y d y = d x x ( 1 + ln y ) \dd y=\dfrac{\dd x}{x(1+\ln y)} d y = x ( 1 + ln y ) d x
一阶微分形式不变，两边直接写 d x \dd x d x d y \dd y d y d x \dd x d x
⑤ (5) 复合函数。 d y d x = f ′ ( 3 x − 2 3 x + 2 ) ⋅ 12 ( 3 x + 2 ) 2 \dfrac{\dd y}{\dd x}=f'\Big(\dfrac{3x-2}{3x+2}\Big)\cdot\dfrac{12}{(3x+2)^2} d x d y = f ′ ( 3 x + 2 3 x − 2 ) ⋅ ( 3 x + 2 ) 2 12 x = 0 x=0 x = 0 f ′ ( − 1 ) ⋅ 3 = 3 arcsin 1 = 3 π 2 f'(-1)\cdot3=3\arcsin1=\dfrac{3\pi}2 f ′ ( − 1 ) ⋅ 3 = 3 arcsin 1 = 2 3 π
和李林第二章 §2 例 5 同型，只是 f ′ f' f ′ arcsin x 2 \arcsin x^2 arcsin x 2 x = 0 x=0 x = 0 − 1 -1 − 1 arcsin 1 = π 2 \arcsin1=\frac\pi2 arcsin 1 = 2 π
答案：(1) e x 1 + x 2 ( sin x + cos x − x sin x 1 + x 2 ) \dfrac{\e^x}{\sqrt{1+x^2}}\Big(\sin x+\cos x-\dfrac{x\sin x}{1+x^2}\Big) 1 + x 2 e x ( sin x + cos x − 1 + x 2 x sin x ) ( 1 + x 2 ) x [ ln ( 1 + x 2 ) 2 x + 2 x x 1 + x 2 ] (1+x^2)^{\sqrt x}\Big[\dfrac{\ln(1+x^2)}{2\sqrt x}+\dfrac{2x\sqrt x}{1+x^2}\Big] ( 1 + x 2 ) x [ 2 x ln ( 1 + x 2 ) + 1 + x 2 2 x x ] 1 e 2 \dfrac1{\e^2} e 2 1 d x x ( 1 + ln y ) \dfrac{\dd x}{x(1+\ln y)} x ( 1 + ln y ) d x 3 π 2 \dfrac{3\pi}2 2 3 π
练习 21 李林 第二章 习题 解答 (2) · p57
（1）设
y = e x sin x y=\e^x\sin x y = e x sin x ，求
y ( n ) y^{(n)} y ( n ) ；（2）设
y = x 2 ln ( 1 + x ) y=x^2\ln(1+x) y = x 2 ln ( 1 + x ) ，求
y ( 10 ) ( 0 ) y^{(10)}(0) y ( 10 ) ( 0 ) ；（3）设
f ( x ) = 5 x − 1 2 x 2 + x − 1 f(x)=\dfrac{5x-1}{2x^2+x-1} f ( x ) = 2 x 2 + x − 1 5 x − 1 ，求
f ( n ) ( 0 ) f^{(n)}(0) f ( n ) ( 0 ) 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) 找规律。 y ′ = e x ( sin x + cos x ) = 2 e x sin ( x + π 4 ) y'=\e^x(\sin x+\cos x)=\sqrt2\,\e^x\sin\Big(x+\dfrac\pi4\Big) y ′ = e x ( sin x + cos x ) = 2 e x sin ( x + 4 π ) 2 \sqrt2 2 π 4 \frac\pi4 4 π y ( n ) = ( 2 ) n e x sin ( x + n π 4 ) y^{(n)}=(\sqrt2)^n\e^x\sin\Big(x+\dfrac{n\pi}4\Big) y ( n ) = ( 2 ) n e x sin ( x + 4 nπ )
辅助角公式把 sin x + cos x \sin x+\cos x sin x + cos x
② (2) 泰勒系数。 x 10 x^{10} x 10 ln ( 1 + x ) \ln(1+x) ln ( 1 + x ) − x 8 8 -\dfrac{x^8}8 − 8 x 8 y ( 10 ) ( 0 ) = 10 ! × ( − 1 8 ) = − 453600 y^{(10)}(0)=10!\times\Big(-\dfrac18\Big)=-453600 y ( 10 ) ( 0 ) = 10 ! × ( − 8 1 ) = − 453600
与李林第二章 §2 例 11 同型：f ( n ) ( 0 ) = n ! × ( x n f^{(n)}(0)=n!\times(x^n f ( n ) ( 0 ) = n ! × ( x n ) ) )
③ (3) 拆项。 f ( x ) = 1 2 x − 1 + 2 x + 1 f(x)=\dfrac1{2x-1}+\dfrac2{x+1} f ( x ) = 2 x − 1 1 + x + 1 2 ( 1 2 x − 1 ) ( n ) = ( − 1 ) n n ! 2 n ( 2 x − 1 ) n + 1 \Big(\dfrac1{2x-1}\Big)^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!\,2^n}{(2x-1)^{n+1}} ( 2 x − 1 1 ) ( n ) = ( 2 x − 1 ) n + 1 ( − 1 ) n n ! 2 n ( 2 x + 1 ) ( n ) = 2 ( − 1 ) n n ! ( x + 1 ) n + 1 \Big(\dfrac2{x+1}\Big)^{(n)}=\dfrac{2(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}} ( x + 1 2 ) ( n ) = ( x + 1 ) n + 1 2 ( − 1 ) n n ! x = 0 x=0 x = 0 f ( n ) ( 0 ) = n ! [ 2 ( − 1 ) n − 2 n ] f^{(n)}(0)=n!\big[2(-1)^n-2^n\big] f ( n ) ( 0 ) = n ! [ 2 ( − 1 ) n − 2 n ]
分母能因式分解就先拆成两个简单分式，再套 ( 1 a x + b ) ( n ) \big(\frac1{ax+b}\big)^{(n)} ( a x + b 1 ) ( n ) ( 2 x − 1 ) n + 1 (2x-1)^{n+1} ( 2 x − 1 ) n + 1 ( − 1 ) n + 1 (-1)^{n+1} ( − 1 ) n + 1
答案：(1) ( 2 ) n e x sin ( x + n π 4 ) (\sqrt2)^n\e^x\sin\big(x+\frac{n\pi}4\big) ( 2 ) n e x sin ( x + 4 nπ ) − 10 ! 8 = − 453600 -\frac{10!}8=-453600 − 8 10 ! = − 453600 n ! [ 2 ( − 1 ) n − 2 n ] n!\big[2(-1)^n-2^n\big] n ! [ 2 ( − 1 ) n − 2 n ]
练习 22 李林 第二章 习题 解答 (3) · p57
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 满足
a f ( x ) + b f ( 1 x ) = c x af(x)+bf\Big(\dfrac1x\Big)=\dfrac cx a f ( x ) + b f ( x 1 ) = x c ，其中
a , b , c a,b,c a , b , c 为常数，且
∣ a ∣ ≠ ∣ b ∣ |a|\ne|b| ∣ a ∣ = ∣ b ∣ ，求
f ′ ( x ) f'(x) f ′ ( x ) 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 再造一个方程。 把 x x x 1 x \dfrac1x x 1 a f ( 1 x ) + b f ( x ) = c x af\Big(\dfrac1x\Big)+bf(x)=cx a f ( x 1 ) + b f ( x ) = c x
原式对所有 x ≠ 0 x\ne0 x = 0 f ( x ) f(x) f ( x ) f ( 1 x ) f\big(\frac1x\big) f ( x 1 )
② 解出 f ( x ) f(x) f ( x ) 原式乘 a a a b b b ( a 2 − b 2 ) f ( x ) = a c x − b c x (a^2-b^2)f(x)=\dfrac{ac}x-bcx ( a 2 − b 2 ) f ( x ) = x a c − b c x f ( x ) = c a 2 − b 2 ( a x − b x ) f(x)=\dfrac c{a^2-b^2}\Big(\dfrac ax-bx\Big) f ( x ) = a 2 − b 2 c ( x a − b x )
∣ a ∣ ≠ ∣ b ∣ |a|\ne|b| ∣ a ∣ = ∣ b ∣ a 2 − b 2 ≠ 0 a^2-b^2\ne0 a 2 − b 2 = 0
③ 求导。 f ′ ( x ) = − c a 2 − b 2 ( a x 2 + b ) f'(x)=-\dfrac c{a^2-b^2}\Big(\dfrac a{x^2}+b\Big) f ′ ( x ) = − a 2 − b 2 c ( x 2 a + b )
a x \frac ax x a − a x 2 -\frac a{x^2} − x 2 a − b x -bx − b x − b -b − b
答案：f ′ ( x ) = − c ( a + b x 2 ) ( a 2 − b 2 ) x 2 f'(x)=-\dfrac{c(a+bx^2)}{(a^2-b^2)x^2} f ′ ( x ) = − ( a 2 − b 2 ) x 2 c ( a + b x 2 )
练习 23 李林 第二章 习题 解答 (4) · p57
设
f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ，
f ′ ( 0 ) = 1 f'(0)=1 f ′ ( 0 ) = 1 ，求
lim n → ∞ [ f ( 1 n 2 ) + f ( 2 n 2 ) + ⋯ + f ( n n 2 ) ] \lim\limits_{n\to\infty}\Big[f\Big(\dfrac1{n^2}\Big)+f\Big(\dfrac2{n^2}\Big)+\cdots+f\Big(\dfrac n{n^2}\Big)\Big] n → ∞ lim [ f ( n 2 1 ) + f ( n 2 2 ) + ⋯ + f ( n 2 n ) ] 。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 一阶展开。 由 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) = 1 f'(0)=1 f ′ ( 0 ) = 1 f ( t ) = t + o ( t ) f(t)=t+o(t) f ( t ) = t + o ( t ) ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∣ t ∣ |t| ∣ t ∣ ∣ f ( t ) − t ∣ ≤ ε ∣ t ∣ |f(t)-t|\le\varepsilon|t| ∣ f ( t ) − t ∣ ≤ ε ∣ t ∣
1.3 节结论 2：“在一点可导，就能在这一点一阶展开”。
② 主项与误差。 主项 ∑ k = 1 n k n 2 = n + 1 2 n → 1 2 \sum\limits_{k=1}^n\dfrac k{n^2}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12 k = 1 ∑ n n 2 k = 2 n n + 1 → 2 1 n n n k n 2 ≤ 1 n \frac k{n^2}\le\frac1n n 2 k ≤ n 1 ∣ ∑ [ f ( k n 2 ) − k n 2 ] ∣ ≤ ε ∑ k n 2 ≤ ε \Big|\sum\Big[f\Big(\dfrac k{n^2}\Big)-\dfrac k{n^2}\Big]\Big|\le\varepsilon\sum\dfrac k{n^2}\le\varepsilon ∑ [ f ( n 2 k ) − n 2 k ] ≤ ε ∑ n 2 k ≤ ε
每一项的误差不超过它本身的 ε \varepsilon ε ε \varepsilon ε
③ 结论。 极限为 1 2 \dfrac12 2 1
误差可以任意小，只剩主项的极限。
答案：1 2 \frac12 2 1
练习 24 李林 第二章 习题 解答 (5) · p57
设
f ( x ) f(x) f ( x ) 二阶可导，
f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 ，
φ ( x ) = { f ( x ) − e − x x , x ≠ 0 k , x = 0 \varphi(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)-\e^{-x}}x,&x\ne0\\k,&x=0\end{cases} φ ( x ) = ⎩ ⎨ ⎧ x f ( x ) − e − x , k , x = 0 x = 0 在
x = 0 x=0 x = 0 处连续。（1）求
k k k 的值；（2）证明：
φ ′ ( x ) \varphi'(x) φ ′ ( x ) 在
x = 0 x=0 x = 0 处连续。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① (1) k = lim x → 0 f ( x ) − e − x x = lim [ f ( x ) − f ( 0 ) x − e − x − 1 x ] = f ′ ( 0 ) + 1 k=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-\e^{-x}}x=\lim\Big[\dfrac{f(x)-f(0)}x-\dfrac{\e^{-x}-1}x\Big]=f'(0)+1 k = x → 0 lim x f ( x ) − e − x = lim [ x f ( x ) − f ( 0 ) − x e − x − 1 ] = f ′ ( 0 ) + 1
f ( 0 ) = 1 = e 0 f(0)=1=\e^0 f ( 0 ) = 1 = e 0 f f f e − x \e^{-x} e − x − 1 -1 − 1
② (2) 用定义求 φ ′ ( 0 ) \varphi'(0) φ ′ ( 0 ) φ ′ ( 0 ) = lim f ( x ) − e − x − [ f ′ ( 0 ) + 1 ] x x 2 \varphi'(0)=\lim\dfrac{f(x)-\e^{-x}-[f'(0)+1]x}{x^2} φ ′ ( 0 ) = lim x 2 f ( x ) − e − x − [ f ′ ( 0 ) + 1 ] x f ( x ) = 1 + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 x 2 + o ( x 2 ) f(x)=1+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}2x^2+o(x^2) f ( x ) = 1 + f ′ ( 0 ) x + 2 f ′′ ( 0 ) x 2 + o ( x 2 ) e − x = 1 − x + x 2 2 + o ( x 2 ) \e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}2+o(x^2) e − x = 1 − x + 2 x 2 + o ( x 2 ) φ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) − 1 2 \varphi'(0)=\dfrac{f''(0)-1}2 φ ′ ( 0 ) = 2 f ′′ ( 0 ) − 1
分段点处用定义求导；f f f x 2 x^2 x 2
③ (2) 求 lim x → 0 φ ′ ( x ) \lim\limits_{x\to0}\varphi'(x) x → 0 lim φ ′ ( x ) x ≠ 0 x\ne0 x = 0 φ ′ ( x ) = x [ f ′ ( x ) + e − x ] − [ f ( x ) − e − x ] x 2 \varphi'(x)=\dfrac{x[f'(x)+\e^{-x}]-[f(x)-\e^{-x}]}{x^2} φ ′ ( x ) = x 2 x [ f ′ ( x ) + e − x ] − [ f ( x ) − e − x ] f ′ ( x ) = f ′ ( 0 ) + f ′ ′ ( 0 ) x + o ( x ) f'(x)=f'(0)+f''(0)x+o(x) f ′ ( x ) = f ′ ( 0 ) + f ′′ ( 0 ) x + o ( x ) e − x = 1 − x + o ( x ) \e^{-x}=1-x+o(x) e − x = 1 − x + o ( x ) = f ′ ′ ( 0 ) − 1 2 x 2 + o ( x 2 ) =\dfrac{f''(0)-1}2x^2+o(x^2) = 2 f ′′ ( 0 ) − 1 x 2 + o ( x 2 ) lim x → 0 φ ′ ( x ) = f ′ ′ ( 0 ) − 1 2 = φ ′ ( 0 ) \lim\limits_{x\to0}\varphi'(x)=\dfrac{f''(0)-1}2=\varphi'(0) x → 0 lim φ ′ ( x ) = 2 f ′′ ( 0 ) − 1 = φ ′ ( 0 )
f ′ f' f ′ f ′ f' f ′ x x x
答案：(1) k = f ′ ( 0 ) + 1 k=f'(0)+1 k = f ′ ( 0 ) + 1 φ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) − 1 2 \varphi'(0)=\frac{f''(0)-1}2 φ ′ ( 0 ) = 2 f ′′ ( 0 ) − 1 f f f f ′ f' f ′ lim x → 0 φ ′ ( x ) \lim\limits_{x\to0}\varphi'(x) x → 0 lim φ ′ ( x )
练习 25 李林 第四章 习题 选择 (1) · p106
方程
∣ x ∣ 1 4 + ∣ x ∣ 1 2 = cos x |x|^{\frac14}+|x|^{\frac12}=\cos x ∣ x ∣ 4 1 + ∣ x ∣ 2 1 = cos x 不同实根的个数为（ ）
（A）无实根 （B）有且只有一个实根 （C）有且只有两个实根 （D）无法确定
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 偶函数，看 x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 令 F ( x ) = x 1 4 + x 1 2 − cos x F(x)=x^{\frac14}+x^{\frac12}-\cos x F ( x ) = x 4 1 + x 2 1 − cos x x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 F ( 0 ) = − 1 < 0 F(0)=-1<0 F ( 0 ) = − 1 < 0
方程两边都是偶函数，正根和负根成对出现。
② 正半轴恰有一根。 x ≥ 1 x\ge1 x ≥ 1 ≥ 2 > 1 ≥ cos x \ge2>1\ge\cos x ≥ 2 > 1 ≥ cos x 0 < x < 1 0<x<1 0 < x < 1 F ′ ( x ) = 1 4 x − 3 4 + 1 2 x − 1 2 + sin x > 0 F'(x)=\dfrac14x^{-\frac34}+\dfrac12x^{-\frac12}+\sin x>0 F ′ ( x ) = 4 1 x − 4 3 + 2 1 x − 2 1 + sin x > 0 F F F F ( 1 ) = 2 − cos 1 > 0 F(1)=2-\cos1>0 F ( 1 ) = 2 − cos 1 > 0
零点定理保证有根，单调保证只有一个；x ≥ 1 x\ge1 x ≥ 1
③ 结论。 负半轴对称还有一个，共两个实根，所以选（C）。
偶函数的图形关于 y y y x 0 x_0 x 0 − x 0 -x_0 − x 0
答案：C
练习 26 李林 第四章 习题 解答 (1) · p106
求
y = x + x x 2 − 1 y=x+\dfrac x{x^2-1} y = x + x 2 − 1 x 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 两个导数。 定义域 x ≠ ± 1 x\ne\pm1 x = ± 1 y ′ = 1 − x 2 + 1 ( x 2 − 1 ) 2 = x 2 ( x 2 − 3 ) ( x 2 − 1 ) 2 y'=1-\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2} y ′ = 1 − ( x 2 − 1 ) 2 x 2 + 1 = ( x 2 − 1 ) 2 x 2 ( x 2 − 3 ) y ′ ′ = 2 x ( x 2 + 3 ) ( x 2 − 1 ) 3 y''=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3} y ′′ = ( x 2 − 1 ) 3 2 x ( x 2 + 3 )
先求导再因式分解，零点一眼看出来；奇函数关于原点对称，可以只算一半来核对。
② 单调与极值。 ∣ x ∣ > 3 |x|>\sqrt3 ∣ x ∣ > 3 y ′ > 0 y'>0 y ′ > 0 ∣ x ∣ < 3 |x|<\sqrt3 ∣ x ∣ < 3 x ≠ 0 , ± 1 x\ne0,\pm1 x = 0 , ± 1 y ′ < 0 y'<0 y ′ < 0 ( − ∞ , − 3 ] (-\infty,-\sqrt3] ( − ∞ , − 3 ] [ 3 , + ∞ ) [\sqrt3,+\infty) [ 3 , + ∞ ) [ − 3 , − 1 ) [-\sqrt3,-1) [ − 3 , − 1 ) ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ( 1 , 3 ] (1,\sqrt3] ( 1 , 3 ] y ( − 3 ) = − 3 3 2 y(-\sqrt3)=-\dfrac{3\sqrt3}2 y ( − 3 ) = − 2 3 3 y ( 3 ) = 3 3 2 y(\sqrt3)=\dfrac{3\sqrt3}2 y ( 3 ) = 2 3 3
x = 0 x=0 x = 0 y ′ = 0 y'=0 y ′ = 0 y ′ y' y ′ y ( 3 ) = 3 + 3 2 y(\sqrt3)=\sqrt3+\frac{\sqrt3}2 y ( 3 ) = 3 + 2 3
③ 凹凸与拐点。 y ′ ′ y'' y ′′ x ( x 2 − 1 ) 3 \dfrac x{(x^2-1)^3} ( x 2 − 1 ) 3 x ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
x = ± 1 x=\pm1 x = ± 1 x = 0 x=0 x = 0 y ′ ′ y'' y ′′
答案：增区间 ( − ∞ , − 3 ] (-\infty,-\sqrt3] ( − ∞ , − 3 ] [ 3 , + ∞ ) [\sqrt3,+\infty) [ 3 , + ∞ ) [ − 3 , − 1 ) [-\sqrt3,-1) [ − 3 , − 1 ) ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ( 1 , 3 ] (1,\sqrt3] ( 1 , 3 ] − 3 3 2 -\frac{3\sqrt3}2 − 2 3 3 3 3 2 \frac{3\sqrt3}2 2 3 3 ( − 1 , 0 ) (-1,0) ( − 1 , 0 ) ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 )
练习 27 李林 第四章 习题 解答 (2) · p106
证明：
ln b a > 2 ( b − a ) b + a \ln\dfrac ba>\dfrac{2(b-a)}{b+a} ln a b > b + a 2 ( b − a ) （
0 < a < b 0<a<b 0 < a < b ）。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 作辅助函数。 把 b b b x x x φ ( x ) = ln x − ln a − 2 ( x − a ) x + a \varphi(x)=\ln x-\ln a-\dfrac{2(x-a)}{x+a} φ ( x ) = ln x − ln a − x + a 2 ( x − a ) x ≥ a x\ge a x ≥ a φ ( a ) = 0 \varphi(a)=0 φ ( a ) = 0
4.5 节的套路：把一个端点换成变量，端点处函数值为 0。
② 求导定号。 φ ′ ( x ) = 1 x − 4 a ( x + a ) 2 = ( x − a ) 2 x ( x + a ) 2 > 0 \varphi'(x)=\dfrac1x-\dfrac{4a}{(x+a)^2}=\dfrac{(x-a)^2}{x(x+a)^2}>0 φ ′ ( x ) = x 1 − ( x + a ) 2 4 a = x ( x + a ) 2 ( x − a ) 2 > 0 x > a x>a x > a φ \varphi φ φ ( b ) > φ ( a ) = 0 \varphi(b)>\varphi(a)=0 φ ( b ) > φ ( a ) = 0
通分后分子恰好是完全平方 ( x + a ) 2 − 4 a x = ( x − a ) 2 (x+a)^2-4ax=(x-a)^2 ( x + a ) 2 − 4 a x = ( x − a ) 2
答案：证明题。思路：作 φ ( x ) = ln x − ln a − 2 ( x − a ) x + a \varphi(x)=\ln x-\ln a-\frac{2(x-a)}{x+a} φ ( x ) = ln x − ln a − x + a 2 ( x − a ) φ ( a ) = 0 \varphi(a)=0 φ ( a ) = 0 φ ′ ( x ) = ( x − a ) 2 x ( x + a ) 2 > 0 \varphi'(x)=\frac{(x-a)^2}{x(x+a)^2}>0 φ ′ ( x ) = x ( x + a ) 2 ( x − a ) 2 > 0
练习 28 李林 第四章 习题 解答 (3) · p106
设
f ( x ) = { x 1 x , x > 0 0 , x = 0 f(x)=\begin{cases}x^{\frac1x},&x>0\\0,&x=0\end{cases} f ( x ) = { x x 1 , 0 , x > 0 x = 0 ，讨论
f ( x ) f(x) f ( x ) 的连续性，并求
f ( x ) f(x) f ( x ) 的单调区间、极值与渐近线。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 连续性。 x > 0 x>0 x > 0 lim x → 0 + x 1 x = lim e ln x x = 0 = f ( 0 ) \lim\limits_{x\to0^+}x^{\frac1x}=\lim\e^{\frac{\ln x}x}=0=f(0) x → 0 + lim x x 1 = lim e x l n x = 0 = f ( 0 ) f f f [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [ 0 , + ∞ )
x → 0 + x\to0^+ x → 0 + ln x → − ∞ \ln x\to-\infty ln x → − ∞ 1 x → + ∞ \frac1x\to+\infty x 1 → + ∞ ln x x → − ∞ \frac{\ln x}x\to-\infty x l n x → − ∞
② 单调与极值。 f ′ ( x ) = x 1 x ⋅ 1 − ln x x 2 f'(x)=x^{\frac1x}\cdot\dfrac{1-\ln x}{x^2} f ′ ( x ) = x x 1 ⋅ x 2 1 − ln x ( 0 , e ) (0,\e) ( 0 , e ) f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 ( e , + ∞ ) (\e,+\infty) ( e , + ∞ ) f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 [ 0 , e ] [0,\e] [ 0 , e ] [ e , + ∞ ) [\e,+\infty) [ e , + ∞ ) f ( e ) = e 1 e f(\e)=\e^{\frac1\e} f ( e ) = e e 1
幂指函数写成 e ln x x \e^{\frac{\ln x}x} e x l n x 1 − ln x 1-\ln x 1 − ln x
③ 渐近线。 lim x → + ∞ x 1 x = e 0 = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=\e^0=1 x → + ∞ lim x x 1 = e 0 = 1 y = 1 y=1 y = 1 f f f
x → + ∞ x\to+\infty x → + ∞ ln x x → 0 \frac{\ln x}x\to0 x l n x → 0
答案：在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [ 0 , + ∞ ) [ 0 , e ] [0,\e] [ 0 , e ] [ e , + ∞ ) [\e,+\infty) [ e , + ∞ ) f ( e ) = e 1 e f(\e)=\e^{\frac1\e} f ( e ) = e e 1 y = 1 y=1 y = 1
练习 29 李林 第四章 习题 解答 (4)(5) · p106
（1）比较
π e \pi^\e π e 与
e π \e^\pi e π 的大小；（2）设当
x > 0 x>0 x > 0 时，方程
ln a = ln x x \ln a=\dfrac{\ln x}x ln a = x ln x 有实根，求
a a a 的取值范围。
答案与提示先遮住，自己试 5 分钟
① 同一个函数。 g ( x ) = ln x x g(x)=\dfrac{\ln x}x g ( x ) = x ln x g ′ ( x ) = 1 − ln x x 2 g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2} g ′ ( x ) = x 2 1 − ln x g g g ( 0 , e ) (0,\e) ( 0 , e ) ( e , + ∞ ) (\e,+\infty) ( e , + ∞ ) g ( e ) = 1 e g(\e)=\dfrac1\e g ( e ) = e 1
两问都归结为 ln x x \frac{\ln x}x x l n x
② (1) π > e \pi>\e π > e g ( π ) < g ( e ) g(\pi)<g(\e) g ( π ) < g ( e ) ln π π < 1 e \dfrac{\ln\pi}\pi<\dfrac1\e π ln π < e 1 e ln π < π \e\ln\pi<\pi e ln π < π π e < e π \pi^\e<\e^\pi π e < e π
比较两个幂先取对数；g g g ( e , + ∞ ) (\e,+\infty) ( e , + ∞ )
③ (2) x → 0 + x\to0^+ x → 0 + g → − ∞ g\to-\infty g → − ∞ g g g ( − ∞ , 1 e ] \Big(-\infty,\dfrac1\e\Big] ( − ∞ , e 1 ] ⟺ ln a ≤ 1 e ⟺ 0 < a ≤ e 1 e \iff\ln a\le\dfrac1\e\iff0<a\le\e^{\frac1\e} ⟺ ln a ≤ e 1 ⟺ 0 < a ≤ e e 1
方程有根，就是常数 ln a \ln a ln a g g g
答案：(1) π e < e π \pi^\e<\e^\pi π e < e π 0 < a ≤ e 1 e 0<a\le\e^{\frac1\e} 0 < a ≤ e e 1
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