线性代数模拟卷

① $(kA)^*=k^{n-1}A^*$。$(2A)^*=2^2A^*=4A^*$。

$(kA)^*$ 的每个元素是 $kA$ 的 2 阶代数余子式，各提出 $k^2$。也可以直接算：$(2A)^*=|2A|(2A)^{-1}=(-16)\cdot\frac12A^{-1}=-8A^{-1}$。

② 统一换成 $A^{-1}$。$A^*=|A|A^{-1}=-2A^{-1}$，所以 $(2A)^*+4A^{-1}=-8A^{-1}+4A^{-1}=-4A^{-1}$。

伴随矩阵和逆矩阵混在一起时，先统一成一种（通常换成 $A^{-1}$）再合并。

③ 取行列式。$|-4A^{-1}|=(-4)^3|A^{-1}|=-64\cdot\big(-\frac12\big)=32$。所以选（B）。

三个常见错误正好对应三个干扰项：把 $(2A)^*$ 当成 $2A^*$，得 $0$；把 $(-4)^3$ 算成 $64$，得 $-32$；漏乘 $|A^{-1}|=\frac1{|A|}$，得 $-64$。

答案：B

没拿满分就回看：2.4 逆矩阵与伴随矩阵伴随矩阵的运算律

① 把解读成列关系。$(1,0,-2,1)\T$ 是解 ⟺ $\ba_1-2\ba_3+\ba_4=\bo$，所以 $\ba_4=-\ba_1+2\ba_3$，(C) 正确。

$A\bx=x_1\ba_1+x_2\ba_2+x_3\ba_3+x_4\ba_4$：解就是“让列的组合等于零向量”的那组系数。

② 列关系只有这一个方向。任何一个列关系都给出 $A\bx=\bo$ 的一个解，因而必须是 $(1,0,-2,1)\T$ 的倍数。(A) 对应的解形如 $(1,-c_2,-c_3,0)\T$，第 4 个分量为 0，不是它的倍数；(B) 对应的解第 2 个分量为 $-1\ne0$；(D) 对应一个第 4 个分量为 0 的非零解，同样不可能。所以选（C）。

基础解系只有一个向量，说明 $\rk(A)=3$，列之间本质上只有一个关系：$\ba_1,\ba_3,\ba_4$ 绑在一起，$\ba_2$ 不参与。

答案：C

没拿满分就回看：4.3 齐次方程组与基础解系2019 数一(13)2011 数一(6)

① 特征值只能是 1 或 2，而且两个都出现。$A\bxi=\lambda\bxi$ 代入得 $(\lambda-1)(\lambda-2)\bxi=\bo$，所以 $\lambda\in\{1,2\}$。若 2 不是特征值，则 $A-2E$ 可逆，由 $(A-E)(A-2E)=O$ 得 $A=E$，矛盾；同理 1 也必须是特征值。

化零多项式只给出特征值的范围；“$A\ne E,\ A\ne2E$”保证两个值都取到。

② 秩的等式。$(A-E)(A-2E)=O$ ⟹ $\rk(A-E)+\rk(A-2E)\le3$；又 $(A-E)-(A-2E)=E$ ⟹ $\rk(A-E)+\rk(A-2E)\ge\rk(E)=3$。所以等于 3，(C) 正确。

“$XY=O$ ⟹ 秩和 $\le n$”配上“$\rk(X)+\rk(Y)\ge\rk(X-Y)$”，夹出等号（笔记 7.3 节）。

③ 排除其余。两个特征值的无关特征向量共有 $\big(3-\rk(A-E)\big)+\big(3-\rk(A-2E)\big)=3$ 个，$A$ 一定能对角化，(A) 错；特征值可以是 $1,1,2$（$|A|=2,\ \tr A=4$），也可以是 $1,2,2$（$|A|=4,\ \tr A=5$），(B)(D) 都不一定。所以选（C）。

例如 $A=\diag(1,2,2)$ 满足题设，但 $|A|=4$，$\tr A=5$。

答案：C

没拿满分就回看：5.4 相似对角化可对角化与秩7.3 秩的不等式与等式

① 先求 $|A|$ 和 $A^*$ 的特征值。$|A|=1\cdot2\cdot(-1)=-2$；$A$ 可逆，$A^*=|A|A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{|A|}{\lambda}$，即 $-2,\ -1,\ 2$。

$A\bxi=\lambda\bxi$ ⟹ $A^*\bxi=\frac{|A|}\lambda\bxi$：同一个 $\bxi$ 同时是 $A$、$A^{-1}$、$A^*$ 的特征向量。

② 整个矩阵的特征值。$A^*+2A-E=-2A^{-1}+2A-E$，特征值为 $-\frac2\lambda+2\lambda-1$：$\lambda=1$ 时为 $-1$；$\lambda=2$ 时为 $2$；$\lambda=-1$ 时为 $-1$。

必须按同一个特征向量把三项对齐再相加。能这样加，是因为三项都是 $A$ 的“函数”；两个不相干矩阵的特征值不能随便相加。

③ 相乘。$|A^*+2A-E|=(-1)\cdot2\cdot(-1)=2$。

行列式 = 全部特征值之积。

答案：$2$

没拿满分就回看：5.2 特征值的性质$A^*$、$A^{-1}+E$ 的特征值

① (I) 特征值是 $3,3,0$，用迹求 $a$。$A=\mat{a&b&-1\\b&a&1\\-1&1&2}$。正交变换下标准形的系数就是特征值，所以特征值为 $3,3,0$。迹：$2a+2=6$，$a=2$。

标准形只有两项 = 第三个特征值是 0。

② 用 $|A|=0$ 求 $b$。$a=2$ 时 $|A|=\dm{2&b&-1\\b&2&1\\-1&1&2}=4-2b-2b^2=-2(b-1)(b+2)=0$，得 $b=1$ 或 $b=-2$。

有特征值 0 ⟺ $|A|=0$。按第 1 行展开：$2(4-1)-b(2b+1)-(b+2)$。

③ 回代检验，排除 $b=-2$。用 $|\lambda E-A|=\lambda^3-(\tr A)\lambda^2+S_2\lambda-|A|$（$S_2$ 为三个二阶主子式之和）。$b=1$：$S_2=3+3+3=9$，$|\lambda E-A|=\lambda(\lambda-3)^2$ ✓；$b=-2$：$S_2=0+3+3=6$，$|\lambda E-A|=\lambda(\lambda^2-6\lambda+6)$，特征值 $0,\ 3\pm\sqrt3$ ✗。所以 $a=2,\ b=1$。

迹和行列式只用到了特征值的“和”与“积”，得到的候选值必须回代检验。这是得分点，很多人漏掉。

④ (II) 特征向量。$A=\mat{2&1&-1\\1&2&1\\-1&1&2}$。$\lambda=0$：解 $A\bx=\bo$ 得 $\bxi_3=(1,-1,1)\T$。$\lambda=3$：$3E-A$ 的三行都是 $\pm(1,-1,1)$，只剩方程 $x_1-x_2+x_3=0$，挑两个互相正交的解 $\bxi_1=(1,1,0)\T,\ \bxi_2=(-1,1,2)\T$。

先取 $(1,1,0)$，再找既满足方程又与它正交的向量，就省去了施密特正交化。若取了 $(1,1,0)\T,(-1,0,1)\T$，就必须先正交化。

⑤ 单位化，排成 $Q$。$Q=\Big(\frac1{\sqrt2}(1,1,0)\T,\ \frac1{\sqrt6}(-1,1,2)\T,\ \frac1{\sqrt3}(1,-1,1)\T\Big)$，$\bx=Q\by$ 化 $f$ 为 $3y_1^2+3y_2^2$。

列的顺序对应标准形的系数 $3,3,0$。自查：三列两两正交、长度都为 1。

⑥ (III) $f=0$ 的解。$f=3y_1^2+3y_2^2=0$ ⟺ $y_1=y_2=0$，$y_3$ 任意，于是 $\bx=Q\by=\frac{y_3}{\sqrt3}(1,-1,1)\T$。所以解为 $\bx=k(1,-1,1)\T$，$k$ 为任意常数。

半正定二次型 $f=0$ ⟺ $\bx$ 落在特征值 0 的特征子空间里，也就是 $A\bx=\bo$ 的解。只写“$\bx=\bo$”是错的。

答案：(I) $a=2,\ b=1$；(II) $Q=\Big(\frac1{\sqrt2}(1,1,0)\T,\ \frac1{\sqrt6}(-1,1,2)\T,\ \frac1{\sqrt3}(1,-1,1)\T\Big)$（不唯一），标准形 $3y_1^2+3y_2^2$；(III) $\bx=k(1,-1,1)\T$，$k$ 为任意常数

没拿满分就回看：6.2 正交变换法2017 数一(21)$f=0$ 的解

① 行变换写成左乘。$B=PA$，$P=\mat{1&0&0\\0&1&0\\2&0&1}$（把 $E$ 的第 1 行的 2 倍加到第 3 行）。

左行右列：对行做的变换，等于用“对 $E$ 做同样变换”得到的初等矩阵左乘。

② 求逆，乘法顺序反过来。$B^{-1}=A^{-1}P^{-1}$，$P^{-1}=\mat{1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1}$。

$(PA)^{-1}=A^{-1}P^{-1}$：左乘变成了右乘，所以 $B^{-1}$ 是对 $A^{-1}$ 做列变换。倍加矩阵求逆只需把 2 改成 $-2$。

③ 读出右乘 $P^{-1}$ 是哪种列变换。$P^{-1}$ 的 $(3,1)$ 元是 $-2$：作为列变换，它是“第 3 列的 $-2$ 倍加到第 1 列”。所以 $B^{-1}$ 由 $A^{-1}$ 的第 3 列的 $-2$ 倍加到第 1 列得到，选（B）。

同一个倍加矩阵，当行变换看和当列变换看方向相反：$(3,1)$ 元为 $k$ 时，左乘是“第 1 行的 $k$ 倍加到第 3 行”，右乘是“第 3 列的 $k$ 倍加到第 1 列”。(C) 就是把方向弄反了。

答案：B

没拿满分就回看：2.5 初等变换与初等矩阵2011 数一(5)初等矩阵

① 系数和为 1 的组合才是解。$A(\bet_1+\bet_2)=2\bb$，所以 $\frac12(\bet_1+\bet_2)=(1,0,2,1)\T$ 是解；$A(\bet_2+2\bet_3)=3\bb$，所以 $\frac13(\bet_2+2\bet_3)=(1,1,1,1)\T$ 也是解。

$A\big(\sum c_i\bet_i\big)=\big(\sum c_i\big)\bb$：系数和为 1 得非齐次的解，系数和为 0 得齐次的解。$(2,0,4,2)\T,\ (3,3,3,3)\T$ 本身都不是解，(B)(D) 错。

② 两个解相减得齐次解。$(1,0,2,1)\T-(1,1,1,1)\T=(0,-1,1,0)\T\ne\bo$。

非齐次方程组的两个解之差，是对应齐次方程组的解。

③ 基础解系只有一个向量。$4-\rk(A)=1$，所以 $(0,-1,1,0)\T$ 就是基础解系，通解为 $(1,0,2,1)\T+k(0,-1,1,0)\T$。所以选（A）。

(C) 的特解是对的，但 $(1,-1,3,1)\T=(2,0,4,2)\T-(1,1,1,1)\T$ 满足 $A\bx=2\bb-\bb=\bb$，不是齐次解。

答案：A

没拿满分就回看：4.4 非齐次方程组的通解2011 数三(6)系数和为 1

① (B) 正确。实对称矩阵特征值相同 ⟹ 都正交相似于同一个对角矩阵：$Q_1\T AQ_1=\Lambda=Q_2\T BQ_2$，于是 $Q\T AQ=B$（$Q=Q_1Q_2\T$ 是正交矩阵），既相似又合同。

实对称矩阵之间：特征值相同 ⟹ 相似 ⟹ 合同。

② 反例排除其余。(A)：$E$ 与 $\diag(1,2,3)$ 合同（都是 3 个正特征值），但特征值不同；正交合同就是相似，不可能。(C)：$\diag(-1,-1,1)$ 的行列式为 $1>0$，却不正定，不与 $E$ 合同。(D)：$A=\mat{2&1&0\\1&1&0\\0&0&1}$、$B=\diag(1,2,1)$ 都正定，但 $AB=\mat{2&2&0\\1&2&0\\0&0&1}$ 不对称，谈不上正定。所以选（B）。

正定的定义先要求对称。“行列式 $>0$”只说明负特征值的个数是偶数。

答案：B

没拿满分就回看：6.4 惯性定理与合同6.5 正定相似 vs 合同正定的充要条件

① 凑出因式 $A-3E$。像多项式带余除法一样：$(x-3)(x+1)=x^2-2x-3$，所以 $A^2-2A-2E=(A-3E)(A+E)+E$。

$A$ 的多项式之间可以交换，运算规则和普通多项式一样。

② 移项。由 $A^2-2A-2E=O$ 得 $(A-3E)(A+E)=-E$，即 $(A-3E)\big[-(A+E)\big]=E$，所以 $(A-3E)^{-1}=-(A+E)$。

方阵 $XY=E$ 就说明 $X$ 可逆、$X^{-1}=Y$，不必再验证 $YX=E$。

答案：$-(A+E)$，即 $-A-E$

没拿满分就回看：2.4 逆矩阵由化零多项式求逆

① (I) 行变换。第 2、3、4 行分别减去第 1 行的 1、2、1 倍，得 $\mat{1&1&0&2\\0&1&1&a-2\\0&1&1&1\\0&-1&-1&b-2}$；再用第 2 行减第 3 行、第 4 行加第 3 行，得 $\mat{1&1&0&2\\0&0&0&a-3\\0&1&1&1\\0&0&0&b-1}$。

含参数的矩阵求秩：先用不含参数的行把别的行“清干净”，让参数最后单独留在一个位置。

② 定参数。第 1、3 行已经给出秩 $\ge2$；秩为 2 ⟺ $a-3=0$ 且 $b-1=0$，即 $a=3,\ b=1$。

$a-3,\ b-1$ 只要有一个不为 0，就多出一个非零行，秩变成 3。

③ (II) 化成行最简形，读出关系。$a=3,\ b=1$ 时继续化为 $\mat{1&0&-1&1\\0&1&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0}$。主元在第 1、2 列，$\ba_1,\ba_2$ 是一个极大无关组，且 $\ba_3=-\ba_1+\ba_2,\ \ba_4=\ba_1+\ba_2$。

行变换不改变列向量之间的线性关系；行最简形第 3、4 列的数，就是用主元列表示它们的系数。验算：$-\ba_1+\ba_2=(0,1,1,-1)\T=\ba_3$ ✓。

④ (III) 齐次部分。由 $\ba_1-\ba_2+\ba_3=\bo$ 和 $\ba_1+\ba_2-\ba_4=\bo$ 得 $A\bx=\bo$ 的两个解 $\bxi_1=(1,-1,1,0)\T,\ \bxi_2=(1,1,0,-1)\T$；它们线性无关，且 $4-\rk(A)=2$，所以是基础解系。

列关系 ⟺ 齐次解；基础解系的向量个数 = 未知数个数 − 秩。

⑤ 特解与通解。$\bb=\ba_1+\ba_2+\ba_3+\ba_4$ 直接给出特解 $(1,1,1,1)\T$，通解为 $\bx=(1,1,1,1)\T+k_1(1,-1,1,0)\T+k_2(1,1,0,-1)\T$。

“$\bb$ 用列表示”的系数就是一个特解，不必再解方程组。

⑥ 加上条件 $x_1=x_4$。通解中 $x_1=1+k_1+k_2,\ x_4=1-k_2$，令二者相等得 $k_1=-2k_2$。记 $k_2=k$，得 $\bx=(1,1,1,1)\T+k(-1,3,-2,-1)\T$，$k$ 为任意常数。

在通解上再加一个线性条件，就是解一个关于 $k_1,k_2$ 的方程，结果仍是“特解 + 齐次解”的形式。验算：$(-1,3,-2,-1)\T=-2\bxi_1+\bxi_2$，第 1、4 个分量相等 ✓。

答案：(I) $a=3,\ b=1$；(II) $\ba_1,\ba_2$ 是一个极大无关组，$\ba_3=-\ba_1+\ba_2,\ \ba_4=\ba_1+\ba_2$（不唯一）；(III) 通解 $\bx=(1,1,1,1)\T+k_1(1,-1,1,0)\T+k_2(1,1,0,-1)\T$；满足 $x_1=x_4$ 的解为 $\bx=(1,1,1,1)\T+k(-1,3,-2,-1)\T$

没拿满分就回看：3.4 极大无关组4.4 非齐次方程组的通解2017 数一(20)2026 数一(21)

① 结论①成立。$A(E-A)=O$ ⟹ $\rk(A)+\rk(E-A)\le n$；$A+(E-A)=E$ ⟹ $\rk(A)+\rk(E-A)\ge n$。

和第一套第 3 题是同一个夹逼。

② 结论②成立。特征值只能是 0 或 1。$A\cdot A=A$ 说明 $A$ 的每一列都满足 $A\bx=\bx$，属于 1 的无关特征向量至少有 $\rk(A)$ 个；属于 0 的有 $n-\rk(A)$ 个（$A\bx=\bo$ 的基础解系）。合计至少 $n$ 个，而 $n$ 阶矩阵最多只有 $n$ 个线性无关的特征向量，所以正好 $n$ 个，可对角化：$A\sim\diag(1,\cdots,1,0,\cdots,0)$，其中 1 有 $r=\rk(A)$ 个。

可对角化 ⟺ 能凑齐 $n$ 个线性无关的特征向量。

③ ③成立。$(A+E)\big(E-\frac12A\big)=A-\frac12A^2+E-\frac12A=E$（用了 $A^2=A$），所以 $A+E$ 可逆，逆矩阵就是 $E-\frac12A$。

求逆用“凑”：设 $(A+E)(E+kA)=E$，展开并用 $A^2=A$ 得 $E+(1+2k)A=E$，所以 $k=-\frac12$。也可以看特征值：$A+E$ 的特征值是 1 和 2，都不为 0。

④ ④不一定成立。$\tr A$ = 特征值之和 = 1 的个数 = $\rk(A)$，不是 $n-\rk(A)$；例如 $n=3,\ A=\diag(1,0,0)$ 时 $\tr A=1\ne2$。一定成立的是①②③，选（C）。

把 $A$ 换成对角矩阵 $\diag(1,\cdots,1,0,\cdots,0)$ 来算，每一条都一目了然：迹 = 秩 = 1 的个数。

答案：C

没拿满分就回看：可对角化与秩7.3 秩的不等式与等式$A^2=A$

① 翻译。三个平面交于一条直线 ⟺ 方程组有解且解集是一条直线 ⟺ $\rk(A)=\rk(\overline A)=2$。

公共点的集合就是方程组的解集；解集的维数是 $3-\rk(A)$，直线是 1 维。

② 系数矩阵降秩。$|A|=\dm{1&1&1\\1&2&3\\1&4&a}=a-7=0$，$a=7$。

$a\ne7$ 时 $\rk(A)=3$，三个平面交于一点，(C)(D) 错。

③ 增广矩阵也要秩 2。$a=7$ 时 $\overline A\to\mat{1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&3&6&b-1}\to\mat{1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&b-4}$，需要 $b=4$。所以选（A）。

$a=7,\ b\ne4$ 时 $\rk(A)=2,\ \rk(\overline A)=3$，没有公共点；三个法向量两两不平行，是“两两相交、三条交线互相平行”的三棱柱情形。

答案：A

没拿满分就回看：4.5 三个平面的位置关系2019 数一(6)2024 数一(5)

① 特征值。$A=(1-a)E+aJ$（$J$ 为元素全为 1 的矩阵），$J$ 的特征值是 $3,0,0$，所以 $A$ 的特征值为 $1+2a,\ 1-a,\ 1-a$。

$bE+cJ$ 型矩阵的特征值：$b+nc$（一个）和 $b$（$n-1$ 个）。

② 单叶双曲面的条件。正交变换后为 $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2=1$。右端为正时，单叶双曲面 ⟺ 两正一负。$1-a$ 是二重特征值，所以只能 $1-a>0$ 且 $1+2a<0$，即 $a<-\frac12$。所以选（A）。

若 $1-a<0$（$a>1$），则 $1+2a>0$，变成一正两负，是双叶双曲面，(B) 错。

③ 其余选项分别是什么曲面。$-\frac12<a<1$：三个特征值全正，是椭球面；$a=1$：特征值 $3,0,0$，$3y_1^2=1$ 是两个平行平面；$a=-\frac12$：特征值 $0,\frac32,\frac32$，是圆柱面。

曲面类型只看特征值的符号和右端的符号，见笔记 6.6 节的表。

答案：A

没拿满分就回看：6.6 二次曲面2016 数一(6)2026 数一(7)

① 余子式换成代数余子式。$A_{4j}=(-1)^{4+j}M_{4j}$，所以 $M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}=-A_{41}+A_{42}-A_{43}+A_{44}$。

余子式不带符号，代数余子式带符号 $(-1)^{i+j}$；第 4 行的符号依次是 $-,+,-,+$。这一步错了，后面全错。

② 组合 = 换行后的行列式。$\sum_jc_jA_{4j}$ 等于把 $D$ 的第 4 行换成 $(c_1,c_2,c_3,c_4)$ 后的行列式，所以所求为 $\dm{1&0&2&1\\-1&1&0&2\\0&2&1&-1\\-1&1&-1&1}$。

$A_{4j}$ 与第 4 行本身的元素无关，原来的 $3,5,7,9$ 根本用不上。

③ 计算。第 2 行加第 1 行、第 4 行加第 1 行，得 $\dm{1&0&2&1\\0&1&2&3\\0&2&1&-1\\0&1&1&2}$；按第 1 列展开，得 $\dm{1&2&3\\2&1&-1\\1&1&2}=1\cdot3-2\cdot5+3\cdot1=-4$。