微分方程

① 写出分子。$f(1+\Delta x)-f(1)=(1+\Delta x)^2-1=2\Delta x+(\Delta x)^2$。

定义里的分子就是“$Q$ 比 $P$ 高了多少”，先把它算出来。

② 除以 $\Delta x$。$\dfrac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2+\Delta x$。

这就是割线 $PQ$ 的斜率。$\Delta x=1$ 时是 $3$，$\Delta x=0.5$ 时是 $2.5$，正好是图里两条割线。

③ 让 $\Delta x\to0$。$2+\Delta x\to2$，所以 $f'(1)=2$。

$Q$ 贴到 $P$ 上时，割线变成切线。

答案：$f'(1)=2$，就是图中红色切线的斜率

① 速度是路程的导数。$v(t)=s'(t)=20-4t$，所以 $v(2)=12$（米/秒）。

“路程对时间的变化率”就是速度。

② 加速度是速度的导数。$a(t)=v'(t)=s''(t)=-4$（米/秒²）。

加速度是速度变化的快慢，所以对速度再求一次导；结果是负数，说明速度在变小，车在减速。

③ 停下就是速度为 0。$20-4t=0$，$t=5$ 秒。此时 $s(5)=50$ 米。

停车 = “路程不再增加” = 导数为 0。

答案：$v(2)=12$ 米/秒，$a=-4$ 米/秒²，5 秒后停下（刹车距离 50 米）

① 认结构。$x$ 乘 $\e^{2x+1}$，用乘积法则；$\e^{2x+1}$ 是复合函数，里层 $2x+1$ 的导数是 2。

先看“最外面”是乘、除还是复合，再决定用哪条法则。

② 套乘积法则。$(x)'\cdot\e^{2x+1}+x\cdot(\e^{2x+1})'=\e^{2x+1}+x\cdot2\e^{2x+1}$。

乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$：两个因子轮流求导、另一个不动，再相加。$(\e^{2x+1})'$ 是复合函数：外层 $\e^{\square}$ 求导不变，再乘里层 $2x+1$ 的导数 2。

③ 合并。$=(1+2x)\e^{2x+1}$。

提公因式 $\e^{2x+1}$，后面代回方程时好消项。

答案：$(1+2x)\e^{2x+1}$

① 乘积法则。$(\e^xy)'=\e^x y+\e^x y'=\e^x(y'+y)$。

$y$ 是函数，不是常数，所以 $y$ 那一项也要求导，得到 $y'$。

② 商的法则。$\Big(\dfrac yx\Big)'=\dfrac{y'\cdot x-y\cdot1}{x^2}=\dfrac{xy'-y}{x^2}$。

商的法则 $\big(\frac uv\big)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$：分子是“上导乘下 − 上乘下导”，顺序不能反。这里 $u=y$ 是函数，导数写 $y'$；$v=x$ 的导数是 1。

③ 记住它们的用处。如果某个方程左边恰好是 $y'+y$，乘上 $\e^x$ 就变成 $(\e^xy)'$；如果左边是 $xy'-y$，除以 $x^2$ 就变成 $\big(\frac yx\big)'$。

把一堆项“凑成一个整体的导数”，是解一阶线性方程的核心技巧（1.3 节的积分因子）。

答案：$(\e^xy)'=\e^x(y'+y)$，$\big(\frac yx\big)'=\frac{xy'-y}{x^2}$

① 求 $y'$。乘积法则：$y'=(\e^{-x})'\sin x+\e^{-x}(\sin x)'=-\e^{-x}\sin x+\e^{-x}\cos x$。

$\e^{-x}$ 的导数用链式法则：外层 $\e^{u}$ 求导不变，里层 $-x$ 求导得 $-1$。

② 代入左边。$y'+y=(-\e^{-x}\sin x+\e^{-x}\cos x)+\e^{-x}\sin x=\e^{-x}\cos x$，和右边相同。

“把函数代进方程，两边恒等”就是“它是方程的解”的意思，这是 A.8 的核心。

答案：成立。这正是 2011 数一(10) 的答案（例 1.11）

① 两边积分。$y=\int\Big(3x^2-\frac2x\Big)\dx=x^3-2\ln x+C$。

$y'$ 已知，$y$ 就是它的原函数；$x>0$，所以 $\ln|x|$ 写成 $\ln x$。

② 用 $y(1)=0$ 定 $C$。$1-0+C=0$，$C=-1$。

积分只能确定到“差一个常数”，多给一个条件才能把常数定死——这就是后面说的“初始条件”。

③ 验算。$(x^3-2\ln x-1)'=3x^2-\frac2x$ ✓，$y(1)=1-0-1=0$ ✓。

积分算完求一次导，看能不能回到原来的式子。这个习惯能救很多分。

答案：$y=x^3-2\ln x-1$

① 先算到 $A$。$\int_0^A\e^{-2x}\dx=\Big[-\frac12\e^{-2x}\Big]_0^A=\frac12-\frac12\e^{-2A}$。

$\e^{-2x}$ 的原函数是 $-\frac12\e^{-2x}$（积分表第三行，$k=-2$）。

② 让 $A\to+\infty$。$\e^{-2A}\to0$，所以结果是 $\frac12$。

反常积分 = 普通定积分再取极限。

答案：$\frac12$

① $\int x\e^x\dx$：幂函数 $x$ 当 $u$。$u=x$，$\dd v=\e^x\dx$（$v=\e^x$）：$\int x\e^x\dx=x\e^x-\int\e^x\dx=(x-1)\e^x+C$。

$x$ 求导变成 1，剩下的积分立刻能算。

② $\int x\ln x\dx$：对数 $\ln x$ 当 $u$。$u=\ln x$，$\dd v=x\,\dx$（$v=\frac{x^2}2$）：$\int x\ln x\dx=\frac{x^2}2\ln x-\int\frac{x^2}2\cdot\frac1x\dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$。

口诀里“对”排在“幂”前面：$\ln x$ 求导变成 $\frac1x$，和 $x^2$ 一乘就简单了。反过来选会越积越乱。

③ 验算。$\big((x-1)\e^x\big)'=\e^x+(x-1)\e^x=x\e^x$ ✓；$\big(\frac{x^2}2\ln x-\frac{x^2}4\big)'=x\ln x+\frac x2-\frac x2=x\ln x$ ✓。

不定积分算完，求一次导看能不能回到被积函数，是最可靠的检查：积分容易错符号和系数，求导几乎不会错。

答案：$(x-1)\e^x+C$；$\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$

① 分部两次，出现“循环”。记 $I=\int\e^x\sin x\dx$。$I=\e^x\sin x-\int\e^x\cos x\dx=\e^x\sin x-\Big(\e^x\cos x+\int\e^x\sin x\dx\Big)=\e^x(\sin x-\cos x)-I$。

两次都把 $\e^x$ 当 $\dd v$；第二次积完又回到了 $I$，于是得到一个关于 $I$ 的方程。

② 解出 $I$。$2I=\e^x(\sin x-\cos x)$，$I=\frac12\e^x(\sin x-\cos x)+C$。

把 $I$ 当成一个未知数，这就是一个一次方程：右边的 $-I$ 移到左边合并成 $2I$，再除以 2。不定积分最后要补上 $+C$。

③ 反常积分。$\int_0^A x\e^{-x}\dx=\big[-(x+1)\e^{-x}\big]_0^A=1-(A+1)\e^{-A}\to1$。

$(A+1)\e^{-A}\to0$：指数函数比多项式长得快得多。这个结果在 3.11 节（2020 数二(13)）直接用到。

答案：$\frac12\e^x(\sin x-\cos x)+C$；$1$